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北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理


北京市海淀区 2013 届高三第一学期期末考试数学(理)试 题 2013.1

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项.

r />1. 复数

2 化简的结果为 1? i
B. ?1 ? i C. 1 ? i D. ?1 ? i

A. 1 ? i 2.已知直线 l : ?

? x ? 2 ? t, ? x ? 2cos? ? 1, ( t 为参数)与圆 C : ? ( ? 为参数) ,则直线 l 的倾斜 ? y ? ?2 ? t ? y ? 2sin ?

角及圆心 C 的直角坐标分别是 A. ,(1,0)

3.向量 a ? (3,4), b ? ( x,2) , 若 a ? b ?| a | ,则实数 x 的值为 A. ?1 B. ?

π 4

B. ,( ?1,0)

π 4

C.

3π ,(1,0) 4
1 3

D.

3π ,( ?1,0) 4

1 2

C. ?

D. 1

开始 输入 p

4.某程序的框图如图所示, 执行该程序,若输入的 p 为 24 ,则输出 的 n , S 的值分别为 A. n ? 4, S ? 30 C. n ? 4, S ? 45 B. n ? 5, S ? 30 D. n ? 5, S ? 45
C

n ? 1,S ? 0
S?p
是 否

S = S + 3n n ? n ?1

输出 n ,S 结束

5.如图, PC 与圆 O 相切于点 C ,直线 PO 交圆 O 于 A, B 两点, 弦 CD 垂直 AB 于 E . 则下面结论中,错误的结论是 .. A. ?BEC ∽ ?DEA C. DE 2 ? OE ? EP B. ?ACE ? ?ACP D. PC 2 ? PA ? AB

B

O

E D

A

P

* 6.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? r ? an ? r( n ? N , r ? R 且 r ? 0 ) 则 r ? 1 ” “数列 ?an ? , “ 是

成等差数列”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 用数字 0,1, 2,3 组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数 的个数为 A. 144 B. 120 C. 108 D. 72 8. 椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的 a 2 b2

点 P ,使得 ?F1 F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 A. ( , )

1 2 3 3

B. ( ,1)

1 2

C. ( ,1)

2 3

D. ( , ) ? ( ,1)

1 1 3 2

1 2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 以 y ? ? x 为渐近线且经过点 (2, 0) 的双曲线方程为______. 10.数列 {an } 满足 a1 ? 2, 且对任意的 m, n ? N* , 都有 和 Sn ? _____. 11. 在 ( ? 3x 2 )6 的展开式中,常数项为______.(用数字作答) 12. 三棱锥 D ? ABC 及其三视图中的主视图和左视图如图 所示,则棱 BD 的长为_________.
D

an ? m ? an , a3 ? _____; {an } 的前 n 项 则 am

1 x

4

? x ? 0, ? 13. 点 P ( x, y ) 在不等式组 ? x ? y ? 3, 表示的平面区域内, ? y ? x ?1 ?
若点 P ( x, y ) 到直线 y ? kx ? 1 的最大距离为 2 2 ,则 k ? ___.

A

C
2 主视图 2

2 3 左视图

B

14. 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1 ,动点 P 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 表面上运

1 动,且 PA ? r ( 0 ? r ? 3 ) ,记点 P 的轨迹的长度为 f (r ) ,则 f ( ) ? ______________;关 2 于 r 的方程 f ( r ) ? k 的解的个数可以为________.(填上所有可能的值).

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明 过程.
15. (本小题满分 13 分)

x x x 1 已知函数 f ( x) ? 3sin cos ? cos2 ? , ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边分别 2 2 2 2

为 a , b, c . (I)求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 f ( B ? C ) ? 1, a ? 3, b ? 1 ,求角 C 的大小.

16.(本小题满分 13 分) 汽车租赁公司为了调查 A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各 100 辆汽 车,分别统计了每辆车某个星期内的出租天数,统计数据如下表: A 型车 出租天数 车辆数 出租天数 车辆数 1 5 1 14 2 10 2 20 3 30 3 20 B 型车 4 16 5 15 6 10 7 5 4 35 5 15 6 3 7 2

(I)从出租天数为 3 天的汽车(仅限 A,B 两种车型)中随机抽取一辆,估计这辆汽车恰好 是 A 型车的概率; (Ⅱ)根据这个星期的统计数据,估计该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数 恰好为 4 天的概率; (Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要从 A,B 两种车型中购买 一辆,请你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.

17. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90? ,
B1 A1 C1

AB ? AC ? AA1 ? 2, E 是 BC 中点.
(I)求证: A1B / / 平面 AEC1 ; (II)若棱 AA1 上存在一点 M ,满足 B1M ? C1E ,求 AM 的长; (Ⅲ)求平面 AEC1 与平面 ABB1 A1 所成锐二面角的余弦值.
B A E C

18. (本小题满分 13 分)

e ax . x ?1 (I) 当 a ? 1 时,求曲线 f ( x ) 在 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间.
已知函数 f ( x ) ? 19. (本小题满分 14 分) 已知 E ? 2,2 ? 是抛物线 C : y 2 ? 2 px 上一点,经过点 (2,0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点(不同于点 E ) ,直线 EA, EB 分别交直线 x ? ?2 于点 M , N . (Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标; (Ⅱ)已知 O 为原点,求证: ?MON 为定值.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,若 y ? “一阶比增函数” ;若 y ?

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为 x

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“二阶比增函数”. x2

我们把所有 “一阶比增函数” 组成的集合记为 ?1 , “二阶比增函数” 所有 组成的集合记为 ? 2 . (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x3 ? 2hx 2 ? hx ,若 f ( x) ??1 , 且 f ( x) ??2 ,求实数 h 的取值范围; (Ⅱ)已知 0 ? a ? b ? c , f ( x) ??1 且 f ( x ) 的部分函数值由下表给出,

x
f ( x)
求证: d (2d ? t ? 4) ? 0 ;

a
d

b

c

a?b?c
4

d

t

(Ⅲ)定义集合 ? ? f ( x) | f ( x) ??2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x) ? k ,

?

?

请问: 是否存在常数 M , 使得 ?f ( x) ? ? ,?x ? (0, ??) , f ( x ) ? M 成立? 有 若存在,求出 M 的最小值;若不存在,说明理由.

海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 (理) 2013.1

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5
[YJY.COM/]

6 A

7 C

8 D

D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) 9. x2 ? y 2 ? 4 10. 8; 2n?1 ? 2 13. ?1 11. 135

12. 4 2 三、 解答 题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分)

14.

3 π; 0,2,3,4 4
题(本大

x x x 1 解: (I)因为 f ( x) ? 3sin cos ? cos2 ? 2 2 2 2

3 cos x ? 1 1 sin x ? ? 2 2 2 3 1 ? sin x ? cos x 2 2 ?

π ? sin( x ? ) 6

??????6 分

( 又 y ? sin x 的单调递增区间为 2kπ ? π π π ? x ? ? 2 kπ ? 2 6 2

π π , 2kπ ? ), ( k ? Z) 2 2

所以令 2kπ ?

解得 2kπ ?

2π π ? x ? 2kπ ? 3 3 2π π , 2 kπ ? ) , ( k ? Z ) 3 3
??????8 分

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 (2kπ ?

π (Ⅱ) 因为 f ( B ? C ) ? 1, 所以 sin( B ? C ? ) ? 1 , 6 π π 7π 又 B ? C ? (0, π) , B ? C ? ? ( , ) 6 6 6 π π π 所以 B ? C ? ? , B ? C ? , 6 2 3 所
A? 2π 3
??????10 分 由正弦定理 把



sin B sin A ? b a

a ? 3, b ? 1
1 i 2
b ? a,











s B?
12 分 又

n

??????

B? A







B?

π 6







C?

π 6

??????13 分

16.(本小题满分 13 分)

解: (I)这辆汽车是 A 型车的概率约为

出租天数为3天的A型车辆数 30 ? ? 0.6 出租天数为3天的A,B型车辆数总和 30 ? 20
这 0.6 分 (II)设“事件 Ai 表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为 i 天” , “事件 B j 表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为 j 天” 其中 i, j ? 1,2,3,...,7 , 则该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为 辆 汽 车 是 A 型 车 的 概 率 为 ??????3

P( A1B3 ? A2 B2 ? A3B1 ) ? P( A1B3 ) ? P( A2 B2 ) ? P( A3B1 ) ? P( A1 ) P( B3 ) ? P( A2 )P( B2 ) ? P( A3 )P( B1 )
5 2 0 1 0 2 0 3 0 1 4 ? ? ? ? ? 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 9 ? 1 2 5 ?

??????5 分 ??????7 分

该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为

9 125

??????9 分 (Ⅲ)设 X 为 A 型车出租的天数,则 X 的分布列为 1 2 3 4 X 5 0.15 6 0.03 7 0.02

P

0.05

0.10

0.30

0.35

设 Y 为 B 型车出租的天数,则 Y 的分布列为

Y P
=3.62

1 0.14

2
0.20

3
0.20

4 0.16

5 0.15

6 0.10

7

[Y.COM/]

0.05

E ( X ) ? 1 ? 0.05 ? 2 ? 0.10 ? 3 ? 0.30 ? 4 ? 0.35 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.03 ? 7 ? 0.02

E (Y ) ? 1 ? 0.14 ? 2 ? 0.20 ? 3 ? 0.20 ? 4 ? 0.16 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.10 ? 7 ? 0.05
=3.48
??????12 分

一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 3.62 天,B 类车型一个星期出租天数的 平均值为 3.48 天. 从出租天数的数据来看,A 型车出租天数的方差小于 B 型车出租天数的 方差,综合分析,选择 A 类型的出租车更加合理 . ??????13 分 17.(本小题满分 14 分) (I) 连接 A1C 交 AC1 于点 O ,连接 EO 因为 ACC1 A1 为正方形,所以 O 为 A1C 中点, 又 E 为 CB 中点,所以 EO 为 ?A1BC 的中位线, 所以 EO / / A1B ??????2 分 又 EO ? 平面 AEC1 , A1B ? 平面 AEC1 所以 A1B / / 平面 AEC1 ??????4 分 (Ⅱ)以 A 为原点, AB 为 x 轴, AC 为 y 轴, AA1 为 z 轴建立空间直角坐标系 所以 A(0,0,0), A1 (0,0,2), B(2,0,0), B1 (2,0,2), C(0,2,0), C1 (0,2,2), E (1,1,0), 设 M (0,0, m)(0 ? m ? 2) ,所以 B1M ? (?2,0, m ? 2), C1E ? (1, ?1, ?2) , 因 为 B1M ? C1E , 所 以

?????

???? ?

????? ???? ? B1M ? C1E ? 0 , 解 得 m ? 1 , 所 以

AM ? 1

??????8 分

(Ⅲ)因为 AE ? (1,1,0), AC1 ? (0,2,2) , 设平面 AEC1 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ?

???? ?
?

??? ? ? ? AE ? n ? 0 ?x ? y ? 0 ? ? 则有 ? ???? ? ,得 ? , ? AC1 ? n ? 0 ?y ? z ? 0 ?


y ? ?1,



x ? 1, z ? 1













? n ? (1, ?1,1) ,
因 为

??????10 分

AC ?





A B 1B , A 取 平 面 1

A B 1 B 的A 法 向 量 为 1

??? ? AC ? (0,2,0)


??????11 分 以

c

? ?A

? A ? ? |A

3 3

o

? C

?

? C ? C|

??????13 分 平 面

AEC1

与 平 面

A B 1B 所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 A 1
??????14 分

3 3 18. (本小题满分 13 分)
解 : 当

a ?1





e ax f ( x) ? x ?1
??????2 分



f '( x ) ?

e x ( x ? 2) ( x ? 1)2

又 f (0) ? ?1 , f '(0) ? ?2 , 所 以

f ( x)



(0, f (0))







线







y ? ?2 x ? 1
(II) f '( x ) ?

??????4 分

eax [ax ? (a ? 1)] ( x ? 1)2
?1 ?0 ( x ? 1)2

当 a ? 0 时, f '( x ) ?

又函数的定义域为 {x | x ? 1} 所 以

f ( x)

















(?

?,

1

? )

? ,

(

1

,

)

??????6 分

当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,即 ax ? (a ? 1) ? 0 ,解得 x ? 分

a ?1 a

??????7

当 a ? 0 时, x ?

a ?1 ? 1, a

所以 f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表

x
f '( x) f ( x)

( ??,1)
?

1
无定义

(1,

a ?1 ) a
?

a ?1 a
0 极小值

(

a ?1 , ??) a
?
?

?

?

所以 f ( x) 的单调递减区间为 ( ??,1) , (1,

a ?1 ), a
??????10 分

单调递增区间为 (

a ?1 , ??) a

当 a ? 0 时, x ?

a ?1 ?1 a

所以 f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

( ??,

a ?1 ) a

a ?1 a
0 极大值

(

a ?1 ,1) a
?

1
无定义

(

a ?1 , ??) a
?

?
?

?

?

所以 f ( x) 的单调递增区间为 ( ??,

a ?1 ), a
??????13 分

单调递减区间为 (

a ?1 ,1) , (1, ??) a

19. (本小题满分 14 分)
2 解: (Ⅰ)将 E ? 2, 2? 代入 y ? 2 px ,得 p ? 1









线







y2 ? 2x













1 ( ,0) 2

??????3 分

2 y2 y12 (Ⅱ)设 A( , y1 ) , B ( , y2 ) , M ( xM , yM ), N ( xN , yN ) , 2 2

法一: 因为直线 l 不经过点 E ,所以直线 l 一定有斜率 设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2)

与抛物线方程联立得到 ?

? y ? k ( x ? 2)
2 ? y ? 2x

,消去 x ,得:

ky 2 ? 2 y ? 4k ? 0
则由韦达定理得:

y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ?

2 k
??????6 分

直线 AE 的方程为: y ? 2 ?

2 y1 ? 2 ? x ? 2? ? 2 , ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 y1 y1 ? 2 ?2 2
, 得



x ? ?2

yM ?

2 y1 ? 4 y1 ? 2
??????9 分 理 可 得 :



yN ?

2 y2 ? 4 y2 ? 2
??????10 分

又 OM ? ( ?2, ym ), ON ? ( ?2,

???? ?

????

?4 ), ym
2 y1 ? 4 2 y2 ? 4 ? y1 ? 2 y2 ? 2

所以 OM ? ON ? 4 ? yM y N ? 4 ?

???? ???? ?

? 4?

4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] [ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4]

4 ? 4) k ? 4? 4 4( ?4 ? ? 4) k 4( ?4 ?
?0
所以 OM ? ON ,即 ? MON 为定值 法二: 设直线 l 方程为 x ? my ? 2 ??????13 分

π 2

??????14 分

与抛物线方程联立得到 ?

? x ? my ? 2
2 ? y ? 2x

,消去 x ,得:

y 2 ? 2my ? 4 ? 0
则由韦达定理得:

y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ? 2m
??????6 分 直线 AE 的方程为: y ? 2 ?

2 y1 ? 2 ? x ? 2? ? 2 , ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 y1 y1 ? 2 ?2 2
, 得



x ? ?2

yM ?

2 y1 ? 4 y1 ? 2
??????9 分 理 可 得 :



yN ?

2 y2 ? 4 y2 ? 2
??????10 分

又 OM ? ( ?2, ym ), ON ? ( ?2,

???? ?

????

?4 ), ym

???? ???? ? 4( y1 ? 2)( y2 ? 2) OM ? ON ? 4 ? yM y N ? 4 ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2)
? 4? 4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] [ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4]

?4?

4( ?4 ? 2m ? 4) 4( ?4 ? 2m ? 4)

?0
??????12 分 所以 OM ? ON ,即 ? MON 为定值

π 2

??????13 分

20. (本小题满分 14 分) 解: (I)因为 f ( x) ??1 , 且 f ( x) ??2 , 即 g ( x) ?

f ( x) ? x 2 ? 2hx ? h 在 (0, ??) 是增函数,所以 h ? 0 x

??????1 分

而 h( x ) ?

f ( x) h h ? x ? ? 2h 在 (0, ??) 不是增函数,而 h '( x ) ? 1 ? 2 2 x x x

当 h( x ) 是增函数时,有 h ? 0 ,所以当 h( x ) 不是增函数时, h ? 0 综 上 ??????4 分 (Ⅱ) 因为 f ( x) ??1 ,且 0 ? a ? b ? c ? a ? b ? c 所以 , 得

h?0

f (a ) f (a ? b ? c) 4 ? = , a a?b?c a?b?c 4a , a?b?c 4b 4c , f (c) ? t ? a?b?c a?b?c

所以 f ( a ) ? d ?

同理可证 f (b) ? d ?

三式相加得 f (a ) ? f (b) ? f (c ) ? 2d ? t ? 所

4(a ? b ? c ) ? 4, a?b?c


2d ? t ? ?
??????6 分 因为

4

d d b?a ? , 所以 d ( ) ? 0, a b ab


而 0 ? a ? b , 所以 d ? 0 所

d(

?
??????8 分

2d

?

(Ⅲ) 因为集合 ? ? f ( x) | f ( x) ??2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x) ? k , 所以 ?f ( x) ? ? ,存在常数 k ,使得 f ( x ) ? k 对 x ? (0, ??) 成立 我们先证明 f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 假设 ?x0 ? (0, ??), 使得 f ( x0 ) ? 0 , 记
f ( x0 ) ?m?0 x0 2

?

?

因为 f ( x ) 是二阶比增函数,即 所以当 x ? x0 时,

f ( x) 是增函数. x2

f ( x ) f ( x0 ) ? ? m ,所以 f ( x) ? mx 2 x2 x0 2

所以一定可以找到一个 x1 ? x0 ,使得 f ( x1 ) ? mx12 ? k 这 盾
f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立



f ( x) ? k



x ? (0, ??)







??????11 分

所以 ?f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 下面我们证明 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上无解 假设存在 x2 ? 0 ,使得 f ( x2 ) ? 0 ,

f ( x) 是增函数 x2 f ( x3 ) f ( x2 ) ? ? 0 ,这与上面证明的结果矛盾 一定存在 x3 ? x2 ? 0 , x32 x2 2

则因为 f ( x ) 是二阶增函数,即

所以 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上无解 综上,我们得到 ?f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 所以存在常数 M ? 0 ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立

1 x f ( x) ?1 又有 2 ? 3 在 (0, ??) 上是增函数 ,所以 f ( x ) ? ? , x x 而任取常数 k ? 0 ,总可以找到一个 x0 ? 0 ,使得 x ? x0 时,有 f ( x ) ? k

又令 f ( x) ? ? ( x ? 0) ,则 f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立,

所 0



M
??????13 分












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