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三角函数的图像


三角函数的图象
一、知识回顾 (一)熟悉.三角函数图象的特征:

y 1 -1 o

y=sinx x

y 1 -1 o

y=cosx x

y=tanx

y=cotx

(二)三角函数图象的作法: 1.几何法(利用三角函数线

) 2. 描点法:五点作图法(正、余弦曲线) ,三点二线作图法(正、余切曲线). 3. 利用图象变换作三角函数图象. 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等,重点掌握函数 y=Asin(ω x+φ)+B 的作法. 函数 y=Asin(ω x+φ)的物理意义: 振幅|A|,周期 T ?
1 | ? | ,相位 ? x ? ? ; 初相 ? 2? ,频率 f ? ? T 2? |? |

(即当 x=0 时的相位)(当 A>0,ω .

>0 时以上公式可去绝对值符号) ,

1

(1)振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换. (用 y/A 替换 y)由 y=sinx 的图象上的点的横坐标保持不 变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当 0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到 y=Asinx 的图象. (2)周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换.(用ω x 替换 x)由 y=sinx 的图象上的点的纵坐标保持不 变,横坐标伸长(0<|ω |<1)或缩短(|ω |>1)到原来的 | 1 | 倍,得到 y=sinω x 的图象.
?

(3)相位变换或叫做左右平移.(用 x+φ 替换 x)由 y=sinx 的图象上所有的点向左(当 φ>0)或 向右(当 φ<0)平行移动|φ|个单位,得到 y=sin(x+φ)的图象. (4)上下平移(用 y+(-b)替换 y)由 y=sinx 的图象上所有的点向上(当 b>0)或向下(当 b<0) 平行移动|b|个单位,得到 y=sinx+b 的图象. 注意:由 y=sinx 的图象利用图象变换作函数 y=Asin(ω x+φ)+B(A>0,ω >0) (x∈R)的图 象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区别。 二、基本训练

? 1、为了得到函数 y ? sin(3x ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin 3x 的图象 6
A、向左平移





? 6

B、向左平移

? 18

C、向右平移

? 6

D、向右平移

? 18


2、函数 f ( x) ? 2 sin | x ?

?
2

| 的部分图象是



y 2 O x

y 2 O x

y 2

y 2 O O x x

A

B

C

D

3、函数 y ? 2 cos x(sin x ? cos x) 的图象一个对称中心的坐标是
3? , 0) 8 3? , 1) 8





A、 (

B、 (

? C、 ( , 1) 8

D、 (?

?
8

,?1)

4、(00)函数 y=-xcosx 的部分图象是

2

? 2? 5、已知函数 f ( x) ? ?4 sin 2 x ? 4 cos x ? 1 ? a ,当 x ? [? , ] 时 f (x) =0 恒有解,则 a 的范围是_ 4 3 _____。
? 6、方程 lg | x |? sin(x ? ) 有___个实数根。 3
三、例题分析

? 例 1、已知函数 y ? 2 sin(2 x ? ) 。 3
(1)求它的振幅、周期和初相; (2)用五点法作出它的图象;

? (3)说明 y ? 2 sin(2 x ? ) 的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变换而得到? 3

例 2、把函数 y ? 3 cos x ? sin x 的图象向左平移 m(m ? 0) 个单位, 所得的图象关于 y 轴对称, m 求 的最小值。

3

y

例 3、如图为 y ? A sin(?x ? ? )

3
O

? 3

? 3

( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

5? 6

x

) 的图象的一段,求其解析式。

例 4、受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐,在通常情况下,船在涨潮时驶进航 道,靠近船坞;缺货后落潮时返回海洋。某港口水的深度 y (米)是时间 t ( 0 ? t ? 24 ,单位:时) 的函数,记作 y ? f (t ) ,下面是该港口在某季节每天水深的数据:

t (时)

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y (米)

10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0

4

经长期观察, y ? f (t ) 曲线可以近似地看做函数 y ? A sin ?t ? k 的图象。

(1) 根据以上数据,求出函数 y ? f (t ) 的近似表达式; (2) 一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的(船舶停靠时, 船底只需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 米。如果该船想在同一天内安全进 出港,问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?

例 5.(00)

已知函数

(I)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (II)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

5

四、作业

同步练习 三角函数的图象

? ? ? 1、若函数 f ( x) ? 3sin(?x ? ? ) 对任意实数 x ,都有 f ( ? x) ? f ( ? x) ,则 f ( ) 等于 4 4 4
A、0 B、3 C、-3 D、3 或-3

? 2、把函数 y ? ?3 cos(2 x ? ) 的图象向右平移 m(m ? 0) 个单位,设所得图象的解析式为 y ? f (x) , 3
则当 y ? f (x) 是偶函数时, m 的值可以是

A、

? 3

B、

? 6

C、

? 4

D、

? 12

3、函数 y ? sin(?x ? ? )( x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图,则

A. ? ?

?
2

,? ?

?
4

B. ? ?

?
3

,? ?

?
6 5? 4
? , x ? R) 的部分图象 2

C. ? ?

?
4

,? ?

?
4

D. ? ?

?
4

,? ?

4、函数 y ? A sin(?x ? ?)(? ? 0, ? ? 示,则函数表达式为)

如 图 所

? ? ? ? (A) y ? ?4 sin( x ? ) (B) y ? 4 sin( x ? ) 8 4 8 4 ? ? ? ? (C) y ? ?4 sin( x ? ) (D) y ? 4 sin( x ? ) 8 4 8 4

6

? 5、函数 y ? 3 sin(2 x ? ) 与 y 轴距离最近的对称轴是______. 6
6、将函数 y ? f ( x) ? sin x( x ? R) 的图象向右平移

? 个单位后,再作关于 x 轴的对称变换,得到函数 4

y ? 1? 2 sin 2 x 的图象,则 f (x) 可以是_______。
3 ;③ 2

7、给出下列命题:①存在实数 ? ,使 s in? cos? ? 1 ;②存在实数 ? ,使 s in? ? co s? ?

5? ? 5? y ? s in ( ? 2 x) 是偶函数;④ x ? 是函数 y ? sin(2 x ? ) 的一条对称轴方程;⑤若 ? 、 ? 是第一象 8 2 4

限角,且 ? ? ? ,则 tan? ? tan ? 。其中正确命题的序号是_______。 (注:把你认为正确命题 的序号都填上) 8、函数 f ( x) ? sin x ? 2 | sin x |, x ? ?0,2? ? 的图象与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点,则 k 的取值 范围是__________。

9、设函数 f (x)的图象与直线 x =a,x =b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在[a,b]上的面积,已 ? 2 2? 知函数 y=sinnx 在[0, ]上的面积为 (n∈N* )(i)y=sin3x 在[0, , ]上的面积为 ; (ii)y= n n 3 ? 4? sin(3x-π )+1 在[ , ]上的面积为 . 3 3

10、已知函数 f ( x) ? 2 sin x(sin x ? cos x) 。 (1)求它的振幅、周期和初相; (2)用五点法作出它的图象;

(3)说明 f ( x) ? 2 sin x(sin x ? cos x) 的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变换而得到?

7

11、若函数 y ? f (x) 的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,然后将所得图象 先向左平移 达式。

? 1 个单位,再向下平移 1 个单位,得到的曲线与 y ? cos x 的图象相同,求 y ? f (x) 的表 2 2

2 7? 时,函数的最大值为 3,当 x ? 时,函数的最小值为-3,试求此函数的解析式。 x? 12 12

12、函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?

) 在 x ? (0,

?

2? ) 内只取到一个最大值和一个最小值,且当 3

13、设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, | ? |?

?
2

) ,给出以下四个论断:

①它的图象关于直线 x ?

? 对称;②它的图象关于点 ( , 0) 对称; 12 3

?

③它的周期是 ? ;

④它在区间 [?

?
6

, 0] 上是增函数。

以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的两个命题,并对其中 一个命题加以证明。

8

参考答案: 基本练习:1、B 2、C 3、B 4、D 5、[-4, 5] 6、6

例题分析:例 1(1)振幅 2,周期 ? ,初相

? ? ; (2)略; (3)把 y ? sin x 的图象上所有的点左移 个 3 3 ? ? 1 单位,得到 y ? sin(x ? ) 的图象,再把 y ? sin(x ? ) 的图象上的点的横坐标缩短到原来的 (纵 2 3 3 ? ? 坐标不变) ,得到 y ? sin(2 x ? ) 的图象,最后把 y ? sin(2 x ? ) 图象上点的纵坐标伸长到原来的 2 3 3 ? 5? ? 倍(横坐标不变) ,即可得到 y ? 2 sin(2 x ? ) 的图象 例 2、 例 3、 y ? 3 sin(2 x ? ) 6 3 3 ? 例 4(1) y ? 3sin t ? 10(0 ? t ? 24) ;(2) 该船最早能在凌晨 1 时进港,下午 17 时出港,在港口至 6 多停留 16 小时

作业:1—4、DBCA

5、直线 x ?

?
6

6、 f ( x) ? 2cos x

7、③④

8、 1 ? k ? 3

9、 ? ?

2 3

? ? ; (2)略; (3)把 y ? s in x 的图象上所有的点右移 个单位,得到 3 4 ? ? 1 ,得到 y ? sin(x ? )的图象,再把 y ? sin( x ? ) 的图象上的点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变) 2 4 4 ? ? 然后最把 y ? sin(2 x ? ) 图象上点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 (横坐标不变) , y ? sin(2 x ? ) 的图象, 4 4 ? ? 得 到 y ? 2 s i n( 2 ? 的 图 象 , 最 后 把 y ? 2 s i n( 2 ? 的图象向上平移 1 个单位,即可得到 x ) x ) 4 4 ? y ? 2 s i n( 2 ? ? 的图象,即 f ( x) ? 2 sin x(sin x ? cos x) 的图象 x ) 1 4
10、振幅 2,周期 ? ,初相
1 11、 y ? sin 2 x ? 1 2

12、 y ? 3 sin(2 x ?

?
3

)

9

13、①③ ? ②④;②③ ? ①④

10


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