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2014届高三数学(理科)---数列与不等式


2014 届高三数学(理科)---数列与不等式
一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的.) 1. a , b 是任意实数,且 a ? b ,则下列结论正确的是( A. a 2 ? b 2 B. ) D. 3? a ? 3?b

b ?1 a

C.

lg(a ? b) ? lg )

1 a ?b

2.下列各一元二次不等式中,解集为空集的是( A. ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 B. ( x ? 4)( x ?1) ? 0

C. x ? 2 x ? 3 ? 0
2

D. 2 x ? 3x ? 2 ? 0
2

3.条件 p :| x |? x ,条件 q : x2 ≥ x ,则 p是q 的( A、充要条件 C、必要不充分条件

)

B、既不充分也不必要条件 D、充分不必要条件 ) D.14 或 15

4、若数列 ?an ? 中, an ? 43 ? 3n ,则 Sn 最大值 n ? ( A.13 B.14 C.15

5. 等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn ,对一切正整数 n ,都有

2n Sn = , Tn 3n ? 1



a5 等于( b5
2 3

)?

A.

B.

9 14

C.

20 31

D.

11 17

? y≤x ? 6.设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ≥ 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为( ? y ≥ 3x ? 6 ?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 )

)

7.设 x、 y 为正数, 则 ( x ? y )( ?

1 x

4 ) 的最小值为( y
C.12

A.6

B.9

D.15

8. 已知平面区域 D 由以 A(1,3)、B(5, 2)、C (3,1) 为顶点的三角形内部及边界组成, 若在区 域 D 上有无穷多个点 ( x, y ) 可使目标函数 z ? x ? my 取得最小值,则 m 等于( A. -2 B. -1 C. 1 D.4 )

1

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卷中相应横线上) .... 9. ?an ? 为等差数列, a1 ? a4 ? a7 ? 39 , a2 ? a5 ? a8 ? 33 ,则 a3 ? a6 ? a9 ? _______. 10.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且对于任意正整数 n ,都有 an?1 ? an ? n ,则 a100 = _______. 11.不等式

ax ? 1 的解集为 ? x x ? 1 或 x >2? ,那么 a 的值为__________. x ?1

?x ? y ? 2 ≤ 0 ? 12.动点 P(a, b) 在不等式组 ? x ? y ≥ 0 表示的平面区域内部及边界上运动, ?y≥0 ?

则? ?

b?2 的取值范围是_____________. a ?1
2

13. 设 a ≥ 0, b ≥ 0, a ?

b2 ? 1 , 则 a 1 ? b2 的最大值为_________. 2

14.设 x 2 ? y 2 ? 1, 则 2x ? y 得最大值为__________.

三、解答题:本大题共 4 小题,共 50 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15. (本小题满分 12 分) 设全集为 R ,集合 A ={ x ∣ log 1 (3 ? x) ≥-2 }, B ={ x ∣
2

5 ≥ 1 },求 CR ( A ? B) . x?2

16. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ax2 ? (b ? 8) x ? a ? ab, 不等式 f ( x) ? 0 的解集是(-3,2). (1)求 f ( x) ; (2)当函数 f ( x) 的定义域是[0,1]时,求函数 f ( x) 的值域. 17. (本小题满分 14 分) 定 义 一 种 运 算 ? : n ?m ? n ? a ( m n? N a? 0 ) , ,
m

2

* ( 1) 若 数 列 {an } ( n ? N ) 满 足 an ? n m,当 m ? 2 时 , ?

求 证 : 数 列 {an } 为 等 差 数 列 ; ( 2) 设 数 列 {cn } ( n ? N ) 的 通 项 满 足 cn ? n?(n ?1) ,
*

试 求 数 列 {cn } 的 前 n 项 和 Sn .

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ,数列 {an }满足 : a1 ? 1, an?1 ? f ?(an ), 数列 {bn }满足b1 ? t ? 0 ( t 为常数)且 bn?1 ? f (bn )(n ? N*) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅲ)设 cn ?

bn ? 1 , 数列{cn } 的前 n 项和为 Sn ,若不等式 ? ? S n 对所有的正整数 n 恒成 bn?1

立,求 ? 的取值范围.

附加题:给定常数 c ? 0 ,定义函数 f ( x) ? 2 | x ? c ? 4 | ? | x ? c |,数列 a1 , a2 , a3 ,? 满足

an?1 ? f (an ), n ? N * .
(1)若 a1 ? ?c ? 2 ,求 a2 及 a3 ; (2)求证:对任意 n ? N * , an?1 ? an ? c , ; (3)是否存在 a1 ,使得 a1 , a2 ,?an ,? 成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1 ,若不 存在,说明理由.

参考答案
3

DCDB BBBC 9、27 10、4951 11、

1 2

12、 (??, ?2] ? [2, ??)

13、

3 2 4

14、 5

15. 解:A=[-1,3) , B=(-2,3]? A ? B= [-1,3)

C(A ? B) ? (??,?1) ? [3,??) R

16. 解? 不等式 f ( x) ? 0 的解集是(-3,2)于是不等式 f ( x) ? 0 的解是-3,2 由 f ( ?3) ? 0 , f (2) ? 0 解得 a ? ?3, b ? 5 ,于是 f ( x) ? ?3x 2 ? 3x ? 18 (2)当 x ? 0时, f max ( x) ? 18,当x ? 1时, f min ( x) ? 12,故所求函数 f (x) 的值域为[12,18]

2 17、证 明 : 由 题 意 知 当 m ? 2 时 , an ? n? m ? a ? n ,

则 有 an?1 ? a2 ?( n ?1)------------- -- ----------------- -- ----- 2 分 故 有 an?1 ? an ? a2 , n ? N ) 其 中 a1 ? 1?2 ? a2 , --- ----------- 3 分 ( ,
*

所 以 数 列 {an } 是 以 a1 ? a 2 为 首 项 , 公 差 d ? a 的 等 差 数 列 。 - ------4 分
2

( 2) 依 题 意 有 , cn ? n? n ?1) ? n ?n?1 , n ? N ) -------------- 5 分 , ( a (
*

所 以 , 当 a ? 1 时 , Sn ? c1 ? c2 ? ... ? cn ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? 当 a ? 1 时 , Sn ? 1? a0 ? 2? a 1 ? . .? n(? . 所 以 aSn ? 1? a1 ? 2? a 2 ? . .? n(? .

n(n ? 1) ; ---7 分 2

1 ?1)n? 2? n ? an? , -----( 1) a

?1)n? 1? n ? an ---------( 2 ) - --------8 分 a
-------9 分 nna

1 n ? 由 ( 2) -( 1) 得 : (1? a )Sn ? 1 a ? ?1 a? . . . ? 1? 2? ? 1 1 ? 0 ? n a a?

得 : Sn ?

n ? 1 ? an n an (1? a) n a1 ? n n ? n ? 1 a a * , n ? N ) -------- 11 分 ( ? ? 2 2 2 (1? a ) (1 a ) ? (1a ) ?

n n ? n an ?1 ? n a ? a? 1 (a ? 1) ? 2 ? (1? a ) 综 上 所 述 , Sn ? ? -------------------------1 4 分 ? n(n ? 1) (a ? 1) ? 2 ?

18、解: (I) f ?( x) ? 2 x ? 2 ,………1 分
4

? an?1 ? 2an ? 2

? an?1 ? 2 ? 2 an ? 2 ) (

{an ? 2}为等比数列,?an ? 2 ? (a1 ? 2)2n?1


?an ? 3 ? 2n?1 ? 2 …………4

(Ⅱ)由已知得 bn ? 0 , bn?1 ? 1 ? (bn ? 1)2 , ……1 分?lg(bn?1 ? 1) ? 2lg(bn ? 1), ∴又 lg(b1 ? 1) ? lg(t ? 1) ? 0, 所以 {lg(bn ? 1)}的公比为 2 的等比数列, ∴ bn ? (t ? 1)2
n?1

?1 。………8 分
bk ?1 , bk

2 (Ⅲ) ?bk ?1 ? bk ? 2bk , ? bk ? 2 ?

ck ?

bk ? 1 (bk ? 2) ? 1 1 1 , k ? 1,2,?, n ? ? ? bk ?1 bk ?1 bk bk ?1

? Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? (

1 1 1 1 1 1 1 1 , ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )? ? n t (t ? 1)2 ? 1 b1 b2 b2 b3 bn bn?1

? t ? 0, ?t ? 1 ? 1, ? Sn在n ? [1, ??) 上是增函数

1 1 t ?1 ? 2 , ? Sn ≥ S 1 ? ? 2 t (t ? 1) ? 1 t ? 2t
又不等式 ? ? S n 对所有的正整数 n 恒成立,

?? ?

t ?1 . t ? 2t
2

附加题: (1)因为 c ? 0 , a1 ? ?(c ? 2) ,故 a2 ? f (a1 ) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? 2 ,

a3 ? f (a1 ) ? 2 | a2 ? c ? 4 | ? | a2 ? c |? c ? 10
(2)要证明原命题,只需证明 f ( x) ? x ? c 对任意 x ? R 都成立,

f ( x) ? x ? c ? 2 | x ? c ? 4 | ? | x ? c |? x ? c ,
即只需证明 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c , 若 x ? c ? 0 ,显然有 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c=0 成立; 若 x ? c ? 0 ,则 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c ? x ? c ? 4 ? x ? c 显然成立, 综上, f ( x) ? x ? c 恒成立,即对任意的 n ? N , an?1 ? an ? c ;
*

(3)由(2)知,若 {an } 为等差数列,则公差 d ? c ? 0 ,故 n 无限增大时,总有 an ? 0 ,
5

此时, an?1 ? f (an ) ? 2(an ? c ? 4) ? (an ? c) ? an ? c ? 8 ,即 d ? c ? 8 , 故 a2 ? f (a1 ) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? a1 ? c ? 8 , 即 2 | a1 ? c ? 4 |?| a1 ? c | ?a1 ? c ? 8 , 当 a1 ? c ? 0 时,等式成立,且 n ? 2 时, an ? 0 ,此时 {an } 为等差数列,满足题意; 若 a1 ? c ? 0 ,则 | a1 ? c ? 4 |? 4 ? a1 ? ?c ? 8 , 此时, a2 ? 0, a3 ? c ? 8,?, an ? (n ? 2)(c ? 8) 也满足题意; 综上,满足题意的 a1 的取值范围是 [?c, ??) ? {?c ? 8} .

6


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