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高一数学寒假作业答案


高一数学寒假作业答案 作业一答案

1、 自 然 语 言 、 列 举 法 、 描 述 法 . 2、 用 适 当 的 符 号 填 空 . ( 1 ) ?,? 2 ) ?, ? 3、 ( 1) , ( 3) , ( 5) 4 、 { x | 1 < x < 2 } , { x | - 1 < x <3 } , 5、 6、

( 3)

?, ?

( 4)

?,

?x x ? ?1 或 x ? 2?, ?x x ? 1 或 x ? 3?.

A ? B, C A?B ( A ? B), C A?B B,

A, ? , A, A, ? , A. 7、 ? 2,3,6?.
9、 ( 4) 中 的 两 个 函 数 是 同 一 函 数 , 因 为 , 它 们 的 定 义 域 、 对 应 法 则 相 同 ; ( 1) ( 2) 中 , 两 个 函 数 的 定 义 域不同, ( 3) 中 , 两 个 函 数 的 对 应 法 则 不 同 . 10、 ( 4) . 11、 -2. 12、 3 . 13、 1? ? . 14、 1. 15、 1, -3. 1 6 、 b ? ?2 . 17、 原 点 , 原 点 , y 轴 . 18、 增 , 最 小 值 , -7 . 19、 解:

? 5? B ? ?x x ? ? 2? ?
所以,

因为, A? B 20、 解:因为 当

a?

5 . 2
ax ? 1 ? 0 的
X 的值,

A ? ?3,5?,

集合 B 表示满足等式

a ? 0 时 , ax ? 1 ? 0 变 为 ? 1 ? 0 , 它 不 成 立 , 所 以 a ? 0 1 当 a ? 0 时 , ax ? 1 ? 0 是 一 元 一 次 方 程 , 它 的 根 为 x ? , a 1 1 1 1 ? 3或 ? 5, 于 是, a ? 或 a ? . 因 为 , B ?A, 所 以 a a 3 5
21、 ( 1) 解 : 由

?x ? 3 ? 0 ? ?? 3 x ? 4 ? 0



? ?x x ? ?

4? ? 3?

所以,此函数定义域为

4 ( ?? , ] . 3

( 2) 解 : 由

?9 ? x ? 0 ? ?x ? 4 ? 0



?x 4 ? x ? 9?
(4,9].

所以,此函数定义域为 22、 有 , 是 ( 1) .

23、

证明: ( 1) 设

x1 , x2 ? (0,1) 且 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?
由假设知,

1 1 x x ?1 ? ( x2 ? ) ? ( x1 ? x2 ) 1 2 x1 x2 x1 x2

x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0, x1 x2 ? 1 ? 0 , 有 f ( x1 ) ? f ( x2 )
1 x
在 ( 0,1) 上 是 减 函 数 .

所以,

f ( x) ? x ?

( 2)



x1 , x2 ? [1,??) 且 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?
由假设知,

1 1 x x ?1 ? ( x2 ? ) ? ( x1 ? x2 ) 1 2 x1 x2 x1 x2

x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0, x1 x2 ? 1 ? 0 , 有 f ( x1 ) ? f ( x2 )






f ( x) ? x ?

1 x



[1,??)











.

24、 ( 1) ( 2) ( 4) 是 偶 函 数 ; ( 5) 是 奇 函 数 ; ( 3) ( 6) 是 非 奇 非 偶 函 数 .

作业二答案 一、填空题
1、 解 析 : 因 为 x>1, x
a- 1

<1, 所 以 a- 1<0, 解 得 a<1.
α

2、 解 析 : 因 为 函 数 f(x)= k· x 是幂函数, 所 以 k= 1, 又 函 数 f(x)的 图 象 过 点 1 3 解 得 α = , 则 k+ α = . 2 2

? ?1 2 ? 2 ?1? ? , ?, 所以 ? ? ? ?2 2 ? 2 ?2? ? ?



?x + 3 > 0 , ∴ 要 使 函 数 f(x)有 意 义 , 需 使 ? , 即 - 3<x<0. x ?1 - 2 > 0 x 4、 当 x≤ 0 时 , 0<2 ≤ 1, 由 图 象 可 知 方 程 f(x)- a= 0 有 两 个 实 根 , 即 y= f(x)与 y= a 的 图 象 有 两 个 交 点 , 所 以 由 图 象 可 知 0<a≤ 1.即 实 数 a 的 取 值 范 围 为 (0,1]. 5、 解 析 : ∵ - 2< 1, ∴ f(- 2)= 1+ log2(2+ 2)= 1+ log24= 1+ 2= 3. 12 log 12- 1 ∵ log212> 1, ∴ f(log212)= 2 2 = = 6.∴ f(- 2)+ f(log212)= 3+ 6= 9. 2 3 6、 解 析 : 当 x<0 时 , - x>0, f(- x)= (- x) + ln(1- x), ∵ f(x)是 R 上 的 奇 函 数 , 3 3 ∴ 当 x>0 时 , f(x)= - f(- x)= - [(- x) + ln(1- x)], ∴ f(x)= x - ln(1- x). 7、 解 析 : a 与 b 比 较 , 幂 函 数 性 质 , 则 a>b,且 a>1,b 与 c 比 较 , 则 c>b,则 a>c>b 8、 a>3 9、 ( -1,1) 10、 a=2 3、 解 析 : ∵ f(x)= ln(x+ 3) 1- 2
x

11、

?? ?,0?

12、

?4,???

13、

?? 8,???

14、

1 4

15、

1 2

三、解答题

1 1 4 1 3 ? 1 ? ? 1 ? ? 23 ? 32 ? ? ? 2 2 ? 2 4 ? ? 4 ? 7 ? 2 4 ? 2 4 ?1 16、 (1)、 解 : 原 式 = ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? 2 2 ? 33 ? 2 ? 7 ? 2 ? 1 ? 100

6

3

(2)、 解 : 原 式 =

1 ?5 lg 2 ? 2 lg 7 ? ? 4 ? 3 lg 2 ? 1 ?2 lg 7 ? lg 5? ? 1 ?lg 2 ? lg 5? 2 3 2 2 2
2 2

( 3) 、 解 : 原 式 = (lg 2) + (1+ lg 5)lg 2+ lg 5 = (lg 2+ lg 5+ 1)lg 2+ 2lg 5 = (1+ 1)lg 2+ 2lg 5= 2(lg 2+ lg 5)= 2. 2 17、(1)证 明 略 。(2)由 (1)知 ,当 x= 3 时 ,函 数 f(x)取 得 最 小 值 为 f(3)= ;当 x= 5 时 ,函 数 f(x)取 得 5 4 最 大 值 为 f(5)= . 7

18、 解 : (1)由 ?

?3+x>0 , 得 - 3< x< 3, 所 以 函 数 f(x)的 定 义 域 为 (- 3, 3). ?3-x>0

(2)函 数 f(x)是 偶 函 数 , 理 由 如 下 : 由 (1)知 , 函 数 f(x)的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 , 且 f(- x)= lg(3- x)+ lg(3+ x)= f(x), 所 以 函 数 f(x)为 偶 函 数 .
2

19、解 :(1)欲 使 函 数 f(x)的 定 义 域 为 R,只 须 ax + 2x+ 1> 0 对 x∈ R 恒 成 立 ,所 以 有 a> 1, 即 得 a 的 取 值 范 围 是 (1, + ∞ ); (2)欲 使 函 数 f (x)的 值 域 为 R, 即 要 ax + 2x+ 1 能 够 取 到 (0, + ∞ ) 的 所 有 值 . ① 当 a= 0 时 , a x + 2x+ 1= 2x+ 1, 当 x∈ (-
2 2

?a>0 ,解 得 ? - 4a< 0 ?4

1 , + ∞ )时 满 足 要 求 ; 2

② 当 a≠ 0 时 , 应 有 ?
2

?a>0 ? 0< a≤ 1. 当 x∈ (- ∞ , x1)∪ (x2, + ∞ )时 满 足 要 求 (其 中 x1, x2 是 Δ =4 - 4a ≥ 0 ?

方 程 ax + 2x+ 1= 0 的 二 根 ). 综 上 , a 的 取 值 范 围 是 [0, 1]. 20、 解 : (1)当 每 辆 车 的 月 租 金 定 为 3 600 元 时 , 未 租 出 的 车 辆 数 为 100- 12= 88 辆 车 . (2)设 每 辆 车 的 月 租 金 定 为 x 元 , 则 租 赁 公 司 的 月 收 益 为 f ( x ) = ?100-

3 600-3 000 = 12, 所 以 这 时 租 出 了 50

? ?

1 x-3 000 ? x-3 000 2 ×50= - (x- 4 050) + 307 050. ? (x- 150)- 50 ? 50 50

所 以 , 当 x = 4 0 5 0 时 , f ( x ) 最 大 , 其 最 大 值 为 f ( 4 0 5 0 ) = 3 0 7 0 50 . 当 每 辆 车 的 月 租 金 定 为 4 050 元 时 , 月 收 益 最 大 , 其 值 为 307 050 元 . 21、 解 : (1)∵ f(x)= px + 2 是 奇 函 数 , ∴ 定 义 域 关 于 原 点 对 称 , ∴ q= 0, 3x+ q 2 px + 2 5 4p+ 2 5 ∴ f(x)= , 又 f(2)= , ∴ = , 解 得 p= 2. 3x 3 6 3 2 2x + 2 (2)由 (1)知 f(x)= , f(x)在 (- ∞ , - 1)上 是 单 调 递 增 函 数 . 3x 2 2 2x1+ 2 2x2+ 2 2(x2- x1)(1- x1x2) 证 明 : 任 取 x1<x2<- 1, 则 f(x1)- f(x2)= - = , 3x1 3x2 3x1x2 ∵ x1<x2<- 1, ∴ x2- x1>0,1- x1x2<0, x1x2>0, ∴ f(x1)- f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2), ∴ 函 数 f(x)在 (- ∞ , - 1)上 是 单 调 递 增 函 数 .
2

作业三答案 一、填空题:
1、异 面 直 线 或 相 交 直 线 2、 三 棱 柱 3、16 或 6 4 4、① 和 ④ 5 、 36?

二、解答题:
6、 解 :由 几 何 体 的 三 视 图 可 知 此 几 何 体 是 圆 柱 体 与 球 体 的 组 合 体 ,其 表 面 积 S=4π R +2π r +2π r·h,代 入 数 据 得 S=4π +2π +2π ×3=12π . 7、 解 :设 球 半 径 为 R,截 面 圆 的 半 径 为 r,球 心 到 截 面 的 距 离 为 d,如 图 .
2 2

∵ S=π r =49π ∴ d=

2

cm ,∴ r=7(cm). =24(cm).?

2

R2 ? r 2 ? 252 ? 72

∴ 球 心 到 这 个 截 面 的 距 离 为 24 cm. 8、 解 :(1)如 果 按 方 案 一 ,仓 库 的 底 面 直 径 变 成 16 m,则 仓 库 的 体 积 V1= (m ). 如 果 按 方 案 二 :仓 库 的 高 变 成 8 m,则 仓 库 的 体 积 V2=
3

1 1 S·h= ×π 3 3
×(

×(

16 ) 2

2

×4=

256? 3

1 1 S·h= ×π 3 3

12 ) 2

2

×8=

288? 3

( m ).

3

(2)如 果 按 方 案 一 ,仓 库 的 底 面 直 径 变 成 16 m,半 径 为 8 m,棱 锥 的 母 线 长 为 l= 则 仓 库 的 表 面 积 S1=π ×8×4

82 ? 42

=4

5,

5 =32 5 π

(m ).

2

如 果 按 方 案 二 ,仓 库 的 高 变 成 8 m, 棱 锥 的 母 线 长 为 l=

82 ? 62 = 1 0 ,
2

则 仓 库 的 表 面 积 S2=π ×6×10=60π (m ). (3)根 据 (1)(2),可 得 V2>V1,S2<S1,所 以 方 案 二 比 方 案 一 更 经 济 些 . 9、 证 明 : ( 1) ∵ 三 棱 柱 ∴ ∵

ABC ? EFG 是 直 三 棱 柱
AE ? 平面BFGC

AE // CG
CG ? 平面BFGC AE // 平面BFGC
2 2



( 2) 在 直 三 棱 柱

ABC ? EFG 中 , AC ? CG ? AC ? BC ? 9 ? 16 ? 25 ? AB 2 ? AC ? BC.
又 ? GC ? BC ? C , ? GB ? 面GBC ,
? AC ? 面GBC.

? AC ? BG.

( 3)

S ?CDB ?

?VC ? DBF
∵ ∵

1 3? 4 S?ABC ? ?3 2 4 1 3? 4 ? VF ?CDB ? S ?CDB ? FB ? ? 4. 3 3
∴ AO ? CO ∴ PA∥ OE,

10、 证 明 : (1)连 接 AC,设 AC 与 BD 交 点 为 O,连 接 OE,

底面ABCD 是 正 方 形 ,

∴ OE 是 △ P C A 的 中 位 线 .

PA ? 平面BDE , OE ? 平面B DE ∴ PA // 平面BDE .
( 2 ) ∵ PD ? 底 面 A B C D , CB ∴ PD⊥ CB,

? 平面A B CD

P E C B

又∵BC⊥DC, DC∩PC=C ∴BC⊥平面 PDC, ∵ DE ? 平面PDC ∴BC⊥DE. ∵在△PDC 中, PD =DC ,E 是 PC 的中点, ∴DE⊥PC, ∵BC∩PC=C ∴ DE ⊥ 平 面 PCB, ∵ DE ? 平 面 DEB,
∴ 平 面 BDE⊥ 平 面 PBC. 11、 证 明 ( 1) 在 Rt△ ABC 中 , AB=1, ∠ BAC=60°, ∴ BC= , AC=2. 取 PC 中 点 F, 连 AF, EF, ∵ PA=AC=2, ∴ PC⊥ AF. ∵ PA⊥ 平 面 ABCD, CD?平 面 ABCD, ∴ PA⊥ CD, 又 ∠ ACD=90°, 即 CD⊥ AC, ∴ CD⊥ 平 面 PAC, ∴ CD⊥ PC, ∴ EF⊥ PC, ∴ PC⊥ 平 面 AEF, ∴ PC⊥ AE. ( 2) 证 明 : 取 AD 中 点 M, 连 EM, CM. 则 EM∥ PA. ∵ EM?平 面 PAB, PA?平 面 PAB, ∴ EM∥ 平 面 PAB. 在 Rt△ ACD 中 , ∠ CAD=60°, AC=AM=2,

o
D A

∴ ∠ ACM=60°. 而 ∠ BAC=60°, ∴ MC∥ AB. ∵ MC?平 面 PAB, AB?平 面 PAB, ∴ MC∥ 平 面 PAB. ∵ EM∩ MC=M, ∴ 平 面 EMC∥ 平 面 PAB. ∵ EC?平 面 EMC, ∴ EC∥ 平 面 PAB. ( 3) 由 ( 1) 知 AC=2, EF= CD, 且 EF⊥ 平 面 PAC. 在 Rt△ ACD 中 , AC=2, ∠ CAD=60°, ∴ CD=2 则 V= , 得 EF= . .

12、 证 明 :(1)由 AB 是 圆 O 的 直 径 , 得 AC⊥ BC. 由 PA⊥ 平 面 ABC, 得 PA⊥ BC. 又 因 为 PA∩ AC=A,PA? 平 面 PAC,AC? 平 面 PAC, 所 以 BC⊥ 平 面 PAC. (2)连 接 OG 并 延 长 交 AC 于 M, BC? 平 面 ABC,

连 接 QM,QO,由 G 为 △ AOC 的 重 心 , 得 M 为 AC 的 中 点 . 由 Q 为 PA 的 中 点 , 得 QM∥ PC, 又 O 为 AB 的 中 点 , 得 OM∥ BC. 因 为 QM∩ MO=M,QM? 平 面 QMO,MO? 平 面 QMO,BC∩ PC=C,BC? 平 面 PBC,PC? 平 面 PBC, 所 以 平 面 QMO∥ 平 面 PBC. 因 为 QG? 平 面 QMO, 所 以 QG∥ 平 面 PBC.

13 解 :(1)球 的 体 积 V= π R = π ×(

3

) =4

3

π ,

(2)设 正 方 体 的 棱 长 为 a,所 以 对 角 线 长 为 因为球的半径为 ,且 正 方 体 内 接 于 球 ,

a,

所以正方体的对角线就是球的直径, 故 a=2 ,解 得 a=2.
3

因 此 正 方 体 的 体 积 V=2 =8. (3)由 (2)得 a=2, 所以正方体的表面积为 S 球的表面积 S
2 球 正 方 体

=6a =24,

2

=4π R =12π ,

所以

=

= .

14(1)证 明 :在 △ ADE 中 ,AE=DE=2 ∴ AD =AE +DE , ∴ AE⊥ DE, ∵ PA⊥ 平 面 ABCD,DE? 平 面 ABCD, ∴ PA⊥ DE.
2 2 2

,AD=4,

又 PA∩ AE=A,PA? 平 面 PAE,AE? 平 面 PAE, ∴ DE⊥ 平 面 PAE. (2)解 :∵ DE 垂 直 平 面 PAE 于 E,DP∩ 平 面 PAE=P, ∴ PE 是 PD 在 平 面 PAE 内 的 射 影 , ∴ ∠ DPE 为 DP 与 平 面 PAE 所 成 的 角 , ∵ 在 Rt△ PAD 中 ,PD=4 在 Rt△ DCE 中 ,DE=2 , ,

∴ 在 Rt△ DEP 中 ,PD=2DE, ∴ ∠ DPE=30°, ∴ DP 与 平 面 PAE 所 成 的 角 为 30°.

作业四答案
1. 3.

600

2.
2 2

1

? x ? 3? ? ? y ? 2?

? 25

4.

( x - 1)2 + ( y + 1)2 = 25

5.(-2,3) 7. 相交或相切 9. -1

6. 8. 10.

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4
相交或相切

4 x ? y ? 14 ? 0

11. 2 13.-1 15.

12.x-y-3=0 14. -1

( x ? 3) 2 ? y 2 ? 2

16.解:由 ?

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?交点坐标为(0,2) ?x ? y ? 2 ? 0
由直线 l 与直线



(1)

3 x ? 4 y ? 1 ? 0 平行 ?l 的斜率 k= 3
4
=

?直线 l 的方程为 y
(2) 由直线 l 与直线

3 x 4

+ 2 ,即 3x - 4y + 8 = 0

5 x ? 3 y ? 6 ? 0 垂直 ?l 的斜率 k= 3
5
=

?直线 l 的方程为 y

3 x 5

+ 2 ,即 3x - 5y + 10 = 0

17.答案: (1)

( x ? 2) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 5

; .

(2)

2x –y + 5 = 0 或 x + 2y – 5 = 0

18.解: (1)由题意, r

?

?1 ? 3 1? 3

?2
2

故,所求圆的方程为

? x ? 1?

? y2 ? 4

(2)由题意,直线经过圆心 C ,所以, ? m ? 1 ? 0 ,解得 m

?1

19. 解: (1)∵ ∴ ∵ ∴



∴直线

方程为



(2) ∴直线 ∵点 的方程为 到直线 的距离为

∴ 解得 ∴直线 方程为 或

20. 解: (1) 由 A(4,1) ,C(2,4) ? AC 边的中点 D 的坐标为(3, 又 B(0,3) , 由直线两点式, 得 AC 边上的中线 BD 所在的直线方程为

5 ) , 2

x?3 0?3

=

5 2 5 3? 2 y?

即 x + 6y - 18 = 0

?2 x ? y ? 1 ? 0 (2)解方程组 ? ?x ? 3 y ? 4 ? 0
由点( ?

7 ? x?? ? ? 5 得? ?y ? 9 ? 5 ?

7 5



9 5

)到直线 3x ? 4 y ? 17 ? 0 的距离得

d =

7 9 | 3 ? (? ) ? 4 ? ? 17 | 5 5 ?4 2 2 3 ?4

? 圆的半径 r =4 ? 圆 C 的方程为 ( x ?

7 2 9 ) ? ( y ? ) 2 ? 16 5 5

.

21. 解 : (1)由圆的方程得

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25 , 故 圆 心 为 (0,?2) , 半 径 长 r ? 5

.故圆心到直线

l

的距离

d ? 5 2 ? (2 5 ) 2 ? 5 .
设所求直线 l 的方程为

y ? 3 ? k ( x ? 3)



kx ? y ? 3k ? 3 ? 0

从而有

d?

| 2 ? 3k ? 3 | k 2 ?1
2

? 5
解得

两边平方,整理得 2k

? 3k ? 2 ? 0

k ??

1 2



k?2

所以,所求直线 l 的方程为 即

1 y ? 3 ? ? ( x ? 3) ,或 y ? 3 ? 2( x ? 3) 2

x ? 2 y ? 9 ? 0 ,或 2 x ? y ? 3 ? 0 .
A (0, ?6 ) , B (1, ?5 ) ,所以线段 AB 的中点 D 的坐标为 ? , ?

(2)因为

?1 ?2

11 ? ?, 2?

直线

AB 的斜率

k AB ?

?5 ? ? ?6 ? ? 1, 1? 0

因此线段

AB 的垂直平分线 l ' 的方程是

y?


11 1? ? ? ?? x ? ? , 2 2? ?

x? y?5 ? 0

圆心 C 的坐标是方程组

?x ? y ? 5 ? 0 ,的解. ? ?x ? y ?1 ? 0 ? x ? ?3 , ? ? y ? ?2

解此方程组,得

所以圆心 C 的坐标是( ?3 , ? 2 ). 圆心为 C 的圆的半径长

r ? AC ?
所以,圆心为 C 的圆的标准方程是

?1 ? 3? ? ?1 ? 2?
2
2

2

?5

? x ? 3?
22.解: (1 ) x
2

? ? y ? 2 ? ? 25
2

? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0

D=-2,E=-4,F= m

D 2 ? E 2 ? 4 F =20- 4 m ? 0
m?5
(2) ?

?x ? 2 y ? 4 ? 0
2 2 ?x ? y ? 2x ? 4 y ? m ? 0

x ? 4 ? 2 y 代入得

5 y 2 ? 16y ? 8 ? m ? 0
y1 ? y 2 ?
∵OM ? ON 得出: x1 x2 ∴ 5 y1 y 2 ∴m

16 5



y1 y 2 ?

8?m 5

? y1 y 2 ? 0

? 8( y1 ? y2 ) ? 16 ? 0

?

8 5

23.(1)∵ K AB

?

6?0 3 2?0 2 ? , K AC ? ? , 0 ? (?4) 2 1 ? (?4) 5
∴ A, B, C 三点不共线. 直线 x ?

∴ K AB (2)∵

? ? K AC ,

A, B 的中点坐标为 M (?2,3) ,

y ? 2 ? 0 的斜率 k1 ? ?1,

所以满足条件的直线方程为 (3)∵ K AB

y ? 3 ? ?( x ? 2) ,即 x ? y ? 1 ? 0 为所求.

3 2 ,∴与 AB 所在直线垂直的直线的斜率为 k 2 ? ? , 2 3 2 所以满足条件的直线方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 1) ,即 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 . 3 ?


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