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广东省佛山一中10-11学年高二上学期第一次段考(数学理)


佛山一中 2010-2011 年度第一学期第一次段考
高二理科数学(必修 2 立体几何部分)试题
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下列图形中,采用中心投影(透视)画法的是( ) .

A. (3) (1)

B. (3) (2)<

br />
C. (4) (1)

D. (4) (2)

2.已知 a 、 b 为直线, ?、?、? 为平面,有下列四个命题: ① a // ?,b // ?,则a // b ③ a // ?,a // ?,则? // ? ② ? ? ?,? ? ?,则? // ? ④ a // b,b ? ?,则a // ?

其中正确命题的个数有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与左视图都是边长为 2 的正三角形,则这个几何体的侧面积为( )

A.

3 ? 3

B. 2?

C. 3? D. 4? 4.右图的正方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中,M、N 是棱 BC、CD 的中 点,则异面直线 AD ? 与 MN 所成的角为 o o o o A.30 B. 45 C. 60 D.90 5.有下列命题, ①若直线 a 垂直于平面 ? ,那么直线 a 与平面 ? 内所有直线垂直; ②若直线 a 平行于平面 ? ,那么直线 a 与平面 ? 内所有直线平行; ③存在一条直线与两条异面直线都垂直且都相交; ④三个平面最多可以把空间分为 7 个部分; ⑤若平面 ? ⊥平面 ? ,则平面 ? 内任意一条直线与平面 ? 垂直; 其中正确的命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 6.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 S,那么圆柱的体积等于( ) A.

S S 2

B.

S S 2 ?

C.

S S 4

D.

S S 4 ?

1

7.已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) 0 0 0 0 A.120 B.150 C.180 D.240 8.棱长为 a 的正方体各个面的中心连线构成一个几何体,该几何体的体积为( ) A.

1 3 a 6

B.

1 3 a 2

C.

2 3 a 2

D.

2 3 a 3

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 9.棱长都是 1 的三棱锥的表面积为_______. 10.一个正四棱台形油槽可以装煤油 190 升,已知它的上下底边长分别等于 60cm 和 40cm, 则它的深度为________. 2 11.一个球的外切正方体的全面积等于 6 cm ,则此球的体积为_________. 12. 如图,一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量 的水,若放入一个半径为 r 的实心铁球,水面高度恰好升 高 r,则

13.如图,已知△ABC 的平面直观图 ?A?B ?C ? 是边长为 2 的正三角形,则原△ABC 的面积为__________.

R =____. r

14. 正方形 AB1C1D 的边长为 2, E、F 分别是 AB 和 CD 的中点,将正方形沿 EF 折成直二面角(如图所示),M 为矩形 AEFD 内一点,如果∠MBE=∠MBC,MB 和平面 BCF 所成角的正切值为 __________.

1 .那么点 M 到直线 EF 的距离为 2

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15(本题满分 12 分).画出右边水平放置的几何体的三视图.

16(本题满分 12 分).如图,在三棱柱 ABC- A?B ?C ? 中,点 E,D 分别是 B ?C ? 与 BC 的中点. 求证:平面 A? EB//平面 AD C ? .

2

17(本题满分 14 分). 如图, 在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 是 D1C1 上的一点且 EC1=3D1 E E, (1) 求直线 BE 与平面 ABCD 所成角的正切值; (2)求异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值.

18(本题满分 14 分).如图,圆锥的轴截面 SAB 为等腰直角三角形,Q 为底面圆周上的一点, 如果 QB 的中点为 C,OH⊥SC,垂足为 H。 (1) 求证:BQ⊥平面 SOC, (2) 求证:OH⊥平面 SBQ; (3) 设 ?AOQ ? 60o , QB ? 2 3 ,求此圆锥的体积。

19(本题满分 14 分).如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面积 ABCD 是边长为 1 的菱形, ∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面积 ABCD,PA= 3 . (Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (Ⅱ) 过 PC 中点 F 作 FH//平面 PBD, FH 交平面 ABCD 于 H 点, 判定 H 点位于平面 ABCD 的那个具体位置? (无须证明)

3

(Ⅲ)求二面角 A-BE-P 的大小.

20(本题满分 14 分).有一块边长为 4 的正方形钢板,现对其切割、焊接成一个长方体形无 盖容器(切、焊损耗忽略不计).有人应用数学知识作如下设计:在钢板的四个角处各切去一 个边长为 x (0 ? x ? 2) 的小正方形,剰余部分围成一个长方体,该长方体的高是小正方形 的边长. (1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的的容积 V1(用 x 表示) ; (2)经过设计(1)的方法,计算得到当 x ?

2 128 时,Vl 取最大值 ,为 3 27

了材料浪费最少,工人师傅还实践出了其它焊接方法,请写出与(1) 的焊接方法更佳(使材料浪费最少,容积比 Vl 大)的设计方案,并计算 利用你的设计方案所得到的容器的容积。

4

理科数学试题答案与评分标准
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1.C;2. A;3.B;4. C; 5.B;6. D;7. C; 8.A; 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 9.

3;

10.75cm;

11. ? cm ;
3

1 6

12.

2 3 ; 3

13. 2 6 ;

14.

2 . 2

14.解析:过 M 作 MO ? EF ,交 EF 于 O,由于 A-EF—C 为直角,则 MO⊥平面 BCEF, 如图所示,作 ON⊥BC, 设 OM= x ,∠MBO 是直线 MB 与平面 BCFE 所成的角 即 tan MBO ?

1 ,∴BO=2 x ,∵∠MBE=∠MBC BM 公用, 2
∴ME=MN ,

∴Rt△MBE≌Rt△MBN,

在 Rt△MBO 中, MB ? OM 2 ? OB2 ? 5x 2 在 Rt△MBE 中, ME ?

MB2 ? BE2 ? 5x 2 ? 1 x2 ?1 ,

在 Rt△MON 中. MN ? OM 2 ? ON ? ∴ 5x 2 ? 1 ?

x 2 ? 1 ,解得 x ?

2 2

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.三视图下

评分标准: (1)不画虚线扣 2 分,左视图和俯视图两个图虚线都没画扣 4 分; (2)主视图与左视图高度不一(包括圆的直径与虚线间距离相等) ,扣 2 分, (3)俯视图高度(包括俯视图里面的小矩形)不等于左视图宽度扣 2 分, ; (4)没用圆规画圆的扣 2 分; (5)没用直尺和圆规画图的得 0 分; (6)虽然用直尺画直线,但直线不规则,如:忽明忽暗,线条粗细不一的扣 1 分。 16. (本题满分 12 分)证明:连结 DE,∵E,D 分别是 B ?C ? 与 BC 的中点,∴ DE // AA?

5

∴A A? ED 是平行四边形, ∴ A??E // AD ∵ A?E ? 平面ADC ? , AD ? 平面ADC ? ∴ A?E // 平面ADC ?

2分 4分 5分

又 BE // DC ? , BE ? 平面ADC ? , DC? ? 平面ADC ? ∴ BE // 平面ADC ? ∵ A?E ? 平面A?EB , BE ? 平面A?EB , 9分

A?E ? BE ? E

∴平面 A?EB //平面 AD C ? 12 分 17.(本题满分 14 分) [解] (1) 在 DC 上取一点 F, 使 DF=1, 连结 EF, 则 EF ? 平面 ABCD, 3分 再连结 FB,则 ? EBF 为直线 BE 与平面 ABCD 所成角, 4分

4 BF ? 5 ,? tan ?EBA ? , 5
ABCD 所成角的正切值为

故 ? EBF 为直线 BE 与平面

4 ……7 分 5 (2)由题意 AB//CD, ?EBA (或其补角)是异面直线 B E 与 DC 所成的角. …9 分
连结 AD1 与 AE,在 Rt△AD1E 中,可得 AE ? 33 ,10 分 又在 Rt△BEC1 中,可得 BE ?

41 ,
……13 分

11 分

? cos ?EBA ?

AB 2 ? BE 2 ? AE 2 3 41 ? 2 AB ? BE 41 3 41 41

∴异而直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为

……14 分

18. (本题满分 14 分) (1)证明:轴截面 SAB 为等腰直角三角形,SO⊥平面 ABQ, 1 分 BQ ? 平面 ABQ ∴SO⊥BQ 2分 在圆 O 中,弦 BC 的中点为 C 所以 OC⊥BQ 3分 ? SO=O 又∵OC 4分 ∴BQ⊥平面 SOC (2)由(1)知道 BQ⊥平面 SOC, ∵OH ? 平面 SOC ∴BQ⊥OH 由已知 OH⊥SC,且 BQ ? SC=C 5分

7分 9分

6

∴OH⊥平面 SBQ;

10 分 11 分

(3)C 为 BQ 中点,又 QB ? 2 3 ∴ QC ? 3 , ∵ ?QOB ? 120o ,∴ ?QOC ? 60o 在直角三角形 QCO 中, OQ ? QC ? sin 60o
3 3 2 ?2

12 分

由于轴截面 SAB 为等腰直角三角形,那么 OS= ∴圆锥的体积 V= ?R ? SO ?
2

1 AB =2 2

13 分 14 分

1 3

1 2 8 ?2 ?2 ? ? 3 3

19.解:(Ⅰ)如图所示,连结 BD,由 ABCD 是菱形且∠BCD=60°知,Δ BCD 是等边三角形.因 为 E 是 CD 的中点,所以 BE⊥CD, 2分 又 AB∥CD,所以 BE⊥AB.又因为 PA⊥平面 ABCD, BE 平面 ABCD,所以 PA⊥BE.而 PA∩AB=A, 因此 BE⊥平面 PAB. 又 BE 平面 PBE,所以平面 PBE⊥平面 PAB. 5 分 (Ⅱ) 答 1:H 点在 AC 线段的 4 等分点上,且距离 C 点

3 ;9 分 4

答 2:H 点与 E 点重合 9分 答 3:取 BC 中点 G,容易证明平面 EFG//平面 PBD,那么平面 EFG 内任意一直线都与平面 PBD 平行,就是 H 点在 EG 直线上都满足题意。 (Ⅲ)由(Ⅰ)知,BE⊥平面 PAB,PB 平面 PAB,所以 PB⊥BE. 又 AB⊥BE, 所以∠PBA 是二面角 A-BE-P 的平面角. 12 分 在 RtΔ PAB 中,tan∠PBA=

PA ? 3 ,∠PBA=60°. AB

13 分

故二面角 A-BE-P 的大小是 60°. 14 分 20.(本题满分 14 分)(1)解:设切去正方形边长为 x,则焊接成的长方体的底面边长为 4—2x,高为 x, ∴Vl=(4—2x) x=4(x 一 4x +4x)
2 3 2

(0<x<2)

7分 8分

(2) 能设计出比(1)的方案更佳的方案; 具体如下: 如图①, 在正方形的两个角处各切下一个 边长为 1 的小正方形;如图②,将切下的小正 方形焊在未切口的正方形一边的中间; 将图② 焊成长方体容器. 11 分

图①
新焊长方体容器底面是一长方形,长为 3,宽为 2,此长方体容积 V2 ×2×1=6,

图②
= 3

7

显然 V2>Vl. 故第二种方案符设计得到的容积为 6. 第(2)问给分情况说明:

13 分 14 分

(1)本题是开放性习题,设计方案比较多,其它答案按相应分数给分; (2)设计为锥体容器的得 0 分。 (3)设计的容器容积比 V1 小的得 0 分)

8


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