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高中数学数列习题2


高中数学数列习题 一、选择题(本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1.下列四个数中,哪一个是数列{ n(n ? 1) }中的一项 (A)380 (B)39 ( A ) (C)35 (D)23 ) (D)55

2.在等差数列 {an} 中,公差 d ? 1 , a4 ? a17 ? 8 ,

则 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 的值为(B (A)40 (B)45 (C)50

3.一套共 7 册的书计划每 2 年出一册,若各册书的出版年份数之和为 13979,则出齐这套书的年份是 ( D ) (A)1997 (B)1999 (C)2001 (D)2003

4.一个项数是偶数的等比数列,它的偶数项的和是奇数项和的 2 倍,又它的首项为 1,且中间两项的和 为 24,则此等比数列的项数为( C ) (A)12 ,ac=-9 解:由等比数列的性质可得 ac=(-1)×(-9)=9,b×b=9 且 b 与奇数项的符号相同,故 b=-3, 选B 8.在等差数列{a n }中,已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13,则 a 4 +a 5 +a 6 等于( A.40 B.42 C.43 D.45 B )

解:在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, ∴ d=3,a5=14, a4 ? a5 ? a6 =3a5=42,选 B. 9.已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为( A.5 解: ? B.4 C. 3 D. 2 C )

?5a1 ? 20 d ? 15 ? d ? 3 ,故选 C. ?5a1 ? 25 d ? 30

解:由互不相等的实数 a, b, c 成等差数列可设 a=b-d,c=b+d,由 a ? 3 ? c ? 10 可得 b=2,所以 a=2 b -d,c=2+d,又 c, a, b 成等比数列可得 d=6,所以 a=-4,选 D 11.在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 = ( A ) A. 81 B. 27 5 27 C.

3

D. 243

解:因为数列{an}是等比数列,且 a1=1,a10=3,所以 a2a3a4a5a6a7a8a9= (a2a9) 3a8) 4a7) 5a6)=(a1a10)4=34=81,故选 A (a (a (a

1

12. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 S n ,若数列 ?an ? 1? 也是等比数列,则 S n 等于(C ) (A) 2n?1 ? 2 (B)

3n
n ?1

(C) 2n

(D) 3n ? 1

【解析】因数列 ?an ? 为等比,则 an ? 2q 则

,因数列 ?an ? 1? 也是等比数列,

(an ?1 ? 1) 2 ? (an ? 1)(an ? 2 ? 1) ? an ?12 ? 2an ?1 ? an an ? 2 ? an ? an ? 2 ? an ? an ? 2 ? 2an ?1 ? an (1 ? q 2 ? 2q ) ? 0 ? q ? 1

即 an ? 2 ,所以 S n ? 2n ,故选择答案 C。 【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式,着重考查了运算能力。 13.设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a13 ? (B ) A. 120 B. 105 C. 90 D. 75

【 解 析 】 ?an ? 是 公 差 为 正 数 的 等 差 数 列 , 若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 , 则

a2 ? 5



a1a3 ? (5 ? d )(5 ? d ) ? 16 ,∴ d=3, a12 ? a2 ? 10d ? 35 , a11 ? a12 ? a13 ? 105 ,选 B.
14.设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? ( D A. 8 B. 7 C. 6 ) D. 5

【解析】 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 7a4 ? 35, ∴ a4 ? 5 ,选 D. S3 1 S6 15.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 = ( S6 3 S12 3 (A) 10 1 (B) 3 1 (C) 8 A )

1 (D) 9

解析:由等差数列的求和公式可得

S3 3a1 ? 3d 1 ? ? , 可得a1 ? 2d 且 d ? 0 S6 6a1 ? 15d 3

所以

S6 6a1 ? 15d 27 d 3 ? ? ? ,故选 A S12 12a1 ? 66d 90d 10

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.把答案填在题中横线上) 1.在数列 {an} 中, an ?
1 n ? n ?1

,且 Sn ? 9 ,则 n ?

99



2.等比数列 {an} 的前三项为 x , 2x ? 2 , 3x ? 3 ,则 a4 ?

?

27 2
.

3. 若数列 ?a n ? 满足: a1 ? 1, a n?1 ? 2a n .n ? 1 ,2,3….则 a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

解 : 数 列 ?a n ? 满 足 : a1 ? 1, an?1 ? 2an , n ? 1 , 2 , 3… , 该 数 列 为 公 比 为 2 的 等 比 数 列 , ∴

2

2n ? 1 ? 2n ? 1 . a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2 ?1
4.设 S n 为等差数列 ?a n ?的前 n 项和, S 4 =14,S10- S 7 =30,则 S9= 解:设等差数列 ?a n ?的首项为 a1,公差为 d,由题意得 4a1 ? 54 .

[10a1 ?

10(10 ? 1) 7(7 ? 1) 9(9 ? 1) d ] ? [7a1 ? d ] ? 30 ,联立解得 a1=2,d=1,所以 S9= 9 ? 2 ? ? 1 ? 54 2 2 2


4(4 ? 1) d ? 14, 2

5.在数列 {an } 中,若 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? 2(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? 2n-1

解:由 an?1 ? an ? 2(n ? 1) 可得数列 {an } 为公差为 2 的等差数列,又 a1 ? 1 ,所以 an ? 2n-1 三、解答题(本大题共 4 小题,每小题 10 分,共 40 分) 1.已知 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ?

20 ,求 ?an ? 的通项式。 3

a3 2 解: 设等比数列{an}的公比为 q, 则 q≠0, a2= = , a4=a3q=2q q q 所以 2 20 1 + 2q= , 解得 q1= , q2= 3, q 3 3

1 1 - 18 - 当 q1= , a1=18.所以 an=18× )n 1= n-1 = 2× 3 n. ( 3 3 3 3 当 q=3 时, a1= 2 2 - , 所以 an= × 3n-1=2× n 3. 3 9 9

2.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S4 ? 1, S8 ? 17, 求通项公式an ? ? 解:设 {an } 的公比为 q,由 S4 ? 1, S8 ? 17知q ? 1 ,所以得

a1 (q 4 ? 1) ? 1 …① q ?1

a1 (q 8 ? 1) q8 ? 1 ? 17 ……②由①、②式得整理得 4 ? 17 解得 q 4 ? 16 q ?1 q ?1
所以 q=2 或 q=-2

1 2n ?1 ,所以 a ? 15 15 1 (?1)n ? 2n ?1 将 q=-2 代入①式得 a1 ? ? ,所以 an ? 5 5
将 q=2 代入①式得 a1 ? 3. 已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列,求数列{an}的通项 an . 解析:解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① 又 10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0
3

∴10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3.

∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列∴a1≠3; 当 a1=2 时,a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3. 4.数列 ?an ? 的前 n 项和记为 S n , a1 ? 1, an ?1 ? 2S n ? 1? n ? 1? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)等差数列 ?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b 成等比数列, 3 求 Tn 本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及推理能力与运算能力。满分 12 分。 解: (Ⅰ)由 an ?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2 S n ?1 ? 1? n ? 2 ? ,两式相减得 an ?1 ? an ? 2an , an ?1 ? 3an ? n ? 2 ? 又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 故 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 3 得等比数列 ∴ an ? 3n ?1 (Ⅱ)设 ?bn ? 的公差为 d 由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 由题意可得 ? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3? 解得 d1 ? 2, d 2 ? 10 ∵等差数列 ?bn ? 的各项为正,∴ d ? 0 ∴d ? 2 ∴ Tn ? 3n ?
2

n ? n ? 1? 2

? 2 ? n 2 ? 2n

四、附加题(20 分) 某校有教职员工 150 人,为了丰富教工的课余生活,每天定时开放健身房和娱乐室。据调查统计,每 次去健身房的人有 10%下次去娱乐室,而在娱乐室的人有 20%下次去健身房.请问,随着时间的推移,去 健身房的人数能否趋于稳定?
4

解: 引入字母,转化为递归数列模型. 设第 n 次去健身房的人数为 an,去娱乐室的人数为 bn,则 an ? bn ? 150 .

? an ?

9 2 9 2 7 7 an ?1 ? bn ?1 ? a n?1 ? (150 ? a n?1 ) ? an?1 ? 30即a n ? a n?1 ? 30 . 10 10 10 10 10 10
7 7 (a n?1 ? 100 ) ,于是 an ? 100 ? (a1 ? 100 )( ) n?1 10 10

? a n ? 100 ?



7 a n ? 100 ? ( ) n ?1 ? (a1 ? 100 ) . 10

? lim a n ? 100 .故随着时间的推移,去健身房的人数稳定在 100 人左右.
n ??

5


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