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2013高中数学精讲精练 第三章 三角函数A


2013 高中数学精讲精练 第三章

三角函数 A

【知识导读】 弧长与扇形 面积公式 角度制与 弧度制 三角函数的 图象和性质 任意角的 三角函数 差 角 公 式 几个三角 恒等式 任意角 的概念 和 角 公 式 倍 角 公 式 诱 导 公 式 同角三角函 数关系 解斜三角形 及其应用

化简、 计算、 求值 与证明

正弦定理与 余弦定理

【方法点拨】 三角函数是一种重要的初等函数,它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的 联系,同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法” .这一部分的内容,具有以下几个特 点: 1.公式繁杂.公式虽多,但公式间的联系非常密切,规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系, 是记住这些公式的关键. 2.思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终,类比的思维方 法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题, 将不同 名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题,将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等. 3.变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表 达形式的变换及一些常量的变换等,并且有的变换技巧性较强. 4.应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多,它是解决立体几何、解析几何及向量 问题的重要工具,并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用,比如在物理学、天文学、 测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.

第 1 课 三角函数的概念
【考点导读】 1. 理解任意角和弧度的概念,能正确进行弧度与角度的换算. 角的概念推广后,有正角、负角和零角;与 ? 终边相同的角连同角 ? 本身,可构成一个集合

S ? ? ? ? ? ? k ? 360 ? , k ? Z ;把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为 1 弧度的角,熟练掌握角
度与弧度的互换,能运用弧长公式 l ?

?

?

? r 及扇形的面积公式 S = lr ( l 为弧长)解决问题.

1 2

2. 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义. 角的概念推广以后,以角的顶点为坐标原点,角的始边为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系,在角的 终边上任取一点 P( x, y ) (不同于坐标原点) ,设 OP ? r ( r ? 定义为: sin ? ?

x 2 ? y 2 ? 0 ) ? 的三个三角函数值 ,则

y x y , cos ? ? , tan ? ? . r r x

从定义中不难得出六个三角函数的定义域:正弦函数、余弦函数的定义域为 R;正切函数的定义域 为 {? | ? ? R, ? ? k? ?

?
2

, k ? Z} .

3. 掌握判断三角函数值的符号的规律,熟记特殊角的三角函数值. 由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号,可以简记为:一正(第一象限内全为正值) ,二 正弦(第二象限内只有正弦值为正) ,三切(第三象限只有正切值为正) ,四余弦(第四象限内只有余弦 值为正) .另外,熟记 0 、

? ? ? ? 、 、 、 的三角函数值,对快速、准确地运算很有好处. 6 4 3 2

4. 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念. 在平面直角坐标系中,正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线,并能运用正弦线、余弦线和 正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题. 【基础练习】 1. ?885 化成 2k? ? ? (0 ? ? ? 2? , k ? Z ) 的形式是
?

?6? ?

13 ? 12



? 所在的象限是 第二或第四象限 . 2 5 ? 3.已知角 ? 的终边过点 P(?5,12) ,则 cos ? = 13 , tan ? =
2.已知 ? 为第三象限角,则 4.

?

12 5 .

tan(?3)sin 5 的符号为 cos8





5.已知角 ? 的终边上一点 P(a, ?1) ( a ? 0 ) ,且 tan ? ? ? a ,求 sin ? , cos ? 的值. 解:由三角函数定义知, a ? ?1 ,当 a ? 1 时, sin ? ? ?

2 2 , cos ? ? ; 2 2

当 a ? ?1 时, sin ? ? ? 【范例解析】

2 2 , cos ? ? ? . 2 2

例 1.(1)已知角 ? 的终边经过一点 P(4a, ?3a)(a ? 0) ,求 2sin ? ? cos ? 的值; (2)已知角 ? 的终边在一条直线 y ? 3x 上,求 sin ? , tan ? 的值. 分析:利用三角函数定义求解.

r sin cos 解: 1) ( 由已知 x ? 4a , ? 5 a . a ? 0 时, ? 5a , ? ? ? , ? ? 当 r
当 a ? 0 时, r ? ?5a , sin ? ?

3 5

4 s i , 2 则n 5

?? c o s

? ?? ;

2 5

3 4 2 , cos ? ? ? ,则 2sin ? ? cos ? ? . 5 5 5

(2)设点 P(a, 3a)(a ? 0) 是角 ? 的终边 y ? 3x 上一点,则 tan ? ? 3 ; 当 a ? 0 时,角 ? 是第一象限角,则 sin ? ?

3 ; 2 3 . 2

当 a ? 0 时,角 ? 是第三象限角,则 sin ? ? ? 点评:要注意对参数进行分类讨论.

例 2.(1)若 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 ? 在第_____________象限.

? ? ? , cos , tan 中能确定是正值的有____个. 2 2 2 解: (1)由 sin ? ? cos ? ? 0 ,得 sin ? , cos ? 同号,故 ? 在第一,三象限.
(2)若角 ? 是第二象限角,则 sin 2? , cos 2? , sin (2)由角 ? 是第二象限角,即

?
2

? 2k? ? ? ? ? ? 2k? ,得

?
4

? k? ?

?
2

?

?
2

? k? ,

? ? 4k? ? 2? ? 2? ? 4k? ,故仅有 tan

?
2

为正值.

点评:准确表示角的范围,由此确定三角函数的符号. 例 3. 一扇形的周长为 20cm , 当扇形的圆心角 ? 等于多少时, 这个扇形的面积最大?最大面积是多少? 分析:选取变量,建立目标函数求最值. 解:设扇形的半径为 x ㎝,则弧长为 l ? (20 ? 2 x) ㎝,故面积为 y ? 当 x ? 5 时,面积最大,此时 x ? 5 , l ? 10 , ? ?
2 所以当 ? ? 2 弧度时,扇形面积最大 25 cm .

1 (20 ? 2 x) x ? ?( x ? 5) 2 ? 25 , 2

l ?2, x

点评:由于弧度制引入,三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数.

【反馈演练】 二 1.若 sin ? ? cos ? 且 sin ? ? cos ? ? 0 则 ? 在第_______象限. 三 2.已知 ? ? 6 ,则点 A(sin ? , tan ? ) 在第________象限. 3.已知角 ? 是第二象限,且 P(m, 5) 为其终边上一点,若 cos ? ? 4.将时钟的分针拨快 30 min ,则时针转过的弧度为 5.若 4? ? ? ? 6? ,且 ? 与 ?

?

2? 终边相同,则 ? = 3

? 12 16? 3

2 ? 3 m ,则 m 的值为_______. 4

. .1
1

sin 6.已知 1 弧度的圆心角所对的弦长 2,则这个圆心角所对的弧长是_______,这个圆心角所在的扇形的 2 1 面积是___________. 1 ? cos1

7. (1)已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形中心角是 1 弧度,求该扇形面积. (2)若扇形的面积为 8 cm ,当扇形的中心角 ? (? ? 0) 为多少弧度时,该扇形周长最小.
2

简解: (1)该扇形面积 2 cm ;

2

? 2r ? l ? y 16 l ? ? 8 2 ,当且仅当 r ? 2 2 时取等号.此时, l ? 4 2 ,? ? ? 2 . (2) ? 1 ,得 y ? 2r ? r r ? 2 rl ? 8 ?

第 2 课 同角三角函数关系及诱导公式
【考点导读】 1.理解同角三角函数的基本关系式;同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系. 2.掌握正弦,余弦的诱导公式;诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律,起着变名,变 号,变角等作用. 【基础练习】
3 1. tan600°=______.

? 5 13 2. 已知 ? 是第四象限角, tan ? ? ? ,则 sin ? ? ______. 12
3.已知 cos ?

5

? 3 ?? ? - 3 ,且 ? ? ,则tan ? =______. ?? ? ? 2 ?2 ? 2

4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=___1___. 【范例解析】 例 1.已知 cos(? ? ? ) ?

8 ,求 sin(? ? 5? ) , tan(3? ? ? ) 的值. 17

分析:利用诱导公式结合同角关系,求值.

8 8 ? 0 ,?? 是第二,三象限角. ,得 cos ? ? ? 17 17 15 15 若 ? 是第二象限角,则 sin(? ? 5? ) ? ? sin ? ? ? , tan(3? ? ? ) ? tan ? ? ? ; 17 8 15 15 若 ? 是第三象限角,则 sin(? ? 5? ) ? ? sin ? ? , tan(3? ? ? ) ? tan ? ? . 17 8
解:由 cos(? ? ? ) ? 点评:若已知正弦,余弦,正切的某一三角函数值,但没有确定角所在的象限,可按角的象限进行分类, 做到不漏不重复. 例 2.已知 ? 是三角形的内角,若 sin ? ? cos ? ?

1 ,求 tan ? 的值. 5

分析:先求出 sin ? ? cos ? 的值,联立方程组求解. 解:由 sin ? ? cos ? ?

1 1 24 ?0. 两边平方,得 1 ? 2sin ? ? cos ? ? ,即? 2sin ? ? cos ? ? ? 5 25 25

又 ? 是三角形的内角,? cos ? ? 0 ,? 由 (sin ? ? cos ? ) ?
2

?

2

?? ?? .

49 7 ,又 sin ? ? cos ? ? 0 ,得 sin ? ? cos ? ? . 25 5

1 4 ? ? ?sin ? ? cos ? ? 5 ?sin ? ? 5 4 ? ? 联立方程组 ? ,解得 ? ,得 tan ? ? ? . 3 ?sin ? ? cos ? ? 7 ?cos ? ? ? 3 ? ? 5 5 ? ?
点评:由于 (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin ? ? cos ? ,因此式子 sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ?
2

三者之间有密切的联系,知其一,必能求其二. 【反馈演练】 1.已知 sin ? ?

3 5 ? 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为_____. 5 5

s 2. n “i

A?

1 ”是“A=30?”的必要而不充分条件. 2

3.设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x ,则 x 的取值范围是 4.已知 sin ? ? cos ? ? 5. (1)已知 cos ? ? ? (2)已知 sin( x ?

?

1 ? 3? ,且 ≤ ? ≤ ,则 cos 2? 的值是 5 2 4

4 7 ? 25

?x?

5? 4



1 ? 2 cos(? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) ,且 ? ? ? ? 0 ,求 的值. 3 2 4 cos(?? ) ? sin(2? ? ? ) 1 5? ? ? x) ? sin 2 ( ? x) 的值. ,求 sin( 4 6 3

?
6

)?

1 ,得 tan ? ? ?2 2 . 3 ?2 cos ? ? 3sin ? ?2 ? 3 tan ? 5 ? ? 2? 2. 原式= 4 cos ? ? sin ? 4 ? tan ? 2 ? 1 5? ? ? ? ? ? x) ? sin 2 ( ? x) ? sin[? ? ( x ? )] ? sin 2 [ ? ( x ? )] (2)? sin( x ? ) ? ,? sin( 6 4 6 3 6 2 6 ? ? 19 ? sin( x ? ) ? cos 2 ( x ? ) ? . 6 6 16 4 6.已知 tan ? ? ? ,求 3 6 sin ? ? cos ? (I) 的值; 3sin ? ? 2 cos ? 1 (II) 的值. 2sin ? cos ? ? cos 2 ? 4 6(? ) ? 1 4 6sin ? ? cos ? 6 tan ? ? 1 7 3 解: (I)∵ tan ? ? ? ;所以 = = ? . 4 3 3sin ? ? 2 cos ? 3 tan ? ? 2 3(? ) ? 2 6 3 4 (II)由 tan ? ? ? , 3 1 sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 5 ? ? ?? . 于是 2 2 2sin ? cos ? ? cos ? 2sin ? cos ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 3
解: (1)由 cos ? ? ?

第 3 课 两角和与差及倍角公式(一)
【考点导读】 1.掌握两角和与差,二倍角的正弦,余弦,正切公式,了解它们的内在联系; 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换; 3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角, 函数名称及次数三方面的差异及联系, 然后通过 “角变换” , “名称变换”“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系; , 4.证明三角恒等式的基本思路:根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简,左右归一, 变更命题等方法将等式两端的“异”化“同” . 【基础练习】
?

1 2 1. sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? ___________.
? ? ?

? 2 2 cos( x ? ) 3 2. 化简 2 cos x ? 6 sin x ? _____________.
4.化简:

3+cos2x 3. 若 f(sinx)=3-cos2x,则 f(cosx)=___________ .

sin ? ? sin 2? tan ? ? ___________ . 1 ? cos ? ? cos 2?

【范例解析】

1 2 ; 例 .化简: (1) ? 2 ? 2 tan( ? x)sin ( ? x) 4 4 ? ? (1 ? sin ? ? cos ? )(sin ? cos ) 2 2 (0 ? ? ? ? ) . (2) 2 ? 2 cos ? 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?
(1)分析一:降次,切化弦. 解法一:原式=

1 (2 cos 2 x ? 1) 2 2 2sin( ? x) ? 4 cos 2 ( ? x) ? 4 cos( ? x) 4

?

?

(2 cos 2 x ? 1) 2 4sin(

?

4

? x) cos(

?

? ? x)

cos 2 2 x 2sin( ? 2 x) 2

?

?

1 cos 2 x . 2

4

分析二:变“复角”为“单角” .

1 (2cos 2 x ? 1)2 cos 2 2 x 1 2 ? cos 2 x . ? 解法二:原式 ? cos x ? sin x 2 2 1 ? tan x 2 2 2? ( sin x ? cos x) 2 ? cos x ? sin x (sin x ? cos x) 1 ? tan x 2 2 (2sin cos ? 2cos 2 )(sin ? cos ) cos (sin 2 ? cos 2 ) ? cos ? cos ? 2 2 2 2 2 ? 2 2 2 ? 2 (2)原式= ? ? ? cos cos 4cos2 2 2 2 ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ,? 0 ? ? , cos ? 0 ,? 原式= ? cos ? . 2 2 2
点评:化简本质就是化繁为简,一般从结构,名称,角等几个角度入手.如:切化弦, “复角”变“单角” , 降次等等.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

【反馈演练】

2sin 2? cos 2 ? ? ? tan 2? . 1.化简 1 ? cos 2? cos 2?
2.若 sin x ? tan x ? 0 ,化简 1 ? cos 2x ? _________. ? 2 cos x

? a?b ,sin α+cos α = α,sin β+cos β= b,则 a 与 b 的大小关系是_________. 4 ? ? ( , ) ? 4.若 sin ? ? cos ? ? tan ? (0 ? ? ? ) ,则 ? 的取值范围是___________. 4 3 2
3.若 0<α<β< 5.已知 ? 、 ? 均为锐角,且 cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ,则 tan ? = 1 .

6.化简:

2 tan( ? ? ) ? sin ( ? ? ) 4 4
2

?

2 cos 2 ? ? 1

?



解:原式=

2sin( ? ? ) ? 4 ? cos 2 ( ? ? ) ? 4 cos( ? ? ) 4
2 2

?

2 cos 2 ? ? 1

?

2sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) 4 4

?

cos 2?

?

?

cos 2? ? 1. cos 2?

7.求证: sin 2 x ? 2cos x cos 2 x ? 2cos x .
2

2 2 2 2 证明:左边= 4sin x cos x ? 2cos x cos 2 x ? 2cos x(2sin x ? 1 ? 2cos x) ? 2cos x =右边.
2 2 2

8.化简: sin

2

? ? sin 2 ? ? 2sin ? sin ? cos(? ? ? ) .

解:原式= sin

2

? ? sin 2 ? ? 2sin ? sin ? (cos ? cos ? ? sin ? sin ? )

? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2sin ? sin ? cos ? cos ? ? 2sin 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ? (1 ? sin 2 ? ) ? sin 2 ? (1 ? sin 2 ? ) ? 2sin ? sin ? cos ? cos ? ? sin 2 ? cos2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? 2sin ? sin ? cos ? cos ? ? (sin ? cos ? ? sin ? cos ? )2 ? sin 2 (? ? ? ) .

第 4 课 两角和与差及倍角公式(二)

【考点导读】 1.能熟练运用两角和与差公式,二倍角公式求三角函数值; 2.三角函数求值类型: “给角求值”“给值求值”“给值求角” . , , 【基础练习】 1.写出下列各式的值:

1 2 (1) 2sin15? cos15? ? _________;
(3) 2sin 15? ? 1 ? _________; 2
2

3 2 2 (2) cos 15? ? sin 15? ? _________; 2

?

3

(4) sin 15? ? cos 15? ? ____1_____.
2 2

1 3 ? 7 2.已知 ? ? ( , ? ),sin ? ? , 则 tan(? ? ) =_________. 2 5 3 4 1 1 ? tan15? ? 5? ? _______; ? _________. 3.求值: (1) (2) cos cos 3 4 1 ? tan15? 12 12 4.求值: tan10?? tan 20? ? 3(tan10 ? ? tan 20 ? ? ____1____. ) 4 - ? 5.已知 tan ? 3 ,则 cos? ? ________. 5 2 1 cos 2? 2 2 6.若 ,则 cos ? ? sin ? ? _________. ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?

?

【范例解析】 例 1.求值: (1) sin 40?(tan10? ? 3) ;

(2)

2sin 50? ? sin 80?(1 ? 3 tan10?) . 1 ? cos10?

分析:切化弦,通分. 解: (1)原式= sin 40?(

sin10? 2sin(10? ? 60?) sin10? ? 3 cos10? ? 3) = sin 40?? ? sin 40?? cos10? cos10? cos10?

? ? sin 40? ?

2 cos 40? ? sin 80? ? ? ?1 . cos10? cos10?

(2) 1 ? 3 tan10? ? 1 ? 3 ?

sin10? cos10? ? 3 sin10? 2sin 40? , 1 ?cs0 又 ? ? o1 cos10? cos10? cos10?

?? o5 2cs

? .

2sin 50? ? sin 80? ?
原式=

2sin 40? cos10? ? 2(sin 50? ? sin 40?) ? 2 2 cos5? ? 2 . 2 cos 5? 2 cos 5? 2 cos5?

点评:给角求值,注意寻找所给角与特殊角的联系,如互余,互补等,利用诱导公式,和与差公式,二 倍角公式进行转换. 例 2.设 cos(? ? ? ) ? ?

4 12 ? 3? ? , 2? ) ,求 cos 2 , , cos(? ? ? ) ? ,且 ? ? ? ? ( , ? ) , ? ? ? ? ( 5 13 2 2

cos 2? .
分析: 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) .

4 ? 3 5 , ? ? ? ? ( , ? ) ,得 sin(? ? ? ) ? ,同理,可得 sin(? ? ? ) ? ? 5 2 5 13 33 63 ? cos 2? ? cos[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? ? ,同理,得 cos 2 ? ? ? . 65 65
解:由 cos(? ? ? ) ? ? 点评:寻求“已知角”与“未知角”之间的联系,如:2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 等. 例 3.若 cos(

?
4

? x) ?

7? 3 17? sin 2 x ? 2sin 2 x ?x? , ,求 的值. 12 4 5 1 ? tan x

分析一: x ? (

?
4

4 17? 7? 5? ? ?x? ? x ? ? 2? , 解法一:? ,? 12 4 3 4 ? 3 ? 4 ? 4 又 cos( ? x) ? ,? sin( ? x) ? ? , tan( ? x) ? ? . 4 5 4 5 4 3

? x) ?

?



? ? 2 7 2 ,? sin x ? ? , tan x ? 7 . ? cos x ? cos[( ? x) ? ] ? ? 4 4 10 10
2 ? (?
所以,原式= 分析二: 2 x ? 2(

7 2 2 7 2 2 ) ? (? ) ? 2 ? (? ) 28 10 10 10 ?? . 1? 7 75
? x) ?

?

?

4 2 sin 2 x ? sin 2 x ? tan x sin 2 x(1 ? tan x) ? ? ? sin 2 x ? tan( ? x) 解法二:原式= 1 ? tan x 1 ? tan x 4 ? ? ? ? 7 2 又 sin 2 x ? sin[2( ? x) ? ] ? ? cos 2( ? x) ? ?[?2 cos ( ? x) ? 1] ? , 4 2 4 4 25 7 4 28 ? (? ) ? ? . 所以,原式 ? 25 3 75
点评:观察“角”之间的联系以寻找解题思路.



【反馈演练】

1 5

3 ? ,则 2 cos(? ? ) =__________. 2 5 4 4 1 ? ? ? ? 3 7 2.已知 tan =2,则 tanα 的值为_______,tan (? ? ) 的值为___________ . 2 4 7 ? ?? ? 1 ? 2? ? 9 3.若 sin ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? =___________. 6 3 3 ? ? ? ? 1 1 3 2 4.若 cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? ,则 tan ? tan ? ? . 5 5 1 1 3 ? ? _________. 5.求值: sin 20? tan 40?
1.设 ? ? (0,

?

) ,若 sin ? ?

6.已知 cos?? ?

? ?

??

3 ? 3? ?? ? .求 cos? 2? ? ? 的值 ? ? , ?? ? 4? 5 2 2 4? ?

王新敞
奎屯

新疆

解: cos? 2? ?

? ?

??

? ? 2 ?cos2? ? sin 2? ?. ? ? cos2? cos ? sin 2? sin ? 4? 4 4 2



?
2

?? ?

3? ? 7? 3? ?? ? ?? ? ? , 且 cos ? ? ? ? ? 0, 4 4 4 2 4? ?

?? ?? 4 ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? ? ? ? 4? 4? 5 ? ?
从而 cos 2? ? sin? 2? ?

王新敞
奎屯

新疆

? ?

??

?? ? ?? 24 ? , ? ? 2 sin?? ? ? cos?? ? ? ? ? 2? 4? ? 4? 25 ?
新疆

?? ?? 7 ? ? sin 2? ? ? cos? 2? ? ? ? 1 ? 2 cos2 ?? ? ? ? 2? 4 ? 25 ? ?

王新敞
奎屯

?? 2 ? 24 7 ? 31 2 ? ? cos? 2? ? ? ? ? ?? ? ??? 4? 2 ? 25 25 ? 50 ?

王新敞
奎屯

新疆


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