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2014届高三数学(第28讲 数列的概念与简单表示法--第32讲数列的综合问题,含精细解析)


45 分钟滚动基础训练卷(七) (考查范围:第 28 讲~第 32 讲 分值:100 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.在等差数列{an}中,a2=4,a6=12,则数列{an}的前 10 项的和为( ) A.100 B.110 C.120 D.130 2.已知等比

数列{an}中,a1=2,且有 a4a6=4a2,则 a3=( ) 7 A.1 B.2 1 1 C. D. 4 2 3.在等差数列{an}中,已知 a6=5,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S11=( ) A.45 B.50 C.55 D.60 4.已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2·a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差 5 中项为 ,则 S5=( ) 4 A.35 B.33 C.31 D.29 5. 设等比数列的公比为 q, n 项和为 Sn, Sn, n+1, n+2 成等差数列, 前 若 S S 则公比 q( ) A.等于-2 B.等于 1 C.等于 1 或-2 D.不存在 a2 012 6.已知等比数列{an}中,公比 q>1,且 a1+a6=8,a3a4=12,则 =( ) a2 007 A.2 B.3 C.6 D.3 或 6 7.若等比数列{an}的前 n 项和 Sn=a·n-2,则 a2=( 3 ) A.4 B.12 C.24 D.36 1 1 1 8.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2an-1(n∈N*),则 Tn= + +…+ 的 a1a2 a2a3 anan+1 结果可化为( ) 1 1 A.1- n B.1- n 4 2 1 1 2 2 C. ?1-4n? D. ?1-2n? ? ? 3? 3? 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分) 9.[2013· 江西卷] 设数列{an},{bn}都是等差数列.若 a1+b1=7,a3+b3=21,则 a5+ b5=________. 10. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知数列{Sn}是首项和公比都是 3 的等比数列, 则{an} 的通项公式 an=________. 11. 某数表中的数按一定规律排列, 如下表所示, 从左至右以及从上到下都是无限的. 此 表中,主对角线上数列 1,2,5,10,17,…的通项公式 an=________. 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 5 7 9 1 4 7 10 13 1 5 9 13 17 1 6 11 16 21 … … … … …

… … … … … … … 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 14 分,共 42 分,解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤) 12.已知等差数列{an},Sn 为其前 n 项的和,a5=6,S6=18,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=3an,求数列{bn}的前 n 项的和.

13.等差数列{an}的公差为-2,且 a1,a3,a4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; 2 (2)设 bn= (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. n(12-an)

14.已知等差数列{an}的公差大于 0,且 a3,a5 是方程 x2-14x+45=0 的两个根,数列 1-bn {bn}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= (n∈N*). 2 (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 cn=an·bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

45 分钟滚动基础训练卷(七) ?a1+d=4, ? 1.B [解析] 设数列{an}的公差为 d,则? 解得 a1=2,d=2,则数列{an} ? ?a1+5d=12, 10×9 的前 10 项的和为 S10=10×2+ ×2=110,故选 B. 2 1 1 2.A [解析] 设数列{an}的公比为 q,则 a1q3·a1q5=4(a1q6)2,即 q4= ,q2= ,则 a3 4 2 =a1q2=1,故选 A. 11(a1+a11) 11·2a6 3.C [解析] S11= = =55,故选 C. 2 2 2 ?a1q·a1q =2a1, ?a1=16, ? ? 4.C [解析] 设数列{an}的公比为 q,则? 3 解得? 1 ∴S5= 6 5 ?a1q +2a1q =4×2, ?q=2, ? ? ?1- 15? 16? 2 ? =31,故选 C. 1 1- 2 + 5.B [解析] 依题意有 2Sn+1=Sn+Sn+2,当 q≠1 时,有 2a1(1-qn 1)=a1(1-qn)+a1(1 n+2 -q ), 解得 q=1,但 q≠1,所以方程无解;当 q=1 时,满足条件,故选 B. 6.B [解析] 因为{an}是等比数列,所以 a1a6=a3a4=12,结合 a1+a6=8 和 q>1 解得 a6 a2 012 a1q2 011 a1=2,a6=6,所以 q5= =3, = =q5=3,故选 B. a1 a2 007 a1q2 006 7.B [解析] a1=3a-2,a1+a2=9a-2,a1+a2+a3=27a-2, 解得 a2=6a,a3=18a, 又由数列{an}是等比数列,得 a2=a1a3, 2 即(6a)2=(3a-2)· 18a,解得 a=2,所以 a2=12,故选 B. 8.C [解析] 由已知,有 Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1(n≥2), 两式相减,得 an=2an-2an-1,即 an=2an-1,∴数列{an}是公比为 2 的等比数列, 又 S1=2a1-1,得 a1=1, 1 2n-1 1 - 则 an=2n 1, =?2? , anan+1 ? ? 1? ?1?n? 1- 2n-1 1 1 1 1 ?1?3 ?1?5 ?1? =2? ?4? ?=2?1- 1n?, ∴Tn= + +…+ = + + +…+?2? 4? 故 a1a2 a2a3 1 3? anan+1 2 ?2? ?2? 1- 4 选 C. 9.35 [解析] 考查等差数列的定义、性质;解题的突破口是利用等差数列的性质,将 问题转化为研究数列的项与项数之间的关系. 方法一:设 cn=an+bn,∵{an},{bn}是等差数列,∴{cn}是等差数列,设其公差为 d, 则 c1=7,c3=c1+2d=21,解得 d=7,因此,c5=a5+b5=7+(5-1)×7=35.故填 35. 方法二:设 cn=an+bn,∵{an},{bn}是等差数列,∴{cn}是等差数列, ∴2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5),即 42=7+(a5+b5),因此 a5+b5=42-7=35.故填 35. ? ?3(n=1), - 10.? n-1 [解析] 由已知得 Sn=3·n 1=3n,所以 a1=S1=3,当 n≥2 时,an 3 ? 3 ?2· (n≥2) ?3(n=1), ? - - =Sn-Sn-1=3n-3n 1=2·n 1,所以 an=? n-1 3 ? 3 ?2· (n≥2). 11.n2-2n+2 [解析] 观察数表的规律:第 n 行或第 n 列数组成首项为 1,公差为 n -1 的等差数列,所求数列的通项即数表的第 n 行、第 n 列的数 an 为 an=1+(n-1)(n-1) =n2-2n+2.

?a1+4d=6, ? 12.解:(1)依题意? 6×5 ?6a1+ 2 d=18, ?
?a1=-2, ? 解得? ? ?d=2. ∴数列{an}的通项公式 an=2n-4. bn+1 - (2)由(1)可知 bn=32n 4,则 =9, bn 1 ∴数列{bn}是首项为 ,公比为 9 的等比数列, 9 1 (1-9n) 9 1 Tn= = (9n-1), 72 1-9 1 ∴数列{bn}的前 n 项的和为 (9n-1). 72 13.解:(1)由已知得 a3=a1-4,a4=a1-6, 又 a1,a3,a4 成等比数列,所以(a1-4)2=a1(a1-6), 解得 a1=8,所以 an=10-2n. 2 1 1 1 (2)由(1)可得 bn= = = - , n(12-an) n(n+1) n n+1 所以 Sn=b1+b2+…+bn 1 1 1 1 1 1 n =?1-2?+?2-3?+…+?n-n+1?=1- = . ? ? ? ? ? ? n+1 n+1 14.解:(1)∵a3,a5 是方程 x2-14x+45=0 的两根,且数列{an}的公差 d>0, a5-a3 ∴a3=5,a5=9,公差 d= =2. 5-3 ∴数列{an}的通项公式 an=a5+(n-5)d=2n-1. 1-b1 1 又当 n=1 时,有 b1=S1= ,∴b1== , 2 3 1 当 n≥2 时,有 bn=Sn-Sn-1= (bn-1-bn), 2 bn 1 ∴ = (n≥2). bn-1 3 1 1 ∴数列{bn}是首项 b1= ,公比 q= 的等比数列, 3 3 1 - ∴数列{bn}的通项公式 bn=b1qn 1= n. 3 2n-1 (2)由(1)知 cn=anbn= n , 3 2n-1 1 3 5 ∴Tn= 1+ 2+ 3+…+ n ,① 3 3 3 3 2n-3 2n-1 1 1 3 5 T = + + +…+ n + n+1 ,② 3 n 32 33 34 3 3 1 1 1 2n-1 2 1 2 2 2 2n-1 1 ①-②得 Tn= + 2+ 3+…+ n- n+1 = +2?32+33+…+3n?- n+1 , ? 3 3 3 3 3 3 3 ? 3 n+1 整理,得数列{cn}的前 n 项和为 Tn=1- n . 3


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