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福建省尤溪一中2011-2012学年高三寒假测试数学试卷


尤溪一中 2011-2012 学年寒假测试卷

高三数学(理科)试题
命题:周平 审核:理科备课组 2012-01-15 一、选择题(共 10 小题,共 50 分,四个选项中,只有一个选项符合题目要求) 1.如果 z ? A. 0

1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 等于( 1 ? ai B. ?1 C. 1

/>) D. ?1 或 1

2.设集合 A= ?x || x ? a |? 1, x ? R? , B ? ?x || x ? b |? 2, x ? R?. 若 A ? B,则实数 a,b 必定 满足( ) A. | a ? b |? 3 B. | a ? b |? 3 C. | a ? b |? 3 D. | a ? b |? 3

3. 某市进行一次高三教学质量抽样检测,考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分 布. 已知数学成绩平均分为 90 分, 分以下的人数占 10%, 60 则数学成绩在 90 分至 120 分之间的考生人数所占百分比约为( A.10% B.20% ) C.30% D.40%

4.某班由 24 名女生和 36 名男生组成,现要组织 20 名学生外参观,若这 20 名学生按性 别分层抽样产生,则参观团的组成法共有( A. C
8 24


20 D. C60 种

C

12 36 种

B. A C 种

8 24

12 .36

10 10 C. C24C36 种

5.右边程序运行后,打印输出的结果是( A. ?5 和 ?6 C. ?8 和 ?5 B.1 和 ?8 D.1 和 ?6


j ?1 m ? j^ 2 ? 4* j? 5 WHILE j? 4 j ? j ?1 n ? j^ 2 ? 4* j? 5 IF n ? m THEN PRINT n ELSE m ? n END IF WEND END

6.已知 a,b,c 为 △ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边, 向量 m ? ( 3, ?1) , n ? (sin A,cos A) .若 m ? n , 且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则角 A,B 的大小 分别为( A. , C. , ) B.

??

?

π π 6 3 π π 3 6

2π π , 3 6
π π 3 3

D. ,

7.要得到函数 y ? cos ? x 的图像,只需把函数 y ? sin x 的图像(
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? 个单位,再把横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变 ? ? B.沿 x 轴向右平移 个单位,再把横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变 ? ? ? C.横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变再沿 x 轴向右平移 个单位 ? ? ? ? D.横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变,再沿 x 轴向左平移 个单位 ? ? 3 2 8.若椭圆 x2 +my 2 ? 1 的离心率 e ? ( ) , ) ,则 m 的取值范围是( 3 2 3 1 2 3 1 2 2) ( 2) A. (1, 2) B. ( , C. ( , ) ? , D. ( , ) ? (1, 2) 2 2 3 2 2 3
A.沿 x 轴向左平移 9.已知关于 x 的方程 x2 ? (1 ? a) x ? 1 ? a ? b ? 0(a, b ? R) 的两根分别为 x1 、 x2 , 且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,则 A. ? ?1, ? ? 2 10.函数 y ? 等于( A.2

b 的取值范围是( a



? ?

1? ?

B. ? ?1, ? ?

? ?

1? 2?

C. ? ?2, ? ? 2

? ?

1? ?

D. ? ?2, ? ?

? ?

1? 2?

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和 x ?1
) B. 4 C. 6 D.8

二、填空题(共 5 小题,共 20 分,在答题卷的相应横线上直接写出答案) 11.

?

?
2 0

sin 2

x dx = 2
5

.
3

12. 若 (cos ? ? x) 的展开式中 x 的系数为 2,则 sin(

3? ? 2? ) = 2



13. 从编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 的十个形状大小相同的球中,任取 3 个球, 则这 3 个球编号之和为奇数的概率是 . 14.已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l: y ? x ? 1 被该圆所截得的 弦长为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为 .

15.已知函数 f ( x) ? loga x ? x ? b(a>0,且a ? 1). 当 2<a<3<b<4 时,函数 f ( x ) 的 零点 x0 ? (n, n ? 1), n ? N , 则n=
*

.
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2011-2012 寒假测试卷

三、解答题(共 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 13 分)在数列 {an } 中, a1 ? 3 , an ? ?an?1 ? 2n ? 1 (n≥ 2 且 n ? N* ) . (1)证明:数列 {an ? n} 是等比数列,并求 {an } 的通项公式; (2)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

17.(本题满分 13 分)如图,直角梯形 ABCD 中, ?ABC ? ?BAD ? 90o ,AB=BC 且△ABC 的 面 积 等 于 △ ADC 面 积 的
1 . 梯 形 ABCD 所 在 平 面 外 有 一 点 P, 满 足 PA ⊥ 平 面 2

ABCD, PA ? AB . (1)求证:平面 PCD⊥平面 PAC ; (2)侧棱 PA 上是否存在点 E,使得 BE // 平面 PCD? 若存在,指出点 E 的位置并证明;若 不存在,请说明理由. (3)求二面角 A ? PD ? C 的余弦值.

18. (本题满分 13 分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训。现分别从他们在培训期间参加 的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次,记录如下: 甲 乙 82 92 81 95 79 80 78 75 95 83 88 80 93 90 84 85

(1)用茎叶图表示这两组数据; (2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参 加合适?请说明理由; (3)若将频率视为概率,对甲同学在今后的 3 次数学竞赛成绩进行预测,记这 3 次成 绩中高于 80 分的次数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? .

19. (本题满分 13 分)已知点 F (0, ) ,动圆 P 经过点 F 且和直线 y ? ? 的圆心 P 的轨迹为曲线 W 。 (1)求曲线 W 的方程;
2011-2012 寒假测试卷 第 3 页 共 8 页

3 2

3 相切,记动圆 2

(2) 四边形 ABCD 是等腰梯形,A, B 在直线 y ? 1 上,C , D 在 x 轴上, 四边形 ABCD 的三边 BC , CD, DA 分别与曲线 W 切于 P, Q, R ,求等腰梯形 ABCD 的面积的最 小值。

(0, ) +? 上,其图像经过点 M(1,0) 20. (本题满分 14 分)设函数 f ( x ) 定义在 ,导函数

f '( x)=x?1,g ( x) ? f ( x) ? f '( x) .
(1)如果不等式 m ? g ( x) 有解,求实数 m 的取值范围; (2)如果点 N(t,b) 是函数 y ? f '( x) 图像上一点,证明:当0 ? t ? 1, g (t ) ? g (b). (3)是否存在 x0 ? 0 ,使得 ln x ? g ( x0 ) ? ln x ?

2 对任意 x ? 0 恒成立?若存在, x

求出 x0 的取值范围;若不存在,请说明理由.

21.选做题: (从以下 3 个题目中任意选择 2 个题目解答) (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与(0,-2). (Ⅰ)求矩阵 M ; (Ⅱ)设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m : 2 x ? y ? 4 ,求 l 的方程. (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 6 cos? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 曲线 C1 、 C 2 相交于点 A,B。 (Ⅰ)将曲线 C1 、 C 2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求弦 AB 的长。 (3)(本小题满分 7 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知 x, y , z 为实数,且 x ? 2 y ? 3z ? 7 , (Ⅰ)求 x ? y ? z 的最小值;
2 2 2

?
4

( ? ? R) ,

(Ⅱ)设 2t ?1 ? x ? y ? z ,求实数 t 的取值范围.
2 2 2

2011-2012 寒假测试卷

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尤溪一中 2011-2012 学年寒假测试卷

高三数学(理科)参考答案
一、选择题 1-5.DCDAC 二、填空题 11. 6-10. ADCDB

?
4

?

3 1 1 ; 12. ; 13. ; 14. ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 ; 15.2; 5 2 2

三、解答题 16 解: (1)∵ an ? ?an?1 ? 2n ? 1 (n≥ 2 且 n ? N* ) , ∴ an ? n ? ?an?1 ? 2n ? 1 ? n ? ?an?1 ? n ? 1 ? ?[an?1 ? (n ? 1)] ∴数列 {an ? n} 是首项为 a1 ? 1 ? 4 ,公比为 ?1 的等比数列.??????3 分 ∴ an ? n ? 4 ? (?1)n?1 ,即 an ? 4 ? (?1)n?1 ? n , ∴ {an } 的通项公式为 an ? 4 ? (?1)n?1 ? n (n?N* ) . (2)∵ {an } 的通项公式为 an ? 4 ? (?1)n?1 ? n (n?N* ) , 所以 Sn ? ? ak ? ? [4 ? (?1) k ?1 ? k ] ? ? [4 ? (?1) k ?1 ] ? ? k
k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 n n n n

??????6 分

? 4?

1 ? (?1)n n(n ? 1) 1 n2 ? n ? 4 ? ? 2 ?1 ? (?1)n ? ? (n2 ? n) ? ? ? 2(?1)n .?13 分 ? ? 2 1 ? (?1) 2 2
2

17 解:设 AB ? BC ? PA ? 1 ,? ?ABC ? ?BAD ? 900 , AB ? BC , S ? ABC ? 1 S ? ADC ,? AD ? 2BC ? 2 ????1 分 以点A为原点,以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,

则(0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0, 2,0), P(0,0,1) , A 0,
(1) 设平面PCD的一个法向量为n ? ( x, y, z), 则有:

?n?PC ? 0 ?( x, y, z )?(1,1, ?1) ? 0 ?x ? y ? z ? 0 ? ?? ?? , ? ?n?PD ? 0 ?( x, y, z )?(0, 2, ?1) ? 0 ?2 y ? z ? 0 ?
令 y ? 1, 则z=2,x=-1,即有n ? (1,1, 2) 同理,可求得平面 PAC 的一个法向量 m ? (?1,1,0)

?n? ? (1,1, 2)? ?1,1,0) ? ?1 ? 1 ? 0 ,∴平面 PCD⊥平面 PAC ??????5 分 m (
(2)假设存在满足条件的点 E ,使 BE / /平面PCD,则可设点 E (0,0, z) , 由(1)知 平面PCD的一个法向量为n ? (1,1,2), 则依题意有: ? ? 0,即(?1,0, z)? BE n (1,1,2) ? 0 ,

1 ??1 ? 2 z ? 0得z= ,? 存在满足条件的点E ( PA的中点).??????10 分 2
(3)由(1)知 平面PCD的一个法向量为n ? (1,1,2), 又显然AB为平面APD的一个法向量, 设二面角 A-PD-C 的平面角为 ? ,则 cos ? ?| cos ? n, AB ?|? 18 解: (Ⅰ)作出茎叶图如下:



(1,1, 2)?(1, 0, 0) 12 ? 12 ? 22 ? 1

?

6 ?13 分 6

9 8 8 4 2 1 5 3

7 8 9

5 0 0 3 5 0 2 5

?????

4分

(Ⅱ)派甲参赛比较合适。理由如下:

x甲 ? x乙 ?

1 ? 70 ? 2 ? 80 ? 4 ? 90 ? 2 ? 8 ? 9 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 3 ? 5? ? 85 , 8 1 ? 70 ?1 ? 80 ? 4 ? 90 ? 3 ? 5 ? 0 ? 0 ? 3 ? 5 ? 0 ? 2 ? 5? ? 85 , 8

1 2 2 2 2 2 s甲2 ? ?? 78 ? 85? ? ? 79 ? 85? ? ?81 ? 85? ? ?82 ? 85? ? ?84 ? 85? ? ? 8

?88 ? 85?

2

2 2 ? ? 93 ? 85? ? ? 95 ? 85 ? ? ? 35.5 , ?

1 2 2 2 2 2 s乙2 ? ?? 75 ? 85? ? ?80 ? 85? ? ?80 ? 85? ? ?83 ? 85? ? ?85 ? 85? ? ? 8

? 90 ? 85?

2

2 2 ? ? 92 ? 85? ? ? 95 ? 85? ? ? 41 , ?

∵ x甲 ? x乙 , s甲2 ? s乙2 , ??????? 8分

∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适。

注:本小题的结论及理由均不唯一,如果考生能从统计学的角度分析,给出其他合理回答, 同样给分。如:派乙参赛比较合适。理由如下:

3 从统计的角度看,甲获得 85 分以上(含 85 分)的概率 P1 ? , 8
乙获得 85 分以上(含 85 分)的概率 P2 ?

4 1 ? 。∵ P2 ? P1 ,∴派乙参赛比较合适。 8 2 6 3 ? 。?9 分 8 4

(Ⅲ)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于 80 分”为事件 A, P ? A ? ?
? 3? 随机变量 ? 的可能取值为 0、1、2、3,且 ? ? ? 3 , ? 。 ? 4?
k ?3? ?1? ∴ P ? ? ? k ? ? C3 ? ? ? ? ? 4? ? 4? k 3? k

, k ? 0 , 1 , 2 , 3 。所以变量 ? 的分布列为: 2 3

?

0

1

P

1 64

9 64

27 64

27 64

??11 分 ?? 13 分

E? ? 0 ?

1 9 27 27 9 3 9 (或 E? ? nP ? 3 ? ? ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 。 64 64 64 64 4 4 4

19 解: (1)动圆圆心 P 到 F 的距离等于 P 到 y ?

1 的距离,则 P 点的轨迹是抛物线, 2
????????5 分

且 p ? 2 ,所以 x2 ? 6 y 为双曲线 W 的方程。 (2)设 P( x, y ) ,由 y ?

1 2 1 1 x , y ' ? x ,可知 BC 方程; y ? y1 ? x1 ( x ? x1 ) ??8 分 6 3 3 1 2 1 1 1 令 y ? 0, ? x1 ? x1 ( x ? x1 ), x ? x1 , 即 C ( x1 , 0) 6 3 2 2
令 y ? 1,1 ?

6 ? x12 1 1 2 1 x1 ? x1 ( x ? x1 ), ? x1 ( x ? x1 ) , 6 3 6 3
??????????????10 分

x?

6 ? x12 6 ? x12 6 ? x12 ,即 B( ? x1 ? ,1) 2 x1 2 x1 2 x1

所以梯形 ABCD 的面积 S ?

6 ? x12 6 ? x12 1 1 1 ? (2 ? x1 ? 2 ? ) ?1 ? ( x1 ? ) 2 2 2 x1 2 2 x1
???????????12 分

1 6 1 6 1 ? ( x1 ? ? x1 ) ? (2 x1 ? ) ? ? 2 12 ? 2 3 2 x1 2 x1 2
当且仅当, 2x1 ?

6 即 x1 ? 3 时, S 有最小值 2 3 x1

???????????13 分

20 解: (1)∵ f '( x) ?

1 ,? f ( x) ? ln x ? c(c为常数), x 1 ????2 分 x

又∵ f (1) ? 0, 所以 ln1 ? c ? 0, 即c ? 0,? f ( x) ? ln x, g ( x) ? ln x ? ∴ g '( x) ?

x ?1 x ?1 , 令g '( x) ? 0, 即 2 ? 0, 解得x ? 1 , 2 x x

当x ? (0,1)时,g '( x) ? 0;当x ? (1, ??)时, g '( x) ? 0.
所以 x ? 1是函数g ( x)在(0,+?)上的唯一极小值点, 从而是最小值点,??4 分 所以 g ( x) 的最小值是 g (1)=1 . “不等式 m ? g ( x) 有解”的等价命题是“ m ? ? g ( x)?min ” , 故 m ? 1. ??????????????????????????6 分

(t,b) (2)证明:点 N 是函数 y ? f '( x) 图像上一点,

1 1 b ? f '(t ) ? , g (b) ? g ( ) ? ? ln t ? t . t t 1 1 (t ? 1)2 设 h(t ) ? g (t ) ? g (b) ? g (t ) ? g ( ) ? 2 ln t ? t ? ,则 h'(t) ? t ? , t t t2
当 t ? (0,1)时,h(t)<0 ,此时 h(t) ? 2 ln t ? t ? 是减函数,故 h(t) ? h(1) , '

1 t

? 又 t ?1 时,h(1)=0,即h(t) ? 0 ,也就是 2 ln t ? t ? ? 0, g (t ) ? g ( ) 。
故当 t ? (0,1)时,g(t)>g(b)。 ????????????????12 分 (3)满足条件的 x0 不存在.证明如下: 假设存在 x0 ? 0 使得对任意 x ? 0有lnx<g(x0 )<lnx+ 但对上述的 x0 ,取 x1 ? e
g ( x0 )

1 t

1 t

2 ①, x

时,有 ln x1 ? g ( x0 ) ,这与①左边的不等式矛盾,

因此不存在 x0 ? 0 ,使 lnx<g(x0 )<lnx+ 21.4-2 解:略 4-4 解: (Ⅰ)y=x, x2+y2=6x

2 对任意 x ? 0 成立. ??????14 分 x

?????4 分

(Ⅱ)圆心到直线的距离 d=

3 2 , r=3, 弦长 AB=3 2 2
1 , 2

??????7 分

4-5 解: (Ⅰ)由柯西不等式 (12 ? 22 ? 32 )( x2 ? y 2 ? z 2 ) ? (1? x ? 2 ? y ? 3 ? z)2 得 14( x2 ? y 2 ? z 2 ) ? ( 7)2 ? 7 ,所以 x ? y ? z ?
2 2 2

1 1 1 y ? z 时取等号 ,即 x2 ? y 2 ? z 2 的最小值为 ???? 4 分 2 2 3 1 1 1 3 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 2t ? 1 ? ,则 2t ? 1 ? 或2t ? 1 ? ? ,解得 t ? 或 t ? , 2 2 2 4 4 1 3 即实数 t 的取值范围是 ( ??, ] ? [ , ??) ?????? 7 分 4 4
当且仅当 x ?


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