当前位置:首页 >> 数学 >> 三维设计必修四

三维设计必修四


1.1

任意角和弧度制

1.1.1 任意角

任意角的概念

将射线 OA 绕点 O 进行旋转,旋转到 OB 位置. 问题 1:从 OA 旋转到 OB,有几种旋转方向? 提示:两种,即逆时针和顺时针. 问题 2:从 OA 旋转到 OB,有多少种旋转方式? 提示:无数种.

1.

角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 2.角的表示

1

顶点:用 O 表示; 始边:用 OA 表示,用语言可表示为起始位置; 终边:用 OB 表示,用语言可表示为终止位置. 3.角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类: 类型 正角 定义 按逆时针方向旋转形成的角 图示

负角

按顺时针方向旋转形成的角

零角

射线从起始位置没有作任何旋转,称它形成了一个零角

象限角

已知角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合. 问题 1:角 70° ,320° ,110° 的终边分别在第几象限? 提示:分别在第一、四、二象限. 问题 2:角 936° ,-490° 的终边分别在第几象限? 提示:都在第三象限. 问题 3:角 270° 和-90° 的终边也落在象限内吗? 提示:不是.

象限角 在直角坐标系中研究角时,当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重 合时,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为 这个角不属于任何一个象限. 终边相同的角

在条件“角的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合”下,研究下列角:30° , 390° ,-330° . 问题 1:这三个角的终边位置相同吗? 提示:相同. 问题 2:如何用 30° 表示 390° 和-330° ?
2

提示:390° =1×360° +30° ,-330° =-1×360° +30° . 问题 3:确定一条射线 OB,以它为终边的角是否唯一? 提示:不唯一.

终边相同的角 360° ,k∈Z}, 所有与角 α 终边相同的角, 连同角 α 在内, 可构成一个集合 S={β|β=α+k· 即任一与角 α 终边相同的角,都可以表示成角 α 与整数个周角的和.

1.构成角的三个要素:顶点、始边、终边. (1)用旋转的观点来定义角,就可以把角的概念推广到任意角,包括任意大小的正角、负 角和零角. (2)对角概念的理解关键是抓住“旋转”二字: ①要明确旋转方向; ②要明确旋转的大小; ③要明确射线未作任何旋转时的位置. 2.研究象限角、终边相同的角时,必须注意前提条件:角的顶点与坐标原点重合,始边 与 x 轴的非负半轴重合. 如果角的顶点不与坐标原点重合或者角的始边不与 x 轴的非负半轴重合,则没有象限角 的概念.

3.所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内(而且只有这样的角)可以用式子 α+k· 360° , k∈Z 表示. 在运用时,需注意以下几点: (1)k 是整数,这个条件不能漏掉; (2)α 是任意角; (3)k· 360° 与 α 之间用“+”号连接,如 k· 360° -30° 应看成 k· 360° +(-30° )(k∈Z); (4)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们 相差周角的整数倍.

有关角的概念的问题 [例 1] 下列说法: ①第一象限角都是锐角; ②锐角都是第一象限角;

3

③第一象限角一定不是负角; ④第二象限角大于第一象限角; ⑤第二象限角是钝角; ⑥小于 180° 的角是钝角、直角或锐角. 其中正确命题的序号为________(把正确命题的序号都写上). [思路点拨] 解答时,可根据任意角、象限角的概念进行逐一判断。 [精解详析] ①390° 角是第一象限角,可它不是锐角,所以①不正确. ②锐角是大于 0° 且小于 90° 的角,终边落在第一象限,故是第一象限角,所以②正确. ③-330° 角是第一象限角,但它是负角,所以③不正确. ④120° 角是第二象限角,390° 角是第一象限角,显然 390° >120° ,所以④不正确. ⑤480° 角是第二象限角,但它不是钝角,所以⑤不正确. ⑥0° 角小于 180° 角,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故⑥不正确. [答案] ② [一点通] 解决此类问题的关键是正确理解 0° ~90° 的角、象限角、锐角和小于 90° 的角

等概念.判断时也可采用排除法,判断说法正确需要证明,而判断说法错误只需举一反例.

1.下列说法正确的是(

)

A.钝角不一定是第二象限的角 B.终边相同的角一定相等 C.终边与始边重合的角是零角 D.相等的角终边相同 解析:钝角大于 90° 且小于 180° ,一定是第二象限角,A 不正确;30° 与 390° 角的终边相 同,但不相等,B 不正确; 360° 角的终边也与始边重合,C 不正确;只有 D 正确. 答案:D 2.下列说法正确的是( )

A.三角形的内角必是第一、二象限角 B.始边相同而终边不同的角一定不相等 C.第四象限角一定是负角 D.钝角比第三象限角小 解析:A 错,因为内角 90° 不是第一、二象限角;C 错,如 280° 角是第四象限角但不是 负角;D 错,如钝角 120° 比第三象限角-115° 大;只有选项 B 正确. 答案:B 终边相同的角 [例 2] 在与 10 030° 角终边相同的角中, 求满足下列条件的角. (1)最大的负角; (2)360° ~
4

720° 内的角. [思路点拨] 思路一:首先写出与 10 030° 角终边相同的角 10 030° +k· 360° ,k∈Z,再确 定整数 k 即可. 思路二:把 10 030° 写成 α+k· 360° (k∈Z)的形式,由 k 的值确定相应的角 α. [精解详析] 法一:(1)与 10 030° 角终边相同的角的一般形式为 β=10 030° +k· 360° (k∈ Z),由-360° <10 030° +k· 360° ≤0° ,得-10 390° <k· 360° ≤-10 030° ,解得 k=-28,故所 求的最大负角为 β=-50° . (2)由 360° ≤10 030° +k· 360° <720° ,得-9 670° ≤k· 360° <-9 310° ,解得 k=-26.故所 求的角为 β=670° . 法二: 因为 10 030° =310° +27×360° =-50° +28×360° =670° +26×360° , 所以(1)所求 的最大负角为-50° , (2)360° ~720° 内的角为 670° . [一点通] 利用终边相同的角的表示,求适合某范围的角的方法:一是通过解不等式求 出 k 的范围,取范围中的整数 k 即可求出满足相应条件的角;二是先找到 0° ~360° 范围内与 已知角终边相同的角,再找满足题设条件的所有角.

3.将-885° 化为 α+k· 360° (0≤α<360° ,k∈Z)的形式是( A.-165° +(-2)×360° B.195° +(-2)×360° C.195° +(-3)×360° D.165° +(-3)×360° 解析:-885° =195° +(-3)×360° . 答案:C

)

4.写出与 α=-1 910° 终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720° ≤β<360° 的元素 β 写出来. 解:与角 α=-1 910° 终边相同的角的集合为 +k· 360° ,k∈Z}. {β|β=-1 910° ∵-720° ≤β<360° , ∴-720° ≤-1 910° +k· 360° <360° , 3 11 11 ≤k<6 . 36 36

故 k=4,5,6, k=4 时,β=-1 910° +4×360° =-470° . k=5 时,β=-1 910° +5×360° =-110° .

5

k=6 时,β=-1 910° +6×360° =250° . 5.若角 α 的终边在直线 y=-x 上,试写出角 α 的集合. 解:法一:因为直线 y=-x 是第二、四象限的平分线,所以在 0° ~360° 范围内所对应的 两个角分别为 135° 及 315° ,从而角 α 的集合为 +k· 360° 或α=315° +k· 360° ,k∈Z}= S={α|α=135° +2k· 180° 或α=135° +?2k+1?· 180° ,k∈Z}. {α|α=135° +k· 180° ,k∈Z}. ∴S={α|α=135° 法二:如图所示. ∵终边在 x 轴上的角可表示为 k· 180° ,k∈Z. ∴终边在直线 y=-x 上的角 α 的集合为 +k· 180° ,k∈Z}. S={α|α=135°

区域角的表示

[例 3] (12 分)如图所示.(1)分别写出终边落在 OA,OB 位置上的角 的集合; (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. [思路点拨] (1)根据图示,首先确定终边满足条件的一个角 α,再利 用终边相同的角的集合进行表示. (2)首先确定终边落在阴影部分的边界位置的角,再用不等式表示阴影部分的角,最后组 成集合. [精解详析] (1)终边落在 OA 位置上的角的集合为 +45° +k· 360° ,k∈Z} {α|α=90° +k· 360° ,k∈Z}, ={α|α=135° 终边落在 OB 位置上的角的集合为 +k· 360° ,k∈Z}. {β|β=-30° (2)由图可知,阴影部分角的集合可表示为 +k · 360° ≤α≤135° +k· 360° ,k∈Z} {α|-30° (12 分) (6 分) (3 分)

[一点通] 区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角,其写法可分三步: (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界; (2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角 α,β,写出所有与 α,β 终边相同的 角; (3)用不等式表示区域内的角,组成集合.

6

6.如图所示: (1)分别写出终边落在 OA,OB 位置上的角的集合; (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 解: (1)终边在 OA 上的最小正角为 150° , 故终边在 OA 上的角的集合为 +k· 360° ,k∈Z}. {α|α=150° 同 理 , 终 边 在 OB 上 的 最 大 负 角 为 - 45°, 故 终 边 在 OB 上 的 角 的 集 合 为 +k· 360° ,k∈Z}. {β|β=-45° (2)由题图知,阴影部分区域可表示为 +k· 360° ≤x≤150° +k· 360° ,k∈Z}. {x|-45° 7.写出图示阴影部分角的集合. 解:由题意知 +k· 360° ≤α≤45° + S1={α|-45° k· 360° ,k∈Z}, +k· 360° ≤α≤225° + S2={α|135° k· 360° ,k∈Z}, +2k· 180° ≤α≤45° +2k· 180° ,k∈Z} S=S1∪S2={α|-45° +?2k+1?180° ≤α≤45° +?2k+1?180° ,k∈Z} ∪{α|-45° +n· 180° ≤α≤45° +n· 180° ,n∈Z.} ={α|-45°

1. 注意区分“锐角”“第一象限角”和“小于 90° 的角”. 锐角是指 0° 到 90° 之间的角, 第 一 象 限 角 是 指 角 的 终 边 落 在 第 一 象 限 内 的 角 , 可 用 集 合 表 示 为 360° <α<90° +k· 360° ,k∈Z};小于 {α|k· 90° 的角包括锐角、零角和所有负角,可用集合表

}. 示为{α|α<90°
2.象限角的集合表示. 象限角 第一象限角 第二象限角 象限角 第三象限角 第四象限角 集合表示 360° <α<90° +k· 360,k∈Z} {α|k· +k· 360° <α<180° +k· 360° ,k∈Z} {α|90° 集合表示 +k· 360° <α<270° +k· 360° ,k∈Z} {α|180° +k· 360° <α<360° +k· 360° ,k∈Z} {α|270°

3.终边落在坐标轴上的角的集合表示:
7

角的终边的位置 终边落在 x 轴的非负半轴上 终边落在 x 轴的非正半轴上 终边落在 y 轴的非负半轴上 终边落在 y 轴的非正半轴上 终边落在 y 轴上 终边落在 x 轴上 终边落在坐标轴上

集合表示 360° ,k∈Z} {α|α=k· +k· 360° ,k∈Z} {α|α=180° +k· 360° ,k∈Z} {α|α=90° +k· 360° ,k∈Z} {α|α=270° +k· 180° ,k∈Z} {α|α=90° 180° ,k∈Z} {α|α=k· 90° ,k∈Z} {α|α=k·

1.-215° 是( A.第一象限角 C.第三象限角

) B.第二象限角 D.第四象限角

解析:-215° =-360° +145° ,∵145° 角是第二象限角, ∴-215° 角也是第二象限角. 答案:B 2.与 435° 角终边相同的角可以表示为( A.-75° +k· 360° ,k∈Z C.75° +k· 360° ,k∈Z )

B.-435° +k· 360° ,k∈Z D.75° +k· 180° ,k∈Z

解析:435° =360° +75° ,∴与 435° 角终边相同的角是 75° +k· 360° ,k∈Z. 答案:C 3.手表时针走过 2 小时,时针转过的度数为( A.60° C.30° B.-60° D.-30° )

解析:手表的指针是顺时针旋转的,所以形成负角.当时针走过 2 小时时,时针转过角 的大小为 60° . 答案:B +k· 360° ,k∈Z}, 4.设集合 A={α|α=60° +k· 720° ,k∈Z}, B={β|β=60° +k· 180° ,k∈Z},则( C={γ|γ=60° )

8

A.C?A?B C.B?C?A

B.B?A?C D.C?B?A

解析:由 β=60° +(2k)· 360° 知 B?A,由 α=60° +(2k)· 180° 知 A?C. 答案:B 5.若角 α 是第三象限角,则角 180° -α 是第________象限角. 解析:∵角 α 是第三象限角,∴180° +k· 360° <α<270° +k· 360° (k∈Z), ∴-90° -k· 360° <180° -α<-k· 360° (k∈Z), ∴角 180° -α 为第四象限角. 答案:四 6.与角-1 560° 终边相同的角的集合中,最小正角是________,最大负角是________. +k· 360° ,k∈Z},令 k=0 解析:与角-1 560° 终边相同的角的集合可表示为{α|α=240° 得最小正角为 240° ,令 k=-1 得最大负角为-120° . 答案:240° -120°

θ 7.若角 θ 的终边与 168° 角的终边相同,求 0° ~360° 内与 角的终边相同的角. 3 θ 解:由 θ=168° +k· 360° ,k∈Z,得 =56° +k· 120° ,k∈Z.由 0° <56° +k· 120° <360° ,k 3 ∈Z,得 k=0,1,2,所以满足条件的角为 56° ,176° ,296° . 8.如图所示,分别写出适合下列条件的角的集合: (1)终边落在射线 OM 上; (2)终边落在直线 OM 上; (3)终边落在阴影区域内(含边界). 解:(1)终边落在射线 OM 上的角的集合为 +k· 360° ,k∈Z}. A={α|α=45° (2)由(1)得终边落在射线 OM 上的角的集合为 +k· 360° ,k∈Z}, A={α|α=45° 终边落在射线 OM 反向延长线上的角的集合为 +k· 360° ,k∈Z}, B={α|α=225° 则终边落在直线 OM 上的角的集合为 +k· 360° ,k∈Z}∪ A∪B={α|α=45° +k· 360° ,k∈Z} {α|α=225° +2k· 180° ,k∈Z}∪ ={α|α=45° +?2k+1?· 180° ,k∈Z} {α|α=45° +n· 180° ,n∈Z}. ={α|α=45°

9

(3)终边落在直线 ON 上的角的集合为 +n· 180° ,n∈Z}, C={β|β=60° 则终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为 + n· 180° ≤α≤60° +n· 180° ,n∈Z}. S={α|45°

1.1.2 弧度制

角度制和弧度制

问题 1:在角度制中,把圆周等分成 360 份,其中的一份是多少度? 提示:1° . 问题 2:半径为 1 的圆的周长是 2π,即周长为 2π 时,对应的圆心角是 360° ,那么弧长 为 π 时,对应的圆心角是多少? 提示:180° . 问题 3:在给定半径的圆中,弧长一定时,圆心角确定吗? 提示:确定.

1.角度制和弧度制 角度制 弧度制 用度作为度量单位来度量角的单位制叫做角度制,规定 1 度的角等于周角的 1 360

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角, 用符号 rad 表示, 读作弧度 以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制

2.任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是 0. 3.角的弧度数的计算 l 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l,那么,角 α 的弧度数的绝对值是|α|= . r 角度制与弧度制的换算

根据弧度制的定义回答下列问题: 问题 1:2π 弧度、π 弧度分别对应多少度?

10

提示:360° 和 180° . 问题 2:1 弧度是多少度?α 弧度呢? 180 180α ° 提示:( )° , ( ). π π 问题 3:90° 是多少弧度?1° 呢? π π 提示: rad,1° = rad. 2 180

1.角度制与弧度制的换算 (1)角度制与弧度制的互化: 角度化弧度 360° =2π rad 180° =π rad π 1° = rad≈0.017_45 rad 180 (2)一些特殊角与弧度数的对应关系: 度 弧度 0° 0 1° π 180 30° π 6 45° π 4 60° π 3 90° π 2 120° 135° 150° 180° 270° 360° 2π 3 3π 4 5π 6 π 3π 2 2π 弧度化角度 2π rad=360° π rad=180° 180 1 rad=( )° ≈57.30° π

2.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为 R,弧长为 l,α 为其圆心角,则 α 为度数 扇形的弧长 扇形的面积 l= παR 180 α 为弧度数 l=αR 1 1 S= lR= αR2 2 2

παR2 S= 360

角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集 R 之间建立了一种一一对应关系: 每一个角都有唯一的一个实数(角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一 个角(弧度数等于这个实数的角)和它对应.

弧度制的概念问题
11

[例 1] 下列命题中,错误的是(

)

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1° 的角是周角的 1 1 ,1 rad 的角是周角的 360 2π

C.1 rad 的角比 1° 的角要大 D.用弧度制度量角时,角的大小与圆的半径有关 [思路点拨] 正确理解角度制和弧度制的概念,对每个命题认真分析并作出判断. [ 精解详析 ] 根据角度制和弧度制的定义可以知道, A , B 是正确的; 1 rad 的角是

180 ( )° ≈57.30° ,∴C 也是正确的;无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小都与圆的 π 半径无关,故 D 错误. [答案] D [一点通] 准确理解概念是判断的前提,弧度制与角度制的异同: 不同点 ①单位不同,弧度制以“弧度”为度量单位,角度制以“度”为度量单位; ②表示角时,“弧度”二字可以省略不写 不管以“弧度”还是以“度”为单位,角的大小都是一个与圆的半径大小无关 的定值

相同点

1.下列命题中,正确的是(

)

A.1 弧度是 1 度的圆心角所对的弧 B.1 弧度是长度为半径长的弧 C.1 弧度是 1 度的弧与 1 度的角之和 D.1 弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 解析:根据 1 弧度的定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.对照各 选项,可知 D 为正确答案. 答案:D 2.下列说法中,错误的是( A.半圆所对的圆心角是 π rad B.周角的弧度数等于 2π C.1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1 弧度 解析:根据 1 弧度的定义,结合各选项知 A、B、C 均正确,只有 D 是错误的. 答案:D )

12

角度与弧度的换算 [例 2] (1)把 202° 30′化成弧度; 5 (2)把- π 化成角度; 12 π 7π (3)已知 α=15° ,β= ,γ=1,θ=105° ,φ= ,试比较 α、β、γ、θ、φ 的大小. 10 12 π [思路点拨] 第(1)(2)小题可直接利用 1° = rad, 180 180 1 rad=( )° 进行转化;第(3)小题可先统一单位,再比较大小. π [精解详析] (1)202° 30′=202.5° = (2)- 5 5 180 π=-( π× )° =-75° . 12 12 π 405 π 9 × = π. 2 180 8

(3)法一(化为弧度): π π π 7π α=15° =15× = ,θ=105° =105× = . 180 12 180 12 π π 7π 显然 < <1< .故 α<β<γ<θ=φ. 12 10 12 法二(化为角度): π π 180 β= = ×( )° =18° ,γ=1≈57.30° , 10 10 π 7π 180 φ= ×( )° =105° . 12 π 显然,15° <18° <57.30° <105° . 故 α<β<γ<θ=φ. [一点通] ①在进行角度与弧度的换算时,关键是抓住 π rad=180° 这一关系.②用弧度 制表示角时,“弧度”或“rad”可以省略不写,只写这个角所对应的弧度数即可.但是在用角 度表示时,“度”或“° ”却不能省略,以防止与弧度混淆.③用弧度作为单位时,常出现 π, 如果题目中没有特殊的要求,应当保留 π 的形式,不要写成小数.

π 3.与 角终边相同的角的表达式是( 4 A.45° +2kπ C.-315° +k×360° ,k∈Z

) π B. +k×360° 4 4π D. +kπ,k∈Z 5

π π 解析: =45° ,∴用角度制表示为 k· 360° +45° ,k∈Z,用弧度制表示为 2kπ+ ,k∈Z. 4 4 结合选项,∵45° 与-315° 终边相同,∴选项 C 正确.
13

答案:C 4.将下列角转化为另一种形式表示: 3 (1)-18° ; (2) π; (3)67° 30′; (4)-2 rad. 10 π π 解:(1) -18° = rad×(-18)=- rad. 180 10 3 3 180 (2) π= π·( )° =54° . 10 10 π π 3 (3)67° 30′=67.5° = rad×67.5= π rad. 180 8 180 (4)-2 rad=(-2)×( )° ≈-57.30° ×2=-114.60° . π 5.已知两角和为 1 弧度,且两角差为 1° ,这两个角的弧度数分别是多少? 解:设两个角的弧度数分别为 x,y.∵1° = x+y=1, ? ? ∴? π ? ?x-y=180. 1 π π rad, 180

?x=2+360, 解得? 1 π ?y=2-360.
扇形的弧长和面积公式

1 π 1 π 即所求两角的弧度数分别为 + , - . 2 360 2 360

[例 3] (12 分)已知一扇形的周长为 40 cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇 形的面积最大?最大面积是多少? [思路点拨] 设出半径和圆心角,列出周长关系式,构建面积的函数解析式,应用二次 函数求最值. [精解详析] 设扇形的圆心角为 θ,半径为 r,弧长为 l,面积为 S,则 l+2r=40,∴l= 40-2r, 1 1 ∴S= lr= ×(40-2r)r=20r-r2=-(r-10)2+ 2 2 (4 分) (8 分)

l 40-2×10 ∴当半径 r=10 cm 时,扇形的面积最大,最大面积为 100 cm2,这时 θ= = = r 10 2 (12 分) [一点通] 有关扇形的弧长 l、圆心角 α、面积 S 的题目,一般是知二求一的问题,解此 1 1 类问题的关键在于灵活运用 l=|α|· R,S= lR= |α|R2 两组公式,采用消元思想或二次函数思 2 2 想加以解决.

6.已知某扇形的圆心角为 75° ,半径为 15 cm,求扇形的面积.
14

π 5π 解:扇形的圆心角为 75× = , 180 12 又∵扇形的半径 R=15 cm, 1 ∴扇形的面积 S= |α|R2= 2 1 5π 375 × ×152= π(cm2). 2 12 8 375 故扇形的面积为 cm2. 8 7.一扇形的面积为 1,弧长为 1.求圆心角的弧度数. 1 解:设扇形的半径为 R,根据扇形的面积公式 S= lR, 2 1 得 1= ×1· R,∴R=2, 2 l 1 1 ∴α= = ,即扇形的圆心角为 rad. R 2 2

1.弧度制与角度制的比较: (1)从定义上:弧度制是以“弧度”为单位度量角的单位制,角度制是以“度”为单位度 量角的单位制.因此,弧度制和角度制一样,都是度量角的方法. (2)从意义上:1 弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)的大小,而 1° 是圆的周 1 l 长的 所对的圆心角(或该弧)的大小;任意圆心角 α 的弧度数的绝对值|α|= ,其中 l 是以角 360 r α 作为圆心角时所对的圆弧长,r 为圆的半径. 180 π (3)从换算上:1 rad=( )° ,1° = rad. π 180 (4)从写法上:用弧度为单位表示角的大小时,“弧度”两字可以省略不写;如果以度(° ) 为单位表示角时,度(° )就不能省去. π 2. 作角的运算或表示角的集合时, 角度制和弧度制不能混用, 如 2kπ+30° 或 k· 360° + 都 4 是错误的. 3.涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量,求 哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.

1.1 920° 的弧度数为( 16 A. 3

) 32 B. 3

15

16π C. 3 解析:1 920° = 答案:D 2. 29π 是( 6 )

32π D. 3 π 32 ×1 920 弧度= π 弧度. 180 3

A.第一象限角 C.第三象限角 29π 5π 解析: =4π+ . 6 6

B.第二象限角 D.第四象限角

5 29π ∵ π 是第二象限角,∴ 是第二象限角. 6 6 答案:B α 3.若角 α 为第二象限角,则角 是( 2 A.第一象限角 C.第一或第三象限角 )

B.第二象限角 D.第一或第二象限角

π π α π 解析:∵角 α 是第二象限角,∴ +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z. +kπ< < +kπ,k∈Z,则 2 4 2 2 α 角 是第一或第三象限角. 2 答案:C 3 4.如果一个圆的半径变为原来的一半,而弧长变为原来的 倍,则该弧所对的圆心角是 2 原来的( 1 A. 倍 2 1 C. 倍 3 ) B.2 倍 D.3 倍

l 解析:设圆的半径为 r,弧长为 l,其弧度数为 .将半径变为原来的一半,弧长变为原来 r 3 l 2 3 l 的 倍,则弧度数变为 =3·,即弧度数变为原来的 3 倍. 2 1 r r 2 答案:D 11 5.把- π 写成 θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的 θ 的值是________. 4 11 3 5 解析:- π=- π-2π= π-4π, 4 4 4

16

3 ∴使|θ|最小的 θ 的值是- π. 4 3 答案:- π 4 6.用弧度表示终边落在 y 轴右侧的角的集合为________. 解析:y 轴对应的角可用- π π ? ? ?θ|- +2kπ<θ< +2kπ,k∈Z?. 2 2 ? ? π π ? ? 答案:?θ|-2+2kπ<θ<2+2kπ,k∈Z?
? ?

π π , 表示,所以 y 轴右侧角的集合为 2 2

π α 7.已知角 α 的终边与角 的终边相同,在[0,2π)内哪些角的终边与角 的终边相同? 3 3 π 解:∵角 α 的终边与角 的终边相同, 3 π α π 2kπ ∴α= +2kπ(k∈Z),∴ = + (k∈Z). 3 3 9 3 α π 2kπ 又 0≤ <2π,∴0≤ + <2π(k∈Z), 3 9 3 π 7π 13π ∴当 k=0,1,2 时,角 , , 满足条件. 9 9 9 8.已知扇形的圆心角为 α,半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长; (2)若扇形的周长是 8,面积是 4,求 α 和 R. 60 10π 解:(1)弧长 l=|α|R= ×π×10= (cm). 180 3 2R+α· R=8, ? ? (2)由题意得?1 α· R2=4. ② ?2· ? 8 由②得 αR= ,代入①并整理得 R R2-4R+4=0. ∴R=2,α=2. ①

1.2

任意角的三角函数

1.2.1 任意角的三角函数

17

任意角的三角函数

根据锐角三角函数的定义, 设锐角 α 的顶点与原点 O 重合, 始边与 x 轴的非负半轴重合, b a b 在角 α 的终边上取任意一点 P(a,b),令 OP=r,则 sin α= ,cos α= ,tan α= . r r a 问题 1:取 α=60° 时,可取终边上一点 P(1, 3),60° 角的正弦、余弦和正切值分别是 什么? 提示:OP=r=2,sin 60° = tan 60° = 3. 问题 2:在锐角 α 的终边上取一点 P(a,b),其正弦、余弦和正切值分别是什么? b a b 提示:设 OP=r,则 sin α= ,cos α= ,tan α= . r r a 问题 3:在问题 2 中取 OP=1 时,正弦、余弦和正切怎样表示? b 提示:sin α=b,cos α=a,tan α= . a 3 1 ,cos 60° = , 2 2

1.任意角三角函数的定义 (1)单位圆:在直角坐标系中,以原点 O 为圆心,以单位长度为 半径的圆称为单位圆. (2)单位圆中任意角的三角函数的定义:设 α 是一个任意角,它 的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 y 叫做 α 的正弦,记作 sin α, y 即 sin α=y;x 叫做 α 的余弦,记作 cos α,即 cos α=x; 叫做 α 的 x y 正切,记作 tan α,即 tan α= (x≠0). x 2.三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函 数,它们统称为三角函数. 三角函数的符号及诱导公式

问题 1:若角 α 是第二象限角,则它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样? 提示:若角 α 为第二象限角,则 x<0,y>0, sin α>0,cos α<0,tan α<0.
18

问题 2:当角 α 是第四象限角时,它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样? 提示:sin α<0,cos α>0,tan α<0. 问题 3:取角 α 分别为 30° ,390° ,-330° ,它们的三角函数值是什么关系?为什么? 提示:相等,因为它们的终边重合. 问题 4:取 α=90° ,-90° 时,它们的正切值存在吗? 提示:不存在.

1.三角函数的定义域 三角函数 sin α cos α tan α 定义域 R R π ? ? ?α|α≠ +kπ,k∈Z? 2 ? ?

2.三角函数值的符号

3.终边相同的角的同一三角函数值的关系

即终边相同的角的同一三角函数值相等. 三角函数线

在平面直角坐标系中,任意角 α 的终边与单位圆交于点 P,过 P 作 PM⊥x 轴,过 A(1,0) 作 AT⊥x 轴,交终边或其反向延长线于点 T. 问题 1:根据上面的叙述画出 α 分别取 135° ,30° ,225° 和-60° 时的图形. 提示:

19

问题 2:由上面的图形结合三角函数定义,可以得到 sin α,cos α,tan α 与 MP,OM, AT 的关系吗? 提示:可以,|sin α|=|MP|,|cos α|=|OM|,|tan α|=|AT|.

1.有向线段 带有方向的线段叫做有向线段. 2.三角函数线

图示

正弦线 余弦线 正切线

α 的终边与单位圆交于 P,过 P 作 PM 垂直于 x 轴,有向线段 MP 即为正弦线 有向线段 OM 即为余弦线 过 A(1,0)作 x 轴的垂线, 交 α 的终边或 α 的终边的反向延长线于 T, 有向线段 AT 即为正切线

1.三角函数也是一种函数,它是从一个角的集合到一个比值的集合的对应.因为角的集 合与实数集之间可以建立一一对应关系,所以三角函数可以看成自变量为实数的函数. y 2.设 P(x,y)是任意角 α 的终边上的任意一点,它到原点的距离为 r,则 sin α= ,cos α r x y = ,tan α= . r x 3.三角函数值在各象限的符号规律可概括为下面的口诀:“一全正、二正弦、三正切、
20

四余弦”,意为:第一象限各三角函数值均为正;第二象限只有正弦值为正,其余均为负; 第三象限只有正切值为正,其余为负;第四象限只有余弦值为正,其余皆为负. 4.在公式(一)中,要注意 α 是任意角,k 是任意整数.利用公式(一),可以把求任意角 的三角函数值转化为求 0~2π 内角的三角函数值. 5.正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示,三角函数线的长 度等于三角函数值的绝对值.方向表示三角函数值的正负.

第一课时 三角函数的定义

用三角函数定义求三角函数值 [例 1] 根据下列条件求 sin α,cos α,tan α. π (1)α=- ; 3 (2)角 α 的终边经过点 P(-4a,3a)(a≠0). π [思路点拨] (1)求出- 的终边与单位圆的交点坐标,再用三角函数的定义求解. 3 (2)用 a 表示 r,即|OP|,因 为 a 的符号不确定,所以要分 a>0 和 a<0 讨论. π 1 3 [精解详析] (1)∵角- 的终边与单位圆交于 P( ,- ),∴sin α 3 2 2 =- 3 1 ,cos α= ,tan α=- 3. 2 2

(2)因为 x=-4a,y=3a, 所以 r= ?-4a?2+?3a?2=5|a|. 当 a>0 时,r=5a,角 α 为第二象限角,所以 y 3a 3 x -4a 4 sin α= = = ,cos α= = =- , r 5a 5 r 5a 5 y 3a 3 tan α= = =- ; x -4a 4 当 a<0 时,r=-5a,角 α 为第四象限角,所以 y 3a 3 x - 4a 4 sin α= = =- ,cos α= = = , r -5a 5 r - 5a 5 y 3a 3 tan α= = =- . x -4a 4 [一点通] 已知角 α 终边上任意一点的坐标,求其三角函数值的步骤是:①求 r=|OP|=

21

y x y x2+y2;②利用 sin α= ,cos α= ,tan α= 求值. r r x 当角 α 终边上的点的坐标含参数时,为确定 r 的值,要根据情况进行分类讨论.

1.(1)已知角 α 的终边经过点 P(-3,4),则 sinα=________; y (2)设点 A(x,y)是 30° 角终边上异于原点的一点,则 的值为________. x 解析:(1)这里 x=-3,y=4,∴r= ?-3?2+42=5. 由三角函数的定义知, y 4 sinα= = . r 5 (2)根据三角函数的定义知 y 3 =tan 30° = . x 3 4 3 答案:(1) (2) 5 3 2. 若角 α 的终边在直线 y=-2x 上,则 sin α 等于( 1 A.± 5 2 5 C.± 5 B .± 5 5 )

1 D .± 2

解析:当终边在第二象限时,取 P(-1,2),r= 5, 则 sin α= 答案:C 12 3.已知角 α 的终边过点 P(5,a),且 tan α=- ,求 sin α+cos α 的值. 5 a 12 解:根据三角函数的定义,tan α= =- , 5 5 ∴a=-12,∴P(5,-12).这时 r=13, 12 5 ∴sin α=- ,cos α= , 13 13 7 从而 sin α+cos α=- . 13 三角函数的符号问题 [例 2] (10 分)判断下列各式的符号: (1)sin α· cos α;(α 是第二象限角) 23π (2)sin 3· cos 4· tan(- ). 4
22

2 2 5 2 5 = ;当终边在第四象限时,取 P(1,-2),r= 5,则 sin α=- . 5 5 5

[思路点拨] 根据三角函数值在各象限的符号规律求解. [精解详析] (1)∵α 是第二象限角, ∴ sin α>0,cos α<0, ∴sin α· cos α< π 3π (2)∵ <3<π,π<4< , 2 2 ∴sin 3>0,cos 4<0. 23π π 23π ∵- =-6π+ ,∴tan(- )>0, 4 4 4 23 ∴sin 3· cos 4· tan(- π)< 4 (10 分) (5 分)

[一点通] 判断三角函数的符号时,首先要准确确定角所在的象限,另外准确记忆三角 函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键.这个问题是以后解决三角函数求值问题的基 础.

sin α 4.若 <0,则角 α 的终边一定在( tan α A.第二或第三象限 C.第三象限

)

B.第二象限 D.第二或第四象限

?sin α>0, ?sin α<0, ? ? sin α 解析:∵ <0,∴? 或? tan α ? ? ?tan α<0, ?tan α>0.

根据三角函数值在各象限内的符号规律知,角 α 的终边应在第二象限或第三象限. 答案:A 5.判断下列各式的符号: (1)tan 191° -cos 191° ; (2)sin 2· cos 3· tan 4. 解:(1)∵191° 是第三象限角, ∴tan 191° >0,cos 191° <0. ∴tan 191° -cos 191° >0. (2)∵2 是第二象限角,3 是第二象限角,4 是第三象限角, ∴sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0. ∴sin 2· cos 3· tan 4<0. 6.若 sin 2α>0,且 cos α<0,试确定 α 终边所在的象限. 解:因为 sin 2α>0,所以 2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z), π 所以 kπ<α<kπ+ (k∈Z). 2 当 k 为偶数时,α 是第一象限角;当 k 为奇数时,α 为第三象限角.所以 α 为第一或第三
23

象限角. 又因为 cos α<0,所以 α 为第三象限角.

1.已知角 α 的终边所在的直线,求 α 的三角函数值时,常用的解题方法有以下两种: (1)先利用直线与单位圆相交求出交点坐标,然后利用正、余弦函数的定义求出相应的三 角函数值. (2)注意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上任意一点 P(a,b),则对 应角的正弦值 sin α= b a b 2,余弦值 cos α= 2 2 ,正切值 tan α=a. a +b a +b
2

2.当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分 类讨论.

1.已知角 α 的终边经过点 P(-1,2),则 cos α 的值为( A.- 2 5 C. 5 解析:cos α= 答案:A -1 ?-1? +2
2 2=-

)

5 5

B.- 5 D. 5 . 5 5 2

2.设△ABC 的三个内角为 A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是( A.tan A 与 cos B C.sin C 与 tan A B.cos B 与 sin C A D.tan 与 sin C 2

)

A π A 解析:∵0<A<π,∴0< < ,∴tan >0; 2 2 2 又∵0<C<π,∴sin C>0. 答案:D 3.α 是第二象限角,P(x, 5)是其终边上一点,且 cos α= A. 3 C.- 3 B .± 3 D.- 2 2 x,则 x 的值为( 4 )

解析:∵α 是第二象限角,∴x<0,又|OP|= x2+5,

24

∴cos α= 答案:C

2 x= 4

x ,解得 x=- 3. x +5
2

4.如果点 P(sin θ+cos θ,sin θcos θ)位于第二象限,那么角 θ 所在的象限是( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

)

解析:点 P 位于第二象限,∴sin θ+cos θ<0 且 sin θcos θ>0.由 sin θcos θ>0 知 θ 是第 一或第三象限角,又 sin θ+cos θ<0,∴θ 应是第三象限角. 答案:C 5.若角 α 是第二象限角,则点 P(sin α,cos α)在第________象限. 解析:∵α 为第二象限角, ∴sin α>0,cos α<0. ∴P(sin α,cos α)位于第四象限. 答案:四 6.(2011· 江西高考)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sin θ=- 2 5 ,则 y=________. 5 y 2 5 ,解得 y=± 8. 2=- 5 4 +y
2

解析:|OP|= 42+y2,根据任意角三角函数的定义得,

2 5 又∵sin θ=- <0 及 P(4,y)是角 θ 终边上一点,可知 θ 为第四象限角,∴y=-8. 5 答案:-8 4 3 cos α 7.角 α 的终边上存在一点 P(- , ),且 <0,求 sin α+cos α 的值. 5m 5m tan α cos α 4 3 解:∵ <0,∴- 与 异号, tan α 5m 5m 所以 α 是第四象限角,所以 m<0. ∴|OP|= 4 3 1 1 ?- ?2+? ?2= =- . 5m 5m |m| m

y 3 4 ∵sin α= =- ,cos α= , |OP| 5 5 3 4 1 ∴sin α+cos α=- + = . 5 5 5 8.若角 α 的终边过点 P(- 3,y),且 sin α= 解:依题意,点 P 到原点 O 的距离为 |OP|=r= ?- 3?2+y2= 3+y2, 3 y(y≠0),求 cos α 和 tan α 的值. 4

25

∴sin α=

y 3 2= 4 y. 3+y

∵y≠0,∴9+3y2=16. 7 21 4 3 ∴y2= ,y=± ,则 r= . 3 3 3 当 y= 21 时, 3

x 3 y 7 cos α= =- ,tan α= =- ; r 4 x 3 当 y=- 21 时, 3

x 3 y 7 则 cos α= =- ,tan α= = . r 4 x 3

第二课时 公式一与三角函数线

公式一的应用 [例 1] 计算: 11π 12π π (1)sin(- )+cos tan 3π+cos(- ); 6 5 4 (2)sin(-1 740° )· cos 1 470° +cos(-660° )· sin 750° +tan 405° ; [思路点拨] 利用公式(一)将任意角转化为 0~2π 间的角再求值. [精解详析] π 12π π π 12π (1)原式=sin(-2π+ )+cos · tan(2π+π)+cos(- )=sin +cos tan π 6 5 4 6 5

π 1 2 1+ 2 +cos(- )= + = . 4 2 2 2 (2) 原式= sin( - 10×180° + 60° )· cos(8×180° + 30° ) + cos( - 4×180° + 60° )· sin(4×180° + 30° )+tan(2×180° +45° )=sin 60° · cos 30° +cos 60° · sin 30° +tan 45° = 3 3 1 1 × + × +1=2. 2 2 2 2

[一点通] 利用公式一,可把任意角的三角函数值转化为 0 到 2π 间角的三角函数值.

1.求下列三角函数值: 19π 31π (1)cos(-1 050° ); (2)tan ; (3)sin(- ). 3 4 解:(1)∵-1 050° =-3×360° +30° ,

26

∴cos(-1 050° )=cos(-3×360° +30° )=cos30° = (2)∵ 19π π =3×2π+ , 3 3

3 . 2

19π π π ∴tan =tan(3×2π+ )=tan = 3. 3 3 3 31π π (3)∵- =-4×2π+ , 4 4 31π π π 2 ∴sin(- )=sin(-4×2π+ )=sin = . 4 4 4 2 2.求下列各式的值: 25 15 (1)cos π+tan(- π); 3 4 (2)sin 810° +tan 765° +tan 1 125° +cos 360° . 25 15 解:(1)cos π+tan(- π) 3 4 π π =cos(8π+ )+tan(-4π+ ) 3 4 π π 1 3 =cos +tan = +1= . 3 4 2 2 (2)原式=sin(2×360° +90° )+tan(2×360° +45° )+tan(3×360° +45° )+cos(0° +360° ) =sin 90° +tan 45° +tan 45° +cos 0° =4. 作三角函数线 3π [例 2] 作出 的正弦线、余弦线和正切线. 4 [思路点拨] 根据正弦线、余弦线、正切线的定义作. 3 [精解详析] 角 π 的终边(如图)与单位圆的交点为 P.作 PM 垂直于 x 4 3π 轴,垂足为 M,过 A(1,0)作单位圆的切线 AT,与 的终边的反向延长线 4 3π 交于点 T,则 的正弦线为 MP,余弦线为 OM,正切线为 AT. 4 [一点通] 1.作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作 x 轴的垂 线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线. 2.作正切线时,应从 A(1,0)点引单位圆的切线,交角的终边或终边的反向延长线于一点 T,即可得到正切线 AT.

27

3 3.作出- π 的正切线. 4 解:如图所示,有向线段 AT 即为 - 3π 的正切线. 4

1 4.在单位圆中画出满足 cos α= 的角的终边. 2 1 解:作直线 x= 交单位圆于 M、N,则射线 OM 或 ON 为角 α 的 2 终边.

三角函数线的应用 [例 3] (12 分)利用单位圆中的三角函数线,分别确定角 θ 的取值范围. (1)sin θ≥ 3 1 3 ; (2)- ≤cos θ< . 2 2 2 3 3 时 θ 的终边, 再确定满足 sin θ≥ 时 θ 2 2

[思路点拨] (1)先在单位圆中画出满足 sin θ=

1 3 的终边的位置,最后用不等式写出 θ 的范围.(2)实际上是满足 cos θ≥- 且 cos θ< 的 θ 2 2 范围的公共部分. [精解详析] (1)作直线 y= 3 ,交单位圆于 P,Q 两点,则 θ 的 2 3 3 , 满足 sin θ≥ 的 θ 的终边在 2 2 (3 分)

终边在 OP 或 OQ 的位置时 sin θ= 图①的阴影区域内. π 2π 3 ∵sin =sin = , 3 3 2

π 2π ∴θ∈[ +2kπ, +2kπ],k∈Z 3 3

(6 分)

1 3 (2)作直线 x=- ,x= 分别交单位圆于 A、B、C、D 四点,当 θ 的终边在 OA 或 OB 2 2 1 3 位置时 cos θ=- ,当在 OC 或 OD 位置时 cosθ= , 2 2

28

1 3 满足- ≤cos θ< 的 θ 的终边落在图②的阴影区域 2 2 内. (9 分) 2π 1 ∵cos(± )=- , 3 2 π 3 cos(± )= . 6 2 2π π π ∴θ 的取值范围为[- +2kπ,- +2kπ)∪( +2kπ, 3 6 6 2 π+2kπ],k∈Z 3 (12 分)

[一点通] 本题的实质是解含有三角函数的不等式,关键是借助单位圆,作出符合条件 的三角函数线,然后利用运动的观点找出符合条件的角或角的范围,体现了数形结合思想的 运用.

5.利用三角函数线求满足下列条件的角 α 的集合. 1 3 (1)tan α=-1;(2)sin α<- ;(3)cos α≥ . 2 2 解: (1)如图①所示, 过点(1, -1)和原点作直线, 交单位圆于点 P 和 P′, 则 OP 和 OP′ 就是角 α 的终边, π ? ? ∴满足条件的所有角 α 的集合是?α|α=-4+kπ,k∈Z?.
? ?

1 (2)如图②所示,过点(0,- )作 x 轴的平行线,交单位圆于点 P 和 P′,则 sin∠xOP= 2 1 sin∠xOP′=- , 2 11π 7π ∴∠xOP= ,∠xOP′= . 6 6 ∴满足条件的所有角 α 的集合是 11π ? 7π ? ?α| +2kπ<α< +2kπ,k∈Z?. 6 ? 6 ? (3)如图③所示,过点( 3 ,0)作 x 轴的垂线,与单位圆交于点 P、P′,则∠xOP=cos∠ 2

29

xOP′=

3 , 2

π π ∴∠xOP= ,∠xOP′=- . 6 6 ∴满足条件的所有角 α 的集合是 π π ? ? ?a|- +2kπ≤α≤ +2kπ,k∈Z|?. 6 6 ? ?

6.求函数 y= sin x+ 1-tan x的定义域. sin x≥0, ? ?tan x≤1, 解:由题意得? π ? ?x≠nπ+2?n∈Z?. 由图可知, sin x≥0 时,角 x 的终边落在图中横线阴影部分; tan x≤1 时,角 x 的终边落在图中竖线阴影部分. π 从终边落在双重阴影部分的角中排除使 x= +2nπ(n∈Z)的角即为 2 所求. ∴该函数的定义域为: π π ? ? ?x|2nπ≤x≤2nπ+ ,或2nπ+ <x≤2nπ+π,n∈Z?. 4 2 ? ?

1.三角函数线的位置:正弦线为 α 的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线段;余弦线在 x 轴上;正切线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上.三条有向线段中,正弦线和余弦 线在单位圆内,正切线在单位圆外. 2.三角函数线的方向:正弦线由垂足指向 α 的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指 向垂足;正切线由切点指向单位圆与 α 的终边(或反向延长线)的交点. 3.三角函数线的正负:三条有向线段凡与 x 轴正方向或 y 轴正方向同向的为正值,与 x 轴正方向或 y 轴正方向反向的为负值. 4.三角函数线的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后. 5.三角函数线的意义:三角函数线的方向表示三角函数值的符号;三角函数线的长度等 于所表示的三角函数值的绝对值.

30

1.sin 1 A. 2

25 π 等于( 6

) B. 3 2 3 2

1 C.- 2 25 π 解析: π=4π+ , 6 6 ∴sin 25 π 1 π=sin = . 6 6 2

D.-

答案:A 2.已知 α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等,且符号相同,那么 α 的值为( 3π π A. 或 4 4 π 5π C. 或 4 4 5π 7π B. 或 4 4 π 7π D. 或 4 4 )

π 5π 解析:根据正弦线和余弦线的定义知,当 x= 和 时,其正弦线和余弦线长度相等,且 4 4 符号相同. 答案:C 3.若 α 是第一象限角,则 sin α+cos α 的值与 1 的大小关系是( A.sin α+cos α>1 C.sin α+cos α<1 B.sin α+cos α=1 D.不能确定 )

解析: 作出 α 的正弦线和余弦线, 由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知 sin α+cos α>1. 答案:A π 4.已知 α= +2kπ(k∈Z),则 cos 2α 的值为( 6 A. 3 2 1 B. 2 D.- 3 2 )

1 C.- 2

π 解析:∵α= +2kπ(k∈Z), 6 π π 1 ∴cos 2α=cos( +4kπ)=cos = . 3 3 2 答案:B 5.tan 405° -sin 450° +cos 750° =________. 解析:原式=tan(360° +45° )-sin(360° +90° )+

31

cos(2×360° +30° )=tan 45° -sin 90° +cos 30° =1-1+ 答案: 3 2 2 ,且 α∈(0,π)的 α 的集合为________. 2 2 . 2 3 3 = . 2 2

6.利用单位圆,可得满足 sin α<

解析:如图所示,终边落在阴影内的角 α 满足 sin α< π 3π 答案:(0, )∪( ,π) 4 4 7.计算下列各式的值: (1)tan 13 23 π+sin(- π); 6 3

(2)sin 780°cos 450° +tan 390° . π π 解:(1)原式=tan(2π+ )+sin(-8π+ ) 6 3 π π 3 3 5 3 =tan +sin = + = . 6 3 3 2 6 (2)原式=sin(720° +60° )cos(360° +90° )+tan(360° +30° ) =sin60°cos 90° +tan 30° = 8.求下列函数的定义域: (1)y= 2sin x- 2; (2)y=lg(1- 2cos x) 解:(1)∵2sin x- 2≥0, ∴sin x≥ 2 , 2 3 . 3

π 3π ∴x∈[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z). 4 4 (2)由 1- 2cos x>0 得 cos x< 2 . 2

π 7π ∴x∈(2kπ+ ,2kπ+ )(k∈ Z) 4 4

32

1.2.2 同角三角函数的基本关系

y 设角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y),根据三角函数的定义知 y=sin α,x=cos α, = x tan α. 问题 1:能否根据 x、y 的关系得到 sin α,cos α,tan α 的关系? 提示:可以,由 x2+y2=1,得 cos2 α+sin2 α=1. y sin α 由 =tan α,得 =tan α. x cos α 问题 2:上面两个关系式对任意角都成立吗? 提示:对使三角函数有意义的任意角都成立.

同角三角函数的基本关系式 平方关系 sin2α+cos2α=1 商数关系 sin α π tan α= (α≠kπ+ ,k∈Z) cos α 2

同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1,商等于角 α 的正切

sin α 1. sin2α+cos2α=1, tan α= 是三角函数中两个最基本的关系式, 它们揭示了“同角” cos α sin 3α 的三角函数的运算规律.公式中 α 是任意的,如 sin22α+cos22α=1,tan 3α= 都是成立 cos 3α 的. 2. 当已知一个角的某一种三角函数值时, 利用两个关系式就可以求出这个角的另外两个 三角函数值.用平方关系时注意符号的选取. 3.除了掌握两个基本公式外,还要熟练掌握其等价形式: sin2α+cos2α=1?sin2α=1-cos2α?cos2α=1-sin2α; sin α tan α= ?sin α=tan α· cos α. cos α

33

求值问题 4 [例 1] 已知 tan α= ,且 α 是第三象限角. 3 (1)求 sin α,cos α 的值; (2)求 6sin α-2cos α 的值. 3sin α+5cos α

[思路点拨] (1)可由商数关系和平方关系构建 sin α, cos α 的方程组求解. (2)可以由(1)的结论来求解,也可以转化为已知的正切关系式,再代入求解. sin α 4 [精解详析] (1)由 tan α= = ,得 cos α 3 4 sin α= cos α. 3 又 sin2α+cos2α=1, ① ②

16 9 由①②得 cos2α+cos2α=1,即 cos2α= . 9 25 又 α 是第三象限角, 3 4 4 ∴cos α=- ,sin α= cos α=- . 5 3 5 3 4 (2)法一:由(1)知,cos α=- ,sin α=- , 5 5 4 3 6×?- ?-2×?- ? 5 5 2 6sin α-2cos α ∴ = = . 4 3 3 3sin α+5cos α 3×?- ?+5×?- ? 5 5 4 sin α 4 4 法二:∵tan α= ,∴ = ,即 sin α= cos α. 3 cos α 3 3 4 6× cos α-2cos α 3 6 sin α-2 cos α 2 ∴ = = . 4 3 3 sin α+5 cos α 3× cos α+5cos α 3 4 法三:∵tan α= ,∴cos α≠0. 3 6sin α-2cos α 6tan α-2 ∴ = = 3sin α+5cos α 3tan α+5 [一点通] 1. 同角三角函数的基本关系式揭示了同角的三角函数关系, 其最基本的应用是“知一求 二”,求解时要注意根据角所在的象限判断是一解还是两解,同时体会方程思想的应用. 2.本题体现了“切化弦”和“弦化切”思想的应用,方法一体现了方程思想的应用;方 4 6× -2 3 2 = . 4 3 3× +5 3

34

法二利用已知条件将 sin α 全部化为 cos α,运用了“减少变量”的思想;方法三是将关于 sin α,cos α 的齐次式分子分母同除以 cos α 的最高次幂,化为关于 tan α 的式子,根据已知条件 再求解.

4 1.若 sin α=- ,求 cos α,tan α 的值. 5 4 解:∵sin α=- <0,且 sin α≠-1, 5 ∴α 是第三或第四象限角. 当 α 是第三象限角时, cos α=- 1-sin2α=- 4 3 1-?- ?2=- , 5 5

sin α 4 5 4 tan α= =- ×(- )= ; cos α 5 3 3 当 α 是第四象限角时, 3 4 cos α= ,tan α=- . 5 3 2.已知 tan α=2,求下列各式的值. 3sin α-2cos α 2sin2α+sin αcos α+cos2α (1) ; (2) . 2sin α+cos α 4sin2α-3cos2α 解:(1)∵cos α≠0,∴将分子、分母同时除以 cos α, 3tan α-2 3×2-2 4 则原式= = = . 2tan α+1 2×2+1 5 (2)将分子、分母同时除以 cos2α 得 2tan2α+tan α+1 2×22+2+1 11 原式= = = . 13 4tan2α-3 4×22-3 利用 sin α± cos α,sin αcos α 之间的关系求值 1 [例 2] 已知 0<α<π,sin α+cos α= ,求 tan α 的值. 5 1 [思路点拨] 先将 sin α+cos α= 两边平方,求出 sin αcos α,判断出 α 的象限,再求出 5 sin α-cos α.通过解方程组求出 sin α,cos α 后可以求得 tan α. 1 [精解详析] 将 sin α+cos α= 两边平方,(1) 5 1 得 sin2α+2sinαcos α+cos2 α= , 25 12 ∴sin α· cos α=- <0. 25 又 0<α<π,∴sin α>0,cos α<0,
35

则 sin α-cos α>0, ∴sin α-cos α= ?sin α-cos α?2= 1-2sin αcos α = 12 7 1-2×?- ?= .(2) 25 5

4 3 由(1)(2)解得 sin α= ,cos α=- , 5 5 sin α 4 所以 tan α= =- . cos α 3 [一点通] 1.sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α 三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个, 即“知一求二”,它们之间的关系是(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α. 2.求 sin α+cos α 或 sin α-cos α 的值时,要注意判断它们的符号.

1 3.已知 sin α-cos α= ,则 sin αcos α=________ 2 1 1 解析:由 sin α-cos α= ,得 1-2sin αcos α= , 2 4 3 ∴sin αcos α= . 8 3 答案: 8 4.本例中,把“0<α<π”改为“α 是三角形的一个内角”,试判断三角形的形状. 解:∵α 是三角形的一个内角, ∴0<α<π. 1 12 由 sin α+cos α= ,得 sin αcos α=- <0, 5 25 可知 cos α<0,∴α 为钝角, ∴△ABC 是钝角三角形. 5.已知 sin α+cos α= 1 1 ,求 tan2α+ 2 的值. tan α 2 1 , 2

解:因为 sin α+cos α= 所以(sin α+cos α)2=( 1 所以 sin α· cos α=- . 4 tan2α+

1 2 1 )= , 2 2

sin2α+cos2α 2 1 1 2 ) -2=( ) -2 2 =(tan α+ tan α tan α sin αcos α

36



1 1 -2= -2=14. sin2αcos2α 1 16 三角函数式的化简与证明

[例 3] (12 分)(1)化简 tan α· 1+cos α sin α (2)求证: = . sin α 1-cos α

1 -1,其中 α 是第二象限角; sin2α

[思路点拨] (1)先由 α 为第二象限角确定出 sin α, cos α 的符号, 再利用同角基本关系式 去掉根号进行化简; (2)利用 sin2α+cos2α=1 求证,也可用作差变形法求证. [精解详析] (1)因为 α 是第二象限角, 所以 sin α>0,cos α< 故 tan α 1 -1=tan α sin2α 1-sin2α =tan α sin2α cos2α = sin2α (6 分) (2 分)

sin α cos α sin α -cos α · | |= · =- cos α sin α cos α sin α (2)证明:法一:sin2α+cos2α=1?1-cos2α=sin2α ?(1-cos α)(1+cos α)=sin α· sin α ? 1+cos α sin α = sin α 1-cos α 1+cos α sin α - sin α 1-cos α

(12 分)

法二: = = ∴

sin2α-?1+cos α??1-cos α? ?1-cos α?sin α sin2α-?1-cos2α? sin2α-sin2α = =0, ?1-cos α?· sin α ?1-cos α?· sin α 1+cos α sin α = sin α 1-cos α (12 分)

[一点通] 1.化简三角函数式常用的方法有: (1)化切为弦,即把非正弦、余弦的函数都化成正弦函数、余弦函数,从而减少函数名称, 达到化简的目的. (2)对于含有根号的,常把根号中的式子化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的. (3)对于含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造 sin2α+cos2α=1,以降低函 数次数,达到化简的目的. 2.利用同角三角函数关系式证明时,要熟悉公式.方法有从左至右、从右至左或从两侧

37

证明等于同一式,还有左右相减、证差为零的方法.

6.化简(tan α+ A.tan α C.cos α

1 )cos2α 等于( tan α

) B.sin α 1 D. tan α

sin α cos α 1 解析:原式=( + )cos2α= cos2α cos α sin α sin αcos α = cos α 1 = . sin α tan α

答案:D 1-cos4θ-sin2θ 1-2sin2θcos2θ 7.求证: = . 1-sin4θ-cos2θ sin4θ+cos4θ 1-sin2θ-cos4θ cos2θ-cos4θ 证明:∵左边= = = 1-cos2θ-sin4θ sin2θ-sin4θ cos2θ?1-cos2θ? cos2θsin2 θ = 2 2 =1, sin2θ?1-sin2θ? sin θcos θ 1-2sin2θcos2θ 右边= 2 ?sin θ+cos2θ?2-2sin2θcos2θ = 1-2sin2θcos2θ =1, 1-2sin2θcos2θ

∴左边=右边.

1.已知角 α 的一个三角函数值,求 α 的其他两个三角函数值时,要特别注意角所在的 象限,以确定三角函数值的符号. (1)已知三角函数值且角在某一确定象限,这时只有一组解. (2)已知三角函数值,但没有给出角所在的象限,这时一般有两组解,需对角所在的象限 分两种情况讨论. 2.对于三角函数式的化简,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.在化简时,在题 设的条件下,首先应合理利用有关公式,还要明确化简的基本要求:①项数尽量少;②次数 尽量低;③函数种类尽量少;④分母不含根号;⑤能求值的要求值. 3.证明三角恒等式常用的方法有: (1)由繁到简,从结构复杂的一边入手,经过适当的变形、配凑,向结构简单的一边化简, 或从等式两边同时入手,使它们等于同一个数(式). (2)从已知或已证的恒等式出发,根据定理、公式进行恒等变形,推导出求证的恒等式. (3)比较法,证明待证等式的左、右两边之差为 0.
38

(4)从待证的恒等式出发,利用三角恒等变形公式,找出一个显然成立的恒等式或已有的 结论.

π 3 1.已知 α∈( ,π),sin α= ,则 cos α 等于( 2 5 4 A. 5 1 C.- 7 4 B.- 5 3 D. 5

)

π 3 解析:∵α∈( ,π)且 sin α= ,∴cos α=- 1-sin2α=- 2 5 答案:B 2.若 α 为第三象限角,则 A.3 C.1 cos α 2sin α 的值为( 2 + 1-sin α 1-cos2α B.-3 D.-1

3 4 1-? ?2=- . 5 5

)

cos α 2sin α 解析:∵α 为第三象限角,∴原式= + =-3. -cos α -sin α 答案:B sin θ+cos θ 3.已知 =2,则 sin θcos θ 的值是( sin θ-cos θ 3 A. 4 3 C. 10 3 B.± 10 3 D.- 10 )

解析:由条件得 sin θ+cos θ=2sin θ-2cos θ, 即 3cos θ=sin θ,tan θ=3, sin θcos θ tan θ 3 3 ∴sin θcos θ= 2 = = = . sin θ+cos2θ 1+tan2θ 1+32 10 答案:C 5 4.已知 θ 是第三象限角,且 sin4θ+cos4θ= ,则 sin θcos θ 的值为( 9 A. 2 3 B.- 2 3 )

1 C. 3

1 D.- 3

39

5 解析:由 sin4θ+cos4θ= ,得 9 5 (sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ= . 9 2 ∴sin2θcos2θ= .∵θ 是第三象限角, 9 sin θ<0,cos θ<0,∴sin θcos θ= 答案:A 3 3π 5.(2011· 重庆高考)若 cos α=- ,且 α∈(π, ),则 tan α=________. 5 2 3π 3 解析:因为 α∈(π, ),cos α=- , 2 5 4 所以 sin α=- 1-cos2α=- , 5 sin α 4 所以 tan α= = . cos α 3 4 答案: 3 1 6.已知 sin θ-cos θ= ,则 sin3θ-cos3θ=________. 2 1 3 解析:由已知得,1-2sin θcos θ= ,∴sin θcos θ= . 4 8 1 3 11 ∴sin3θ-cos3θ=(sin θ-cos θ)(sin2θ+sin θcos θ+cos2θ)= ×(1+ )= . 2 8 16 11 答案: 16 1 7.已知 tan α= ,求下列各式的值. 2 2cos α-3sin α (1) ; 3cos α+4sin α (2)sin2α-3sin αcos α+4cos2α. 3 2- 2 2-3tan α 1 解:(1)原式= = = . 1 10 3+4tan α 3+4× 2 sin2α-3sin αcos α+4cos2α (2)原式= sin2α+cos2α 1 3 - +4 tan2α-3tan α+4 4 2 11 = = = . 1 5 1+tan2α 1+ 4 2 . 3

40

8.求证:

tan αsin α tan α+sin α = . tan α-sin α tan αsin α tan2α-sin2α tan2α-tan2αcos2α = = ?tan α-sin α?· tan α· sin α ?tan α-sin α?· tan αsin α

证 明 : 法 一 : 右 边 = tan2α?1-cos2α? ?tan α-sin α?tan αsin α =

tan2αsin2α tan αsin α = =左边, ?tan α-sin α?tan αsin α tan α-sin α

∴等式成立. tan α· sin α sin α 法二:左边= = , tan α-tan αcos α 1-cos α tan α+tan αcos α 1+cos α 右边= = tan αsin α sin α 1-cos2α sin2α sin α = = = , sin α?1-cos α? sin α?1-cos α? 1-cos α ∴左边=右边,等式成立. 法三:∵tan α-sin α≠0,tan α· sin α≠0, ∴要证原等式成立, 只要证 tan2α· sin2α=tan2α-sin2α 成立. 而 tan2α· sin2α=tan2α(1-cos2 α)=tan2α-(tan αcos α)2 =tan2α-sin2α, 即 tan2α· sin2α=tan2α-sin2α 成立,∴等式成立.

1.3

三角函数的诱导公式

三角函数的诱导公式

问题 1:在平面直角坐标系中,角 α 与 α+2kπ(k∈Z)的终边相同,它们的三角函数值有 什么关系? 提示:相等. 问题 2:设单位圆与角 α,-α 终边的交点分别为 P 和 P′,那么这两点有什么关系?它 们的坐标分别是什么?

41

提示:关于 x 轴对称. P(cos α,sin α),P′(cos(-α),sin(-α)). 问题 3:根据问题 2,cos(-α)与 cos α,sin(-α)与 sin α 之间有什么关系? 提示:cos(-α)=cos α,sin(-α)=-sin α. π 问题 4:角 α 分别与 π+α,π-α, -α 的终边有什么关系? 2 提示:分别关于原点,y 轴,直线 y=x 对称. 问题 5:点 P(x,y)关于 x 轴、y 轴、坐标原点和直线 y=x 的对称点分别是什么? 提示:(x,-y),(-x,y),(-x,-y),(y,x). π 问题 6:角 π+α,π-α, -α 的三角函数与角 α 的三角函数之间的关系有规律吗? 2 提示:有.

诱导公式一至四可用口诀“函数名不变,符号看象限”记忆,其中“函数名不变”是指 等式两边的三角函数同名,“符号”是指等号右边是正号还是负号,“看象限”是指把 α 看 成锐角时原三角函数值中角的象限.
42

诱导公式五和六可用口诀“函数名改变,符号看象限”记忆,“函数名改变”是指正弦 变余弦,余弦变正弦.为了记忆方便,我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数,“符 号看象限”同上.

求任意角的三角函数值 [例 1] 求下列各三角函数值: (1)sin 1 320° ; 31π (2)cos(- ); 6 (3)tan(-945° ).

[思路点拨] 利用诱导公式求解. [精解详析] (1)法一:sin 1 320° =sin(3×360° +240° )=sin240° =sin(180° +60° )=-sin 60° =- 3 . 2

法二:sin 1 320° =sin(4×360° -120° )=sin(-120° ) =-sin(180° -60° )=-sin 60° =- 3 . 2

法三:sin 1 320° =sin(4×360° -120° )=sin(-120° ) =-sin(90° +30° )=-cos 30° =- 31π 31π (2)法一:cos(- )=cos 6 6 7π π π 3 =cos(4π+ )=cos(π+ )=-cos =- . 6 6 6 2 31π 5π 法二:cos(- )=cos(-6π+ ) 6 6 π π 3 =cos(π- )=-cos =- . 6 6 2 (3)tan(-945° )=-tan 945° =-tan(225° +2×360° ) =-tan 225° =-tan(180° +45° )=-tan 45° =-1. [一点通] 此问题为已知角求值,主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐 角的三角函数值求解.如果是负角,一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数.要准确 记忆特殊角的三角函数值. 3 . 2

1.求下列各三角函数式的值.

43

27π (1)sin(-660° ); (2)cos ; 4 (3)2cos 660° +sin 630° ; 37π 5π (4)tan · sin(- ). 6 3 解:(1)∵-660° =-2×360° +60° , ∴sin(-660° )=sin 60° = (2)∵ 3 . 2

27π 3π 27π 3π 2 =6π+ ,∴cos =cos =- . 4 4 4 4 2

(3)原式=2cos(720° -60° )+sin(720° -90° ) =2cos 60° -sin 90° 1 =2× -1=0. 2 37π 5π (4)tan · sin(- ) 6 3 π π =tan(6π+ )· sin(-2π+ ) 6 3 π π =tan · sin 6 3 = 3 3 1 × = . 3 2 2

2π 4π 2.求 sin(2nπ+ )cos(nπ+ )的值(n∈Z). 3 3 解:①当 n 为奇数时, 2π 4 原式=sin · (-cos π) 3 3 π π =sin(π- )· [-cos(π+ )] 3 3 π π 3 1 3 =sin · cos = × = . 3 3 2 2 4 2 4 ②当 n 为偶数时,原式=sin π·cos π 3 3 π π π π =sin(π- )· cos(π+ )=sin · (-cos ) 3 3 3 3 =- 3 . 4 给值(或式)求值 1 [例 2] (1)已知 cos(π+α)=- ,求 sin(2π-α)的值; 2

44

π 1 π (2)已知 sin( -α)= ,求 cos( +α)的值. 3 2 6 [思路点拨] (1)首先求出 cos α 的值,根据其符号确定 α 所在的象限,然后求解. π π π (2)利用( -α)+( +α)= . 3 6 2 1 [精解详析] (1)∵cos(π+α)=-cos α=- , 2 1 ∴cos α= , 2 ∴α 是第一或第四象限角. ①若 α 是第一象限角, 则 sin(2π-α)=-sin α=- 1-cos2α=- ②若 α 是第四象限角, 则 sin(2π-α)=-sin α= π π π (2)∵( -α)+( +α)= , 3 6 2 π π π π 1 ∴cos( +α)=cos[ -( -α)]=sin( -α)= . 6 2 3 3 2 [一点通] 解决已知条件求值问题的常见思路: 分别将已知条件和所求问题(代数式等)进行化简,寻找已知条件与所求问题之间的关系, 特别是寻找到角与角之间的联系后,可以通过已知角的三角函数值和有关的三角公式求得. 1-cos2α= 3 . 2 3 . 2

1 3.已知 sin(75° +α)= ,则 cos(15° -α)的值为( 3 1 A.- 3 2 2 C.- 3 解析:∵(75° +α)+(15° -α)=90° , 1 B. 3 2 2 D. 3

)

1 ∴cos(15° -α)=cos [90° -(75° +α)]=sin(75° +α)= . 3 答案:B 1 π 4.已知 cos(π+α)=- ,求 cos( +α)的值. 2 2 1 解:∵cos(π+α)=-cos α=- , 2 1 ∴cos α= ,∴α 为第一或第四象限角. 2

45

①若 α 为第一象限角, π 则 cos( +α)=-sin α=- 1-cos2α 2 =- 1 3 1-? ?2=- . 2 2

②若 α 为第四象限角, π 则 cos( +α)=-sin α= 1-cos2α= 2 π 5.已知 cos( -θ)=a(|a|≤1). 6 5 2 求证:cos( π+θ)-sin( π-θ)=-2a. 6 3 5π π 2π π π 证明:∵ +θ=π-( -θ), -θ= +( -θ), 6 6 3 2 6 5π 2 ∴cos( +θ)-sin( π-θ) 6 3 π π π =cos[π-( -θ)]-sin[ +( -θ)] 6 2 6 π π =-cos( -θ)-cos( -θ)=-a-a=-2a. 6 6 利用诱导公式化简或证明 [例 3] (12 分)已知 π 3π cos? +α?· cos?2π-α?· sin?-α+ ? 2 2 f(α)= . 3π sin?-π-α?· sin? +α? 2 (1)化简 f(α); 3π 1 (2)若 α 是第三象限角,且 cos(α- )= ,求 f(α)的值. 2 5 [思路点拨] 先利用诱导公式化简 f(α),求出 sin α,再求 f(α)的值. [精解详析] π -sin α· cos α· [-sin? -α?] 2 (1)f(α)= π -sin?π+α?[-sin? +α?] 2 = sin αcos αcos α =-cos α -sin αcos α (6 分) 1 3 1-? ?2= . 2 2

3π π (2)∵cos(α- )=-cos( -α)=-sin α, 2 2 1 ∴sin α=- 5 又 α 是第三象限角,
46

(8 分)

∴cos α=- 1-sin2α=- 2 6 ∴f(α)=-cos α= 5 [一点通]

1 2 6 1-?- ?2=- , 5 5

(10 分) (12 分)

1. 利用诱导公式, 可将三角函数中的角统一, 再用同角三角函数关系式进行化简、 求值, 这样可避免公式交错使用时导致的混乱. 2.证明恒等式其实就是将等号一边复杂的式子化简转化到另一边的过程.

6.化简

1+2sin 280° · cos 440° 的结果是________. sin 260° +cos 800° 1+2sin?360° -80° ?· cos?360° +80° ? sin?180° +80° ?+cos?720° +80° ?

解析:原式= = = = =

1-2sin 80° · cos 80° -sin 80° +cos 80° sin280° +cos280° -2sin 80° · cos 80° -sin 80° +cos 80° ?sin 80° -cos 80° ?2 |cos 80° -sin 80° | = -sin 80° +cos 80° cos 80° -sin 80° sin 80° -cos 80° =-1. cos 80° -sin 80°

答案:-1 tan?2π-α?sin?-2π-α?cos?6π-α? 7.求证: =-tan α. 3π 3π sin?α+ ?cos?α+ ? 2 2 tan?-α?· sin?-α?· cos?-α? 证明:左边= π π sin[2π-? -α?]· cos[2π-? -α?] 2 2 = ?-tan α?· ?-sin α?· cos α π π sin[-? -α?]cos[-? -α?] 2 2 sin2α π π -sin? -α?cos? -α? 2 2 sin2α sin α =- =-tan α=右边. cos α -cos α· sin α





∴等式成立.

1. 求值问题: 给角求值问题主要是利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角

47

函数,运算时要注意公式的合理选择;给值求值问题主要是依据所给式和被求式的特点,发 现它们之间的内在联系,特别是角之间的联系. 2.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是: 任意负角的 三角函数
用公式一 用公式一或三

― ― →

任意正角的 三角函数 锐角三 角函数

― ― →

0~2π的角 的三角函数

用公式二或四

― ― →

可以看出,这些步骤体现了把未知问题化归为已知问题的数学思想.可以简单记为“负 化正,大化小,化成锐角再求值”. 3.解决给值求值(条件求值)问题的常见思路:若条件简单,结论复杂,可从化简结论入 手,用上条件,进行计算;若条件复杂,结论简单,可从化简条件入手,转化出结论的形式 代入求值;若条件、结论都比较复杂,可同时化简它们,直到找出它们间的联系为止.无论 使用哪种方法都要时刻瞄准目标,根据结果变形.

1.tan 690° 的值为( A.- C. 3 3 3

) B. 3 3

D.- 3 3 . 3

解析:tan 690° =tan(720° -30° )=-tan 30° =- 答案:A π 1 π 2.已知 sin(α- )= ,则 cos( +α)的值等于( 4 3 4 2 2 A. 3 1 C. 3 2 3 B.- 3 1 D.- 3

)

π 1 π 1 解析:∵sin(α- )= ,∴sin( -α)=- . 4 3 4 3 π π π ∵( -α)+( +α)= , 4 4 2 π π 1 ∴cos( +α)=sin( -α)=- . 4 4 3 答案:D 3. 1-2sin?π+2?cos?π-2?等于( )
48

A.sin 2-cos 2 C.± (sin 2-cos 2) 解析:原式= 1-2sin 2cos ?-2? = sin22-2sin 2cos 2+cos22 =|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2. 答案:A

B.sin 2+cos 2 D.cos 2-sin 2

4.若 sin(180° +α)+cos(90° +α)=-a,则 cos(270° -α)+2sin(360° -α)的值是( 2a A.- 3 2a C. 3 3a B.- 2 3a D. 2

)

解析:由 sin(180° +α)+cos(90° +α)=-a, a 得-sin α-sin α=-a,即 sin α= , 2 cos(270° -α)+2sin(360° -α) 3 =-sin α-2sin α=-3sin α=- a. 2 答案:B 5.已知角 α 的终边上一点 P(3a,4a)(a<0),则 cos(540° -α)的值是________. 解析:cos(540° -α)=cos(180° -α)=-cos α. 3 ∵a<0,∴|OP|=r=-5a,∴cos α=- . 5 3 ∴cos(540° -α)=-cos α= . 5 3 答案: 5 π 1 5 6.若 cos( -α)=- ,则 cos( π+α)=________. 6 3 6 π 5 解析:∵( -α)+( π+α)=π, 6 6 5 π ∴cos( π+α)=cos[π-( -α)] 6 6 π 1 =-cos( -α)= . 6 3 1 答案: 3 1 7.(1)已知 sin(π+α)=- ,求 cos(5π+α)的值; 3 π 1 5π (2)已知 sin( +α)=- ,求 sin(α- )的值; 3 2 3
49

π 3 7π (3)已知 cos( +α)= ,求 cos( +α)的值. 6 3 6 解:(1)∵sin(π+α)=-sin α, 1 1 ∴-sin α=- ,即 sin α= . 3 3 当 α 是第一象限角时,cos(5π+α)=cos(π+α) 2 2 =-cos α=- 1-sin2α=- ; 3 当 α 是第二象限角时, 2 2 cos(5π+α)=cos(π+α)=-cos α= 1-sin2α= . 3 π 5π (2)∵(α+ )-(α- )=2π, 3 3 5π π π 1 ∴sin(α- )=sin[(α+ )-2π]=sin(α+ )=- . 3 3 3 2 7π π (3)∵(α+ )-(α+ )=π, 6 6 7π π π 3 ∴cos( +α)=cos[π+(α+ )]=-cos( +α)=- . 6 6 6 3 8π 8.设 tan(α+ )=m, 7 15π 13π sin? +α?+3cos?α- ? 7 7 m+3 求证: = . 20π 22π m+1 sin? -α?-cos?α+ ? 7 7 证明:法一: 8 8π sin[π+? π+α?]+3cos[?α+ ?-3π] 7 7 左边= 8 8π sin[4π-?α+ π?]-cos[2π+?α+ ?] 7 7 8π 8π 8π -sin?α+ ?-3cos?α+ ? tan?α+ ?+3 7 7 7 = = 8π 8π 8π -sin?α+ ?-cos?α+ ? tan?α+ ?+1 7 7 7 = m+3 =右边,∴等式成立. m+1

8π π 法二:由 tan(α+ )=m,得 tan(α+ )=m. 7 7 π π sin[2π+? +α?]+3cos[2π+? +α?] 7 7 ∴左边= π π sin[2π+π-? +α?]-cos[2π+π+? +α?] 7 7

50

π π sin? +α?+3cos? +α? 7 7 = π π sin[π-? +α?]-cos[π+? +α?] 7 7 π π π sin? +α?+3cos? +α? tan? +α?+3 7 7 7 = = π π π sin? +α?+cos? +α? tan? +α?+1 7 7 7 = m+3 =右边. m+1

∴等式成立.

1.4

三角函数的图象与性质

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

正弦函数的图象

问题 1:如果以弧度制来度量角,x,y 表示其函数值,那么正弦函数的解析式是什么? 提示:y=sin x. 问题 2:正弦线能代表正弦值吗? 提示:能. 问题 3:如果把正弦线沿 x 轴方向平移到某些特殊位置,线段的终点能否是函数图象上 的点? 提示:能. 问题 4:如果有了正弦函数在[0,2π]上的图象,怎样才能得到 R 上的图象? 提示:因为 sin(k· 360° +x)=sin x(k∈Z),所以只需将这段图象向左右两方向平移即可得 到.

1.正弦曲线 正弦函数 y=sin x,x∈R 的图象叫正弦曲线.

51

2.正弦函数图象的画法 (1)几何法: ①利用正弦线画出 y=sin x,x∈[0,2π]上的图象; ②将图象向左、向右平行移动(每次 2π 个单位). (2)五点法: π 3π 画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0),( ,1),(π,0),( ,-1),(2π,0), 2 2 用平滑的曲线连接.

余弦函数的图象

问题 1:根据诱导公式能得到某一角的正弦与余弦之间的等量关系吗? π 提示:可以, sin( +x)=cos x. 2 π 问题 2:根据关系式 sin(x+ )=cos x 怎样才能得到 y=cos x 的图象? 2 π 提示:将正弦曲线向左平移 个单位即可. 2

1.余弦曲线 余弦函数 y=cos x,x∈R 的图象叫余弦曲线.

2.余弦函数图象的画法 π (1)要得到 y=cos x 的图象, 只需把 y=sin x 的图象向左平移 个单位长度便可, 这是由于 2 π cos x=sin(x+ ). 2 (2)用“五点法”:画余弦曲线 y=cos x 在[0,2π]上的图象时,所取的五个关键点分别为 π 3π (0,1),( ,0),(π,-1),( ,0),(2π,1),再用光滑的曲线连接. 2 2

1.用描点法画三角函数图象可分为三个步骤:列表、描点、连线. 2.用几何法画 y=sin x 的图象就是利用单位圆中的正弦线,该方法作图较准确,但画图
52

较繁琐. 3.利用“五点法”画正、余弦函数的图象,就是先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波 谷和三个平衡位置这五个点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲 线在一个周期内的图象.

用“五点法”作函数的图 象 [例 1] 画下列函数的简图: (1)y=1+cos x,x∈[0,2π]; (2)y=-sin x,x∈[0,2π]. [思路点拨] 按照列表、描点、连线三个步骤,利用“五点法”作图象. [精解详析] (1)画法: ①列表: x cos x 1+cos x ②描点: 0 1 2 π 2 0 1 π -1 0 3π 2 0 1 2π 1 2

③连线:用光滑的曲线依次连接各点,即得所求的图象. (2)画法:①列表: x sin x -sin x 0 0 0 π 2 1 -1 π 0 0 3π 2 -1 1 2π 0 0

②描点:

53

③连线:用平滑曲线依次连接各点,即可得到所求图象. [一点通] 作形如 y=asin x+b(或 y=acos x+b), x∈[0,2π]的图象时, 可用“五点法”作 π 3π 图,其步骤是:①列表取 x=0, ,π, ,2π;②描点;③用光滑曲线连线成图.这是一种 2 2 基本作图方法,应该熟练掌握.

1.作出函数 y=1-cos x 的图象. 解:法一:(1)列表: x y 0 0 π 2 1 π 2 3 π 2 1 2π 0

(2)描点. (3)连线(如图):

法二:先作出 y=cos x 的图象,然后利用对称作出 y=-cos x 的图象,最后向上平移 1 个单位即可,如图.

2.作出函数 y= 1-sin2x的图象. 解:y= 1-sin2x= cos2x=|cos x|. 由对称性易知,只需作出 y=cos x 的图,再把 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方即可,其 图象如图所示.

三角函数图象的应用

54

1 [例 2] (12 分)写出使 sin x≥ (x∈R)成立的 x 的取值集合. 2 [思路点拨] 首先作出 y=sin x 在[0,2π]上的图象, 再由图象写出[0,2π]上满足不等式的解 集,最后扩展到 R 上去.也可以用三角函数线来求解. [精解详析] 法一:(利用三角函数的图象) (4 分)

如图①,画出 y=sin x 在 x∈[0,2π]内的图象,

1 π 5π 其中直线 y= 与 y=sin x 的交点 M,M′的横坐标分别是 , ,故在 0≤x<2π 中满足 2 6 6 1 π 5π sin x≥ 的角 x 的集合为{x| ≤x≤ }. 2 6 6 因此当 x∈R 时, π 5π 集合为{x| +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z}. 6 6 法二:(利用单位圆中的三角函数线) 1 π 5π 如图②,在 0≤x<2π 中,满足 sin x≥ 的角 x 的集合为{x| ≤x≤ }. 2 6 6 因此当 x∈R 时, π 5π 集合为{x| +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z}. 6 6 (12 分) (10 分) (12 分) (10 分)

[一点通] 正、余弦函数图象的作用主要有:解三角不等式、确定交点个数及求定义域 等,具体地确定范围时,应先确定出[0,2π]上的范围,再向左、向右扩展,即得整个实数集上 的范围.求交点个数时图象务必准确.

3.方程 lg x=sin x 的实根的个数为________. 解析:在同一坐标系中作 y=lg x 和 y=sin x 的图象 如图所示,两图象有三个交点,即方程 lg x=sin x 有三 数根. 答案:3 4.函数 y= 2cos x- 2的定义域是________. 解析:要使函数有意义,只需 2cos x- 2≥0 即 cos x≥ 2 .由余弦函数图象知(如图), 2 个实

55

π π 所求定义域为[- +2kπ, +2kπ],k∈Z. 4 4 π π 答案:[- +2kπ, +2kπ],k∈Z 4 4 5.求函数 y=lg( 3-2sin x)的定义域. 解析:由 3-2sin x>0 得 sin x< 3 2

4π π .结合函数 y=sin x 的图象得- +2kπ<x< +2kπ,k∈Z. 3 3 4π π ∴函数 y=lg(1-2sin x)的定义域是(- +2kπ, +2kπ),k∈Z. 3 3 6.若函数 y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,求这个封 闭图形的面积. 解:利用“五点法”作出 y=2cos x 的图象,它与 y=2 围成的封 闭图形如图. 由图可知,x 轴下方的阴影部分与 x 轴上方①②两部分面积相同, 故所求面积为一矩形面积,即 S=2π×2=4π.

1. 观察正弦函数的图象可以看出, 以下五个点在确定正弦函数图象形状时起着关键作用, π 3π (0,0),( ,1),(π,0),( ,-1),(2π,0).这五点描出后,正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π]的 2 2 图象的形状就基本上确定了. π 3π 同样,(0,1),( ,0),(π,-1),( ,0),(2π,1)这五点描出后,余弦函数 y=cos x,x 2 2 ∈[0,2π]的图象的形状也就基本上确定了. 2.利用三角函数图象解三角不等式的步骤: (1)作出相应的正弦函数或余弦函数的图象; (2)写出在[0,2π]上适合不等式的解集; (3)根据公式一写出定义域内的解集.

1.以下对正弦函数 y=sin x 的图象描述不正确的是(

)

A.在 x∈[2kπ,2(k+1)π](k∈Z)上的图象形状相同,只是位置不同

56

B.介于直线 y=1 与直线 y=-1 之间 C.关于 x 轴对称 D.与 y 轴仅一个交点 解析:由正弦函数的图象知,图象不关于 x 轴对称,A、B、D 均为正确描述. 答案:C 2.下列函数图象相同的是( )

A.f(x)=sin x 与 g(x)=sin(π+x) π? ?π ? B.f(x)=sin? ?x-2?与 g(x)=sin?2-x? C.f(x)=sin x 与 g(x)=sin(-x) D.f(x)=sin(2π+x)与 g(x)=sin x 解析:A、B、C 中 f(x)=-g(x),D 中 f(x)=g (x). 答案:D 3.用五点法作 y=2sin 2x 的图象时,首先应描出的五点的横坐标可以是( π 3π A.0, ,π, ,2π 2 2 C.0,π,2π,3π,4π π π 3π B.0, , , ,π 4 2 4 π π π 2π D.0, , , , 4 3 2 3 )

π 3π π π 3π 解析:使 2x 分别取 0, ,π, ,2π,则 x 取 0, , , ,π. 2 2 4 2 4 答案:B π 3π 4.函数 y=-sin x,x∈[- , ]的简图是( 2 2 )

π 3 解析:y=-sin x 与 y=sin x 在[- , π]上的图象关于 x 轴对称. 2 2 答案:D 5.方程 x2=cos x 的实根的个数是________.

57

解析:在同一坐标系中,作出 y=x2 和 y=cos x 的图象如图,由图可 知,有两个交点,也就是实根的个数为 2. 答案:2 6.设 0≤x<2π 且|cos x-sin x|=sin x-cos x,则 x 的取值范围为________. π 5 解析:由条件知 sin x≥cos x.由图可知 x∈[ , π]. 4 4 π 5π 答案:[ , ] 4 4 7.作出函数 y=2+cos x,x∈[0,2π]的简图. 解:(1)列表: x y 0 3 π 2 2 π 1 3π 2 2 2π 3

(2)描点. (3)连线(如图).

8.已知直线 y=a,函数 y=sin x,x∈[0,2π],试探求以下问题: (1)当 a 为何值时,直线与函数图象只有一个交点? (2)当 a 为何值时,直线与函数图象有两个交点? (3)当 a 为何值时,直线与函数图象有三个交点? (4)当 a 为何值时,直线与函数图象无交点? 解:由图象易知:

(1)当 a=± 1 时,直线与函数图象只有一个交点. (2)当 0<a<1 或-1<a<0 时,直线与函数图象有两个交点. (3)当 a=0 时,直线与函数图象有三个交点. (4)当 a>1 或 a<-1 时,直线与函数图象无交点.

58

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

正弦、余弦函数的周期性

问题 1:终边相同的角的三角函数值有什么关系? 提示:相等.即 sin(2kπ+x)=sin x,cos(2kπ+x)=cos x(k∈Z). 问题 2:正弦曲线具有什么特点? 提示:“周而复始”,每隔 2π 就重复一次. 问题 3:余弦曲线是否也具有上述特点? 提示:具有.

1.函数的周期性 (1)对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫做 f(x) 的最小正周期. 2.正、余弦函数的周期性 正弦函数 y=sin x(x∈R)和余弦函数 y=cos x(x∈R)都是周期函数,2kπ(k∈Z,且 k≠0) 都是它们的周期.最小正周期为 2π. 正、余弦函数的奇偶性

问题 1:正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性? 提示:正弦曲线关于原点对称、余弦曲线关于 y 轴对称. 问题 2:诱导公式 sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x 体现了函数的什么性质? 提示:奇偶性.

正弦、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数. 正、余弦函数的单调性

下图中的曲线分别是正弦函数和余弦函数的图象,根据图象回答以下问题:

59

π 3π 问题 1:我们知道 2π 是正弦、余弦函数的周期,那么从- 到 和从-π 到 π 是它们的 2 2 一个周期吗? 提示:是一个周期. π π 问题 2:当 x 从- 增大到 时,正弦函数值是怎样变化的? 2 2 提示:从-1 增大到 1. π 3π 问题 3:当 x 从 增大到 时,正弦函数值是逐渐增大的吗? 2 2 提示:不是,是从 1 逐渐减小到-1. 问题 4:余弦函数在[0,2π]上的单调性怎样呢? 提示:在[0,π]上单调递减,在[π,2π]上单调递增. 问题 5:它们在下一个周期内具有相同的单调性吗? 提示:是的.

1.正、余弦函数的单调性 π π ? 正弦函数在每一个闭区间? 其值从-1 增大到 1; ?-2+2kπ,2+2kπ?(k∈Z)上都是增函数, π 3π ? 在每一个闭区间? ?2+2kπ, 2 +2kπ?(k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. 余弦函数在每一个闭区间[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增大到 1;在 每一个闭区间[2kπ,π+2kπ]((k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. 2.正弦函数和余弦函数的最值 π π (1)正弦函数当且仅当 x= +2kπ(k∈Z)时,取得最大值 1;当且仅当 x=- +2kπ(k∈Z) 2 2 时,取得最小值-1. (2)余弦函数当且仅当 x=2kπ(k∈Z)时取得最大值 1;当且仅当 x=π+2kπ(k∈Z)时,取得 最小值-1.

1.关于周期函数概念的理解应注意以下两点: (1)存在一个不等于零的常数 T; (2)对于定义域内的每个值 x,都有 f(x+T)=f(x). 2.利用诱导公式 sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)=cos α 可得正、余弦函数的周期性. 利用诱导公式 sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α 可得正、余弦函数的奇偶性.

60

π π 3.正、余弦函数的单调区间,如[- +2kπ, +2kπ](k∈Z)表示的是一个个区间,即?, 2 2 π π 3 5 π π 3 5 [- , ],[ π, π],?而不表示?∪[- , ]∪[ π, π]∪? 2 2 2 2 2 2 2 2 4.正弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标为(kπ,0)(k∈Z);正弦曲线也是轴 π 对称图形,其所有的对称轴方程是 x=kπ+ (k∈Z). 2 π 余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标是(kπ+ ,0)(k∈Z);余弦曲线也是轴 2 对称图形,其所有的对称轴方程是 x=kπ(k∈Z).

第一课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性

函数的周期 [例 1] 求下列函数的周期: 1 (1)y=sin x; 2 x π (2)y=2sin( - ). 3 6 [思路点拨] 可以利用周期函数的定义求解. 1 1 [精解详析] (1)∵sin( x+2π)=sin x, 2 2 1 1 即 sin (x+4π)=sin x, 2 2 1 ∴y=sin x 的周期是 4π. 2 x π x π (2)∵2sin( - +2π)=2sin( - ), 3 6 3 6 1 π x π 即 2sin[ (x+6π)- ]=2sin( - ), 3 6 3 6 x π ∴y=2sin( - )的周期是 6π. 3 6 [一点通] 求函数的最小正周期的常用方法有: (1)定义法,找到使 f(x+T)=f(x)成立的最小正常数 T 即可. (2)图象法,即作出 y=f(x)的图象,观察图象可求出 T. (3)公式法,形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,且 A≠0,ω≠0)

61

2π 的函数,周期 T= . |ω|

π 2π 1.函数 y=sin(ωx+ )(ω>0)的周期是 ,则 ω=________. 4 3 2π 2π 解析:由 = ,得 ω=3. ω 3 答案:3 2.求下列函数的周期: π (1)y=sin(2x+ );(2)y=|sin 2x|. 6 2π 解:(1)∵ω=2,∴T= =π, 2 π ∴函数 y=sin(2x+ )的周期是 π. 6 (2)作出 y=|sin 2x|的图象.

π 由图象可知,y=|sin 2x|的周期为 . 2 奇偶性的判断 [例 2] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xsin(π+x); 1-cos x (2)f(x)= . sin x [思路点拨] 先判断函数的定义域是否关于原点对称,再利用 f(-x)与 f(x)的关系进行判 断. [精解详析] (1)函数的定义域为 R, f(x)=xsin(π+x)=-xsin x, f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsin x=f(x). ∴f(x)为偶函数. (2)函数应满足 sin x≠0, ∴函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}. 当 x≠kπ 时,-x≠kπ,k∈Z, 1-cos?-x? 1-cos x 且 f(-x)= = =-f(x), sin?-x? -sin x ∴f(x)为奇函数.

62

[一点通] 判断函数的奇偶性,先求函数的定义域是正确判断奇偶性的前提,即首先要 看定义域是否关于原点对称,再看 f(-x)与 f(x)的关系.注意奇偶性判定法的变通式和定义式 f?-x? 的用法,即偶函数也可由 f(x)-f(-x)=0 或 =1(f(x)≠0)来判断;奇函数也可由 f(-x)+ f?x? f?-x? f(x)=0 或 =-1(f(x)≠0)来判断. f?x?

3.若函数 y=2sin(ωx+φ)是偶函数,则 φ 可能等于( π A. 6 π C. 2 π B. 3 D.π

)

π 解析:∵y=2sin(ωx+ )=2cos ωx 为偶函数, 2 π ∴φ 可取 . 2 答案:C 2 15π 4.函数 f(x)=7sin( x+ )是( 3 2 A.周期为 3π 的偶函数 B.周期为 2π 的偶函数 C.周期为 3π 的奇函数 4π D.周期为 的偶函数 3 2 2π 解析:这里 w= ,∴T= =3π. 3 2 3 2 15π f(x)=7sin( x+ ) 3 2 2 3π =7sin( x+ ) 3 2 2 =-7cos x, 3 ∴f(x)为偶函数. 答案:A 5.判断下列函数的奇偶性. 1+sin x-cos2x (1)f(x)=sin xcos x; (2)f(x)= . 1+sin x 解:(1)定义域为 R. f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x),
63

)

∴f(x)是奇函数. (2)要使函数有意义,自变量 x 的取值应满足 1+sin x≠0, 3π ∴sin x≠-1.∴x≠2kπ+ ,k∈Z, 2 ∴函数的定义域为 3π ? ? ?x|x∈R,且x≠2kπ+ ,k∈Z?,不关于原点对称, 2 ? ? ∴函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 函数周期性与奇偶性的应用 π π 17 [例 3] (12 分)若函数 f(x)是以 为周期的偶函数,且 f( )=1,求 f(- π)的值. 2 3 6 [思路点拨] 利用函数的周期性及偶函数的性质将求 f(- 值. π [精解详析] ∵f(x)的周期为 ,且为偶函数, 2 17π π π π ∴f(- )=f(-3π+ )=f(-6× + ) 6 6 2 6 π =f( ). 6 π π π π π 而 f( )=f( - )=f(- )=f( )=1, 6 2 3 3 3 17π ∴f(- )= 6 (12 分) (6 分) 17 π π)的值的问题转化为求 f( )的 6 3

[一点通] 利用函数的周期性,可以把 x+nT(n∈Z)的函数值转化为 x 的函数值.利用奇 偶性,可以找到-x 与 x 的函数值的关系,从而可解决求值问题.

6.设 f(x)是以 4 为周期的偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=x,则 f(7.6)=________. 解析:∵周期是 4,∴f(7.6)=f(7.6-8)=f(-0.4). 又∵函数为偶函数,且 x∈[0,2]时,f(x)=x, ∴f(-0.4)=f(0.4)=0.4. 答案:0.4 9 7.若 f(x)是奇函数,且 f(x+1)=-f(x),当 x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1,求 f( )的值. 2 解:∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=-f(x+1). ∴f(x+2)=f(x),即 T=2. 9 9 1 ∴f( )=f( -4)=f( ).又∵f(x)为奇函数, 2 2 2

64

1 1 且 x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1,∴f( )=-f(- ) 2 2 1 9 =-[2×(- )+1]=0,故 f( )=0. 2 2

2π 1.函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 (ω≠0); 函数 y=|Asin(ωx |ω| π +φ)|和 y=|Acos(ωx+φ)|的最小正周期 T= (ω≠0). |ω| 2.关于函数 y=Asin(ωx+φ)的奇偶性. π kπ 当 φ=kπ+ ,k∈Z 时,函数为偶函数;当 φ=kπ,k∈Z 时,函数为奇函数;当 φ≠ , 2 2 k∈Z 时,函数为非奇非偶函数.

π 1.下列函数中,周期为 的是( 2 x A.y=sin 2 x C.y=cos 4

)

B.y=sin 2x D.y=cos 4x

2π 2π π 解析:由公式 T= 知 = ,ω=4. ω ω 2 答案:D 2 013 2.函数 y=sin( π-x)是( 2 A.奇函数 C.非奇非偶函数 )

B.偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

2 013 π π 2 013 解析:y=sin( π-x)=sin(1 006π+ -x)=sin( -x)=cos x,∴函数 y=sin( π- 2 2 2 2 x)是偶函数. 答案:B π 3.设函数 f(x)=sin(2x- ),x∈R,则 f(x)是( 2 A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 )

65

π D.最小正周期为 的偶函数 2 π 解析:f(x)=sin(2x- )=-cos 2x, 2 2π ∴f(x)是偶函数且 T= =π. 2 答案:B 4.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数,又是周期函数,若 f(x)的最小正周期为 π,且当 π 5π x∈[0, ]时,f(x)=sin x,则 f( )= ( 2 3 1 A.- 2 C.- 3 2 1 B. 2 D. 3 2 )

5π 5π 解析:∵f(x)的周期为 π,∴f( )=f( -2π) 3 3 π π 5π π π π =f(- ).又∵f(x)是偶函数,且当 x∈[0, ]时,f(x)=sin x,∴f( )=f(- )=f( )=sin = 3 2 3 3 3 3 3 . 2 答案:D 5.已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 6 的奇函数,且 f(1)=1,则 f(5)=________. 解析:由条件可知 f(5)=f(5-6)=f(-1)=-f(1)=-1. 答案:-1 π 6.若函数 f(x)=2cos(ωx+ )(ω>0)的最小正周期为 T,且 T∈(1,3),则正整数 ω 的最大 3 值是________. 2π 2π 解析:T= ,∵T∈(1,3),∴1< <3, ω ω 即 2π <ω<2π.取 π=3.14,得 2.09<ω<6.28. 3

∴正整数 ω 的最大值是 6. 答案:6 π 7.定义域为 R 的偶函数 f(x)的最小正周期是 π,当 x∈[0, ]时,f(x)=sin x. 2 π (1)求 x∈[ ,π]时,f(x)的解析式; 2 (2)画出函数 f(x)在[-π,π]上的简图; π π 解:(1)当 x∈[ ,π]时,π-x∈[0, ], 2 2

66

∴f(π-x)=sin(π-x)=sin x. 又 f(x)是以 π 为周期的偶函数, ∴f(π-x)=f(-x)=f(x). π ∴当 x∈[ ,π]时,f(x)=sin x. 2 (2)先画出 f(x)=sin x,x∈[0,π]时的图象,再作出关于 y 轴的对称 图形,如图,即为函数 f(x)在[-π,π]上的简图. π π 3π 8.有两个函数 f(x)=asin(kx+ ),g(x)=bcos(2kx- )(k>0),它们的周期之和为 ,且 3 3 2 π π π π f( )=g( ),f( )=- 3· g( )+1,求 k,a,b. 2 2 4 4 2π 2π 解:f(x)的周期 T1= ,g(x)的周期 T2= . k 2k ∴ 2π 2π 3π + = ,∴k=2, k 2k 2

π π ∴f(x)=asin(2x+ ),g(x)=bcos(4x- ). 3 3 π π π π ∵f( )=g( ),f( )=- 3g( )+1, 2 2 4 4

?asin?π+3?=bcos?2π-3?, ∴? π π π ?asin?2+3?=- 3bcos?π-3?+1,
b, ?- 23a=1 2 即? 1 3 ?2a= 2 b+1. 1 3 解得 a= ,b=- . 2 2 1 3 故 k=2,a= ,b=- . 2 2

π

π

第二课时 正弦、余弦函数的单调性与最值

正、余弦函数的单调性 π [例 1] 求函数 y=2sin(x- )的单调区间. 3
67

π [思路点拨] 令 z=x- ,借助 y=2sin z 的单调性求解. 3 π [精解详析] 令 z=x- ,则 y=2sin z. 3 π ∵z=x- 是增函数, 3 π ∴y=2sin z 单调递增(减)时,函数 y=2sin(x- )也单调递增(减). 3 π π 由 z∈[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z), 2 2 π π π 得 x- ∈[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z), 3 2 2 π 5π 即 x∈[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z), 6 6 π 故函数 y=2sin(x- )的单调递增区间为 3 π 5π [2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z). 6 6 π 同理可求函数 y=2sin(x- )的单调递减区间为 3 5π 11 [2kπ+ ,2kπ+ π](k∈Z). 6 6 [一点通] 求 y=Asin(ωx+φ), y=Acos(ωx+φ)的单调区间时, 首先把 x 的系数化为正的, 再利用整体代换,即把 ωx+φ 代入相应的不等式中,解不等式求 x 的范围.

π 1.已知函数 y=cos( -2x),则它的单调减区间为________. 3 π π π π 2π 解析: y=cos( -2x)=cos(2x- ), 由 2kπ≤2x- ≤2kπ+π, k∈Z, 得 kπ+ ≤x≤kπ+ , 3 3 3 6 3 k∈Z. π 2π ∴单调递减区间是[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z). 6 3 π 2π 答案:[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 6 3 π π 2.求函数 y=sin( x- )的单调递增区间. 4 6 π π π π 解:令 2kπ- ≤ x- ≤2kπ+ (k∈Z) 2 4 6 2 4 8 得 8k- ≤x≤8k+ (k∈Z), 3 3 4 8 ∴函数的单调递增区间是[8k- ,8k+ ](k∈Z). 3 3

68

比较三角函数值的大小 [例 2] 比较下列各组数的大小. π 13π (1)cos(- )与 cos ;(2)sin 194° 与 cos 160° . 8 7 [思路点拨] 利用诱导公式把函数名称统一,并把角化在同一单调区间上,根据单调性 比较大小. π π [精解详析] (1)cos(- )=cos , 8 8 13 6 6 π cos π=cos(π+ π)=-cos π=cos . 7 7 7 7 π π ∵0< < <π,且 y=cos x 在(0,π)上单调递减, 8 7 π π π 13π ∴cos >cos ,即 cos(- )>cos . 8 7 8 7 (2)sin 194° =sin (180° +14° )=-sin 14° , cos 160° =cos(180° -20° )=-cos 20° =-sin 70° . π ∵0° <14° <70° <90° 且 y=sin α 在(0, )上单调递增, 2 ∴sin 70° >sin 14° ,即-sin 14° >-sin 70° . 故 sin 194° >cos 160° . [一点通]比较三角函数值的大小的一般思路:先判断三角函数值的正负,若三角函数值 同号,再利用诱导公式转化到同一个单调区间内的同名函数值进行比较.

3.若 α、β 均为锐角,且 sin α>cos β,则( A.α>β π C.α+β> 2 B.α<β π D.α+β< 2

)

π π 解析:由 sin α>cos β,得 sin α>sin( -β).∵α,β 为锐角,∴ -β 也是锐角.又 y=sin 2 2 π π π x 在(0, )上单调递增,∴α> -β,即 α+β> . 2 2 2 答案:C 4.比较下列各组函数值的大小. 21π 42π (1)sin ,sin ; 5 5 1 (2)sin ,cos 5. 5

69

21π π π 解:(1)sin =sin(4π+ )=sin , 5 5 5 sin 42π 2π 2π =sin(8π+ )=sin . 5 5 5

π 2π π ∵0< < < , 5 5 2 π 且 y=sin x 在[0, ]上为增函数, 2 π 2π ∴sin <sin , 5 5 即 sin 21π 42π <sin . 5 5

1 π 1 (2)sin =cos( - )≈cos 1.37, 5 2 5 cos 5=cos(2π-5)≈cos 1.28. ∵y=cos x 在[0,π]上为减函数, 1 ∴cos 1.37<cos 1.28,即 sin <cos 5. 5 正、余弦函数的值域与最值 [例 3] (12 分)求下列函数的值域: π π (1)y=cos(x+ ),x∈[0, ]; 6 2 (2)y=cos2x-4cos x+5. π [思路点拨] (1)先求 x+ 的范围,再由 y=cos x 的图象求出值域;(2)可以令 t=cos x ∈ 6 [-1,1],转化为二次函数求值域. π π π 2π [精解详析] (1)∵x∈[0, ],∴ ≤x+ ≤ . 2 6 6 3 π 2π ∵y=cos x 在区间[0,π]上单调递减,而[ , ] [0,π], 6 3 π 2π ∴y=cos x 在区间[ , ]上也单调递减, 6 3 2π π 1 3 ∴cos ≤y≤cos ,即- ≤y≤ . 3 6 2 2 π π 1 3 ∴y=cos(x+ ),x∈[0, ]的值域为[- , ]. 6 2 2 2 (2)令 t=cos x,则-1≤t≤1. ∴y=t2-4t+5=(t-2)2+1, ∴t=-1 时,y 取得最大值 10, t=1 时,y 取得最小值 (11 分) (10 分) (6 分) (3 分)

70

所以 y=cos2x-4cos x+5 的值域为[2,10]. (12 分) [一点通] 三角函数的值域问题主要有两类, 第一种类型是可化为 y=Asin(ωx+φ)+B 或 y=Acos(ωx+φ)+B 的形式,这类函数的值域问题的解决方法是利用给定区间上的单调性; 第二种类型是关于 cos x(或 sin x)的二次函数型,利用三角函数的有界性和二次函数的配方法 求最值.

π 5.函数 y=cos(2x- )在 x=________时,取到最大值________. 3 π π 解析:当 2x- =2kπ,k∈Z,即 x=kπ+ (k∈Z)时,函数取到最大值 1. 3 6 π 答案:kπ+ (k∈Z) 6 m-1 π 2π 6.若 sin α= ,α∈[- , ],则 m 的取值范围是________. 3 6 3 π 2π 1 解析:∵α∈[- , ],∴sin α∈[- ,1], 6 3 2 1 m-1 1 ∴- ≤ ≤1,- ≤m≤4. 2 3 2 1 答案:[- ,4] 2 7.求下列函数的最大值和最小值: π π π (1)y=2sin(2x+ )(- ≤x≤ ); 3 6 6 (2)y=2cos2x+5sin x-4. π π π 2π 解:(1)∵- ≤x≤ ,∴0≤2x+ ≤ , 6 6 3 3 π ∴0≤sin(2x+ )≤1. 3 π π ∴当 sin(2x+ )=1,即 x= 时,ymax=2; 3 12 π π 当 sin(2x+ )=0,即 x=- 时,ymin=0. 3 6 (2)y=2cos2 x+5sin x-4 =-2sin2 x+5sin x-2 5 9 =-2(sin x- )2+ . 4 8 ∵sin x∈[-1,1], ∴当 sin x=-1, π 即 x=- +2kπ(k∈Z)时, 2
71

y 有最小值-9; π 当 sin x=1,即 x= +2kπ(k∈Z)时,y 有最大值 1. 2

1.确定函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法: π π (1)把 ωx+φ 看成一个整体,由 2kπ- ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈Z)解出 x 的范围,所得区间 2 2 π 3 即为增区间;由 2kπ+ ≤ωx+φ≤2kπ+ π(k∈Z)解出 x 的范围,所得区间即为减区间. 2 2 (2)对于函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω<0),可先用诱导公式转化为 y=-Asin(-ωx-φ), 则 y=Asin(-ωx-φ)的增(减)区间即为函数 y=Asin(ωx+φ)的减(增)区间.函数 y=Acos(ωx+ φ)的单调性类似. 2.求三角函数的最值问题一般有两种基本类型: (1)化为一个角的三角函数, 即 y=Asin(ωx+φ)+B 或 y=Acos(ωx+φ)+B, 利用三角函数 的单调性或有界性求解. (2)化为关于某三角函数的二次函数型,即 y=Asin2x+Bsin x+C(或 y=Acos2x+Bcos x+ C),利用二次函数求最值,特别要注意三角函数的有界性.

π π 1.下列函数中,周期为 π,且在[ , ]上为减函数的是( 4 2 π A.y=sin(2x+ ) 2 π C.y=sin(x+ ) 2 π B.y=cos(2x+ ) 2 π D.y=cos(x+ ) 2

)

π π π 解析:因为函数的周期为 π,所以排除 C、D.又因为 y=cos(2x+ )=-sin 2x 在[ , ]上 2 4 2 π π π 为增函数,故 B 不符.只有函数 y=sin(2x+ )的周期为 π,且在[ , ]上为减函数. 2 4 2 答案:A π 2.函数 f(x)=3sin(x+ )在下列区间内递减的是( 6 π π A.[- , ] 2 2 2π 2π C.[- , ] 3 3 B.[-π,0] π 2π D.[ , ] 2 3 )

π 2π π 2π 5π π 3π 解析:x∈[ , ]时,x+ ∈[ , ] [ , ], 2 3 6 3 6 2 2
72

π π 2π ∴y=3sin(x+ )在[ , ]内递减. 6 2 3 答案:D 3.下列关系式中正确的是( A.sin 11° <cos 10° <sin 168° B.sin 168° <sin 11° <cos 10° C.sin 11° <sin 168° <cos 10° D.sin 168° <cos 10° <sin 11° 解析:sin 168° =sin(180° -12° )=sin 12° ,cos 10° =cos(90° -80° )=sin 80° .因为正弦函数 y=sin x 在区间[0,90° ]上为增函数,所以 sin 11° <sin 12° <sin 80° ,即 sin 11° <sin 168° <cos 10° . 答案:C π π 4. 设函数 f(x)= 2sin(ωx+φ+ )(ω>0, |φ|< )的最小正周期为 π, 且是偶函数, 则( 4 2 π A.f(x)在(0, )单调递减 2 π 3π B.f(x)在( , )单调递减 4 4 π C.f(x)在(0, )单调递增 2 π 3π D.f(x)在( , )单调递增 4 4 解析:由条件知 w=2. π π ∵f(x)是偶函数且|φ|< ,∴φ= , 2 4 π 这时 f(x)= 2sin(2x+ )= 2cos 2x. 2 π ∵x∈(0, )时,2x∈(0,π), 2 π ∴f(x)在(0, )上单调递减. 2 答案:A 5.已知偶函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为 π,则 f(x)的单调递增区 间是________. π 解析:∵f(x)为偶函数且 0<φ<π,∴φ= , 2 π ∴f(x)=2sin(ωx+ )=2cos ωx.又最小正周期为 π, 2 π ∴ω=2,∴f(x)=2cos 2x.由 2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得 kπ- ≤x≤kπ,k∈Z. 2
73

)

)

π 答案:[kπ- ,kπ](k∈Z) 2 6.sin 300° 、sin(-310° )、sin 790° 三个数值从小到大的排列顺序为________. 解析: sin 300° =sin(-60° )<0, sin(-310° )=sin 50° , sin 790° =sin 70° .因为 y=sin x 在(0° , 90° )内是单调递增的,所以 sin(-310° )<sin 790° . 答案:sin 300° ,sin(-310° ),sin 790° π π 7.已知函数 f(x)=2asin(2x+ )+a+b 的定义域是[0, ],值域是[-5,1],求 a,b 的值. 6 2 π 解:∵0≤x≤ , 2 π π 7 ∴ ≤2x+ ≤ π, 6 6 6 1 π ∴- ≤sin(2x+ )≤1. 2 6
?b=-5, ? ∴a>0 时,? ?3a+b=1, ? ? ?a=2, 解得? ?b=-5. ? ? ?b=1, a<0 时,? ?3a+b=-5, ? ?a=-2, ? 解得? ?b=1. ?

因此 a=2,b=-5 或 a=-2,b=1. 8.求下列函数的定义域、值域及单调递增区间. π 1 (1)y=2sin( -x);(2)y=log sin x. 4 2 π 解:(1)∵ u= -x 取任意实数时,函数 y=sin u 都有意义,∴x 可取任意实数,故函数 4 的定义域为 R. 又∵-1≤sin u≤1,-2≤2sin u≤2, ∴函数的值域为[-2,2]. π π ∵y=2sin( -x)=-2sin(x- ), 4 4 π ∴函数 y=2sin( -x)的递增区间就是函数 4 π y=2sin(x- )的递减区间. 4 π π 3π ∴2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ (k∈Z), 2 4 2
74

3 7π 得 2kπ+ π≤x≤2kπ+ (k∈Z). 4 4 π ∴函数 y=2sin ( -x)的递增区间为 4 3π 7π [2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z). 4 4 (2)由 sin x>0,得 2kπ<x<2kπ+π,k∈Z, ∴函数的定义域为(2kπ,2kπ+π)(k∈Z). 设 u=sin x,则 0<u≤1, 1 又 y=log u 是减函数, 2 ∴函数的值域为(0,+∞). 1 ∵ <1, 2 1 ∴函数 y=log sin x 的递增区间 2 即为 u=sin x(sin x>0)的递减区间, 1 π 故函数 y=log sin x 的递增区间为[2kπ+ ,2kπ+π)(k∈Z). 2 2

1.4.3 正切函数的性质与图象

正切函数的性质

问题 1:正切函数 y=tan x 的定义域是什么? π ? ? 提示:?x|x≠kπ+2,k∈Z?.
? ?

问题 2: 诱导公式 tan(π+x)=tan x 说明了正切函数的什么性质?tan(kπ+x)(k∈Z)与 tan x 的关系怎样? 提示:周期性.tan(kπ+x)=tan x(k∈Z). 问题 3:诱导公式 tan(-x)=-tan x 说明了正切函数的什么性质? 提示:奇偶性. 问题 4:从正切线上观察,正切函数值是有界的吗? 提示:不是,正切函数没有最大值和最小值.
75

π 问题 5:从正切线上观察正切函数值,在(0, )上是增大的吗? 2 提示:是的.

函数 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性

y=tan x π ? ? ?x|x≠kπ+ ,k∈Z? 2 ? ? (-∞,+∞) T=π 奇函数 π π 在每个开区间(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)上都是增函数 2 2

正切函数的图象

问题 1:你还记得给定一个角在单位圆中的正切线怎样画吗? 提示:过单位圆与 x 正半轴的交点 A,作垂直于 x 轴的直线,交角的终边或其延长线于 点 T,则有向线段 AT 即为该角的正切线. 问题 2:仿照利用正弦线作正弦曲线的作法,你能根据正切线作出正切曲线吗? 提示:能.

(1)正切函数的图象:

(2)正切函数的图象叫作正切曲线. (3)正切函数的图象特征: π 正切曲线是被相互平行的直线 x= +kπ,k∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的. 2

1. 正切函数只有单调递增区间, 没有递减区间, 但不能说正切函数在定义域内是增函数. kπ 2.正切函数的图象是中心对称图形,其对称中心的坐标为( ,0)(k∈Z);不是轴对称图 2 形,没有对称轴. π 3.函数 y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的最小正周期 T= . |ω|
76

与正切函数有关的定义域问题 [例 1] 求函数 y= tan x+1+lg(1-tan x)的定义域. [思路点拨] 构建关于 tan x 的不等式组求解.
? ?tan x+1≥0, [精解详析] 由题意得? ?1-tan x>0, ?

即-1≤tan x<1. π π π π 在(- , )内,满足上述不等式的 x 的取值范围是[- , ). 2 2 4 4 又 y=tan x 的周期为 π, π π 所以所求 x 的范围是[kπ- ,kπ+ ),k∈Z. 4 4 即为此函数的定义域. [一点通] 求有关正切函数的定义域时,要首先考虑正切函数本身的定义域,然后根据 函数的特点确定出满足条件的三角不等式或不等式组.另外,解不等式时要充分利用三角函 数的图象或三角函数线.

π 1.函数 y=tan( -x)的定义域是( 4 π? ? A.?x|x≠4?
? ? ?

) π? ? B.?x|x≠-4?
? ? ?

π ? ? C.?x|x≠kπ+4,k∈Z?
?

3 ? ? D.?x|x≠kπ+4π,k∈Z?
?

π π π π 3 解析:tan( -x)=-tan(x- ).由 x- ≠kπ+ (k∈Z),得 x≠kπ+ π(k∈Z),∴函数的 4 4 4 2 4 3 ? ? 定义域是?x|x≠kπ+4π,k∈Z?.
? ?

答案:D 2.根据正切函数的图象解不等式:tan 2x≤-1. π π π π 解: 在(- , )内, tan(- )=-1, 所以不等式 tan 2x≤-1 的解集由不等式 kπ- <2x≤kπ 2 2 4 2 π kπ π kπ π - , k ∈ Z 确 定 . 解 得 - < x≤ - , k ∈ Z. 所 以 不 等 式 tan 2x≤ - 1 的 解 集 为 4 2 4 2 8 kπ π ? kπ π ? ?x| - <x≤ - ,k∈Z?.如图所示. 2 4 2 8 ? ?
77

3.求下列函数的定义域: 1 (1)y= ;(2)y=lg( 3-tan x). 1+tan x 解(1)要使函数 y= 1 有意义, 1+tan x

?1+tan x≠0, ? 必须且只需? π ?x≠kπ+2?k∈Z?, ?
∴函数的定义域为 π π ? ? ?x|x∈R且x≠kπ- ,x≠kπ+ ,k∈Z?. 4 2 ? ? (2)因为 3-tan x>0,所以 tan x< 3. π 又因为 tan x= 3时,x= +kπ(k∈Z), 3 π π 所以根据正切函数图象,得 kπ- <x<kπ+ (k∈Z), 2 3 π π ? ? 所以函数的定义域是?x|kπ-2<x<kπ+3,k∈Z?.
? ?

正切函数的单调性及其应用 1 π [例 2] (1)求函数 y=tan(- x+ )的单调区间; 2 4 (2)比较 tan 1、tan 2、tan 3 的大小. [思路点拨] (1)采用整体代换的思想求解; (2)利用诱导公式把角化归到同一单调区间内,再根据单调性进行判断. [精解详析] 1 π 1 π (1)y=tan(- x+ )=-tan( x- ), 2 4 2 4 π 1 π π 由 kπ- < x- <kπ+ , 2 2 4 2 π 3 得 2kπ- <x<2kπ+ π,k∈Z, 2 2 1 π π 3 ∴函数 y=tan(- x+ )的单调递减区间是(2kπ- ,2kπ+ π),k∈Z. 2 4 2 2 (2)∵tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π),

78

π π 又∵ <2<π,∴- <2-π<0. 2 2 π π ∵ <3<π,∴- <3-π<0. 2 2 π π 显然- <2-π<3-π<1< , 2 2 π π 且 y=tan x 在(- , )内是增函数, 2 2 ∴tan(2-π)<tan(3-π)<tan 1, 即 tan 2<tan 3<tan 1. π [一点通] 求 y=Atan(ωx+φ)的单调区间, 可先用诱导公式把 ω 化为正值, 由 kπ- <ωx 2 π +φ<kπ+ 求得 x 的范围即可. 比较两个同名函数的大小, 应保证两个角在同一单调区间内. 2

4.比较 tan 2 011° 和 tan 2 012° 的大小. 解:tan 2 011° =tan(5×360° +211° )=tan 211° =tan(180° +31° )=tan 31° , tan 2 012° =tan 32° . ∵y=tan x 在 0° <x<90° 时是单调增函数, ∴tan 31° <tan 32° .故 tan 2 011° <tan 2 012° . π 5.求函数 y=3tan( -2x)的单调区间. 4 π π π π 解: 法一: 令 z= -2x, 则 y=3tan( -2x)=3tan z. 由函数 y=3tan z 在(- +kπ, +kπ)(k 4 4 2 2 π ∈Z)上是增函数,且 z= -2x 是减函数, 4 π π π π kπ 3π kπ π 得- +kπ< -2x< +kπ,k∈Z,故- - <x< - .所以函数 y=3tan( -2x)的单 2 4 2 8 2 8 2 4 π kπ 3π kπ π kπ 3π kπ 调递减区间为(- - , - )(k∈Z),即(- + , + )(k∈Z),无单调递增区间. 8 2 8 2 8 2 8 2 π π 法二:y=3tan( -2x)=-3tan(2x- ), 4 4 π π π 令- +kπ<2x- < +kπ,k∈Z, 2 4 2 π kπ 3π kπ 则- + <x< + ,k∈Z. 8 2 8 2 π 故函数 y=3tan(2x- )的单调递增区间为 4 π kπ 3π kπ (- + , + )(k∈Z), 8 2 8 2
79

π 从而函数 y=-3tan(2x- )的单调递减区间为 4 π kπ 3π kπ (- + , + )(k∈Z),无单调递增区间. 8 2 8 2 正切函数的图象和性质 [例 3] (12 分)画出函数 y=|tan x|+tan x 的图象,并根据图象求出函数的定义域、值域、 周期性、奇偶性和单调性. [思路点拨] 先化简函数式,再画出图象,由图象写出性质. [精解详析] 由 y=|tan x|+tan x 知

?0,x∈?kπ-2,kπ?, y=? π ?2tan x,x∈?kπ,kπ+2?,
其图象如图所示.

π

(k∈Z)

(2 分)

(4 分) 由图象可知,函数的主要性质为: π ? ? ①定义域:?x|x∈R,x≠2+kπ,k∈Z?;
? ?

(6 分)

②值域:[0,+∞); (7 分) ③周期性:T=π; (8 分) ④奇偶性:非奇非偶函数; (10 分) π ⑤单调性:单调增区间为[kπ,kπ+ ),k∈Z 2 (12 分)

[一点通] 由函数的性质(如周期性、有界性、对称性)可指导我们画出函数的图象;反过 来,由函数的图象又可以直观地总结函数的性质.函数的主要性质包括定义域、值域、周期 性、奇偶性和单调性.

3π 3π 6. 函数 y=|tan x|, y=tan x, y=tan(-x), y=tan|x|在(- , )上的大致图象依次是( 2 2

)

A.①②③④

B.①②④③

80

C.①③④②

D.③②④①

解析:∵|tan x|≥0,∴图象在 x 轴上方,∴y=|tan x|对应①;∵tan|x|是偶函数,∴图象 关于 y 轴对称, ∴y=tan|x|对应③; 而 y=tan(-x)与 y=tan x 关于 y 轴对称, ∴y=tan(-x)对应④, y=tan x 对应②,故四个图象依次是①②④③. 答案:B 7.函数 y=|x|tan 2x 是( A.奇函数 C.非奇非偶函数 ) B.偶函数 D.既是奇函数,又是偶函数

π kπ π 解析:易知 2x≠kπ+ ,即 x≠ + ,k∈Z,定义域关于原点对称.又|-x|tan(-2x)= 2 2 4 -|x|tan 2x, ∴y=|x|tan 2x 是奇函数. 答案:A 8.函数 y=tan 3x 的最小正周期是________. 解析:令 f(x)=tan 3x. π ∵f(x+ )=tan(3x+π) 3 =tan 3x=f(x), π ∴ 是 f(x)=tan 3x 的最小正周期. 3 π 答案: 3

π π π π 1.通过作函数 y=tan x,x∈(- , )的图象发现:函数的图象过(- ,-1),( ,1),(0,0) 2 2 4 4 π 三点,以直线 x=± 为渐近线,根据这三点两线就可以大体勾画出正切函数图象的草图. 2 π π 2.正切函数 y=tan x 在整个定义域上不具有单调性,但在每一个区间(kπ- ,kπ+ )(k 2 2 ∈Z)上具有单调性, 是增函数. 在求函数 y=tan(ωx+φ)(ω≠0)的单调区间时, 首先保证 ω>0, 否则就先利用诱导公式化为正的,再利用整体换元的方法求出单调区间. kπ 3.正切曲线不是轴对称图形,而是中心对称图形,对称中心是( ,0)(k∈Z). 2

81

π 1.函数 f(x)=tan(x+ )的单调递增区间为( 4 π π A.(kπ- ,kπ+ ),k∈Z 2 2 B.(kπ,(k+1)π),k∈Z 3π π C.(kπ- ,kπ+ ),k∈Z 4 4 π 3π D.(kπ- ,kπ+ ),k∈Z 4 4 π π π 解析:由 kπ- <x+ <kπ+ ,k∈Z, 2 4 2 3π π 解得 kπ- <x<kπ+ ,k∈Z. 4 4 答案:C

)

π 2.已知函数 y=tan(2x+φ)的图象过点( ,0),则 φ 可以是( 12 π A.- 6 π C.- 12 π B. 6 π D. 12

)

π π 解析:由已知得 tan(2× +φ)=tan(φ+ )=0. 12 6 π π ∴φ+ =kπ,k∈Z,即 φ=kπ- ,k∈Z. 6 6 π 当 k=0 时,φ=- . 6 答案:A 3.函数 y= 1 log tan x的定义域是( 2
? ?

)

π ? ? A.?x|x≤4+kπ,k∈Z?
?

π ? ? B.?x|2kπ<x≤2kπ+4,k∈Z?
? ?

π ? ? C.?x|kπ<x≤kπ+4,k∈Z?
? ?

π π ? ? D.?x|2kπ-2<x≤kπ+4,k∈Z?
?

1 解析: 要使函数有意义, 只需 log tan x≥0, 即 0<tan x≤1.由正切函数的图象知, kπ<x≤kπ 2 π + ,k∈Z. 4 答案:C

82

π π 4.函数 f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y=1 所得的线段长为 ,则 f( )的 4 12 值是( A.0 C.1 ) B. 3 3

D. 3

π π π π π π 解析:由条件可知,f(x)的周期是 ,由 = ,得 ω=4,∴f( )=tan(4× )=tan = 3. 4 ω 4 12 12 3 答案:D x π 5.函数 y=tan( + )的单调递增区间是________,最小正周期是________. 2 3 π x π π 解析:由 kπ- < + <kπ+ ,k∈Z, 2 2 3 2 5π π π 得 2kπ- <x<2kπ+ ,k∈Z,周期 T= =2π. 3 3 1 2 5π π 答案:(2kπ- ,2kπ+ )(k∈Z) 2π 3 3 6.函数 y=tan2x-2tan x+3 的最小值是________,这时 x=________. 解析:令 t=tan x,t∈R,则 y=t2-2t+3=(t-1)2+2. ∴当 t=1 时,ymin=2.这时 tan x=1, π 即 x=kπ+ ,k∈Z. 4 答案:2 π kπ+ ,k∈Z 4

13 17π 7.比较 tan(- π)和 tan(- )的大小. 4 5 13π π 17π 2π 解:tan(- )=-tan ,tan(- )=-tan . 4 4 5 5 π 2π π π ∵0< < < ,y=tan x 在(0, )上是增函数, 4 5 2 2 π 2π ∴tan <tan . 4 5 π 2π 13π 17π ∴-tan >-tan ,即 tan(- )>tan(- ). 4 5 4 5 x π 8.设函数 f(x)=tan( - ). 2 3 (1)求函数 f(x)的定义域、周期和单调区间; (2)求不等式-1≤f(x)≤ 3的解集. x π π 5π 解:(1)由 - ≠ +kπ(k∈Z),得 x≠ +2kπ, 2 3 2 3

83

5π ? ? ∴f(x)的定义域是?x|x∈R,且x≠ 3 +2kπ,k∈Z?.
? ?

1 π ∵ω= ,∴周期 T= =2π. 2 |ω| π x π π 由- +kπ< - < +kπ(k∈Z), 2 2 3 2 π 5π 得- +2kπ<x< +2kπ(k∈Z). 3 3 ∴函数 f(x)的单调递增区间是 π 5π (- +2kπ, +2kπ)(k∈Z). 3 3 x π (2)由-1≤tan( - )≤ 3, 2 3 π x π π 得- +kπ≤ - ≤ +kπ(k∈Z). 4 2 3 3 π 4π 解得 +2kπ≤x≤ +2kπ(k∈Z). 6 3 ∴不等式-1≤f(x)≤ 3的解集是 4π ? π ? ?x| +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z?. 6 3 ? ?

1.5

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象

φ(φ≠0)对函数 y=sin(x+φ)的图象的影响

问题 1:通过 y=f(x)的图象怎样得到 y=f(x+a)的图象? 提示:a>0 时,只需把 y=f(x)的图象左移 a 个单位;a<0 时,只需把 y=f(x)的图象右 移|a|个单位. π 问题 2:由 y=sin x 的图象能得到 y=sin(x+ )的图象吗? 4 π 提示:能,向左平移 个单位即可. 4

y=sin x― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=sin(x+φ). φ<0时,向右平移|φ|个单位

φ>0时,向左平移φ个单位

84

ω(ω>0)对函数 y=sin(ωx+φ)的图像的影响

1 问题 1:函数 y=sin x,y=sin2x 和 y=sin x 的周期分别是什么? 2 提示:分别为 2π,π,4π. 问题 2:三个函数的函数值相同时,它们 x 的取值有什么关系? 1 x 提示:当函数值相同时,y=sin 2x 中 x 的取值是 y=sin x 中 x 取值的 倍,y=sin 中 x 的 2 2 取值是 y=sin x 中 x 取值的 2 倍. 问题 3:函数 y=sin ωx 的图象是否可以通过 y=sin x 的图象得到? 提示:可以,只要“压缩”或“伸长”y=sin x 的图象即可.

y=sin(x+φ)

???????????? 1 ?
0<?<1时,所有点的横坐标伸长到原来 倍

?>1时,所有点的横坐标缩短到原来 倍 ? ?

1

y=sin(ωx+φ). A 对 y=Asin(ωx+φ),x∈R 的图象的影响

1 已知函数 y=2sin x,y=sin x,y= sin x. 2 问题 1:对于同一个 x,函数值有何关系? 1 提示:y=2sin x 的函数值是 y=sin x 的函数值的 2 倍,而 y= sin x 的函数值是 y=sin x 2 1 的函数值的 . 2 π π 问题 2:y=3sin(2x- )和 y=sin(2x- ),它们的函数值有何关系? 6 6 π π 提示:y=3sin(2x- )的函数值是 y=sin(2x- )的函数值的 3 倍. 6 6

(1)y=sin(ωx+φ)0< ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → A<1时,所有点纵坐标缩短到原来的A倍 y=Asin(ωx+φ). (2)正弦曲线到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程: y=sin x 的图象― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 平移|φ|个单位
? ? y=sin(x+φ)的图象 ??????? 纵坐标不变
1 横坐标变为原来的 倍

A>1时,所有点纵坐标伸长到原来的A倍

向左?φ>0?或向右?φ<0?

85

y=sin(ωx+φ)的图象― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 横坐标不变 y=Asin(ωx+φ)的图象.

纵坐标变为原来的A倍

A,ω,φ 的物理意义 在 y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)(A>0,ω>0)中,各参数的物理意义. 振幅 A 2π T= ω 1 ω f= = T 2π ωx+φ 它是简谐振动的物体离开平衡位置的最大距 离 它是物体往复运动一次所需要的时间 它是单位时间内往复运动的次数 其中 φ 为初相

周期 频率 相位

A,ω,φ 对函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的影响可归纳如下: (1)函数 y=sin x 与 y=sin(x+φ)之间的图象变换称为相位变换, 它实质上是一种左右平移 变换,此时相位由 x 变成 x+φ,初相由 0 变成 φ,不改变周期及振幅. (2)函数 y=sin(x+φ)与 y=sin(ωx+φ)之间的图象变换称为周期变换,它实质上是横向的 2π 伸缩,此时,y=sin(ωx+φ)的周期为 T= ,其振幅不变. ω (3)函数 y=sin(ωx+φ)与 y=Asin(ωx+φ)之间的图象变换称为振幅变换, 它实质上是纵向 的伸缩,只改变振幅,不改变周期及相位.

三角函数的图象变换 π [例 1] 作出函数 y=3sin(2x+ )的简图,说明它与函数 y=sin x 的图象之间的关系. 3 [思路点拨] 按“五点法”作图后,再说明图象变换. π π 3π π π π [精解详析] 按“五点法”,令 2x+ 分别取 0, ,π, ,2π 时,x 相应取- , , , 3 2 2 6 12 3 7π 5π π π 5π , ,所对应的五点是函数 y=3sin(2x+ ),x∈[- , ]的图象上起关键作用的点. 12 6 3 6 6 列表: x - π 6 π 12 π 3 7π 12 5π 6

86

π 2x+ 3 π 3sin(2x+ ) 3

0 0

π 2 3

π 0

3π 2 -3

2π 0

图象如图:

π 利用函数的周期性,可以把上述简图向左右扩展,就得到 y=3sin(2x+ ),x∈R 的简图. 3 π 从图中可以看出,y=3sin(2x+ )的图象是用下面的方法得到的. 3
? 1 向左平移 个单位 横坐标缩短到原来的 π π 3 2 ? y=sin(x+ )的图象 ??????? ? y=sin(2x+ ) 法一:y=sin x 的图象 ?????? 纵坐标不变 3 3

π 横坐标不变 的图象纵坐标伸长到原来的 ― ― ― ― ― ― ― ― → y=3sin(2x+ )的图象. 3倍 3
? 1 向左平移 个单位 横坐标缩短为原来的 π 6 2 ? ?????? ? y=sin[2(x+ )] 法二:y=sin x 的图象 ??????? y = sin 2 x 的图象 纵坐标不变 6

π 横坐标不变 =sin(2x+ )的图象― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 纵坐标伸长到原来的3倍 3 π y=3sin(2x+ )的图象. 3 [一点通] π 3 1.作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象宜用“五点法”,即取 ωx+φ=0, ,π π,2π. 2 2 2.由 y=sin x 的图象,通过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象时,可以先相位变换后周期 变换,也可以先周期变换后相位变换.两种变换的顺序不同,变换的量也有所不同,前者平 |φ| 移|φ|个单位, 而后者则平移 个单位. 不论哪一种变换, 都是对字母 x 而言的, 即看“变量” ω 变化多少,而不是“角”变化多少.

1 1.给出几种变换:①横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变;②横坐标缩短到原来的 , 2 π π π π 纵坐标不变;③向左平移 个单位;④向右平移 个单位;⑤向左平移 个单位;⑥向右平移 3 3 6 6 π 个单位,则由函数 y=sin x 的图象得到 y=sin(2x+ )的图象,可以实施的方案是( 3 A.①→③ B.②→③
87

)

C.②→③

D.②→⑤

π π 解析:由 y=sin x 到 y=sin(2x+ )的图象,可以先向左平移 个单位,再将各点的横坐标 3 3 1 1 π 缩短为原来的 ,或先横向缩短为原来的 ,再向左平移 个单位,即③→②或②→⑤. 2 2 6 答案:D 1 2.把 y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)得________的图象. 4 解析:由已知条件知 ω=4,即 y=sin 4x. 答案:y=sin 4 x π 3.把函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位,再把横坐标伸长到原来的 2 倍,再把纵坐标 6 2 1 π 缩短到原来的 ,所得图象的解析式是 y=2sin( x+ ),求 f(x)的解析式. 3 2 3
倍 1 π 纵坐标伸长到原来的 3 2 解:y=2sin( x+ ) ???????? 2 3

1 π 纵坐标伸长到原来的 1 2 ? y=3sin( x+ ) ??????? 2 3
个单位 π 向左平移 ? 6 ? y=3sin(x+ ) ?????? 3

π π π y=3sin(x+ + )=3sin(x+ )=3cos x. 6 3 2 ∴f(x)=3cos x. 求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式 [例 2] 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)的部分图象如图,由图中条件, 写出该函数的解析式.

[思路点拨] 解答本题可通过图象观察出最值, 求出 A, 根据周期求出 ω; 根据“五点法” 中第几点或零点求出 φ. [精解详析] 法一:(单调性法) π 2π 2 由图象可知 T=2×(π+ )=3π= ,得 ω= . 2 ω 3 因为点(π,0)在递减的那段上, 2π π 3π 所以( +φ)∈[ +2kπ, +2kπ],k∈Z. 3 2 2

88

2 2 由 sin( π+φ)=0,得 π+φ=kπ, 3 3 2 所以 φ=kπ- π,k∈Z. 3 π 2 π 因为-π<φ<π,所以 φ= .又 A=2,所以此函数的解析式为 y=2sin( x+ ). 3 3 3 法二:(最值点法) 2 π 由图象可得 ω= ,将最高点坐标( ,2)代入 3 4 2 π y=2sin( x+φ),得 2sin( +φ)=2. 3 6 π π π 所以 +φ=2kπ+ ,所以 φ=2kπ+ ,k∈Z. 6 2 3 π 又-π<φ<π,所以 φ= .又因为 A=2, 3 2 π 所以此函数的解析式为 y=2sin( x+ ). 3 3 法三:(起始点法) 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象一般由“五点法”作出, 而起始点的横坐标 x 正是由 ωx+φ=0 解得的, 故只要找出起始点横坐标 x0,就可以迅速求得角 φ. 2 π 由图象求得 ω= ,x0=- , 3 2 2 π π φ=-ωx0=- ×(- )= . 3 2 3 又因为 A=2,所以此函数的解析式为 2 π y=2sin( x+ ). 3 3 [一点通] 确定函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式的关键是 φ 的确定,常用方法有: (1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时,A,ω 已知)或代入图象与 x 轴的交点求 解.(此时要注意交点在递增区间上还是在递减区间上) φ (2)五点法: 确定 φ 值时, 往往以寻找“五点法”中的第一零点(- , 0)作为突破口. “五 ω 点”中 ωx+φ 的值具体如下: “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=0; π “第二点”(即图象的“峰点”)为 ωx+φ= ; 2 “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=π; 3π “第四点”(即图象的“谷点”)为 ωx+φ= ; 2
89

“第五点”为 ωx+φ=2π.

π 4.已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,则 2 ( ) π A.ω=1,φ= 6 π B.ω=1,φ=- 6 π C.ω=2,φ=- 6 π D.ω=2,φ= 6 7 π 2π 解析:由图可知 T=4( π- )=π,∴ =π, 12 3 ω π 即 ω=2.又在 x= 处取得最大值 1, 3 π π π ∴2× +φ= ,∴φ=- . 3 2 6 答案:C π 5.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的图象与 x 轴的交点 2 π 2π 中,相邻两个交点的距离为 ,且图象上一个最低点为 M( ,-2),求 f(x)的解析式. 2 3 2π 解:由最低点 M( ,-2),得 A=2. 3 π T π 在 x 轴上两相邻交点之间的距离为 ,故 = , 2 2 2 2π 2π 即 T=π,ω= = =2. T π 2π 由点 M( ,-2)在图象上得 3 2π 2sin(2× +φ)=-2, 3 4π 即 sin( +φ)=-1, 3 故 4π π +φ=2kπ- (k∈Z), 3 2

11π ∴φ=2kπ- (k∈Z). 6 π π π 又 φ∈(0, ),∴φ= .故 f(x)=2sin(2x+ ). 2 6 6

90

函数 y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 [例 3] (12 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,其图象关于 3π π 点 M( ,0)对称,且在区间[0, ]上是单调函数,求 φ 和 ω 的值. 4 2 [思路点拨] 先由函数为偶函数求出 φ,根据图象关于点 M 对称求出 ω,再由单调性确 定 ω 的具体值. [精解详析] 由 f(x)是偶函数,得 f(-x)=f(x), 即函数 f(x)的图象关于 y 轴对称, ∴f(x)在 x=0 时取得最值,即 sin φ=1 或- π 依题设 0≤φ≤π,∴解得 φ= 2 由 f(x)的图象关于点 M 对称,可知 3π π 4k 2 sin( ω+ )=0,解得 ω= - ,k∈Z 4 2 3 3 π 又 f(x)在[0, ]上是单调函数, 2 2π 所以 T≥π,即 ≥ ω ∴ω≤2,又 ω>0, 2 ∴k=1 时,ω= ;k=2 时,ω= 3 π 2 故 φ= ,ω=2 或 2 3 (11 分) (12 分) (8 分) (6 分) (2 分) (4 分)

[一点通] 此类题目是函数 y=Asin(ωx+φ)性质的综合应用,往往涉及单调性、奇偶性、 对称性、最值等,求解时要充分结合函数的性质,把性质转化为参数的方程或不等式.

1 2π π 6.最大值为 ,周期为 ,初相为 的函数表达式可能是( 2 3 6 1 x π A.y= sin( + ) 2 3 6 1 π C.y= sin(3x+ ) 2 6 1 x π B.y= sin( - ) 2 2 6 π D.y=2sin(2x- ) 6

)

2π 2π 1 π 1 π 解析:∵T= = ,∴ω=3.又最大值为 ,初相为 ,∴f(x)= sin(3x+ ). ω 3 2 6 2 6 答案:C π 5π 7.(2012· 全国新课标)已知 ω>0,0<φ<π, ,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ) 4 4 图象的两条相邻的对称轴,则 φ=( π A. 4 ) π B. 3
91

π C. 2 解析:由题意可知

3π D. 4

5π π 函数 f(x)的周期 T=2×( - )=2π,故 ω=1, 4 4 π ∴f(x)=sin(x+φ).令 x+φ=kπ+ , 2 π π 将 x= 代入可得 φ=kπ+ . 4 4 π ∵0<φ<π,∴φ= . 4 答案:A π 8.设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)的图象的一条对称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ;(2)求函数 y=f(x)的单调递增区间. π 解:(1)∵x= 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴, 8 π ∴sin(2× +φ)=± 1. 8 π π ∴ +φ=kπ+ ,k∈Z. 4 2 ∵-π<φ<0, 3π ∴φ=- . 4 3π (2)由(1)知 y=sin(2x- ). 4 π 3π π 由题意得 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 4 2 π 5 kπ+ ≤x≤kπ+ π,k∈Z, 8 8 3π ∴函数 y=sin(2x- )的单调递增区间为 4 π 5π [kπ+ ,kπ+ ],k∈Z. 8 8

1.y=sin x 的图象变换成 y=sin(ωx+φ)的图象一般有两个途径: 途径一:先相位变换,再周期变换, 途径二:先周期变换,再相位变换. 2.图象变换中,还常用以下三种对称变换: (1)y=-sin x 的图象与 y=sin x 的图象关于 x 轴对称. (2)y=|sin x|的图象可由 y=sin x 在 x 轴上方部分不变,下方部分沿 x 轴对折后而得到.
92

(3)y=sin|x|的图象可由 y=sin x 在 y 轴右侧部分不变,左边与右边对称而得到. 3.已知函数 y=Asin(ωx+φ),可研究其图象与性质,反过来,已知它的图象(或部分图 象)或性质,也可以确定解析式,其基本方法是在观察图象的基础上利用待定系数法求解,可 按以下规律来确定 A,ω,φ. (1)A:一般可由函数的最大值、最小值来确定|A|. 2π (2)ω:因为 T= ,所以往往通过求周期 T 来确定 ω,曲线与 x 轴的相邻两个交点之间 |ω| T T 的距离为 ,相邻的最高点与最低点之间的水平距离为 ;相邻的两个最高点(或最低点)之间 2 2 的距离为 T. φ (3)φ:寻找“五点法”中的第一零点(- ,0)确定 φ,或根据最高、最低点的坐标确定 φ. ω

π 1.下列四个函数中,同时具有:①最小正周期是 π;②图象关于 x= 对称的是( 3 x π A.y=sin( + ) 2 6 π C.y=sin(2x- ) 3 解析:∵最小正周期为 π,∴ π B.y=sin(2x+ ) 6 π D.y=sin(2x- ) 6

)

2π π π π =π,即 ω=2.又图象关于 x= 对称,∴2× +φ=kπ+ ω 3 3 2

π π (k∈Z).当 k=0 时,φ=- .∴y=sin(2x- ). 6 6 答案:D π π 2.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象关于直线 x= 对称,且 f( )=0,则 ω 的最 3 12 小值为( A.2 C.6 ) B .4 D.8

π π 解析:函数 f(x)的周期 T≤4( - )=π, 3 12 则 2π ≤π,解得 ω≥2,故 ω 的最小值为 2. ω

答案:A 3. (2012· 安徽高考)要得到函数 y=cos(2x+1)的图象, 只要将函数 y=cos2x 的图象( A.向左移 1 个单位 B.向右移 1 个单位 )

93

1 C.向左平移 个单位 2

1 D.向右平移 个单位 2

1 1 解析:y=cos(2x+1)=cos[2(x+ )],所以 y=cos 2x 的图象向左平移 个单位得 y=cos(2x 2 2 +1)的图象. 答案:C 4.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 012)的值等于( )

A. 2 C. 2+2

B.2+2 2 D. 2-2

解析:由图可知 A=2,φ=0,T=8, ∴ 2π π =8,即 ω= , ω 4

π ∴f(x)=2sin( x). 4 ∵周期为 8, 且 f(1)+f(2)+?+f(8)=0, π π 3π ∴f(1)+f(2)+?+f(2 012)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2sin +2sin +2sin +2sin π=2+ 4 2 4 2 2. 答案:B π π 5.把函数 y=sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度,再把各点的纵坐标扩大为原来的 4 8 2 倍,所得图象的函数解析式为________.
? π 右移 8 π π 纵坐标扩大为原来的2倍 解析:y=sin(2x+ ) y=sin[2(x- )+ ]=sin 2x― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=2sin 2x. 4 8 4

答案:y=2sin 2x 6.(2011· 江苏高考)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的部分图象如图 所示,则 f(0)的值是________.

94

T 7π π π 2π π 解析:由图可知 A= 2, = - = ,所以 T=π,ω= =2.又函数图象经过点( ,0), 4 12 3 4 T 3 π π π π 6 所以 2× +φ=π,则 φ= ,故 f(x)= 2sin(2x+ ),所以 f(0)= 2sin = . 3 3 3 3 2 答案: 6 2

π 7.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,且 ω>0,0<φ< )的部分图象如图所示. 2 (1)求函数 f(x)的解析式; 5π (2)若方程 f(x)=a 在(0, )上有两个不同的实根,试求 a 的取值 3 范围. 7π 2π 解:(1)由图象易知 A=1,函数 f(x)的周期为 T=4( - )=2π,∴ω=1.此函数的图象 6 3 π π 是由 y=sin x 的图象沿 x 轴负方向平移 个单位长度得到的,故 φ= ,其解析式为 f(x)=sin(x 3 3 π + ). 3 5π (2)方程 f(x)=a 在(0, )上有两个不 3 同的实根等价于 y=f(x)与 y=a 的图象有两个交点,如图为 π 5π 函数 f(x)=sin(x+ )在(0, )上的图象,作出 y=a 的图象,当 x 3 3 =0 时,f(x)= 点时,a∈( 3 5π ,当 x= 时,f(x)=0.由图可以看出有两个交 2 3

3 ,1)∪(-1,0),此即为所求的 a 的范围. 2

π 8.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的图象在 y 轴上的截距为 1,它在 y 2 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+3π,-2). (1)求 f(x)的解析式; 1 (2)将 y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),然后将所得图象向 x 3 π 轴正方向平移 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象.写出函数 y=g(x)的解析式并用列表作 3 图的方法画出 y=g(x)在长度为一个周期上的闭区间上的图象.

95

T 解:(1)由已知,易知 A=2, =(x0+3π)-x0=3π, 2 1 解得 T=6π,∴ω= .把(0,1)代入解析式 3 x y=2sin( +φ),得 2sinφ=1, 3 π π 又|φ|< ,所以 φ= . 2 6 x π ∴y=2sin( + )为所求. 3 6 π π π π (2)压缩后的函数解析式为 y=2sin(x+ ),再平移,得 g(x)=2sin(x- + )=2sin(x- ). 6 3 6 6 列表: π x- 6 x π 2sin(x- ) 6 0 π 6 0 π 2 2π 3 2 π 7π 6 0 3π 2 5π 3 -2 2π 13π 6 0

图象如图:

1.6

三角函数模型的简单应用

三角函数模型在物理中的应用 [例 1] 一个悬挂在弹簧上的小球, 静止时如图.现从它的静止位置向 下拉 0.2 m 的距离,在 t=0 时小球被放开并开始振动,1 s 后又再次回到这一 位置. (1)求出描述此小球运动的一个函数关系式; (2)求当 t=6.5 s 时小球所在的位置. [思路点拨] (1)设函数解析式为 y=Asin( ωx+φ),由题意可知最低点距离平衡位置 0.2 m,t=0 和 t=1 时小球都在最低点的位置,由此可确定 A,ω,φ.(2)代入计算即可.
96

[精解详析] (1)取向上的位移为正,设在 t s 时小球相对于静止位置的位移为 s,设 s= Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0). 2π 由题意,可知 A=0.2,T=1,ω= =2π. 1 又 t=0 时,s=-0.2,所以 0.2sin φ=-0.2, π π φ=- +2kπ,k∈Z.故 s=0.2sin(2πt- ), 2 2 即 s=-0.2cos 2πt. (2)令 t=6.5,则 s=-0.2cos 13π=0.2(m). 故当 t=6.5 s 时,小球在静止位置的上方 0.2 m 处. [一点通] 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中,其中对弹簧振子和单 摆的运动等有关问题考查最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位臵等物理概念的意义 和表示方法.

1.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时 π 间 t s 的函数关系式为 s=6sin(2πt+ ),那么单摆来回摆动一次所需的时间为 6 ________. 2π 解析:函数的周期 T= =1(s). 2π 答案:1 s 2.如图表示电流强度 I 与时间 t 的关系 I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图象. (1)试根据图象写出 I=Asin(ωt+φ)的解析式; 1 (2)为了使 I=Asin(ωt+φ)中 t 在任意一段 秒的时间内电流强度 I 能 100 同时取得最大值|A|与最小值-|A|,那么,正整数 ω 的最小值是多少? 解:(1)由图知,A=300. 1 1 1 设 t0=- ,t1= ,t2= . 300 150 60 1 1 1 2π ∵T=t2-t0= -(- )= ,∴ω= =100π. 60 300 50 T φ 1 ω π ∵- =- ,∴φ= = , ω 300 300 3 π ∴I=300sin(100πt+ ). 3 (2)问题等价于 T≤ 1 2π 1 ,即 ≤ , 100 ω 100

97

∴ω≥200π,∴最小的正整数 ω=629. 三角函数模型在实际生活中的应用 [例 2] 健康成年人的收缩压和舒张压一般为 120~140 mmHg 和 60~90 mmHg.心脏跳动 时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数 就是收缩压和舒张压. 设某人的血压满足函数 p(t)=115+25sin(160πt),其中 p 为血压(mmHg),t 为时间(min), 试回答下列问题: (1)求函数 p(t)的周期; (2)求此人每分钟心跳的次数; (3)求出此人的血压在血压计上的读数.并与正常值比较. 2π [思路点拨] (1)用公式 T= 求周期;(2)频率与周期互为倒数;(3)求出函数的最值并与 ω 120/80 mmHg 比较. [精解详析] (1)P(t)=115+25sin(160πt). 2π 2π 1 这里 ω=160π,∴T= = = (min). |ω| 160π 80 1 (2)次数即频率,f= =80. T (3)P(t)max=115+25=140 mmHg, P(t)min=115-25=90 mmHg. 即收缩压为 140 mmHg,舒张压为 90 mmHg. 因为正常标准值为 120/80 mmHg,所以此人的血压比正常值稍高. [一点通] 解决此类问题必须认真分析题意,准确理解 y=Asin(ωx+φ)中各参数在实际 问题中的意义,才能正确地解决问题.

3.据市场调查,某种商品一年内每件的出厂价在 7 千元的基础上,按月呈 f(x)=Asin(ωx π +φ)+B(A>0,ω>0,|φ|< )的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千元,9 月份 2 价格最低为 5 千元.根据以上条件可确定 f(x)的解析式为________. 2π π 解析:由条件可知,B=7,A=9-7=2.又 T=2(9-3)=12,∴ω= = .∵3 月份达到 12 6 π π π 最高价,∴3× +φ= ,∴φ=0.所以 f(x)的解析式为 f(x)=2sin x+7. 6 2 6 π 答案:f(x)=2sin x+7 6 π 5π 4.已知某地一天从 4 时到 16 时的温度变化曲线近似满足函数 y=10sin( x- )+20,x 8 4

98

∈[4,16]. (1)求该地区这一段时间内温度的最大温差; (2)若有一种细菌在 15℃到 25℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌能生存多长 时间? 解:(1)由函数易知,当 x=14 时函数取最大值,即最高温度为 30℃;当 x=6 时函数取 最小值,即最低温度为 10℃.所以,最大温差为 30℃-10℃=20℃. π 5π π 5π 1 26 π (2)令 10sin( x- )+20=15,可得 sin( x- )=- .而 x∈[4,16],所以 x= .令 10sin( 8 4 8 4 2 3 8 5π π 5π 1 34 34 x- )+20=25,可得 sin( x- )= ,而 x∈[4,16],所以 x= .故该细菌的存活时间为 - 4 8 4 2 3 3 26 8 = 小时. 3 3 三角函数模型的建立及应用

[例 3] (12 分)如图为一辆观览车示意图,该观览车半径为 4.8 m, 圆上最低点与地面的距离为 0.8 m,60 s 转动一圈.图中 OA 与地面垂直, 以 OA 为始边,逆时针转动 θ 角到 OB,设点 B 与地面的距离为 h. (1)求 h 与 θ 间关系的函数解析式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t s 到达 OB,求 h 与 t 间关系的函数解析式,并求首次到达 最高点时所用的时间. [思路点拨] 利用三角函数的定义,结合实际背景设出函数关系式并用待定系数法求解. [精解详析] (1)由题意可作图,过点 O 作地面的平行线 ON,过点 B 作 ON 的垂线 BM 交 ON 于点 M π π 当 θ> 时,∠BOM=θ- . 2 2 π h=|OA|+0.8+|BM|=5.6+4.8sin(θ- ); 2 π 当 0≤θ≤ 时,上述解析式也适合. 2 π (2)点在⊙O 上逆时针运动的角速度是 , 30 π ∴t s 转过的弧度数为 t, 30 π π ∴h=4.8sin( t- )+5.6,t∈[0,+∞). 30 2 (8 分) (12 分) (6 分) (7 分) (2 分)

π π π π π 当 h=10.4 时,sin( t- )=1, t- = +2kπ,t=30(2k+1),即首次到达最高点所用 30 2 30 2 2 的时间为 30 s.

99

[一点通] 面对实际问题时,能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能.这个过 程并不神秘,在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”,这个过程就 是数学建模的过程.

5.如图,一个半径为 10 m 的水轮按逆时针方向每分钟转 4 圈.记水 轮上的点 P 到水面的距离为 dm(若 P 在水面下,则 d 取负数),则 d(单位: m)与时间 t(单位:s)之间满足关系式:d=Asin(ωt+φ)+k(A>0,ω>0, π π - <φ< ),且当点 P 从水面上浮现时开始计算时间. 2 2 有以下四个结论: 2π π ①A=10;②ω= ; ③φ= ; ④k=5. 15 6 其中,正确结论的序号是________. 解析:∵当 sin(ωt+φ)=1 时,dmax=15,即 15=A+k. 当 sin(ωt+φ)=-1 时,dmin=-5,即-5=-A+k. 60 2π ∴A=10,k=5,T= =15(s),ω= , 4 15 2π ∴d=10sin( t+φ)+5. 15 ∵当 t=0 时,d=0, 1 ∴10sin φ+5=0,∴sin φ=- . 2 π π π 又∵- <φ< ,∴φ=- . 2 2 6 答案:①②④ 6.一个被绳子牵着的小球 P(半径忽略不计)作圆周运动(如图).它从 初始位置 P0 开始,按逆时针方向以角速度 ω rad/s 作圆周运动.已知绳子 的长度为 l,求: (1)P 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数解析式; π π (2)如果 ω= ,l=2,φ= ,试求 y 的最值; 6 4 (3)在(2)中,试求小球到达 x 轴的正半轴所需的时间. 解:(1)由三角函数的定义得 y=lsin(ωt+φ),t∈[0,+∞). π π (2)ω= ,l=2,φ= ,代入解析式,得到 6 4 π π y=2sin( t+ ),t∈[0,+∞). 6 4
100

2π 2π 最小正周期 T= = =12. ω π 6 π π π 当 t+ =2kπ+ ,k∈N, 6 4 2 即 t=12k+1.5,k∈N 时,ymax=2; π π 3 当 t+ =2kπ+ π,k∈N, 6 4 2 即 t=12k+7.5,k∈N 时,ymin=-2. (3)设小球经过时间 t 后到达 x 轴正半轴, π π 令 t+ =2π,得 t=10.5, 6 4 ∴当 t∈[0,+∞)时,t=12k+10.5,k∈N, ∴小球到达 x 轴正半轴所需要的时间为 10.5+12k,k∈N.

解答三角函数应用题的一般步骤: (1)审题:问题的给出一般是文字语言与图形语言,认真审题领悟其中的数学本质. (2)建立三角函数模型:根据“审题”所得到的信息,把实际问题抽象成数学问题,建立 三角函数式或三角方程或三角不等式. (3)解决三角函数模型:根据所学的三角知识解决(2)中建立的模型问题. (4)作出结论:根据(3)中的解答作出对应结论.

1.如图所示是一机械振动的传播图,图中甲、乙、丙、丁四点经半个周期后到最高点的 是( )

A.甲 C.丙 答案:B

B.乙 D.丁

2.如图所示为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是(

)

101

A.该质点的振动周期为 0.7 s B.该质点的振幅为-5 cm C.该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时的振动速度最大 D.该质点在 0.3 s 和 0.7 s 时的加速度为零 解析:该质点的振动周期为 T=2×(0.7-0.3)=0.8 s,故 A 是错误的;该质点的振幅为 5 cm,故 B 是错误的;该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时的振动速度是零,所以 C 是错误的,D 正确. 答案:D 3.如图,某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数:y= Asin(ωx+φ)+b,则 A、ω、φ、b 分别是( π 3π A.A=10、ω= 、φ= 、b=20 8 4 π 3π B.A=20、ω= 、φ= 、b=10 4 4 π 3π C.A=30、ω= 、φ= 、b=10 8 4 1 3π D.A=10、ω= 、φ= 、b=20 8 4 解析:由图可知 A=30-20=10,b=20, T=2(14-6)=16, 2π π π 3π 3 ∴ω= = .又 6× +φ= ,∴φ= π,故选 A. 16 8 8 2 4 答案:A 4.如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2,- 2),角速度为 1,那么点 P 到 x 轴的距离 d 关于时间 t 的函数 图象大致为( ) )

π 解析:∵P0( 2,- 2),∴∠P0Ox= . 4
102

π 按逆时针转时间 t 后得∠POP0=t,∠POx=t- . 4 π 此时 P 点纵坐标为 2sin(t- ), 4 π ∴d=2|sin(t- )|. 4 π 当 t=0 时,d= 2,排除 A、D;当 t= 时,d=0,排除 B. 4 答案:C π 5. 电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+ )(A>0, ω≠0) 6 1 的图象如图所示,则当 t= 秒时,电流强度是________安. 50 4 1 1 2π 解析:由图象可知,T=( - )×2= .又 =T, 300 300 50 ω ∴ω=100π.又∵函数最大值为 10,∴A=10. π ∴I=10sin(100πt+ ). 6 1 1 π 当 t= 时,I=10sin(100π× + )=5(安). 50 50 6 答案:5 6. 如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面 高度 y(m)在某天 24 h 内的变化情况,则水面高度 y 关于从夜间 0 时 开始的时间 x 的函数关系式为________. 解析:由图象特点可设解析式为 f(x)=- Asin ωx(A>0, ω> 2π π 0).由图象知 A=6,T=12,∴ω= = . 12 6 π ∴f(x)=-6sin x. 6 π 答案:f(x)=-6sin x 6 7.如图,弹簧上挂的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的距离 y(cm)随时间 t(s)的 变化曲线是一个三角函数的图象.

(1)经过多长时间,小球往复振动一次? (2)求这条曲线的函数解析式;

103

(3)小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是多少? 7π π 解: 由图象可知, 周期 T=2( - )=π, 所以小球往复振动一次所需要的时间为 π≈3.14 12 12 s. (2)可设该曲线的函数解析式为 7π π 2π y=Asin (ωt+φ),t∈[0,+∞),从图象中可以看出 A=4,T=2×( - )=π,∴ =π, 12 12 ω π π π 即 ω=2.将 t= ,y=4 代入解析式,得 sin( +φ)=1,解得 φ= . 12 6 3 π ∴这条曲线的解析式为 y=4sin(2t+ ),t∈[0,+∞). 3 π (3)当 t=0 时, y=sin =2 3(cm), 故小球在开始振动时, 离开平衡位臵的位移是 2 3cm. 3 8.某港口的水深 y(m)是时间 t(0≤t≤24,单位:h)的函数,下面是水深数据: t(h) y(m) 0 10.0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0

根据上述数据描出的曲线如下图所示, 经拟合, 该曲线可近似地看成正弦函数 y=Asin ωt +b 的图象.

(1)试根据以上数据,求出 y=Asin ωt+b 的表达式; (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离不少于 4.5 m 是安全的,如果某船的吃 水深度(船底与水面的距离)为 7 m, 那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全 离港,则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)? 解:(1)由拟合曲线可知,函数 y=Asinωt+b 在一个周期内由最大变到最小需 9-3=6 h, 2π π 此为半个周期,所以函数的最小正周期为 12 h,因此 =12,ω= . ω 6 又∵当 t=0 时,y=10;当 t=3 时,ymax=13, ∴b=10,A=13-10=3. π 于是所求的函数表达式为 y=3sin t+10. 6 (2)因为船的吃水深度为 7 m,船底与海底的距离不少于 4.5 m,所以在船舶航行时水深 y 应大于等于 7+4.5=11.5 m.

104

π π 1 令 y=3sin t+10≥11.5,可得 sin t≥ , 6 6 2 π π 5π ∴2kπ+ ≤ t≤2kπ+ (k∈Z). 6 6 6 ∴12k+1≤t≤12k+5(k∈Z). 取 k=0,则 1≤t≤5;取 k=1,则 13≤t≤17. 而取 k=2 时,25≤t≤29(不合题意). 从而可知船舶在凌晨 1 点到 5 点、下午 13 点到 17 点都可以安全进港.船舶要在一天之 内在港口停留的时间最长,就应凌晨 1 点(1 点到 5 点都可以)进港,在下午 17 点(即 13 点到 17 点之间)前离港,在港内停留的时间最长为 16 h.

一、任意角和弧度制 1.任意角 ①正角:按逆时针方向旋转形成的角; ? ?②负角:按顺时针方向旋转形成的角; (1)角的分类? ③零角:一条射线不作任何旋转称它形 ? ? 成一零角. (2)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可以构成一个集合 S= 360° ,k∈Z}. {β|β=α+k· π 第一象限角的集合:{α|2kπ<α< +2kπ,k∈Z}; 2 π 第二象限角的集合:{α| +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z}; 2 3π 第三象限角的集合:{α|π+2kπ<α< +2kπ,k∈Z}; 2 3π 第四象限角的集合:{α| +2kπ<α<2π+2kπ,k∈Z}; 2 终边落在 x 轴上的角的集合:{α|α=kπ,k∈Z}; π 终边落在 y 轴上的角的集合:{α|α= +kπ,k∈Z}; 2 kπ 终边落在坐标轴上的角的集合:{α|α= ,k∈Z}. 2

105

2.弧度制 (1)弧度制: ①1 弧度的角:把长度等于半径长的孤所对的圆心角叫做 1 弧度的角. ②弧度制:用弧度来度量角的制度,单位符号“rad”. (2)角度与弧度的互化公式: ①角度化成弧度:180° =π rad,1° = π rad≈0.017 45 rad; 180

180 ②弧度化成角度:π rad=180° ,1 rad=( )° ≈57.30° . π (3)扇形的弧长与面积公式: ①扇形的弧长公式:l=|α|r; 1 1 ②扇形的面积公式:S= lr= |α|r2. 2 2 二、任意角的三角函数 1.任意角三角函数的定义 y 在平面直角坐标系中,角 α 的终边经过点 P(x,y),且|OP|=r= x2+y2,则 sin α= ,cos r x y α= ,tan α= . r x 2.单位圆中三角函数的定义 角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴非负半轴重合,角 α 的终边与单位圆的交点为 P(x, y y),则 y=sin α,x=cos α, =tan α(x≠0). x 3.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

4.三角函数线 三角函数线是表示三角函数值的有向线段,线段的方向表示了三角函数值的正负,线段 的长度表示了三角函数值的绝对值.

106

图示

正弦线 余弦线 正切线

如上图,α 终边与单位圆交于 P,过 P 作 PM 垂直于 x 轴,有向线段 MP 即为正弦 线 如上图,有向线段 OM 即为余弦线 如上图,过(1,0)作 x 轴的垂线,交 α 的终边或 α 终边的反向延长线于 T,有向线 段 AT 即为正切线

三、同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. sin α (2)商数关系:tan α= . cos α 重要变形:1-sin2α=cos2α,1-cos2α=sin2α, sin α=tan αcos α. 四、诱导公式 1.诱导公式 (1)公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α,tan(α+2kπ)=tan α,k∈Z. (2)公式二:sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α. (3)公式三:sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α. (4)公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α. π π (5)公式五:sin( -α)=cos α,cos( -α)=sin α. 2 2 π π (6)公式六:sin( +α)=cos α,cos( +α)=-sin α. 2 2 α+2kπ,k∈Z,-α,π±α 的三角函数值,等于 α 的同名三角函数值前面加上一个把 α π 看成锐角时原函数值的符号. ± α 的正弦(余弦)函数值等于 α 的余弦(正弦)函数值, 前面加上一 2 个把 α 看成锐角时原函数值的符号.也可以用口诀记忆:“奇变偶不变,符号看象限”. 2.诱导公式的作用 把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般步骤为:

107

五、正弦、余弦、正切函数的性质 函数 性质 定义域 值域 最小 正周期 y=sin x R [-1,1] 2π y=cos x R [-1,1] 2π y=tan x π {x|x≠kπ+ ,k∈Z} 2 R π

π 当 x=2kπ+ ,k∈Z 时, 2 当 x=2kπ,k∈Z 时,ymax 最值 ymax=1; =1; 无

π 当 x=2kπ+π,k∈Z 时, 当 x=2kπ- ,k∈Z 时, 2 ymin=-1 ymin=-1 奇函数 π π 在[- +2kπ, +2kπ],k 2 2 偶函数

奇偶性

奇函数

单调性

π ∈Z 上是增函数,在[ + 2 3π 2kπ, +2kπ],k∈Z 上 2 是减函数

在[(2k-1)π,2kπ],k∈Z 上是增函数,在[2kπ,(2k +1)π],k∈Z 上是减函数

π π 在(- +kπ, +kπ),k 2 2 ∈Z 上是增函数

对称轴

π x=kπ+ , 2 k∈Z

x=kπ,k∈Z π (kπ+ ,0), 2 k∈Z



对称中心

(kπ,0),k∈Z

k ( π,0),k∈Z 2

六、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 1.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中参数的意义

108

2π 1 A——振幅,T= ——周期,f= ——频率, ω T φ——初相,ωx+φ——相位. 2.“五点法”作图 π 步骤:列表→描点→连线,注意列表取值时,要作变量代换,令 ωx+φ 分别取 0, ,π, 2 3π ,2π 来求相应的 x 和 y. 2 3.图象变换
? y=sin x ????????? ? ?
1 横坐标变成原来的 ,纵坐标不变

y=sin ωx ???????????? ? y=sin(ωx+φ)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=Asin(ωx+φ). 或者 y=sin x― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →
? y=sin(x+φ) ????????? ? ?
1 横坐标变成原来的 ,纵坐标不变

向左(? ? 0)或向右(? ? 0) 平移

? 个单位长度 ?

纵坐标变成原来的A倍,横坐标不变

向左?φ>0?或向右?φ<0?平移|φ|个单位长度

y=sin(ωx+φ)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=Asin(ωx+φ).

纵坐标变成原来的A倍,横坐标不变

(时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题所给的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) aπ 1.(2011· 山东高考)若点(a,9)在函数 y=3x 的图象上,则 tan 的值为( 6 A.0 C.1 B. 3 3 )

D. 3

aπ π 解析:∵(a,9)在函数 y=3x 的图象上,∴3a=9,即 a=2,∴tan =tan = 3. 6 3 答案:D sin α 1 2.设 α 是第二象限角,则 · -1=( cos α sin2α A.1 C.-tan2α B.tan2α D. -1 )

109

sin α 解析:∵α 是第二象限角,∴原式= cos α = sin α |cos α| sin α -cos α · = · =-1. cos α |sin α| cos α sin α

1-sin2α sin2α

答案:D 3.已知点 P(tan α,cos α)在第三象限,则角 α 的终边在( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

解析:由条件可知 tan α<0 且 cos α<0, ∴α 是第二象限角. 答案:B 4 4.已知 sin(π+α)= ,且 α 是第四象限角,则 cos(α-2π)的值是( 5 3 A.- 5 3 C.± 5 3 B. 5 4 D. 5 )

4 4 3 解析:sin(π+α)=-sin α= ,∴sin α=- .∵α 是第四象限角,∴cos α= 1-sin2α= , 5 5 5 3 ∴cos(α-2π)=cos α= . 5 答案:B π 5.函数 y=3sin( -2x)的单调递增区间是( 3 π π A.[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z) 2 2 π 3π B.[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z) 2 2 5π 11π C.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 12 12 π 5π D.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 12 12 π π π 解析: y=3sin( -2x)=-3sin(2x- ), ∴其单调递增区间是 y=3sin(2x- )的单调递减区 3 3 3 π π 3 5π 11π 间.由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ π,k∈Z 得,kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 2 3 2 12 12 答案:C )

110

6.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)的部 分图象如图所示,则函数 f(x)的解析式为( 1 π A.f(x)=2sin( x+ ) 2 4 1 3π B.f(x)=2sin( x+ ) 2 4 1 π C.f(x)=2sin( x- ) 2 4 1 3π D.f(x)=2sin( x- ) 2 4 3 π 解析:由图象知 A=2,T=2( π+ )=4π, 2 2 2π 1 π ∴ω= = .∵函数在 x=- 时取到最大值, 4π 2 2 1 π π ∴ ×(- )+φ= . 2 2 2 3 1 3 即 φ= π,∴f(x)=2sin( x+ π). 4 2 4 答案:B π π 7.已知函数 f(x)=3sin( x+ ),则下列不等式中正确的是( 2 3 A.f(1)<f(2)<f(3) C.f(3)<f(2)<f(1) B.f(2)<f(3)<f(1) D.f(2)<f(1)<f(3) ) )

π π 5π 3 解析:∵f(x)=3sin( x+ ),∴f(1)=3sin = , 2 3 6 2 π π 3 3 f(2)=3sin(π+ )=-3sin =- , 3 3 2 3 π π 3 f(3)=3sin( π+ )=-3cos =- . 2 3 3 2 ∴f(2)<f(3)<f(1). 答案:B π 8. (2011· 全国高考)设函数 f(x)=cos ωx(ω>0), 将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后, 3 所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于( 1 A. 3 C.6 B.3 D.9 )

π 2π 解析:由题意可知 = · k(k∈Z),解得 ω=6k. 3 ω 令 k=1,得 ωmin=6.

111

答案:C π 9.(2012· 福建高考)函数 f(x)=sin(x- )的图象的一条对称轴是( 4 π A.x= 4 π C.x=- 4 π B.x= 2 π D.x=- 2 )

π π 解析:三角函数在对称轴处取得最值,将 x=- 代入 f(x)=sin(x- )得 f(x)=-1,函数 4 4 π 取最小值.因此,直线 x=- 是对称轴. 4 答案:C π π? 10.函数 y=2sin? ?6x-3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( A.2- 3 C.-1 B.0 D.-1- 3 )

π π 解析:因为 0≤x≤9,所以 0≤ x≤9× , 6 6 π π π 7π 3 π π - ≤ x- ≤ ,- ≤sin( x- )≤1, 3 6 3 6 2 6 3 π π 所以- 3≤2sin( x- )≤2. 6 3 πx π 所以函数 y=2sin( - )(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 2- 3. 6 3 答案:A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) π 11.函数 y=tan(2x- )的最小正周期为________. 3 π π 解析:由公式 T=w可得 T= . 2 π 答案: 2 m-1 2m 12.已知 sin α= ,cos α= ,则 tan α=________. 5 5 解析:∵sin2α+cos2α=1,∴4m2+(m-1)2=25, 12 即 5m2-2m-24=0.解得 m=-2 或 m= . 5 2m 又 tan α= , m-1 4 24 ∴tan α= 或 . 3 7
112

4 24 答案: 或 3 7 π 13. 已知函数 f(x)=3sin(ωx- )(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完全相同, 6 π 若 x∈[0, ],则 f(x)的取值范围是________. 2 解析: 如果两个函数的图象对称轴完全相同, 那么它们的周期必须相同, ∴ω=2, 即 f(x) π =3sin(2x- ). 6 π π π 5 ∵x∈[0, ],∴2x- ∈[- , π], 2 6 6 6 π 1 ∴sin(2x- )∈[- ,1], 6 2 3 故 f(x)∈[- ,3]. 2 3 答案:[- ,3] 2 π 14.已知函数 f(x)=2tan(ωx+ )(ω>0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距 6 离为 π,则 f(x)的单调递增区间是________. π π π π 解析:由条件可知 T=π,∴ω=1,f(x)=2tan(x+ ).令 kπ- <x+ <kπ+ (k∈Z) 6 2 6 2 2π π 得 kπ- <x<kπ+ (k∈Z), 3 3 ∴f(x)的单调递增区间是(kπ- 2π π 答案:(kπ- ,kπ+ )k∈Z 3 3 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) π π 15.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=3sin(ωx+ ),ω>0,x∈R 的最小正周期为 . 6 2 (1)求 f(x)的解析式; (2)画出 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; α π 9 (3)已知 f( + )= ,求 sin α 的值. 4 12 5 2π π 解:(1)∵T= = ,∴ω=4. ω 2 π ∴f(x)=3sin(4x+ ). 6 (2)列表: 2π π ,kπ+ )k∈Z. 3 3

113

π 4x+ 6 x f(x) 图象如图所示:

0 π - 24 0

π 2 π 12 3

π 5π 24 0

3π 2 π 3 -3

2π 11π 24 0

α π α π π (3)由 f( + )=3sin[4( + )+ ] 4 12 4 12 6 π 9 3 =3sin(α+ )= ?cos α= , 2 5 5 4 故 sin α=± 1-cos2α=± . 5 16.(本小题满分 12 分)已知 tan α=3. (1)求 sin α+cos α 的值; sinα-cos α

3π (2)若 π<α< ,求 cos α-sin α 的值. 2 sin α 解:因为 tan α=3,所以 =3, cos α 即 sin α=3cos α,且 cosα≠0. sinα+cos α 3cos α+cos α (1) = =2. sin α-cos α 3cos α-cos α (2)因为 sin2α+cos2α=1, 1 所以 9cos2α+cos2α=1,即 cos2α= . 10 3π 10 又 π<α< ,所以 cos α<0,从而 cos α=- , 2 10 所以 cos α-sin α=cos α-3cos α=-2cos α= 17.(本小题满分 12 分)已知 f(α)= sin2?π-α?· cos?2π-α?· tan?-π+α? . sin?-π+α?· tan?-α+3π? 10 . 5

(1)化简 f(α); 1 π π (2)若 f(α)= ,且 <α< ,求 cos α-sin α 的值; 8 4 2

114

31 (3)若 α=- π,求 f(α)的值. 3 sin2α· cos α· tan α 解:(1)f(α)= =sin α· cos α. ?-sin α??-tan α? 1 (2)由 f(α)=sin αcos α= 可知 8 (cos α-sin α)2=cos2α-2sin αcos α+sin2α 1 3 =1-2sin αcos α=1-2× = . 8 4 π π 又∵ <α< ,∴cos α<sin α,即 cos α-sin α<0, 4 2 ∴cos α-sin α=- 3 . 2

31π 5π (3)∵α=- =-6×2π+ , 3 3 31π 31π 31π ∴f(- )=cos(- )· sin(- ) 3 3 3 5π 5π =cos(-6×2π+ )· sin(-6×2π+ ) 3 3 5π 5 π =cos · sin 3 3 π π =cos(2π- )· sin(2π- ) 3 3 π π =cos · (-sin ) 3 3 1 3 3 = · (- )=- . 2 2 4 π 18. (本小题满分 14 分)函数 f1(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|< )的一段图象过点(0,1), 2 如图所示.

(1)求函数 f1(x)的表达式; π (2)将函数 y=f1(x)的图象向右平移 个单位长度,得函数 y=f2(x)的图象,求 y=f2(x)的最 4 大值,并求出此时自变量 x 的集合. 2π 解:(1)由题图知 T=π,于是 ω= =2. T π π π 将 y=Asin 2x 的图象向左平移 ,得 y=Asin(2x+φ)的图象,于是 φ=2· = . 12 12 6
115

π 将(0,1)代入 y=Asin(2x+ ),得 A=2. 6 π 故 f1(x)=2sin(2x+ ). 6 π π? (2)依题意,f2(x)=2sin? ?2?x-4?+6? π =-2cos(2x+ ), 6 π 5π 当 2x+ =2kπ+π,即 x=kπ+ (k∈Z)时, 6 12 5π ? ? ymax=2.x 的取值集合为?x|x=kπ+12,k∈Z?.
? ?

2.1

平面向量的实际背景及基本概念

问题 1:在日常生活中,有很多量如面积、质量、速度、位移等,这些量有什么区别? 提示:速度和位移既有大小,又有方向;而面积、质量只有大小,没有方向. 问题 2:在学习三角函数线时,我们学习了有向线段,试想有向线段应包含什么要素? 提示:起点、方向、长度. 问题 3:对既有大小、又有方向的量,如何形象、直观地表示出来? 提示:利用有向线段表示. 问题 4:如何表示? 提示:有向线段的方向表示量的方向,长度表示量的大小.

1.向量和数量 (1)向量:既有大小,又有方向的量叫做向量. (2)数量:只有大小,没有方向的量称为数量.

116

2.向量的几何表示 (1)带有方向的线段叫做有向线段,它包含三个要素:起点、方向、长度. (2) 向量可以用有向线段表示,向量 AB 的大小也就是向量 AB 的长度 (或称模 ) ,记作 | AB |.向量也可以用字母 a, b, c, ?表示, 也可以用有向线段的起点和终点字母表示, 如 AB ,

CD .
3.向量的有关概念

零向量 单位向量

长度等于零的向量,记作 0 长度等于 1 个单位的向量 方向相同或相反的非零向量.

平行向量(共线向量)

向量 a,b 平行,记作 a∥b. 规定:零向量与任一向量平行

相等向量

长度相等且方向相同的向量. 向量 a,b 相等,记作 a=b

1.向量和数量 向量不同于数量,数量只有大小,没有方向,是一个代数量,可以进行代数运算,能比 较大小;向量有方向和大小双重性,且不能比较大小. 2.向量与有向线段 向量用有向线段表示,说明向量被赋予了几何意义,也显示了图形的直观性,但有向线 段是向量的表示,并不是说向量就是有向线段. 3.共线向量与平行向量 (1)共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在 的直线可以平行,也可以重合,其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义. (2)共线向量有四种情况:方向相同且模相等,方向相同但模不等,方向相反且模相等, 方向相反且模不等.这样,也就找到了共线向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相 等向量,而相等向量一定是共线向量. (3)如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是平行向量.

117

向量的有关概念 [例 1] 给出下列命题: ①若 a≠b,则 a 一定不与 b 共线; ②若 AB = DC ,则 A、B、C、D 四点是平行四边形的四个顶点; ③在平行四边形 ABCD 中,一定有 AB = DC ; ④若向量 a 与任一向量 b 平行,则 a=0; ⑤若 a=b,b=c,则 a=c. 其中所有正确命题的序号为________. [思路点拨] 严格按向量的有关概念进行判断. [精解详析] 两个向量不相等,可能是长度不同,方向可以相同或相反,a 与 b 有共线的 可能,故①不正确; AB = DC ,A、B、C、D 四点可能在同一条直线上,故②不正确;在 平行四边形 ABCD 中,| AB |=| DC |, AB 与 DC 方向相同,所以 AB = DC ,故③正确; 只有零向量的方向是任意的,与任一向量平行,故④正确;a=b,则|a|=|b|,且 a 与 b 方向 相同;b=c,则|b|=|c|,且 b 与 c 方向相同,则 a 与 c 方向相同且模相等,所以 a=c, 故⑤ 正确. [答案] ③④⑤ [一点通] 对向量有关概念的理解要严谨、准确,特别注意向量不同于数量,数量的关 系只考虑大小,而向量的关系既要考虑大小,又要考虑方向.另外,零向量是比较特殊的向 量,解题时要注意不可忽视零向量的存在.

1.下列说法正确的个数为(

)

①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量; ②零向量没有方向; ③向量的模一定是正数; ④与非零向量共线的单位向量是唯一的. A.0 C.2 B .1 D.3

解析:①错误,只有速度、位移是向量;②错误,零向量有方向,它的方向是任意的; ③错误,|0|=0;④错误,与非零向量 a 共线的单位向量有两个,一个与 a 同向,一个与 a 反向.
118

答案:A 2.对于下列各种情况,各向量的终点的集合分别是什么图形? (1)把所有单位向量的起点平移到同一点 P; (2)把平行于直线 l 的所有单位向量的起点平移到直线 l 上的点 P; (3)把平行于直线 l 的所有向量的起点平移到直线 l 上的点 P. 解:(1)是以 P 点为圆心,以 1 个单位长为半径的圆. (2)是直线 l 上与点 P 的距离为 1 个单位长的两个点. (3)是直线 l. 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 第二章 平面向量 向量的表示 [例 2] 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点,然后又改变方向向西偏 北 50° 走了 200 km 到达 C 点,最后又改变方向,向东行驶了 100 km 到达 D 点. (1)作出向量 AB 、 BC 、 CD ; (2)求 AD . [思路点拨] 先作出表示东西南北的方向图及 100 km 长度的线段,然后回答问题.

[精解详析] (1)向量 AB 、 BC 、 CD 如图. (2)由题意,易知 AB 与 CD 方向相反,故 AB ∥ CD ,又| AB |=| CD |. ∴四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ AD = BC ,| AD |=| BC |=200 km. ∴ AD 的大小为 200 km,方向为西偏北 50° . [一点通] 准确画出方位图和表示单位长度的线段是解题的关键,画向量时,先确定始 点,然后根据向量的方向和大小确定终点.

3.如图所示,分别以图中各点为起点和终点,最多可以写出多少个非零向量?

解:以 A 为起点的向量 AB 、 AC 、 AD 、 AE 、 AF 共 5 个.同理,以 B,C,D,E, F 为起点的向量分别有 5 个,所以最多可以写出 6×5=30 个非零向量. 4.在如图所示的坐标系中,用直尺和圆规画出下列向量.

119

(1)| OA |=3,点 A 在点 O 正西方向; (2)| OB |=3 2,点 B 在点 O 北偏西 45° 方向; (3)| OC |=2,点 C 在点 O 南偏东 60° 方向. 解:如图所示.

相等向量和平行向量

[例 3] (12 分)如图,已知四边形 ABCD 中,M、N 分别是 BC、 AD 的中点,且 AB = DC . 求证: CN = MA . [思路点拨] 证明 CN 与 MA 的方向相同且长度相等. [精解详析] 由条件 AB = DC 可知| AB |=| DC |且 AB ∥ DC ,(2 分) 从而四边形 ABCD 为平行四边形,从而 AD = BC .(4 分) 1 1 又 M,N 分别是 BC,AD 的中点,所以| AN |= | AD |,| MC |= | BC |,所以| AN |= 2 2 | MC |.(6 分) 又 AN ∥ MC ,所以四边形 AMCN 是平行四边形.(10 分) 于是得| MA |=| CN |,且 MA , CN 方向一致, 所以 CN = MA .(12 分) [ 一点通 ] 利用向量解决平面几何问题是向量作为工具的必然,其产生的目的也在于

此.由本题,我们还能得到一个重要结论,即若 AB = DC ,且四点 A,B,C,D 不共线, 则四边形 ABCD 为平行四边形,这是证明四边形为平行四边形的向量方法.

120

5.如图,四边形 ABCD 与 ABEC 都是平行四边形,在以 A,B,C, E 为起点或终点的向量中. (1)写出与向量 AB 共线的向量; (2)写出与向量 AB 相等的向量. 解:(1)与 AB 共线的向量有 BA , DC , CE , CD , EC , DE 和 ED . (2)与 AB 相等的向量有 DC 和 CE . 6.如图,O 为正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED、OCFB 都是 正方形.在图中的所示向量中,(1)分别写出与 AO 、BO― →相等的向量; (2)写出与 AO 共线的向量;(3)写出与 AO 模相等的向量. 解:(1) AO =BF― →,BO― →=AE― →; (2)与 AO 共线的向量有 CO― →,BF― →,DE― →;

D,

(3)与 AO 模相等的向量有 CO― →, BF― →, DE― →, AE― →, BO― →, DO― →, CF― →.

1.判断一个量是不是向量,就是看它是否同时具备两个要素:大小和方向.只有大小没 有方向,或只有方向没有大小的量都不是向量. 2. 向量与数量的区别在于向量有方向而数量没有方向; 向量与向量模的区别在于向量的 模是指向量的长度,是数量,可以比较大小,但向量不能比较大小. 3. AB = DC 包括两种情况: ①A,B,C,D 在同一条直线上;②四边形 ABCD 是平行四边形.只有 A,B,C,D 四 点不共线时,由 AB = DC 才可得出四边形 ABCD 为平行四边形.

1.下列说法正确的个数为(

)

①向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ②有向线段就是向量,向量就是有向线段; ③a 与 b 是共线向量,b 与 c 是共线向量;则 a 与 c 是共线向量; ④向量 AB 与向量 CD 是共线向量,则点 A、B、C、D 必在同一条直线上. A.0 C.2 B.1 D.3

121

解析:①错误,若 a=0 时,方向是任意的;②错误,有向线段是向量的一种表示,它不 同于向量;③错误,当 b=0 时,a 与 c 不一定共线;④错误, AB 与 CD 是共线向量,那么 AB 与 CD 所在直线可能平行,故选 A. 答案:A 2.如图所示,在正三角形 ABC 中,P、Q、R 分别是 AB、BC、 AC 的中点,则与向量 PQF相等的向量是( A. PR 与 QR C. RA 与 CR B. AR 与 RC D. PA 与 QR )

解析:向量相等要求模相等,方向相同,因此 AR 与 RC 都是和 PQ 相等的向量. 答案:B 3.若 a,b 为两个单位向量,下列四个命题中正确的是( A.a=b C.a=b 或 a=-b B.若 a∥b,则 a=b D.若 a=b,b=c,则 a=c )

解析:两个单位向量只是长度相等,∴A,C 均错误;当 a∥b 时,a,b 也可能反向,∴B 错;D 正确. 答案:D 4.如图,四边形 ABCD 中, AB = DC ,则必有( )

A. AD = CB C. AC = DB

B. OA = OC D. DO = OB

解析:由条件可知,四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ DO = OB 是正确的. 答案:D 5.如图,ABCD 为边长为 3 的正方形,把各边三等分后,共有 16 个交点,从中选取 2 个交点组成向量,则与 AC― →平行且长度为 2 2的向量个数是______.
122

解析:图形中共含 4 个边长为 2 的正方形,其对角线长度为 2 2,在其中一个正方形中, 与 AC― →平行且长度为 2 2的向量有 2 个,所以共 8 个. 答案:8 6.若 a、b 为两个向量,给出以下 4 个条件: ①|a|=|b|; ②a 与 b 的方向相反; ③|a|=0 或|b|=0; ④a 与 b 都是单位向量. 由条件________ 一定可以得到 a 与 b 平行. 解析:长度相等或都是单位向量不能得到 a∥b,但方向相反或其中一个为零向量可以说 明 a∥b.故填②③. 答案:②③ 7.在如图的方格纸上,已知向量 a. (1)试以 B 为起点画一个向量 b,使 b=a. (2)画一个以 C 为起点的向量 c,使|c|=2,并说出 c 的终点的轨迹是什么.

解:(1)根据相等向量的定义, 所作向量 b 应与 a 同向,且长度相等,如图. (2)由平面几何知识可作满足条件的向量 c, 所有这样的向量 c 的 终点的轨迹是以 C 为圆心,2 为半径的圆,如图. 8.如图所示,O 是正六边形 ABCDEF 的中心, 且 OA =a, OB =b, OC =c 在以 A、B、C、D、E、F,O 为起点或 终点的向量中: (1)与 a 的模相等的向量有多少个? (2)与 a 的长度相等,方向相反的向量有哪些? (3)与 a 共线的向量有哪些? (4)请一一列出与 a,b,c 相等的向量. 解:(1)与 a 的模相等的向量有 23 个.

123

(2)与 a 的长度相等,方向相反的向量有 OD , BC , AO , FE . (3)与 a 共线的向量有 EF , BC ; OD ; FE , CB , DO , AO , DA , AD . (4)与 a 相等的有 EF ,DO ,CB ; 与 b 相等的有 DC ,EO ,FA ; 与 c 相等的有 ED ,

FO , AB .

2.2

平面向量的线性运算

2.2.1 向量加法运算及其几何意义

向量的加法

问题 1:向量能进行运算吗?请举例说明. 提示:能,如力的合成. 问题 2:两个力 F1,F2 作用于同一个物体上,当物体静止时,说明了什么? 提示:F1+F2=0. 问题 3:做斜上抛运动的物体在水平方向上有速度吗?在竖直方向上有速度吗? 提示:有. 问题 4:在问题 3 中,物体为什么没沿水平或垂直方向运动? 提示:力的合力不在这两个方向上.

1.向量加法的定义 求两个向量和的运算叫做向量的加法. 2.求向量和的方法 (1)三角形法则: 已知非零向量 a、b,在平面上任取一点 A, 作 AB =a, BC =b,则向量 AC 叫做 a 与 b 的和?或和向量?,记作 a+b, 即 a+b= AB + BC = AC .上述求两个向量和的方法, 称为向量 加法的三角形法则.
124

(2)平行四边形法则: 已知两个不共线向量 a,b,作 OA =a OB =b,以 a,b 为邻边作 ?OACB,则以 O 为起点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和,如图.这种求两 个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 对于零向量与任一向量 a,规定:a+0=0+a=a. 加法的运算律

问题 1:数的加法满足交换律和结合律,向量的加法是否也满足 交换律和结合律? 提示:满足. 问题 2:你能验证向量加法也满足结合律吗? 提示:如图,a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).

(1)向量加法的交换律:a+b=b+a; (2)向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).

1.对两种求向量和的方法的理解. (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和,平行四边形法则只适用于两个不共线的向量 求和. (2)当两个向量不共线时,两个法则是一致的. 如图所示, AC = AB + AD 平行四边形法则?,

AC = AB + BC (三角形法则).
(3)在使用三角形法则时,应注意“首尾连接”;在使用平行四边形法则时应注意两向量 的起点相同. (4)三角形法则可以推广为多边形法则,即对于几个向量,有 A0 A1 + A1 A2 + A2 A3 +? + An-1 An = A0 An ,这可以称为向量加法的多边形法则. 2.在向量加法的三角形法则中,可得|a|+|b|≥|a+b|.其中,“=”在有一者为零向量或 两个向量共线且方向相同时取得.

125

求作向量的和

[例 1] 如图所示,已知向量 a,b,c,试作出向量 a+b+c. [思路点拨] 根据向量加法的结合律,可以按三角形法则或平行四边形 法则进行. [精解详析] 法一:如图①所示, 首先在平面内任取一点 O, 作向量 OA =a,再作向量 AB =b,则得向量 OB =a+b;然后作 向量 BC =c,则向量 OC=?a+b?+c=a+b+c 即为所求., 法二: 如图②所示, 首先在平面内任取一点 O, 作向量 OA =a,

OB =b, OC =c,以 OA、OB 为邻边作?OADB,连接 OD,则 OD = OA + OB =a+b.

再以 OD、OC 为邻边作?ODEC,连接 OE,则 OE = OD + OC =a+b+c 即为所 求. [一点通] 应用三角形法则、平行四边形法则作向量和时需注意的问题: (1)三角形法则可以推广到 n 个向量求和,作图时要求“首尾相连”,即 n 个首尾相连的 向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第 n 个向量的终点的向量. (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合. (3)求作三个或三个以上的向量和时,用三角形法则更简单.

1.如图,已知平行向量 a、b,求作 a+b.

解:作 OA =a, AB =b,则 OB =a+b 就是求作的向量.

2.小船向正东方向行驶了 10 km,又沿北偏东 30° 方向行驶了 15 km,作出小船两次的合位移.,解:用 AB 表示向正东行驶 10 km 的位 移,BC 表示沿北偏东 30° 方向行驶了 15 km 的位移, 则 AC 表示小船

126

两次的合位移(如图). 向量加法运算 [例 2] 化简或计算: (1) CD + BC + AB ; ?2? AB + DF + CD + BC + FA . [思路点拨] 按照字母的顺序恰当利用交换律排列,利用运算法则求解. [精解详析] (1) CD + BC + AB =? AB + BC ?+ CD = AC + CD = AD ?2? AB + DF + CD + BC + FA =( AB + BC )+( CD + DF + FA = AC + CF + FA = AF + FA =0. [一点通]解决该类题目要灵活运用向量加法运算律,注意各向量的起、终点字母的顺序, 特别注意勿把 0 写成 0.

3.正方形 ABCD 的边长为 1,则| AB + AD |为( A.1 C.3 B. 2 D.2 2

)

解析:正方形 ABCD 中, AB + AD = AC , ∴| AB + AD |=| AC |= 2. 答案:B 4.化简下列各式: (1) PB + OP + BO . ?2?? AB + MB ?+ BO + OM . 解:?1? PB + OP + BO =( OP + PB )+ BO = OB + BO =0. ?2?? AB + MB ?+ BO + OM =? AB + BO ?+? OM + MB ? = AO + OB = AB . 向量加法的实际应用 [例 3] (12 分)已知船在静水中的速度为 20 m/min,水流的速度为 10 m/min,如果船从 岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向.
127

[思路点拨] 速度是向量,先作出船的速度与水流速度的示意图,把原问题转化为求三 角形的内角的问题.

AD =v 船, AD 为邻边作?ABCD, [精解详析] 作 AB =v 水, 以 AB ,
则 AC =v 实际,如图 由题意可知∠CAB=90° , 在 Rt△ABC 中, | AB |=|v 水|=10 m/min, |BC |=| AD |=|v 船|=20 m/min, | AB | 10 1 ∴cos ∠ABC= = = , | BC | 20 2 ∴∠ABC=60° ,从而船与水流方向成 120° 角. 故船行进的方向与水流的方向成 120° 角. (12 分) (10 分) ?4 分?

[一点通] 求解应用题时应先根据已知条件建立数学模型,转化为数学问题求解.本题 实际是向量在物理中的一个简单应用,先根据三个已知速度 ( 即已知向量 ) 之间的关系作 ? ABCD 是解题的关键.因为本题是求方向,所以可以转化为平面几何中求角度的问题.

5.一艘船以 8 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,由于水流的原因,船的实际航行 速度的大小为 4 5 km/h,则水流速度的大小为________. 解析:由题意可知,水流速度的大小为 ?4 5?2-82= 4 (km/h). 答案:4 km/h 6.如图,一架飞机从 A 地按北偏西 30° 方向飞行 300 km 后到达 B 地,然后向 C 地飞行.已知 C 地在 A 地北偏东 60° 方向处,且 A,C 两地相距 300 km,求飞机从 B 地向 C 地飞行的方向及 B、C 两地的距 离. 解:根据题意可知∠BAC=90° ,| AB |=| AC |=300 km,则可得| BC |=300 2 km. 又由∠ABC=45° ,A 地在 B 地东偏南 60° 方向处,可知 C 地在 B 地东偏南 15° 方向处. 即飞机从 B 地向 C 地飞行的方向是东偏南 15° ,B、C 两地的距离为 300 2 km.

1.求向量和时,应慎用三角形法则、平行四边形法则及向量的多边形法则,要注意向量 是否共线,当向量共线时,平行四边形法则便不适用了. 2.模一定的向量 a 和 b,当向量 a 和 b 的方向发生变化时,其和向量 a+b 也会发生变 化,当 a 与 b 共线且同向时,a+b 的模最大,|a+b|=|a|+|b|;当 a 与 b 共线且反向时,不
128

妨设|a|>|b|,此时 a+b 的模最小,|a+b|=|a|-|b|;当 a 与 b 不共线时,||a|-|b||<|a+b|<|a| +|b|.

1.下列各式不一定成立的是( A.a+b=b+a C. AC + CB = AB

) B.0+a=a D.|a+b|=|a|+|b|

解析:A 成立,为向量加法交换律;B 正确,这是规定;C 成立,即三角形法则;D 不 一定成立,只有 a,b 同向或有一者为零向量时,才有|a+b|=|a|+|b|. 答案:D 2.在矩形 ABCD 中,| AB |=4,| BC |=2,则向量 AB + AD + AC 的长度等于( A.2 5 C.12 B .4 5 D.6 )

解析:因为 AB + AD = AC ,所以 AB + AD + AC 的长度为 AC 的模的 2 倍,故答案 是 4 5. 答案:B 3.设 a=( AB + CD )+( BC + DA ),b 是任一非零向量,则在下列结论中,正确的为 ( ) ①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;⑤|a+b|=|a|+|b|. A.①② C.①③⑤ B.①③ D.③④⑤

解析:a=( AB + CD )+( BC + DA )= AB + BC + CD + DA =0, ∴①③⑤是正确的. 答案:C 4.已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足 PA + PB = PC ,下列结论中 正确的是( )

A.P 在△ABC 的内部 B.P 在△ABC 的边 AB 上 C.P 在 AB 边所在的直线上 D.P 在△ABC 的外部 解析:∵ PA + PB = PC ,根据平行四边形法则,如图,点 P

129

在△ABC 外. 答案:D 5.若 a 等于“向东走 8 km”,b 等于“向北走 8 km”,则|a+b|=________,a+b 的方 向是________.

解析:如图所示,设 AB =a, BC =b,则 AC =a+b,且△ABC 为等腰直角三角形,则| AC |=8 2,∠BAC=45° . 答案:8 2 km 北偏东 45° 6.若向量 a,b 满足|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值是________,最小值是________. 解析:当 a,b 同向时,|a+b|max=8+12=20; 当 a,b 反向时,|a+b|min=12-8=4. 答案:20 4 7.如图,O 为正六边形 ABCDEF 的中心,根据图示计算:

(1) (2) (3)

OA + OC ;
→; BC +FE― →. OA +FE―

解: (1)因为四边形 OABC 是以 OA、 OC 为邻边的平行四边形, OB 为其对角线, 所以 OA + OC = OB . (2)因为 BC 与 FE 方向相同且长度相等, 所以 BC 与 FE 是相等向量, 故 BC +FE― →与 →表示.所以 BC + FE = BC 方向相同,长度为 BC 长度的 2 倍,因此 BC + FE 可用 AD― AD― →. (3)∵ FE = AO ,∴ OA + FE = OA + AO =0. 8. 在汶川 5· 12 大地震后, 一架救援直升飞机从 A 地沿北偏东 60° 方向飞行了 40 km 到 B 地,再由 B 地沿正北方向飞行 40 km 到达 C 地,求此时直升飞机与 A 地的相对位置.

解:如图所示,设 AB 、 BC 分别是直升飞机两次位移,则 AC 表示两次位移的合位移,

130

即 AC = AB + BC , 在 Rt△ABD 中, | DB |=20 km,| AD |=20 3 km, 在 Rt△ACD 中, AC= AD2+CD2= ?20 3?2+?40+20?2=40 3(km),∠CAD=60° . 所以此时直升飞机在 A 地的北偏东 30° ,距离为 40 3 km 的位臵.

2.2.2 向量减法运算及其几何意义

相反向量

问题 1:一个数 a 的相反数是什么? 提示:-a. 问题 2:一个向量有相反向量吗? 提示:有,向量 a 的相反向量是-a.

相反向量 与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量,记作-a. (1)规定:零向量的相反向量仍是零向量; (2)-(-a)=a; (3)a+(-a)=(-a)+a=0; (4)若 a 与 b 互为相反向量,则 a=-b,b=-a,a+b=0. 向量的减法

问题 1:两个相反数的和为零,那么两个相反向量的和也为零吗? 提示:是零向量. 问题 2:根据向量加法,如何求作 a-b? 提示:①先作出-b;②再按三角形或平行四边形法则进行.

向量的减法 (1)定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量 的相反向量.
131

(2)几何意义:以 O 为起点,作向量 OA =a, OB =b,则 BA =a-b,如图所示,即 a -b 可表示从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量.

1.向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算,可以相互转化,减去一个向量等于加 上这个向量的相反向量. 2.两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得:用平行四边形法则时,两个 向量共起点,和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线所对应的 向量( AC ), 而差向量是另一条对角线所对应的向量( DB ), 方向是从 减向量的终点指向被减向量的终点;用三角形法则时,把减向量与被减向量的起点相重合, 差向量从减向量的终点指向被减向量的终点.

向量的加减运算

[例 1] 化简:( AB - CD )-( AC - BD ). [思路点拨] 去掉括号,利用相反向量转化为加法进行运算,也可以转化为减法进行运 算. [精解详析] 法一:( AB - CD )-( AC - BD ) = AB - CD - AC + BD = AB + DC + CA + BD =( AB + BD )+( DC + CA ) = AD + DA =0. 法二:( AB - CD )-( AC - BD ) = AB - CD - AC + BD = AB + DC - AC - BD =( AB - AC )+( DC - BD )= CB + BC =0. 法三:( AB - CD )-( AC - BD )= AB - CD - AC + BD =( OB - OA )-( OD - OC )-( OC - OA )+( OD - OB ) = OB - OA - OD + OC - OC + OA + OD - OB =0. [一点通] 对于向量的加减运算,作加法时要注意首尾相接,如 AB + BC = AC ;作
132

减法时要注意起点相同,如 AB - AC = CB .按照三角形法则,有时要把一个向量写成和或 差的形式,如 MN = MP + PN 或 MN = ON - OM .

1.在平行四边形 ABCD 中, AB + CB - DC =( A. BC C. DA B. AC D. BD

)

解析:如图,∵ CB = DA , ∴ AB + CB - DC = AB + DA - DC = AB + CA = CA + AB = CB = DA . 答案:C

2.如图,在四边形 ABCD 中,根据图示填空: a+b=____,b+c=____,c-d=____,a+b+c-d=____. 解析:a+b= AB + BC = AC =-f; b+c= BC + CD = BD =-e; c-d= CD - AD = DA - DC = CA =f; a+b+c-d= AB + BC + CD - AD = AD - AD =0. 答案:-f -e f 0 3.化简:( AB + PC )+( BA - QC ). 解:法一:原式=( AB + BA )+( PC + CQ )=0+ PQ = PQ . 法二:原式= AB + PC + BA - QC =( OB - OA )+( OC - OP )+( OA - OB )-( OC - OQ ) = OQ - OP = PQ . 向量加、减法的几何作图

[例 2] 如图所示,O 是四边形 ABCD 内任一点,试根据图中给出 的向量确定 a、 b、 c、 d 的方向(用箭头表示), 使 a+b= BA , c-d= DC , 并画出 b-c 和 a+d. [思路点拨] 利用三角形法则和平行四边形法则作图求解.

133

[精解详析] 因为 a+b= BA ,c-d= DC ,所以 a= OA ,b=

BO ,c= OC ,d= OD .如图所示,作平行四边形 OBEC、平行四边
形 ODFA,根据平行四边形法则可得 b-c= EO ,a+d= OF . [一点通] 在作向量的和时,要合理使用三角形法则和平行四边

形法则.作两个向量的差时,应注意两个向量的起点重合,差向量的方向指向被减向量.

4.如图,已知正方形 ABCD 的边长等于 1, AB =a, BC =b, AC = c,试作以下向量并分别求模. (1)a+b+c; (2)a-b+c. 解:(1)如图,由已知得 a+b= AB + BC = AC .延长 AC 到 E, 使| CE |=| AC |,则 a+b+c= AE ,且| AE |=2 2. (2)作 BF = AC ,连接 CF, 则 D、C、F 共线, 则 DB + BF = DF . 而 DB = AB - AD =a- BC =a-b, ∴a-b+c= DB + BF = DF 且| DF |=2.

5.如图所示,O 为△ABC 内一点, OA =a, OB =b, OC =c.求作 b+c-a. 解:法一:如图①,以 OB 、 OC 为邻边作?OBDC,连接 OD、AD, 则 OD = OB + OC =b+c,

AD = OD - OA =b +c-a.




134

法二:如图②,作 CD = OB =b,连接 AD,则 AC = OC - OA =c-a, AD = AC + CD =c-a+b=b+c-a. 向量加减法的应用 [例 3] (12 分)已知任意四边形 ABCD,E 是 AD 的中点,F 是 BC 的中点,求证: AB -

EF = EF - DC ,
[思路点拨] 利用封闭图形中所有顺次连接的向量和为零向量表示 EF ,再运算. [精解详析] 如图,在四边形 CDEF 中, EF + FC + CD + DE =0, ∴ EF - DC = CF + ED . 在四边形 ABFE 中, (4 分)

AB + BF + EF + EA =0,
∴ AB - EF = FB + AE 又 E、F 分别是 AD,BC 的中点, ∴ CF = FB , ED = AE ,从而 CF + ED = FB + AE . ∴ EF - DC = AB - EF (12 分) (8 分)

[一点通] 在解决这类问题时,要注意向量加法、减法和共线(相等)向量的应用.在运用 三角形法则时,要注意当两向量首尾相接时考虑用加法,当两个向量起点相同时,可以考虑 用减法.

6. 如图所示, 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的延长线上取点 E, F,使 BE=DF,求证:四边形 AECF 是平行四边形. 证明:∵ AE = AB + BE , FC = FD + DC , 又 AB = DC , BE = FD , ∴ AE = FC ,即 AE 与 FC 平行且相等, ∴四边形 AECF 是平行四边形. 7.如图,已知点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、 C 的向量分别为 a、b、c,试用 a、b、c 表示 OD . 解: 因为 OA =a,OB =b,OC =c, 所以 BC = OC - OB =c-b.又 AD = BC ,所以 OD = OA + AD = OA + BC =a+c-b.

135

1.运用三角形法则求作向量和的方法是:作平移,首尾连,求作向量差的方法是:作平 移,共起点,两尾连,指被减. 2.解决向量加法和减法的综合问题,一方面要注意综合应用向量加

更多相关文档:

三维设计必修四

三维设计必修四_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教A版必修四(三角函数),纯WORD文档,可自由编辑。1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角 任意角的概念 将射线...

三维设计

13 摘要 电脑三维技术作为 19 世纪 60 年代开始开放的软件技术,在当前的社会占据着相当 重要的地位,它的伟大与神奇之处越来越得到广大的群众人们的认可,它的可...

【三维设计】2013-2014学年高中政治必修四同步每课知能一测:第三课 时代精神的精华

三维设计】2013-2014学年高中政治必修四同步每课知能一测:第三课 时代精神的精华_政史地_高中教育_教育专区。一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只...

【三维设计】2013-2014学年高中政治必修四同步每课知能一测:第八课 唯物辩证法的发展观

一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的) 1.1G 手机只能进行语音通话;2G 手机增加了短信、WAP 上网等功能;3G 手机又增 添了...

【三维设计】2013-2014学年高中政治必修四同步每课知能一测:第四课 探究世界的本质

三维设计2013届高考政治... 53页 1下载券【​三​维​设​计​】​2​0​1​3​-​2​0​1​4​学​年​高​中​政​...

【三维设计】2013-2014学年高中政治必修四同步每课知能一测:第二课 百舸争流的思想

三维设计】2013-2014学年高中政治必修四同步每课知能一测:第二课 百舸争流的思想_政史地_高中教育_教育专区。一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只...

【三维设计】2017版高考英语大一轮复习教师用书外研版必修4(新)

三维设计】2017版高考英语大一轮复习教师用书外研版必修4(新)_英语_高中教育_教育专区。教师用书 Module 1 Life in the Future Ⅰ.单词—在语境中默写,在联想...

【三维设计】2013-2014学年高中政治必修四同步每课知能一测:第十一课 寻觅社会的真谛

一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的) 1.(2013· 扬州质检)2012 年 12 月 30 日,语文期刊《咬文嚼字》正式公布了“正能量...

【三维设计】2013-2014学年高中政治必修四同步每课知能一测:第一课 美好生活的向导

三维设计】2013-2014学年高中政治必修四同步每课知能一测:第一课 美好生活的向导_政史地_高中教育_教育专区。一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只...

三维设计的神兵利器(图片)

4页 免费 三维设计 暂无评价 4页 3下载券 三维设计基础 暂无评价 124页 2下载券 三维设计与制作 暂无评价 16页 免费 三维设计必修四 暂无评价 277页 免费三...
更多相关标签:
三维设计英语必修一 | 三维设计英语必修五 | 三维设计英语必修2 | 三维设计化学必修一 | 三维设计语文必修二 | 三维设计语文必修五 | 三维设计英语必修二 | 三维设计数学必修二 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com