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2016-2017学年高中数学苏教版选修1-2课件:第一章 统计与案例 1.1


阶 段 一

阶 段 三

1.1
阶 段 二

独立性检验

学 业 分 层 测 评

1.了解独立性检验的概念,会判断独立性检验事件. 2.能列出 2×2 列联表,会求 χ2(卡方统计量的值). 3.能够利用临界值,作出正确的判断.(重点) 4.应用独立性检验分析实际问题.(难点)

[基础· 初探] 教材整理 1 2×2 列联表的意义 阅读教材 P5~P7“例 1”以上部分完成下列问题 一般地,对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ,Ⅰ有两类取值类 A 和类 B(如吸烟与不 吸烟),Ⅱ也有两类取值类 1 和类 2(如患呼吸道疾病和未患呼吸道疾病),我们得 到如下表所示的抽样数据:

Ⅱ 类1 Ⅰ 类A 类B 合计 a c 类2 b d 合计 a+b c+d

a+c b+d a+b+c+d

形如上表的表格称为 2×2 列联表, 2×2列联表 经常用来判断Ⅰ和Ⅱ之间 是否有关系.

下面是一个 2×2 列联表: y1 x1 x2 总计 a 8 b y2 21 25 46 总计 73 33

则表中 a,b 处的值分别为________.

【导学号:97220000】

【解析】 ∵a+21=73,∴a=52. 又 b=a+8=52+8=60.

【答案】 52,60

教材整理 2

独立性检验

阅读教材 P5~P7“例 1”以上部分完成下列各题. 1.独立性检验 2×2 列联表中的数据是样本数据,它只是总体的代表,具有随机性,结果 并不唯一.因此,由某个样本得到的推断有可能正确,也有可能错误.为了使不同 样本量的数据有统一的评判标准,统计学中引入下面的量(称为卡方统计量):
2 n ? ad bc ? χ2= (*), ?a+b??c+d??a+c??b+d?

其中 n=

a+b+c+d

为样本量.

用 χ2 统计量研究这类问题的方法称为独立性检验(test of independence).

2.独立性检验的基本步骤 要推断“Ⅰ与Ⅱ有关系”,可按下面的步骤进行: (1)提出假设 H0:Ⅰ与Ⅱ没有关系; (2)根据 2×2 列联表公式(*)计算 χ2 的值; (3)查对临界值(如下表),作出判断. P(χ2≥x0) x0 P(χ2≥x0) x0 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 2.706 0.001

0.455 0.708 1.323 2.072 0.05 0.025 0.010 0.005

3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

1. 关于分类变量 x 与 y 的随机变量 χ2 的观测值 k ,下列说法正确的是 ________.(填序号) (1)χ2 的值越大,“X 和 Y 有关系”可信程度越小; (2)χ2 的值越小,“X 和 Y 有关系”可信程度越小; (3)χ2 的值越接近于 0,“X 和 Y 无关”程度越小; (4)χ2 的值越大,“X 和 Y 无关”程度越大. 【解析】 χ2 的值越大,X 和 Y 有关系的可能性就越大,也就意味着 X 和 Y

无关系的可能性就越小.
【答案】 (2)

2.式子|ad-bc|越大,χ2 的值就越________.(填大或小) 【解析】 由 χ2 的表达式知|ad-bc|越大,(ad-bc)2 就越大,χ2 就越大. 【答案】 大

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________

[小组合作型]

绘制2×2列联表
在一项有关医疗保健的社会调查中,调查的男性为 530 人,女性为 670 人, 发现其中男性中喜欢吃甜食的为 117 人, 女性中喜欢吃甜食的为 492 人, 请作出性别与喜欢吃甜食的列联表.

【精彩点拨】 分成两类,找出不同类情况下的两个数据再列表.

【自主解答】

作 2×2 列联表如下: 喜欢甜食 不喜欢甜食 合计 男 女 合计 117 492 609 413 178 591 530 670 1 200

1.分清类别是作列联表的关键; 2.表中排成两行两列的数据是调查得来的结果; 3.选取数据时,要求表中的四个数据 a,b,c,d 都要不小于 5,以保证检验 结果的可信度.

[再练一题] 1.某电视公司为了研究体育迷是否与性别有关,在调查的 100 人中,体育迷 75 人,其中女生 30 人,非体育迷 25 人,其中男生 15 人,请作出性别与体育迷 的列联表.

【解】 体育迷 非体育迷 合计 男 女 合计 45 30 75 15 10 25 60 40 100

利用χ2值进行独立性检验
某矿石粉厂当生产一种矿石粉时, 在数天内即有部分工人患职业性 皮肤炎,在生产季节开始,随机抽取 75 名车间工人穿上新防护服,其余仍穿原 用的防护服,生产进行一个月后,检查两组工人的皮肤炎患病人数如下:

阳性例数 阴性例数 合计 新防护服 旧防护服 合计 5 10 15 70 18 88 75 28 103

问这种新防护服对预防工人患职业性皮肤炎是否有效?并说明你的理由.

【精彩点拨】 通过有关数据的计算,作出相应的判断.
【自主解答】 提出假设 H0:新防护服对预防皮肤炎没有明显效果.

根据列联表中的数据可求得
2 103 × ? 5 × 18-70 × 10 ? χ2= ≈13.826. 75×28×15×88

因为 H0 成立时,χ2≥10.828 的概率约为 0.001,而这里 χ2≈13.826>10.828, 所以我们有 99.9%的把握说新防护服比旧防护服对预防工人患职业性皮肤炎有 效.

2 n ? ad bc ? 根据 2×2 列联表,利用公式 χ2= 计算 χ2 的值,再 ?a+b??c+d??a+c??b+d?

与临界值比较,作出判断.

[再练一题] 2.在某医院,因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中,有 214 人秃顶;而 另外 772 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中,有 175 人秃顶.根据以上数 据判断男性病人的秃顶与患心脏病是否有关系?

【解】

提出假设 H0:男性病人的秃顶与患心脏病没有关系.

根据题中所给数据得到如下 2×2 列联表: 患心脏病 未患心脏病 合计 秃顶 不秃顶 合计 214 451 665 175 597 772 389 1 048 1 437

根据列联表中的数据可以求得
2 1 437 × ? 214 × 597-175 × 451 ? χ2= ≈16.373. 389×1 048×665×772

因为当 H0 成立时, χ2≥10.828 的概率约为 0.001, 而这里 χ2≈16.373>10.828, 所以有 99.9%的把握认为,男性病人的秃顶与患心脏病有关系.

[探究共研型]

独立性检验的综合应用
探究 1 利用 χ2 进行独立性检验,估计值的准确度与样本容量有关吗?

【提示】 利用 χ2 进行独立性检验,可以对推断的正确性的概率作出估计, 样本容量 n 越大,这个估计值越准确,如果抽取的样本容量很小,那么利用 χ2 进行独立性检验的结果就不具有可靠性.

探究 2

在 χ2 运算后,得到 χ2 的值为 29.78 ,在判断变量相关时 ,

P(χ2≥6.635)≈0.01 和 P(χ2≥7.879)≈0.005,哪种说法是正确的?
【提示】 两种说法均正确.P(χ2≥6.635)≈0.01 的含义是在犯错误的概率不 超过 0.01 的前提下认为两个变量相关;而 P(χ2≥7.879)≈0.005 的含义是在犯错 误的概率不超过 0.005 的前提下认为两个变量相关.

为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响, 现统 计数据如下:甲在生产现场时,990 件产品中有合格品 982 件,次品 8 件;甲不 在生产现场时,510 件产品中有合格品 493 件,次品 17 件.试分别用列联表、独 立性检验的方法分析监督员甲对产品质量好坏有无影响 .能否在犯错误的概率不 超过 0.001 的前提下,认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关?

【精彩点拨】 解答本题可先列出 2×2 列联表,然后具体分析.

【自主解答】 (1)2×2 列联表如下: 合格品数 次品数 总计 甲在生产现场 甲不在生产现场 合计 982 493 1 475 8 17 25 990 510 1 500

由列联表可得|ad-bc|=|982×17-493×8|=12 750,相差较大,可在某种程度 上认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”.

(2)由 2×2 列联表中数据,计算得到 χ2 的观测值为
2 1 500 × ? 982 × 17-493 × 8 ? χ2= ≈13.097>10.828, 990×510×1 475×25

因此在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下, 认为质量监督员甲是否在生产 现场与产品质量有关.

判断两个变量是否有关的三种方法

[再练一题] 3.(2016· 山东潍坊第二次模拟)为使政府部门与群众的沟通日常化, 某城市社 区组织“网络在线问政”活动.2015 年,该社区每月通过问卷形式进行一次网上 问政.2016 年初,社区随机抽取了 60 名居民,对居民上网参政议政意愿进行调 查.已知上网参与问政次数与参与人数的频数分布表如下: 参与调查 问卷次数 参与调查 问卷人数 [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12]

8

14

8

14

10

6

2 n ? ad bc ? 附:χ2= , ?a+b??c+d??a+c??b+d?

P(χ2≥k) 0.100 k

0.50

0.010

2.706 3.841 6.635

若将参与调查问卷不低于 4 次的居民称为“积极上网参政居民”,请你根 据频数分布表,完成 2×2 列联表,据此调查是否有 99%的把握认为在此社区内 “上网参政议政与性别有关”:

男 女 合计 积极上网参政居民 不积极上网参政居民 合计 40 8

【解析】 由题意知,积极上网参政的有 8+14+10+6=38 人,不积极上 网参政的有 8+14=22 人, 2×2 列联表为: 男 女 合计 积极上网参政居民 30 8 38 22 60

不积极上网参政居民 10 12 合计 40 20

2 60 × ? 30 × 12-10 × 8 ? ∴χ2= ≈7.03, 40×20×38×22

∵7.03>6.635, ∴有 99%的把握认为“上网参政议政与性别有关”.

[构建· 体系]

1.在 2×2 列联表中,若每个数据变为原来的 2 倍,则 χ2 的值变为原来的 ________倍.
【解析】
2 n ? ad bc ? 由公式 χ2= 中所有值变为原来的 2 倍, ?a+b??c+d??a+c??b+d?

2 2 n ? 2 a · 2 d -2 b · 2 c ? 得(χ2)′= =2χ2, ?2a+2b??2c+2d??2a+2c??2b+2d?

故 χ2 也变为原来的 2 倍.

【答案】 2

2. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的序号是 __________. 【导学号:97220001】 ①若 χ2 的观测值为 6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那 么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病; ②从独立性检验可知,有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说 某人吸烟,那么他有 99%的可能性患有肺病; ③若从统计量中求出有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有 5%的 可能性使得推断出现错误; ④以上三种说法均不正确

【解析】 性是 5%.

若有 95%的把握认为两个变量有关系,则说明判断出错的可能

【答案】 ③

3.下列说法正确的是________.(填序号) ①对事件 A 与 B 的检验无关,即两个事件互不影响;②事件 A 与 B 关系越 密切,χ2 就越大;③χ2 的大小是判断事件 A 与 B 是否相关的唯一数据;④若判 定两事件 A 与 B 有关,则 A 发生 B 一定发生.

【解析】 对于①,事件 A 与 B 的检验无关,只是说两事件的相关性较小, 并不一定两事件互不影响,故①错.②是正确的.对于③,判断 A 与 B 是否相关的 方式很多,可以用列联表,也可以借助于概率运算,故③错.对于④,两事件 A 与 B 有关,说明两者同时发生的可能性相对来说较大,但并不是 A 发生 B 一定 发生,故④错.
【答案】 ②

a 4.在 2×2 列联表中,两个比值 与________相差越大,两个分类变量有 a+b 关系的可能性越大. a c 根据 2×2 列联表可知,比值 与 相差越大,则|ad-bc|就 a+b c+d

【解析】

越大,那么两个分类变量有关系的可能性就越大.
【答案】 c c+d

5.(2014· 辽宁高考节选)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯, 在全校一年 级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示: 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 北方学生 合计 60 10 70 20 10 30 80 20 100

根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜 品的饮食习惯方面有差异”.

【解】

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得

2 n ? ad bc ? χ2= ?a+b??c+d??a+c??b+d?

100×?60×10-20×10?2 100 = = 21 ≈4.762. 80×20×70×30 因为 4.762>3.841, 所以有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜 品的饮食习惯方面有差异”.

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

学业分层测评(一)
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