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河北省枣强中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


2015—2016 学年高二第二学期期中考试 数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。不能答在试题

卷上。 3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 一、 1 选择题 ) D. ?x x ? 1, x ? ?1?

不等式 (1 ? x)(1 ? x ) ? 0 的解集是( A. ?x 0 ? x ? 1?

B. ?x x ? 0, x ? ?1? C. ?x ? 1 ? x ? 1?

? 2 tan 690 的值为

(A) ?

3 3

(B)

3 3

(C) 3

(D) ? 3

3 函数 y ? sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是 (A) 2? (B) 4? (C)

? 4

(D)

? 2

4 若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ?

2 ,则 sin A ? cos A ? 3
(C)

(A )

15 3

(B) ?

15 3

5 3

(D) ?

5 3

5 函数 y ? sin x 定义域是 [a, b] ,值域是 [ ?1, ] ,则 b ? a 的最大值与最小值之和 是 (A)

4? 3

1 2

(B) 2?

(C)

6 函数 f ( x) ? sin x ? cos( x ? (A) ?2

?
6

8? 3

(D) 4?

) 的最小值为
(C) 1 (D) ? 3

(B) 3

7.已知 a、b、c 是△ABC 中 A、B、C 的对边,且 a ? 1, b ? 5, c ? 2 5 ,则△ABC 的面积 S = A、

3 2

B、2

C、3

D、4

1

8.如果等腰三角形的顶角的余弦值为 A.

3 ,则底边上的高与底边的比值为( 5



1 2

B.

4 5

C.

2 3

D.1

9.在△ABC 中,已知 cos A ?

5 3 , sin B ? ,则 cos C 的值为( 13 5 16 56 C、 65 或 65
16 D、 65 ?
2



16 A、 65

56 B、 65

10.在△ABC 中, A=60°, 且最大边长和最小边长是方程 x ? 7 x ? 11 ? 0 的两个根, 则第三边的长为( A.2 B.3 C.4 D .5

)

11.在△ABC 中, A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为

3 , 则 BC 的长为( ) 2
D.7
2

A.

3

B.3

C.

7

12.已知在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S,且 2S ? ?a ? b? ? c 2 ,则 tanC 等于( A. ) B.

3 4

4 3

C. ?

4 3

D. ?

3 4

第Ⅱ卷 注意事项: 1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 3.本卷共 10 小题,共 90 分。 二,填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上 13. 不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 2 的解集是 . 。

14.在钝角△ABC 中,已知 a ? 1 , b ? 2 ,则最大边 c 的取值范围是 15. 已知 ? ? ? ?

3? ,则 (1 ? tan ? )(1 ? tan ? ) 的值是_____ 4


16.在△ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 ,那么 cos C 等于

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 除 17 题 10 分,其它每题 12 分)

? π? 17.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C?3, ?,半径 r=3, 6? ?
2

(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)若 Q 点在圆 C 上运动,P 在 OQ 的延长线上,且|OQ|∶|QP|=3∶2,求动点 P 的轨迹方程

18

已知 cos ? ? ?

3? 5 ). , ? ? (? , 2 5

(Ⅰ)求 sin ? 的 值;

sin(? ? ? ) ? 2sin(
(Ⅱ)求

3? ??) 2 的值. cos(3? ? ? ) ? 1

f ( x) ? cos 2 (? x ? ? ) ?
19 已知函数

1 ? (? ? 0, 0 ? ? ? ) 2, 2 .若 f ( x) 的最小正周期

? 1 f( )? 8 4. 为 ? ,且
(Ⅰ)求 ? 和 ? 的值;

? ? 13? ? ? , ? (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ? 24 24 ? 上的最小值和最大值.
20. 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边 分别是 a,b,c,已知 bsinA=3csinB, a=3, cos B ? (1)求 b 的值; (2)求 sin ? 2 B ?

2 . 3

? ?

π? ? 的值 3?

??
21. (1)已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 (1)写出直线 l 的参数方程.

?
6,

2 2 (2)设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积.

2 2、 已知 a 、 b 、 c 分别是 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边
3

(1)若 ?ABC 面积 S ?ABC ?

3 , c ? 2, A ? 60?, 求 a 、 b 的值; 2

(2)若 a ? c cos B ,且 b ? c sin A ,试判断 ?ABC 的形状.

4

高二文科数学 答案部分 DAD A BD BDACAC
1 5? 13、 ? ?x ? x ? ? ? 2 2?

14

5 ?c?3

15_2

16

?

1 4

17 解:(1)设 M(ρ ,θ )为圆 C 上 任一点,OM 的中点为 N, ∵O 在圆 C 上,∴△OCM 为等腰三角形, π? ? |ON|=|OC|cos?θ - ?, 6? ? π? ? ∴|OM|=2×3cos?θ - ?, 6? ? π? ? 即 ρ =6cos?θ - ?为所求圆 C 的极坐标方程. 5 分 6? ? (2)设点 P 的极坐标为(ρ ,θ ),因为 P 在 OQ 的延长线上,且|OQ|∶|QP|=3∶2,所 3分

?3 ? 以点 Q 的坐标为? ρ ,θ ?,8 分 ?5 ?
π? 3 ? 由于点 Q 在圆上,所以 ρ =6cos?θ - ?. 6? 5 ? π? ? 故点 P 的轨迹方程为 ρ =10cos?θ - ?. 6? ? 18 解: (Ⅰ)∵ cos ? ? ? 10 分

4 5 , sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ,∴ sin 2 ? ? ………………………………2 分 5 5 3 2 5 ∵ ? ? ? ? ? ,∴ sin ? ? 0 ,∴ sin ? ? ? .…………………………………6 分 2 5 2 5 2 5 ? ? sin ? ? 2 cos ? 5 5 ? 5 ? 1 .… ………… …………… ………12 分 ? (Ⅱ)原式= ? cos ? ? 1 5 ?1 5
1 1 1 1 ? ?1 ? cos(2? x ? 2? ) ? ? ? cos(2? x ? 2? ) ………2 分 2 2 2 2 2? ? ? , ? ? ? 1.………………………………3 分 ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,? 2? ? 1 ? 1 ? ? ? 5 ? f ( ) ? , ? cos( ? 2? ) ? , ? 0 ? ? ? ,? ? ? 2? ? ? , 8 4 4 2 2 4 4 4

2 19 解: (Ⅰ) f ( x) ? cos (? x ? ? ) ?

?

?

4

? 2? ?

?

?? ?
(Ⅱ)?

?
24

3



…………………………………………………………6 分

?
24

?x?

13? 24

?

?
6

? 2x ?

?
12

?

7? 6

5

? ?1 ? cos(2 x ?

?
12

)?

3 1 3 ,即 ? ? f ( x) ? …………………………………8 分 2 4 2
3 ……………………………10 分 4

? 当 2x ?
当 2x ?

?
12

?

?
6

即x?

?
24

时, f ( x) 取得最大值

11? 1 时, f ( x) 取得最小值 ? ……………………………12 分 2 12 24 a b ? 20.解: (1)在△ABC 中,由正弦定理得 ,即 bsinA=asinB, sin A sin B ?? 即x ?
又由 bsinA=3csinB,可得,a=3c,又 a=3,故 c=1, 由 b ? a ? c ? 2ac cos B ,
2 2 2

?

3分

且 cos B ?

2 ,可得 b ? 6 . 6 分 3 2 1 5 2 ,得 sin B ? ,进而得到 cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ? , 3 9 3

(2)由 cos B ?

sin 2B ? 2 sin B cos B ?

4 5 . 9

9分

所以 sin? 2B ?

? ?

π? π π 4 5 1 1 3 4 5? 3 ? ? ? ? ? ? sin 2B cos ? cos2B sin ? 3? 3 3 9 2 9 2 18
12 分

? 3 x ? 1? t, ? 21.解:(1)直线的参数方程是 ? 2 (t是参数) ? ? y ? 1 ? 1 t; ? 2 ?

4分

(2)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2,则点 A,B 的坐标分别为

A(1 ?

3 1 t1 ,1 ? t1 ), B(1 ? 3 t 2 ,1 ? 1 t 2 ) 2 2 2 2
2

6分

以直线 L 的参数方程代入圆的方程 x ? y ? 4 整理得到 t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 ①
2

9分 因为 t1 和 t2 是方程①的解,从而 t1t2=-2 12 分 22、解: 【Ⅰ】? S ?ABC ? 1 bc sin A ? 3 ,? 1 b ? 2 sin 60? ? 3 ,得 b ? 1 2 2 2 2 … ……2 分 所以|PA|·|PB|= |t1t2|=|-2|=2

6

由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 ? cos60? ? 3 …………4 分
2 2 2 2 2

所以 a ?

3 …………6 分
a2 ? c2 ? b2 ? a2 ? b2 ? c2 , 2ac

【Ⅱ】由余弦定理得: a ? c ? 所以 ?C ? 90?

…………8 分

在 Rt ?ABC 中, sin A ?

a a ,所以 b ? c ? ? a c c

…………10 分

所以 ?ABC 是等腰直角三角形;…………12 分

7


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