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2014高考数学文复习方案 二轮作业手册(新课标·通用版)专题综合训练(五) 专题五 立体几何 Word版含解析


专题综合训练(五) [专题五 立体几何] (时间:60 分钟 分值:100 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图 Z5-1 所示,则其俯视图 为( )

图 Z5-1

图 Z5-2 2.已知一个几何体的三视图如图 Z5-3 所示,则该几何体的体积为(

)

图 Z5-3 2π 4π A.8- B.8- 3 3 4π 2π C.4- D.4- 3 3 3.已知一个几何体的三视图如图 Z5-4 所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几 何体的体积为( )

图 Z5-4 (4+π) 3 A. 3 B.(4+π ) 3

(

(8+π) 3 (8+π) 3 C. D. 2 6 4.一个三棱柱的侧棱垂直于底面,且所有棱长都为 a,则此三棱柱的外接球的表面积为 ) A.π a2 B.15π a2 11 7 C. π a2 D. π a2 3 3 5.某几何体的三视图如图 Z5-5 所示,则它的体积是( )

图 Z5-5 2π π A. B.8- 3 3 2π C.8- D.8-2π 3 6.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线成等角的 直线共有( ) A.0 条 B.1 条 C.4 条 D.无数条 7. 已知空间两条不同的直线 m, n 和两个不同的平面 α, β , 则下列命题中正确的是( ) A.若 m∥α,n ?α ,则 m∥n B.若 α∩β=m,m⊥n,则 n⊥α C.若 m∥α,n∥α ,则 m∥n D.若 m∥α,m ?β ,α ∩β =n,则 m∥n 8.已知正方形 ABCD 的边长为 2 2,将△ABC 沿对角线 AC 折起,使平面 ABC⊥平面 ACD,得到如图 Z5-6 所示的三棱锥 B-ACD.若 O 为 AC 边的中点,M,N 分别为线段 DC, BO 上的动点(不包括端点),且 BN=CM.设 BN=x,则三棱锥 N-AMC 的体积 y=f(x)的函数 图像大致是( )

图 Z5-6

图 Z5-7

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9.一水平放置的平面图形 OABC,用斜二测画法画出它的直观图 O′A′B′C′如图 Z5-8 所 示,此直观图恰好是一个边长为 2 的正方形,则原平面图形 OABC 的面积为________.

图 Z5-8

图 Z5-9

10.如图 Z5-9 所示是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是两底长分别为 2 和 4,腰长为 4 的等腰梯形,则该几何体的表面积是________. 11.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 5 的球 O 的球面上,且 AB=8,BC=2 3,则 棱锥 O-ABCD 的体积为________. 12. 一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为 a 的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面 上,则该球的表面积为________. 三、解答题(共 40 分) 13.(13 分)某粮仓是如图 Z5-10 所示的多面体,多面体的棱称为粮仓的“梁”.现测得 底面 ABCD 是矩形,AB=16 m,AD=4 m,腰梁 AE,BF,CF,DE 分别与相交的底梁所成 角均为 60°. (1)求腰梁 BF 与 DE 所成角的大小; (2)若不计粮仓表面的厚度,该粮仓可储存多少粮食?

图 Z5-10

14.(13 分)如图 Z5-11 所示,在多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, AB=CD=1,AC= 3,AD=DE=2,G 为 AD 的中点. (1)在线段 CE 上找一点 F,使得 BF∥平面 ACD,并加以证明; (2)求三棱锥 G-BCE 的体积.

图 Z5-11

15.(14 分)如图 Z5-12 所示,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,D,E 分别是线段 BC,PD 的中点. (1)若 AP=AB=AC=2, BC=2 3,求三棱锥 P-ABC 的体积; 1 (2)若点 F 在线段 AB 上,且 AF= AB,证明:直线 EF∥平面 PAC. 4

图 Z5-12

专题综合训练(五) 1.C [解析] 直观图如图所示,则其俯视图为 C.

2.D 2 13=4- π . 3 3. D

2 [解析] 该几何体为一个长方体内“挖去”一个半球,所以其体积为 22×1- π × 3 1 [解析] 该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组合而成的,所以其体积为 ×π × 3

(8+π) 3 1 1 12× 3× + ×4× 3= . 2 3 6 7πa 7a2 4.D [解析] R= ,S=4π R2= . 12 3 5.C [解析] 由三视图知原几何体为一个正方体里面挖去一个圆锥,正方体的棱长为 2,
2 2 ?a? +?2× 3a? = ?2? ?3 2 ?

2

2π 1 圆锥的底面半径为 1,高为 2,所以该几何体的体积为 V=23- ×π ×12×2=8- . 3 3 6.C [解析] 根据异面直线所成的角的定义可知:与其中一条直线平行的直线,与另一 条所成的角相等.而在长方体的 12 条棱中,分为三组,每组只有四条直线相互平行,故只有 四条直线与过 P 的直线成等角. 7.D [解析] A 中,m∥α ,m 与 α 无公共点,故 m 与 α 内的直线平行或异面,故 A 错 误;B 中,n 与 α 可能平行,故 B 错误;C 中,m 与 n 可能平行,故 C 错误;D 为线面平行的 性质定理,故 D 正确. 8. D [解析] 因为正方形 ABCD 的边长为 2 2, 所以 AC=4, 又平面 ABC⊥平面 ACD, 2 2 O 为 AC 边的中点,所以 BO⊥AC,BO⊥平面 ACD.可求得 f(x)=- (x-1)2+ . 3 3 9.8 2 [解析] 原平面图形为平行四边形,S=2×4 2=8 2. 1 1 10.17π [解析] 该几何体为一圆台,S 上+S 下=5π ,S 侧= ×1π ×4+ ×2π ×4=12 2 2 π ,所以表面积为 17π . 11 . 16 2 [ 解 析 ] 球 心 在 矩 形 的 射 影 为 矩 形 对 角 线 的 交 点 . 因 为 对 角 线 长 为 1 82+(2 3)2=2 19, 所以棱锥的高为 52-( 19)2= 6, 所以棱锥的体积为 × 6× 3 8×2 3=16 2. 12.3π a2 [解析] 由题可知该三棱锥为一个棱长 a 的正方体的一角,则该三棱锥与该正 3 3 2 方体有相同的外接球,又正方体的对角线长为 3a,则球半径为 a,则 S=4π r2=4π ? a? 2 ?2 ? 2 =3π a . 13.解:(1)过点 E 作 EK∥FB 交 AB 于点 K,则∠DEK 为异面直线 DE 与 FB 所成的角, ∵DE=FB=4 m,AK=2×(4cos 60°)=4 m,DK=4 2 m, ∴∠DEK=90°,即 DE⊥BF. 故腰梁 BF 与 DE 所成角为 90°. (2)过点 E 分别作 EM⊥AB 于点 M,EN⊥CD 于点 N, 联结 MN, 则 AB⊥平面 EMN, ∴平面 ABCD⊥平面 EMN,过点 E 作 EO⊥MN 于点 O, 则 EO⊥平面 ABCD. 由题意知,AE=DE=AD=4 m,

AM=DN=4cos 60°=2 m,EM=EN=2 3 m, ∴O 为 MN 中点,∴EO=2 2 m, 即四棱锥 E-AMND 的高, 同理,再过点 F 作 FP⊥AB 于点 P,作 FQ⊥CD 于点 Q, 联结 PQ, 原多面体被分割为两个全等的四棱锥和一个直棱柱,且 MP=16-2-2=12(m), 1 1 176 2 3 ∴V 多面体=2V 四棱锥+V 直棱柱=2× ×(2×4×2 2)+ ×4×2 2×12= (m ). 3 2 3 176 2 3 故该粮仓可储存 m 的粮食. 3 14.解:(1)由已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,∴AB∥DE, 1 设 F 是 CE 的中点,H 是 CD 的中点,联结 FH,BF,AH,∴FH∥ED,FH= ED. 2 1 ∵AB=1,DE=2,∴AB= DE, 2 ∴四边形 ABFH 是平行四边形,∴BF∥AH. ∵AH ?平面 ACD,BF ?平面 ACD,∴BF∥平面 ACD. (2)∵DE⊥平面 ACD,∴平面 ABED⊥平面 ACD, 在平面 ACD 内作 CP⊥AD 交 AD 于点 P, ∵平面 ABED∩平面 ACD=AD,∴CP⊥平面 ABED, ∴CP 为三棱锥 C-BGE 的高.

1 ∵V 三棱锥 G-BCE=V 三棱锥 C-BGE= S△BGE·CP, 3 3 3 且 S△BGE=S 梯形 ABED-S△ABG-S△EDG= ,由三角形的等面积法得 CP= , 2 2 1 3 ∴V 三棱锥 G-BCE=V 三棱锥 C-BGE= S△BGE·CP= . 3 4 15.解:(1)在△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3. ∵点 D 是线段 BC 的中点,∴AD⊥BC ∴AD=1, 1 ∴S△ABC= ×2 3×1= 3. 2 1 1 2 3 ∵PA⊥底面 ABC,∴VP-ABC= ·S△ABC·PA= × 3×2= . 3 3 3 (2)方法一,取 CD 的中点 H,连接 FH,EH. ∵E 为线段 PD 的中点,∴在△PDC 中,EH∥PC. ∵EH ?平面 PAC,PC ?平面 PAC, ∴EH∥平面 PAC.

1 ∵AF= AB,∴在△ABC 中,FH∥AC. 4 ∵FH ?平面 PAC,AC ?平面 PAC, ∴FH∥平面 PAC. ∵ FH∩EH=H,∴ 平面 EHF∥平面 PAC. ∵EF ?平面 EHF,∴EF∥平面 PAC. 方法二,分别取 AD,AB 的中点 M,N,联结 EM,MF,DN. ∵点 E,M 分别是线段 PD,AD 的中点,∴EM∥PA, ∵EM ?平面 PAC,PA ?平面 PAC, 1 1 ∴EM∥平面 PAC. ∵AN= AB,AF= AB,∴点 F 是线段 AN 的中点. 2 4

∵在△ADN 中,AF=FN,AM=MD,∴MF∥DN. ∵在△ABC 中,AN=NB,CD=DB,∴DN∥AC,∴MF∥AC. ∵MF ?平面 PAC,AC ?平面 PAC,∴MF∥平面 PAC. ∵EM∩MF=M,∴平面 EMF∥平面 PAC. ∵EF ?平面 EMF,∴EF∥平面 PAC.


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