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江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试 数学试题(选修历史)


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江苏省连云港市 2013 届高三上学期摸底考试

数学试题(选修历史)
注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题一第 14 题) 、解答题(第 15 题一第 20 题) .本卷满分 160 分,考试时闻为 120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题 卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔,请注意字体工整,笔迹清楚. 4.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损, 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合 ? ={1,2,3,4},A={l,2,3},B={2,3,4},则 CU ( A ? B) ? 2.命题“ ? x∈ R,x+l≥0”的否定为 3.复数 z=(1 一 i)(2+i)的实部为____ 4.若幂函数 y ? mxn (m, n ? R) 的图象经过点( 8, 5.抛物线 x
2



. .

1 ) ,则 n= 4




=4y 的准线方程为

?x ? y ? 2 ? 0 ? 6.设实数 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 ,则目标函数 z=2x+y 的最大值为 ?y ? 2 ?
7.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b ? c ? a ? bc ? 0 ,则∠ A=
2 2 2





8.已知 f ( x) ?

?3 x 2 ? 4 x, x ? 0 ? 为偶函数,则 ab= 2 ?ax ? bx, x ? 0 ?
2



9.若函数 f ( x) ? 2 ? x ? 4 在区间(m,n)上有且只有一个零点(m,n 为连续的两个整数), 则 m= . 10.已知对称轴为坐标轴且焦点在 x 轴上的双曲线,两个顶点间的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 2,则双曲线的方程为___ ____. 11.曲线 f ( x) ? x sin x 在 x ?
2 2

?
2

处的切线方程为
2


2

12.已知 1 ? 1 , 2 ? 3 ? 4 ? 3 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 5 , 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ?10 ? 7 ,……,则第 n 个 等式为 。
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13.给定函数① y ? x ?1 ,② y ? 1og 1 ( x ? 1), ③ y ?| x ? 1|, ④ y ? 2x ?1 , 其中在区间(0,1)上单调递减
2

的函数序号为

。 。

14.函数 f ( x) ?| x2 ? x ? t | 在区间[-1,2]上最大值为 4,则实数 t=

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、 ........... 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图,已知 GA ? GB ? GC ? 0, ?AGB ? 135?, ?AGC ? 120?, GB 的长为 2 3 ,求 GA、GC 的 长。

??? ??? ??? ? ? ?

?

16. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an }满足 : a1 ? 1, a2 ? a(a ? 0), 数列 bn }满足bn ? an an?2 (n ? N * ) { (1)若 {an } 是等差数列,且 b3 ? 45, 求a的值及{an } 的通项公式 ; (2)若 {an } 的等比数列,求 {bn } 的前 n 项和 Sn.

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17. (本小题满分 14 分) 如图,重量是 2000N 的重物挂在杠杆上距支点 10 米处.质量均匀的杆子每米的重量为 100N. (1)杠杆应当为多长,才能使得加在另一端用来平衡重物的力 F 最小; (2)若使得加在另一端用来平衡重物的力 F 最大为 2500N,求杠杆长度的变化范围.

18.(本小题满分 16 分) 在函数 f ( x) ? 1gx 的图象上有三点 A、B、C,横坐标依次是 m ? 1, m, m ? 1(m ? 2). (1)试比较 f (m ? 1) ? f (m ? 1)与2 f (m)的大小; (2)求△ABC 的面积 S ? g (m) 的值域.

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19. (本小题满分 16 分) 如图,已知中心在原点且焦点在 x 轴上的椭圆 E 经过点 A(3,1),离心率 e ?

6 . 3

(1)求椭圆 E 的方程; (2)过点 A 且斜率为 1 的直线交椭圆 E 于 A、C 两点,过原点 O 与 AC 垂直的直线交椭圆 E 于 B、D 两点,求证 A、B、C、D 四点在同一个圆上.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 9a x(a ? 0) .
3 2 2

(1)当 a=l 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)若方程 f ( x) ? 121nx ? 6ax ? 9a ? a 在【l,2】恰好有两个相异的实根,求实数 a 的取值
2

范围(注:1n2≈0.69) : (3)当 a>0 时,若 f ( x ) 在【0,2】的最大值为 h(a),求 h(a)的表达式。

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参考答案
一、填空题 (本题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分)

二、解答题(共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

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16.解 (1)因为 ?an ? 是等差数列, d ? a ? 1 , an ? 1 ? n(a ? 1) ,……………2 分

[1 ? 2(a ? 1)][1 ? 4(a ? 1)] ? 45 ,解得 a ? 3 或 a ?

?7 (舍去) ,……………5 分 4

an ? 2n ? 1 .……………7 分
(2)因为 ?an ? 是等比数列, q ? a , an ? a n?1 , bn ? a 2n .…………9 分 当 a ? 1 时, bn ? 1 , Sn ? n ;…………11 分 当 a ? 1 时, S n ?

a 2 (1 ? a 2 n ) .………………………14 分 1 ? a2

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(2) S ? g (m) ? S ABB1 A1 ? SCBB1C 1 ? SCAA1C 1

1 1 1 ? [lg(m ? 1) ? lg m] ? [lg(m ? 1) ? lg m] ? [lg(m ? 1) ? lg(m ? 1)] ? 2 …8 分 2 2 2
1 m2 S ? lg ………………12 分 2 (m ? 1)(m ? 1)
1 m2 1 1 ? lg 2 ? lg(1 ? 2 ) ,………………14 分 2 m ?1 2 m ?1 1 4 因为 m ? 2 时,单调递减,所以 0 ? S ? lg .………………16 分 2 3 x2 y2 6 ? ? 1 ,因为离心率 e ? ,所以 a 2 ? 3b2 ,…2 分 a2 b2 3

19 解(1) 设椭圆方程为 所以椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ?1, 3b 2 b 9 1 又因为经过点 A(3,1) ,则 2 ? 2 ? 1 ,…………4 分 3b b x2 y2 ? ? 1 .…………………………………6 分 所以 b2 ? 4 ,所以椭圆的方程为 12 4

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20 . 解 ( 1 ) 当 a ? 1 时 , f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 0 , x( x2 ? 3x ? 9) ? 0 , 解 得

3? 3 5 ?x?0 或 2

x?

3?3 5 .………………………2 分 2
(2)由 f ' ( x) ? 12ln x ? 6ax ? 9a2 ? a 得 a ? 12ln x ? 3x 2 ,令 m( x) ? 12ln x ? 3x2 ,则

m' ( x) ?

12 12 ? 6 x ,当 m' ( x) ? ? 6 x ? 0 时, x ? 2 .……………4 分 x x

当 x ?[1, 2) 时, m' ( x) ? 0 ,此时 m( x) 递增;当 x ? ( 2, 2] 时, m' ( x) ? 0 ,此时 m( x) 递减; 所以 m( x)max ? g ( 2) ? 6(ln 2 ? 1) ,…………6 分 又因为 m(1) ? ?3 ,m(2) ? 12(ln 2 ? 1) ? ?3 ,所以当 x ? [1, 2] 时,m' ( x) ? 12ln x ? 6ax ? 9a2 ? a 恰 好有两个相异的实根实数的取值范围为 ?3 ? a ? 6(ln 2 ? 1) .……………8 分

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