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三角形的五心及性质


三角形的五心及性质
重心三角形三条中线的交点叫做三角形重心。 定理:设三角形重心为 O,BC 边中点为 D,则有 AO = 2 OD。

重心坐标为三顶点坐标平均值。 外心三角形三边的垂直平分线的交点,称为三角形外心。 外心到三顶点距离相等。 过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心即三角形外心,这个三 角形叫做这个圆的内接三角形。 三角形

有且只有一个外接圆。 内心三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心即是三角形内心, 内心到三角形三边距离相等。这个三角形叫做圆的外切三角形。 三角形有且只有一个内切圆。 垂心三角形三边上的三条高线的交点,称为三角形垂心。

锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角的顶点;钝角三角形的 垂心在三角形外.。 三角形只有一个垂心。 旁心 与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆,旁 切圆的圆心叫做三角形旁心。 三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点,即三角形的旁 心。旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。 三角形有三个旁切圆, 三个旁心。这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相 等。 五心的性质 三角形的五心有许多重要性质,它们之间也有很密切的联系,如: 1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等;2)三角形的外 心到三顶点的距离相等;3)三角形的垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三 点所构成的三角形的垂心;4)三角形的内心、旁心到三边距离相等;5)三角形 的垂心是它垂足三角形的内心;或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心; 6)三角形的外心是它的中点三角形的垂心;7)三角形的重心也是它的中点三角 形的重心;8)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.9)三角形 的任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的二倍.

垂心

三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。 三角形垂心有下列有趣的性

质:设△ABC 的三条高为 AD、BE、CF,其中 D、E、F 为垂足,垂心为 H。 性质 1 垂心 H 关于三边的对称点,均在△ABC 的外接圆上。 性质 2 △ABC 中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且 AH·HD=BH·HE=CH·HF。 性质 3 H、A、B、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的 四点为一垂心组)。

性质 4 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH 的外接圆是等圆。 性质 5 在非直角三角形中,过 H 的直线交 AB、AC 所在直线分别于 P、Q,则 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。 性质 6 三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的 2 倍。 性质 7 设 O,H 分别为△ABC 的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC, ∠BCO=∠HCA。 性质 8 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和 的 2 倍。 性质 9 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点 在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短。 内心 三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心, 即三角形三个角平分线的交

点。内心有下列优美的性质: 性质 1 设 I 为△ABC 的内心,则 I 为其内心的充要条件是:到△ABC 三边的距离 相等。 性质 2 设 I 为△ABC 的内心,则∠BIC=90°+1/2∠A,类似地还有两式;反之亦 然。 性质 3 设 I 为△ABC 内一点,AI 所在直线交△ABC 的外接圆于 D。I 为△ABC 内 心的充要条件是 ID=DB=DC。

性质 4 设 I 为△ABC 的内心,BC=a,AC=b,AB=c,I 在 BC、AC、AB 上的射影分 别为 D、E、F;内切圆半径为 r,令 p= (1/2)(a+b+c),则(1)S△ABC=pr; (2)r=2S△ABC/a+b+c ;(3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c; (4)abcr=p·AI·BI·CI。 性质 5 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距 离相等;反之,若 I 为△ABC 的∠A 平分线 AD(D 在△ABC 的外接圆上)上的点, 且 DI=DB,则 I 为△ABC 的内心。 性质 6 设 I 为△ABC 的内心, BC=a, AC=b, AB=c, ∠A 的平分线交 BC 于 K,交△ABC 的外接圆于 D,则 AI/KI =AD/DI =DI/DK = (b+c)/a。 外心 三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心.即三角形三边中垂线的交点。

外心有如下一系列优美性质: 性质 1 三角形的外心到三顶点的距离相等,反之亦然。 性质 2 设 O 为△ABC 的外心,则∠BOC=2∠A,或∠BOC=360°-2∠A(还有两式)。 性质 3 设三角形的三条边长,外接圆的半径、面积分别为 a、b、c,R、S△,则 R=abc/4S△。 性质 4 过△ABC 的外心 O 任作一直线与边 AB、AC(或延长线)分别相交于 P、Q 两 点,则 AB/AP ·sin2B+ AC/AQ·sin2C=sin2A+sin2B+sin2C。 性质 5 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。

重心

性质 1 设 G 为△ABC 的重心,△ABC 内的点 Q 在边 BC、CA、AB 边上的射

影分别为 D、E、F,则当 Q 与 G 重合时 QD·QE·QF 最大;反之亦然。 性质 2 设 G 为△ABC 的重心,AG、BG、CG 的延长线交△ABC 的三边于 D、E、F, 则 S△AGF=S△BGD=S△CGE;反之亦然。 性质 3 设 G 为△ABC 的重心,则 S△ABG=S△BCG=S△ACG= (1/3)S△ABC;反之亦 然。 性质 4 若 A 点坐标为(a,b,c),B 点坐标为(x,y,z),C 点坐标为(o,p,q),则重 心坐标为( 1/3(a+x+o), 1/3(b+y+p) , 1/3(c+z+q) ) 旁心 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即

为三角形的旁心。 2、每个三角形都有三个旁心。 3、旁心到三边的距离相等。


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