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关于圆锥曲线中点弦问题.


关于圆锥曲线的中点弦问题
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问 题。这类问题一般有以下三种类型. (1)求中点弦所在直线方程问题; (2)求弦中点的轨迹方程问题; (3)求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心 对称变换法等。 求中点弦所在直线方程问题? 一、求中点弦所在直线方程问题?

x2 y2 + = 1 内一点 M(2,1)引一条弦,使弦被点 M 平分,求这条弦所在的直线 例 1 过椭圆 16 4
方程。 解法一:设所求直线方程为 y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理得:

(4k 2 + 1) x 2 ? 8(2k 2 ? k ) x + 4(2k ? 1) 2 ? 16 = 0 又设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 , x 2 是方程的两个根,于是 8(2k 2 ? k ) , 4k 2 + 1 x1 + x 2 4(2k 2 ? k ) = 2, = 又 M 为 AB 的中点,所以 2 4k 2 + 1 1 解得 k = ? , 2 故所求直线方程为 x + 2 y ? 4 = 0 。 解法二:设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y 2 ) ,M(2,1)为 AB 的中点, 所以 x1 + x 2 = 4 , y1 + y 2 = 2 , x1 + x 2 =
又 A、B 两点在椭圆上,则 x1 + 4 y1 = 16 , x 2 + 4 y 2 = 16 ,
2 2 2 2

两式相减得 ( x1 ? x 2 ) + 4( y1 ? y 2 ) = 0 ,
2 2 2 2

所以

y1 ? y 2 x + x2 1 1 =? 1 = ? ,即 k AB = ? , x1 ? x2 4( y1 + y 2 ) 2 2 故所求直线方程为 x + 2 y ? 4 = 0 。 解法三:设所求直线与椭圆的一个交点为 A( x , y ),由于中点为 M(2,1) ,
x 2 + 4 y 2 = 16 , 2 2 ?(4 ? x) + 4(2 ? y ) = 16 ?

则另一个交点为 B(4- x ,2 ? y ), 因为 A、B 两点在椭圆上,所以有 ?

两式相减得 x + 2 y ? 4 = 0 , 由于过 A、B 的直线只有一条, 故所求直线方程为 x + 2 y ? 4 = 0 。 二、求弦中点的轨迹方程问题

x2 y2 + = 1 上一点 P(-8,0)作直线交椭圆于 Q 点,求 PQ 中点的轨迹方程。 例 2 过椭圆 64 36
解法一:设弦 PQ 中点 M( x, y ),弦端点 P( x1 , y1 ),Q( x 2 , y 2 ),

1

则有 ?

? 9 x1 2 + 16 y1 2 = 576 2 2 2 2 ,两式相减得 9( x1 ? x 2 ) + 16( y1 ? y 2 ) = 0 , 2 2 ?9 x 2 + 16 y 2 = 576

又因为 x1 + x 2 = 2 x , y1 + y 2 = 2 y ,所以 9 ? 2 x( x1 ? x 2 ) + 16 ? 2 y ( y1 ? y 2 ) = 0 ,

所以

y1 ? y2 9 x y 9x y?0 = = ,而 k PQ = ,故 。 x1 ? x2 16 y x ? (?8) 16 y x + 8
2 2

化简可得 9 x + 72x + 16 y = 0 ( x ≠ ?8 )。 解法二: 设弦中点 M x, y ) Q x1 , y1 ) 由 x = ( ,( ,
2 2

x1 ? 8 y , y = 1 可得 x1 = 2 x + 8 , y1 = 2 y , 2 2

x y 4( x + 4) 2 4 y 2 又因为 Q 在椭圆上,所以 1 + 1 = 1 ,即 + = 1, 64 36 64 36 ( x + 4) 2 y 2 所以 PQ 中点 M 的轨迹方程为 + = 1 ( x ≠ ?8 )。 16 9
三、弦中点的坐标问题
2 例 3 求直线 y = x ? 1 被抛物线 y = 4 x 截得线段的中点坐标。

解:解法一:设直线 y = x ? 1 与抛物线 y 2 = 4 x 交于 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,其中点

?y = x ?1 P ( x0 , y 0 ) ,由题意得 ? 2 , ? y = 4x
消去 y 得 ( x ? 1) = 4 x ,即 x ? 6 x + 1 = 0 ,
2 2

所以 x 0 =

x1 + x 2 = 3 , y 0 = x0 ? 1 = 2 ,即中点坐标为 (3,2) 。 2

解法二:设直线 y = x ? 1 与抛物线 y 2 = 4 x 交于 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,其中点 P ( x 0 , y 0 ) ,

? y1 2 = 4 x1 2 2 由题意得 ? 2 ,两式相减得 y 2 ? y1 = 4( x 2 ? x1 ) , ? y2 = 4 x2

所以

( y 2 ? y1 )( y 2 + y1 ) = 4, x 2 ? x1

所以 y1 + y 2 = 4 ,即 y 0 = 2 , x 0 = y 0 + 1 = 3 ,即中点坐标为 (3,2) 。 上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。 下面我们看一个结 上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。 论 设 A、B 是二次曲线 C: Ax
2

引理
的中点,则

+ Cy2 + Dx + Ey + F = 0 上的两点,P ( x0 , y0 ) 为弦 AB
2

2 Ax 0 + D ( 2 Cy 0 + E ≠ 0 ) 2 Cy 0 + E 。 2 2 设 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) 则 Ax1 + Cy1 + Dx1 + Ey1 + F = 0 ……(1) 2 2 Ax 2 + Cy 2 + Dx 2 + Ey 2 + F = 0 ……(2) k AB = ?
(1) ? ( 2) 得 A( x1 + x2 )( x1 ? x2 ) + C ( y1 + y2 )( y1 ? y2 ) + D( x1 ? x2 ) + E ( y1 ? y2 ) = 0
∴ ∴

2 Ax0 ( x1 ? x2 ) + 2Cy0 ( y1 ? y2 ) + D( x1 ? x2 ) + E ( y1 ? y2 ) = 0 (2 Ax0 + D)( x1 ? x2 ) + (2Cy0 + E )( y1 ? y2 ) = 0

2 Ax 0 + D 2 Ax0 + D y1 ? y 2 k AB = ? =? 2Cy0 + E ≠ 0 ∴ x1 ≠ x2 ∴ x1 ? x2 2 Cy 0 + E 。 2Cy 0 + E 即 (说明:当 ∵ A? ?→ B 时 , 上 面 的 结 论 就 是 过 二 次 曲 线 C 上 的 点 P ( x0 , y0 ) 的 切 线 斜 率 公 式 , 即 k =? 2 Ax 0 + D 2 Cy 0 + E )
2 2 (x , y ) y ≠ 0) , 则 设 圆 x + y + Dx + Ey + F = 0 的 弦 AB 的 中 点 为 P 0 0 ( 0

推论 1

k AB = ?

2 x0 + D 2x + D k =? 0 2 y0 + E 。 2 y0 + E (假设点 P 在圆上时,则过点 P 的切线斜率

为)

b2 x x2 y2 k AB = ? 2 ? 0 + 2 =1 2 ( x , y ) y ≠ 0) , a y0 。 b 的弦 AB 的中点为 P 0 0 ( 0 则 (注: 推论 2 设椭圆 a 2 x b k =? 2 ? 0 a y0 ) 对 a≤b 也成立。假设点 P 在椭圆上,则过点 P 的切线斜率为 b 2 x0 x2 y2 k AB = 2 ? ? 2 =1 2 ( x , y ) y ≠ 0) 则 a y0 。 b 的弦 AB 的中点为 P 0 0 ( 0 (假 推论 3 设双曲线 a 2 x b k= 2? 0 a y0 ) 设点 P 在双曲线上,则过 P 点的切线斜率为 ( x , y ) y ≠ 0) 则 推论 4 设抛物线 y = 2 px 的弦 AB 的中点为 P 0 0 ( 0
2

k AB =

p y0 。 (假设点 P

k=
在抛物线上,则过点 P 的切线斜率为

p ) y0

我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题,下面举例说明。

x2 y2 + =1 斜率为 3 的弦的中点轨迹方程。 例 1、求椭圆 25 16 16 x 3=? ? 25 y ,故所示的轨迹方程为 16x+75y=0 解:设 P(x,y)是所求轨迹上的任一点,则有 75 75 (? <x< ) 241 241 x2 y2 + 2 = 1( a > b > 0), 2 b A、B 是椭圆上两点,线段 AB 的垂直平分线 l 与 x 轴 例 2、已知椭圆 a

3

a 2 ? b2 a 2 ? b2 < x0 < ( x ,0) ,求证: ? a a 。 相交于 P 0 证明:设 AB 的中点为 T ( x1 , y1 ) ,由题设可知 AB 与 x 轴不垂直,∴ y1 ≠ 0 , b 2 x1 a 2 y1 k AB = ? 2 ? kl = 2 ? a y1 ∵l⊥AB ∴ b x1 ∴ y ? y1 =
∴l 的方程为:

a 2 y1 ? ( x ? x1 ) b 2 x1
∵ | x1 |< a

0 ? y1 =
令 y=0 得

a 2 y1 ? ( x0 ? x1 ) b 2 x1

x1 =


a ? x0 2 a ?b 2

2

a2 ? x0 |< a 2 2 ∴ a ?b |

a 2 ? b2 a 2 ? b2 < x0 < a a ∴ 2 例 3、已知抛物线 C: y = x ,直线 ?
l : y = k ( x ? 1) + 1, 要使抛物线 C 上存
在关于 l 对称的两点, k 的取值范围是什么?

解:设 C 上两点 A、B 两点关于 l 对称,AB 的 中点为 P

( x 0 , y 0 ) ( y 0 ≠ 0)
1 y0 = ? k 2 ∵P∈ l ∴ y0 = k ( x0 ? 1) + 1, ∴ 1 1 1 1 1 x0 = ? P ( ? ,? k ) 2 k ∴ 2 k 2 ∴ k 3 ? 2k + 4 < 0, 4k ∴
∴ ? 2 < k < 0.

k AB


1 p 1 = = 2 =? y 0 y0 k

1 k = k ( x0 ? 1) + 1, ∴ 2 ?

1 2 1 1 k < ? 2 k ∵P 在抛物线内 ,∴ 4
(k + 2)(k 2 ? 2k + 2) < 0, 4k ∴

与抛物线有关的弦的中点的问题
(1)中点弦问题: )中点弦问题:

4

(上题麻烦了。是圆不用中点法)

2 例 1 由点 (?2,0) 向抛物线 y = 4 x 引弦,求弦的中点的轨迹方程。

分析: 解决问题的关键是找到弦的端点 A、 在直线上的性质和在抛物线上的性质的内在联系。 B 解法 1:利用点差法。 设端点为 A ( x1 , y1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ,则 y1 = 4x1 , y 2 = 4x 2 ,
2 2

两式相减得 y 2 ? y1 = 4( x 2 ? x1 ) ,
2 2



①式两边同时除以 x 2 ? x1 ,得 ( y 2 + y1 ) ?

y 2 ? y1 = 4, x 2 ? x1



设弦的中点坐标为 ( x, y ) ,则 x1 + x 2 = 2 x , y1 + y 2 = 2 y , 又点 ( x, y ) 和点 (?2,0) 在直线 AB 上,所以有 将③、④代入②得 2 y ?



y ? y1 y = 2 。 x + 2 x 2 ? x1



y = 4 , 整理得 y 2 = 2( x + 2) 。 x+2

故得中点的轨迹方程是 y 2 = 2( x + 2) 在抛物线 y 2 = 4 x 内部的部分。 解法 2:设弦 AB 所在直线的方程为 y = k ( x + 2) ,

由方程组 ?

? y = k ( x + 2)
2 ? y = 4x

(1) (2)

消去 x 并整理得 ky 2 ? 4 y + 8k = 0 ,

(3)

设 A ( x1 , y1 ) 、B ( x 2 , y 2 ) 、中点 ( x, y ) ,对于方程(3) ,由根与系数的关系,有 y1 + y 2 = ∴y=

4 , k

y1 + y 2 2 = 代入(1)得 y 2 = 2( x + 2) 2 k
5

故得所求弦中点的轨迹方程是 y = 2( x + 2) 在抛物线 y = 4 x 内部的部分。
2 2

评注: (1)求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式,本题所给出的两 种方法,都是找动点 ( x, y ) 与已知条件的内在联系,列关于 x , y 的关系式,进而求出轨迹的方程。 (2)弦中点轨迹问题 ) 设抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 )的弦 AB,A ( x1 , y1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ,弦 AB 的中点 C ( x 0 , y 0 ) ,

? y1 2 = 2 px1 ? 则有 ? ? y 2 2 = 2 px 2 ?
2

(1)


( 2)
2

(1)-(2)得 y1 ? y 2 = 2 p ( x1 ? x 2 ) ,



y1 ? y 2 2p , = x1 ? x 2 y1 + y 2 y1 ? y 2 p ,代入上式,并整理得 k AB = ,这就是弦的斜率与中点 x1 ? x 2 y0

将 y1 + y 2 = 2 y 0 , k AB =

的关系,要学会推导,并能运用。
2 例 2 已知抛物线 y = 2 x ,过点 Q ( 2,1) 作一条直线交抛物线于 A,B 两点,试求弦 AB 的中点轨

迹方程。 解:如图,设弦 AB 的中点为 M,并设 A、B、M 点坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x, y ) , 根据题意设有 y1 = 2 x1 ,
2



y A M o B Q x

y 2 = 2 x2 ,
2



x1 + x 2 = 2 x , y1 + y 2 = 2 y , y1 ? y 2 y ?1 = , x1 ? x 2 x ? 2







④代入①-②得, 2 y ( y1 ? y 2 ) = 2( x1 ? x 2 ) , ∵ x1 ≠ x 2 ,∴

y1 ? y 2 1 = , x1 ? x 2 y



⑥代入⑤得, y 2 ? y = x ? 2 ,即 ( y ? ) = x ?
2

1 2

7 。 4

评注:本题还有其他解答方法,如设 AB 的方程为 y = k ( x ? 2) + 1 ,将方程代入 y 2 = 2 x ,利 用根与系数的关系,求出弦中点的轨迹方程。

6

7

8

2 例 6 求直线 y = x ? 1 被抛物线 y = 4 x 截得线段的中点坐标。

解:解法一:设直线 y = x ? 1 与抛物线 y 2 = 4 x 交于 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,其中点

?y = x ?1 P( x0 , y 0 ) ,由题意得 ? 2 , ? y = 4x
消去 y 得 ( x ? 1) 2 = 4 x ,即 x ? 6 x + 1 = 0 ,
2

所以 x0 =

x1 + x 2 = 3 , y 0 = x0 ? 1 = 2 ,即中点坐标为 (3,2) 。 2

解法二:设直线 y = x ? 1 与抛物线 y 2 = 4 x 交于 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,其中点 P ( x0 , y 0 ) ,

? y1 2 = 4 x1 2 2 由题意得 ? 2 ,两式相减得 y 2 ? y1 = 4( x 2 ? x1 ) , ? y2 = 4 x2

所以

( y 2 ? y1 )( y 2 + y1 ) = 4, x 2 ? x1

所以 y1 + y 2 = 4 ,即 y 0 = 2 , x 0 = y 0 + 1 = 3 ,即中点坐标为 (3,2) 。

9


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