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合情推理与演绎推理练习题


★2014 年 2 月 26 日

星期三

合情推理与演绎推理练习
一、与代数等式、不等式有关的推理
【例题 1】考察下列一组不等式:

二、与数列有关的推理
bn-am 【例题 3】 已知命题: 若数列{an}为等差数列, 且 am=a, an=b(m≠n, m、 n∈N*), 则 am+n= ; n-m 现已知等比数列{bn}(bn>0,n∈N*),bm=a,bn=b(m≠n,m、n∈N*),若类比上述结论,则可得到 bm+n=_________________.

? 3 3 2 2 ? 2 ? 5 ? 2 ?5 ? 2?5 ? 4 4 3 3 ? 2 ? 5 ? 2 ?5 ? 2?5 ? 5 5 1 1 2 2 2 2 2 ? 3 ? 7 ? 3 ? 7 ? 3 ? 52 ?
将上述不等式在左、 右两端仍为两项和的情况下加以推广, 使以上的不等式成为推广不等式的 特例,则推广的不等式为_____________________________. 【变式 1-1】观察:1=1,1-4=-(1+2) ,1-4+9=(1+2+3) ,1-4+9-16= -(1+2+3+4)…猜想第 n 个等式 是: __________ _______.

【例题 4】图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运会吉 祥物“福娃迎迎”,按同样的方式构造图形,设第 n 个图形包含 f (n) 个“福娃迎迎”,则 f (5) ? ;

f (n) ? f (n ? 1) ?

. (答案用数字或 n 的解析式表示)

【变式 1-2】观察: 7 ? 15 ? 2 11 ; 5.5 ? 16.5 ? 2 11 ; 3 ? 3 ? 19 ? 3 ? 2 11 ;….对于 任意正实数 a, b ,试写出使 a ? b ? 2 11 成立的一个条件可以是 【变式 1-3】观察下列等式: ① cos2α=2 cos2 α-1; ② cos 4α=8 cos4 α-8 cos2 α+1; ③ cos 6α=32 cos6 α-48 cos4 α+18 cos2 α-1; ④ cos 8α= 128 cos8α-256cos6 α+160 cos4 α-32 cos2 α+1; ⑤ cos 10α=mcos10α-1280 cos8α+1120cos6 α+ncos4 α+p cos2 α-1; 可以推测,m-n+p= . 【变式 4-2】一同学在电脑中打出如下图若干个圆( 【例题 2】如果函数 f ( x) 在区间 D 上是凸函数,那么对于区间 D 内的任意 x1 , x 2 ,…, x n , 按照上面的规律,第 n 条“金鱼”需要火柴棒的根数为_____________. 【变式 4-1】用火柴棒摆“金鱼”,如图所示: ________ ____.

○表示空心圆,●表示实心圆)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) x ? x2 ? ? ? xn ? f( 1 ) .若 y ? sin x 在区间 (0, ? ) 上是凸函数, n n 那么在 ? ABC 中, sin A ? sin B ? sin C 的最大值是________________.
都有

○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○……
问:到 2006 个圆中有 个实心圆.

★2014 年 2 月 26 日

星期三 三、与几何有关的推理
【例题 6】现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是 其中一个的某顶点在另一个的中心, 则这两个正方形重叠部分的面 a 的正方形, 积恒为

【变式 4-3】如图第 n 个图形是由正 n+2 边形“扩展”而来,(n=1,2,3,…) 。则第 n-2 个图形中共有 个顶点。

a2 .类比到空间,有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另 4
___________________ .

一个的中心, 则这两个正方体重叠部分的体积恒为

【变式 6-1】已知正三角形内切圆的半径是高的 是_________________________________. 【例题 5】将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为

1 ,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论 3

………………



【变式 6-2】 在 ?ABC 中,若 ?C ? 90 ,则 cos A ? cos B ? 1 ,用类比的方法,猜想三棱锥的类似
0 2 2

性质,并证明你的猜想

【变式 5-1】把正整数按一定的规则 排成了如图所示的三角形数表.设 aij(i, j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往 下数第 i 行、从左往右数第 j 个数,如 a42=8.若 aij=2 009,则 i 与 j 的和为 ( A.105 C.107 B.106 D.108 ) 1 2 3 6 9 4 5 8 11 7 10 13 18 12 15 20 17 22 24

14 16

参考答案
例题 1、答案:am n+bm n>ambn+anbm(a>0,b>0,a≠b,m>0,n>0)
+ +

应为等体积法, V ?

1 1 1 1 Sh ? 4 ? Sr ? r ? h 即正四面体的内切球的半径是高 3 3 4 4

解析:依题意得,推广的不等式为 a

m+n

+b

m+n

>a b +a b (a>0,b>0,a≠b,m>0,n>0).

m n

n m

变式 6-2、[解析]由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥 P ? ABC 中,三个侧面

变式 1-2、点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为 22,故 a ? b ? 22 变式 1-3、答案:962 例题 2、[解析] sin A ? sin B ? sin C ? 3 sin

PAB, PBC, PCA 两两垂直,且与底面所成的角分别为 ? , ? , ? ,则 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1”
证明:设 P 在平面 ABC 的射影为 O ,延长 CO 交 AB 于 M ,记 PO ? h 由 PC ? PA, PC ? PB 得 PC ? 面PAB ,从而 PC ? PM ,又 ?PMC ? ?

A? B ?C ? 3 3 ? 3sin ? 3 3 2
n m

例题 3、解析:等差数列中的 bn 和 am 可以类比等比数列中的 b 和 a ,等差数列中的 bn- n-m bn bn-am bn am 可以类比等比数列中的 m,等差数列中的 可以类比等比数列中的 .故 bm+ a am n-m
n=

n-m bn . am n-m b am
n

h h h , cos ? ? , cos? ? PC PA PB 1 1 1 1 1 ?VP ? ABC ? PA ? PB ? PC ? ( PA ? PB cos? ? PB ? PC cos ? ? PC ? PA cos? ) ? h 6 3 2 2 2 cos? cos ? cos? ?( ? ? )h ? 1即 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 PC PA PB cos? ? sin ?PCO ?
【名师指引】 (1)找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积, 平面上的角对应空间角等等; (2)找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应线面垂 直或面面垂直,边相等对应面积相等

答案:

例题 4、[解析] f (5) ? 41, f (n) ? f (n ? 1) ? 4(n ? 1) 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题. 变式 4-1、答案:6n+2 解析:由图形间的关系可以看出,第一个图中有 8 根火柴棒,第二个图中有 8+6 根火柴棒, 第三个图中有 8+2× 6 根火柴棒,以此类推第 n 个“金鱼”需要火柴棒的根数是 8+6(n-1),即 6n+2. 变式 4-2、61 变式 4-3、[解析] 设第 n 个图中有 an 个顶点,则 a1 ? 3 ? 3 ? 3 , a2 ? 4 ? 4 ? 4 , n ? n
2

例题 6、[解析]解法的类比(特殊化) ,易得两个正方体重叠部分的体积为

a3 8

变式 5-1、 解析: 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列, 偶数行为偶数列, 2 009=2× 1 005 -1,所以 2 009 为第 1 005 个奇数,又前 31 个奇数行内数的个数的和为 961,前 32 个奇数行内数 的个数的和为 1 024,故 2 009 在第 32 个奇数行内,所以 i=63,因为第 63 行的第一个数为 2× 962 -1=1 923,2 009=1 923+2(m-1),所以 m=44,即 j=44,所以 i+j=107. 答案:C 变式 6-1、 [解析]原问题的解法为等面积法,即 S ?

1 1 1 ah ? 3 ? ar ? r ? h ,类比问题的解法 2 2 3

★2014 年 2 月 26 日

星期三

班级________

姓名_________________ 5、传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他

课后练习
3 3 3 3 2 1、观察下列等式: 1 ? 2 ? 3 ,1 ? 2 ? 3 ? 6 ,1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 ,…,根据上述规

们研究过如图所示的三角形数:
3 3 2

3

3

3

2

律,第五个等式 为 ..... 2、已知 若 2 2+3=2 2 3,

。 3 3+8=3 3 8, 4 4+15=4 4 15,…,

7 a+ t =a

7 t 均为正实数), 类比以上等式,可推测 a, t 的值,则 t-a______ t (a,

将三角形数 1,3, 6,10,…记为数列{an},将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺 序组成一个新数列{bn},可以推测: (Ⅰ)b2012 是数列{ an }中的第______项;

a 2 ? b 2 ? ? a ? b ?? a ? b ? ,
3、观察 a ? b ? ? a ? b ? a ? ab ? b
3 3 2

a ?b
4

4

? ? ?a ? b? ?a

2

?
2 3

进而猜想 a ? b ?
n n

3

? a b ? ab ? b
2

?

(Ⅱ)b2k-1=______。 (用 k 表示)

4、对于 n ? N? ,将 n 表示为 n ? ak ? 2k ? ak ?1 ? 2k ?1 ? ? ? a1 ? 21 ? a0 ? 20 ,当 i ? k 时 ai ? 1 , 当 0 ? i ? k ? 1时 ai 为 0 或 1,定义 bn 如下:在 n 的上述表示中,当 a0 , a1 ,a2,…,ak 中 等于 1 的个数为奇数时,bn=1;否则 bn=0.[中国教#*育&出版^网@] (1)b2+b4+b6+b8=__; (2)记 cm 为数列{bn}中第 m 个为 0 的项与第 m+1 个为 0 的项之间的项数,则 cm 的最 大值是___. 6、 已知圆的面积 S(R)=πR2,显然 S′(R)=2πR 表示的是圆的周长:c=2πR.把该结论 类比到空间,写出球中的类似结论.

7、在△ABC 中,射影定理可以表示为 a=bcosC+ccosB,其中 a,b,c 依次为角 A、 B、C 的对边,类比以上定理,给出空间四面体性质的猜想.

课后练习参考答案
1、解析:第 i 个等式左边为 1 到 i+1 的立方和,右边为 1+2+...+(i+1)的平方所以第五个等 .... 式 为1 .
3

4 所以结论是: 以半径为 R 的球的体积为 V(R)= πR3, 其导函数表示的是球的表面积: S=4πR2. 3 7、解:如图,在四面体 P-ABC 中,S1、S2、S3、S 分别表 示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC 的面积,α、β、γ 依

? 23 ? 33 ? 43 ? 53 ? 63 ? 212 。
2 2+ , 3 3 3+ , 8 4 4+ , …, 等号的右边是 2 15 2 , 3

次表示面 PAB、面 PBC、面 PCA 与底面 ABC 所成角的大 小,我们猜想将射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为 S = S1cosα + S2cosβ + S3cosγ.

2、 解析: 观察所给的等式, 等号左边是 3 3 ,…,则第 n 个式子的左边是 8

n+1 ?n+1?+ ,右边是(n+1)· ?n+1?2-1

n+1 ,故 a=7,t ?n+1?2-1

=72-1=48.t-a=41,选 B. 4、 【答案】 (1)3; (2)2. 【解析】 (1)观察知 1 ? a0 ? 2 , a0 ? 1, b1 ? 1 ; 2 ? 1? 2 ? 0 ? 2 , a1 ? 1, a0 ? 0, b2 ? 1 ;
0 1 0

一次类推 3 ? 1? 2 ? 1? 2 , b3 ? 0 ; 4 ? 1? 2 ? 0 ? 2 ? 0 ? 2 , b4 ? 1 ;
1 0 2 1 0

5 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ? 1? 20 , b5 ? 0 ; 6 ? 1? 22 ? 1? 21 ? 0 ? 20 , b6 ? 0 , b7 ? 1, b8 ? 1 ,
b2+b4+b6+b8=3; (2)由(1)知 cm 的最大值为2. 5、 【答案】 (Ⅰ)5030; (Ⅱ)

5k ? 5k ? 1? 2
n(n ? 1) ,写出其若干项有: 2

【解析】由以上规律可知三角形数 1,3,6,10,…,的一个通项公式为 an ?

1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110, 发 现 其 中 能 被 5 整 除 的 为 10,15,45,55,105,110, 故

b1 ? a4 , b2 ? a5 , b3 ? a9 , b4 ? a10 , b5 ? a14 , b6 ? a15 .
从而由上述规律可猜想: b2 k ? a5 k ?

5k (5k ? 1) ( k 为正整数) , 2 (5k ? 1)(5k ? 1 ? 1) 5k (5k ? 1) , b2 k ?1 ? a5k ?1 ? ? 2 2

故 b2012 ? a2?1006 ? a5?1006 ? a5030 ,即 b2012 是数列 {an } 中的第 5030 项. 【点评】本题考查归纳推理,猜想的能力.归纳推理题型重在猜想,不一定要证明,但猜想需要有 一定的经验与能力,不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查. 6、解:平面图形的面积应该和空间几何体的体积问题类比;平面图形的周长应和空间几何体 4 4 的表面积类比.所以半径为 R 的球的体积为 V(R)= πR3,其导函数 V′(R)= ×3πR2=4πR2,显然表 3 3 示的是球的表面积.


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