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2012高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题 概率与统计(理科)(学生版)


概率与统计
一、高考预测 计数原理、概率统计部分是高中数学中使用课时最多的一个知识板块,高考对该部分的 考查分值也较多.从近几年的情况看,该部分考查的主要问题是排列组合应用问题,二项式 定理及其简单应用,随机抽样,样本估计总体,线性回归分析,独立性检验,古典概型,几 何概型,事件的独立性,随机变量的分布、期望和方差,正态分布的简单应用,在试卷中一 般是 2~3 个选择题、填空题,一个解答题,试题难度中等或者稍易.预计 2012 年该部分的 基本考查方向还是这样,虽然可能出现一些适度创新,但考查的基本点不会发生大的变化.计 数原理、概率统计部分的复习要从整体上,从知识的相互关系上进行.概率试题的核心是概 率计算,其中事件之间的互斥、对立和独立性是概率计算的核心,排列组合是进行概率计算 的工具,在复习概率时要抓住概率计算的核心和这个工具;统计问题的核心是样本数据的分 布,反映样本数据的方法:样本频数表、样本频率分布表、频率分布直方图、频率折线图、 茎叶图,得到样本数据的方法是随机抽样,在复习统计部分时,要紧紧抓住这些图表和方法, 把图表的含义弄清楚,这样剩下的问题就是有关的计算和对统计思想的理解,如样本均值和 方差的计算,用样本估计总体等. 二、知识导学

(4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合” :求概率的步骤是:第一步,确定事件
? 等可能事件 ? ?互 斥 事 件 ? ?独 立 事 件 ? n次 独 立 重 复 试 验 ?

性质

即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步,判断事件的运

?和 事 件 ? 算 ?积 事 件

即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.第三步,运用公



m ? ?等 可 能 事 件 : P ( A) ? n ? ?互 斥 事 件 : P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? ?独 立 事 件 : P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? k k n?k ? n次 独 立 重 复 试 验 : Pn ( k ) ? C n p (1 ? p ) ?

求解第四步,答,即给提出的问题有一个

明确的答复. (1)二项分布

n 次独立重复试验中, 事件 A 发生的次数 ? 是一个随机变量, 其所有可能的取值为 0, 2, 1, ?
n,并且 Pk
? P (? ? k ) ? C n p q
k k n?k

,其中 0 ? k ? n , q 1

? 1? p

,随机变量? 的分布列如下:

?

0
Cn p q
0 0 n

?
1 1 n ?1

k
Cn p q
k k n?k

?

n
Cn p q
n n 0

P

Cn p q

?

称这样随机变量 ? 服从二项分布,记作 ?
Cn p q
k k n?k

~ B (n , p )

,其中 n 、

p

为参数,并记:

? b(k ; n , p )

.

(2) 几何分布 在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数 ? 是一个取值为正整数的离散型 随机变量, ? “
?k

”表示在第 k 次独立重复试验时事件第一次发生.

随机变量 ? 的概率分布为:
?

1 p

2 qp

3
q p
2

? ?

k
q
k ?1

?
p

P

?

要点 3 离散型随机变量的期望与方差

要点 4 抽样方法与总体分布的估计

3.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各部 分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样.

要点 5 正态分布与线性回归

1.正态分布的概念及主要性质

2.线性回归 简单的说,线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法. 变量和变量之间的关系大致可分为两种类型: 确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定 性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方 法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体说来,对 n 个样本数据( x1 , y1 )( x 2 , y 2 ) , ,?,

b?

?xy
i

n

i

? nxy ,a ? y ? b? x,
2



xn , y n

? ) 其回归直线方程, , 或经验公式为:y ? bx ? a .其中

?x
i ?1

i ?1 n

2 i

? n( x )



其中

x, y 分别为| x i |、| y i |的平均数.

三、易错点点睛

【易错点 2】二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清,容易混淆,导致 出错
2 ? ? 3 ?x ? 2 ? x ? 的展开式中, x 5 的系数为 1、在 ?
5

,二项式系数为 中,
C5
r


C5 ? 2
r r

【易错点分析】在通项公式 数。

Tr ?1 ? C 5 ? 2 ? x
r r

15 ? 5 r

是二项式系数,

是项的系

2 5 C ? 10 解 析 : 令 15 ? 5 r ? 5 , 得 r ? 2 , 则 项 x 的 二 项 式 系 数 为 5 ,项的系数为

C 5 ? 2 ? 40
2 2



【知识点归类点拨】在二项展开式中,利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一 类典型问题,其通常做法就是确定通项公式中 r 的取值或取值范围,须注意二项式系数与项 的系数的区别与联系
? ? 3x ? 2、如果 ? 1 ? 1 ? 3 2 x ? 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 x 3 的系数是(
n



(A)7

(B) ? 7
(3 ? 1 ? 1
3 n n

(C)21
) ? 2 ? 128,? n ? 7

(D) ? 21
(3 x ? 1
3

解析:当 x ? 1 时

1

2



x

2

)

7

,根据二项式通项公式


Tr ?1 ? C 7 (3 x )
r 7?r

( ? 1) ( x
r

?

2 3

) ? C7 3
r r

7?r

( ? 1) x
r

5 7? r 3

?7 ?

5 3

r ? ? 3, r ? 6

1
3 时对应 x ,



T6 ? 1 ? C 7 3
6

7?6

( ? 1)

6

1 x
3

? 7 ? 3?

1 x
3

?

21 x
3

.

1

故 x 项系数为 21 .

3

【知识点归类点拨】在

?a ? b?

n

的展开式中,系数最大的项是中间项,但当 a,b 的系数
? Tr ?1 ? Tr ? ? Tr ?1 ? Tr ? 2

不为 1 时,最大系数值的位置不一定在中间,可通过解不等式组 2.在二项式 值表示)

来确定之 。 (结果用数

? x ? 1?

11

的展开式中,系数最小的项的系数为

解析:展开式中第 r+1 项为

C11 ? x
r

11 ? r

? ? ? 1?

r

,要使项的系数最小,则 r 为奇数,且使
5

C11

r

5 C ? ? ? 1 ? ? ? 462 为最大,由此得 r ? 5 ,所以项的系数为 11 。

C6 ? C4 ? C2
2 2

2

(1) 在问题(3)的基础上,再分配即可,共有分配方式

A

3 3

? A3

3

种。

【知识点归类点拨】本题是有关分组与分配的问题,是一类极易出错的题型,对于此类 问题的关键是搞清楚是否与顺序有关,分清先选后排,分类还是分步完成等,对于平均分组 问题更要注意顺序,避免计算重复或遗漏。 2.从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师,派到三个班担任班主任(每班一位班主 任) ,要求这三位班主任中男、女教师都要有,则不同的选派方法共有( A、 210 种 B、420 种 C、630 种 D、840 种 )

解析:首先选择 3 位教师的方案有:①一男两女;计
C5 ? C 4
2 1

C 5 ? C 4 ? 30
1 2

;②两男一女:计

=40。 3
2 1

其 次 派 出
3 1 2

位 教 师 的 方 案 是

A3

3

=6 。 故 不 同 的 选 派 方 案 共 有

A3 ? ? C 5 ? C 4 ? C 5 ? C 4 ? ? 6 ? ? 30 ? 40 ? ? 420

种。

(3)甲、乙 2 人先排好,共有 间,有
A5
3

A2

2

种排法;再从余下的 5 人中选三人排在甲、乙 2 人中
A3
3

种排法,这时把已排好的 5 人看作一个整体,与剩下的 2 人再排,又有
A4 ? A2 ? A3 ? 720
4 2 3

种排法;

这样,总共有

种不同的排法。

【易错点 6】二项式展开式的通项公式为
Pn ? k ? ? C n P
k k

Tr ?1 ? C n a
r

n?r

b

r

,事件 A 发生 k 次的概率: 的 概 率 公 式 :

?1 ? P ?

n?k











pk ? C n p q
k k

n?k

, k ? 0,1, 2, 3 ?? , n 且 0 ? p ? 1, p ? q ? 1 ,三者在形式上的相似,在应用容

易混淆而导致出错。 1.某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确得 100 分, 回答不正确得—100 分。假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8,且各题回答正确与否相 互之间没有影响。 (1)求这名同学回答这三个问题的总得分 ? 的概率分布和数学期望。 (2)求这 名同学总得分不为负分(即 ? ? 0 )的概率。 解析: (1) ? 的可能取值为—300,—100,100,300。
P ? ? ? ? 300 ? ? 0.2 ? 0.008, P ? ? ? ? 100 ? ? 3 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.096
3 2

P ? ? ? 100 ? ? 3 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.384, P ? ? ? 300 ? ? 0.8 ? 0.512
2 3

所以 ? 的概率分布为

?
P

—300 0.008

—100 0.096

100 0.384

300 0.512

根据 ? 的概率分布,可得 ? 的期望
E ? ? ? ? 300 ? ? 0.008 ? ? ? 100 ? ? 0.096 ? 100 ? 0.384 ? 300 ? 0.512 ? 180

(2)这名同学总得分不为负分的概率为
P ? ? ? 0 ? ? 0.384 ? 0.512 ? 0.896



从而 ? 的分布列为

?
P

0
1 4

1
3

2
9

3
27

4
81 256

16 64 256 1 3 9 27 81 525 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2? ? 3? ? 4? ? 4 16 64 256 256 256 P ?? ? 3 ? ? 1 ? P ?? ? 4 ? ? 1 ? 81 256 ? 175 256 。

(2)

【知识点归类点拨】在正态分布 另外, 正态分布
N ? ? ,?
2

N ? ? ,?

2

? 中, ? 为总体的平均数, ?
0 0

为总体的标准差,
?3 ?

? 在 ? ? ? ? , ? ? ? ? 的概率为 68.3
2

, 在

? ? ? ? 3 ,?

? 内取值的

0 N ? ? ,? 概率为 99.7 0 。解题时,应当注意正态分布

? 在各个区间的取值概率,不可混淆,

否则,将出现计算失误。 四、典型习题导练 1、一笼子中装有 2 只白猫,3 只黑猫,笼门打开每次出来一只猫,每次每只猫都有可能 出来。 (Ⅰ)第三次出来的是只白猫的概率; (Ⅱ)记白猫出来完时笼中所剩黑猫数为 ? ,试求

? 的概率分布列及期望。

2、深圳市某校中学生篮球队假期集训,集训前共有 6 个篮球,其中 3 个是新球(即没有 用过的球) 3 个是旧球(即至少用过一次的球) , .每次训练,都从中任意取出 2 个球,用完 后放回. (Ⅰ)设第一次训练时取到的新球个数为 ,求 的分布列和数学期望; (Ⅱ)求第

二次训练时恰好取到一个新球的概率. 5、某学生参加跳高和跳远两项体育测试,测试评价设 A , B , C 三个等级,如果他这两项
1 1 1 1 1 1 , , , , 测试得到 A , B , C 的概率分别依次为 3 2 6 和 4 2 4 。(Ⅰ)求该学生恰好得到一个 A 和一

个 B 的概率; (Ⅱ)如果得到一个 A 记 15 分,一个 B 记 10 分,一个 C 记 5 分,设该学生这 两项测试得分之和为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望。 6、某电视台有 A、B 两种智力闯关游戏,甲、乙、丙、丁四人参加,其中甲乙两人各自 独立进行游戏 A,丙丁两人各自独立进行游戏 B.已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为 , 丙、丁两人各自闯关成功的概率均为 .(Ⅰ)求游戏 A 被闯关成功的人数多于游戏 B 被闯关

成功的人数的概率;(Ⅱ) 记游戏 A、B 被闯关成功的总人数为 ,求 的分布列和期望. 7、盒内有大小相同的 9 个球,其中 2 个红色球,3 个白色球,4 个黑色球. 规定取出 1 个

红色球得 1 分,取出 1 个白色球得 0 分,取出 1 个黑色球得-1 分 . 现从盒内任取 3 个球(Ⅰ) 求取出的 3 个球中至少有一个红球的概率; (Ⅱ)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率; (Ⅲ)设 ? 为取出的 3 个球中白色球的个数,求 ? 的分布列和数学期望. 8、 如图 3,A , B 两点之间有 6 条网线连接, 它们能通过的最大信息量分别为 1,1, 2, 2, 3, 4 . 从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量, 设这三条网线通过的最大信息量之和为 ?
A (Ⅰ)当 ? ? 6 时,则保证线路信息畅通,求线路信息畅通的概率; 1 1 2 2 3 4 图3 B

(Ⅱ)求 ? 的分布列和数学期望.

11、2012 年 2 月份,从银行房贷部门得到好消息,首套住房贷款利率将回归基准利率. 某大 型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示: ⑴求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限(取过剩 近似整数值) ;⑵从本周内该银行所借贷客户中任意选取两位,求 他们贷款年限相同的概率; ⑶假设该银行此星期的贷款业绩一共持续 10 个星期不变, 在这段时间里,每星期都从借贷客户中选出一人,记 ? 表示其 中贷款年限不超过 20 年得人数,求 E (? ) . 12、为增强市民节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的 500

名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,他们的年龄情况如下表所示. (Ⅰ)频率分布表中的①、 ②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如图) ,再根据频率分布直方图估 计这 500 名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数; (Ⅱ)在抽出的 100 名志愿者中按年龄再采用 分层抽样法抽取 20 人参加中心广场的宣传活动,从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责 人,记这 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁”的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望. 分组(单位: 岁) [20,25) 数 5 频 率 0.0 5 0.2 0 ② 0.3 0 0.1 0 1.0 0 频

[25,30) [30,35) [35,40) [40,45]

① 35 30 10

合计

100

13、某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩共 分五组,得到频率分布表如下表所示。

14、 空气质量指数 PM 2.5 (单位: ? g / m )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,
3

这个值越高,就代表空气污染越严重:
PM 2.5

日均浓度 空气质 量级别 空气质 量类别 级

0 ? 35

35 ? 75

75 ? 115

115 ? 150

150 ? 250

? 250

一 级 优

二 级 良



四级 中度 污染 污染

五级 重度

六 级 严 重污染

轻 度污染

某市 2012 年 3 月 8 日— 4 月 7 日( 30 天)对空气质量指数 PM 2.5 进行监测,获得
天数 数据后得到如下条形图:(Ⅰ)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率; 16 15

(Ⅱ)在上述 30 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气 10 质量类别为优的天数,求 X 的分布列.
5 O

8 4 2 级别

15、户外运动已经成为一种时尚运动,某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关, 对本单位的 50 名员工进行了问卷调查,得到了如下列联表: 合 喜欢户外运动 男性 女性 合计 0
3

不喜欢户外运动 计 5

10 5

已知在这 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户外运动的员工的概率是 5 .(Ⅰ)请将上面的 列联表补充完整; (Ⅱ) 是否有 99.5﹪的把握认为喜欢户外运动与性别有关?并说明你的理由; (Ⅲ)经进一步调查发现,在喜欢户外运动的 10 名女性员工中,有 4 人还喜欢瑜伽.若从喜 欢户外运动的 10 位女性员工中任选 3 人,记 ? 表示抽到喜欢瑜伽的人数,求 ? 的分布列和数 学期望.下面的临界值表仅供参考: 0.02
P(K ? k )
2

0.01 0 5 6.63 5 9

0.00 1 7.87 28

0.00

0.15 2.07

0.10 2.70 6 1

0.05 5 3.84 4
2

5.02

10.8

k

2
参考公式:K =
2

n ( ad ? bc )



( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

,其中n ? a ? b ? c ? d



16 、 在 某 喜欢户外运 动 男性 女性 20 10 运动 5 15 25 25 不喜欢户外 合计 医学实验中, 某实验小组为 了分析某种药 物用药量与血

液中某种抗体水平的关系,选取六只实验动物进行血检,得到如下资料:

动物编 号 用药量 x (单位) 抗体指 标y (单位)

1

2

3

4

5

6

1

3

4

5

6

8

3.4

3.7

3.8

4.0

4.2

4.3

记 s 为抗体指标标准差,若抗体指标落在 ( y ? s , y ? s ) 内则称该动物为有效动物,否则称 为无效动物.研究方案规定先从六只动物中选取两只,用剩下的四只动物的数据求线性回归方 程,再对被选取的两只动物数据进行检验.

17、一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为 R 的函数:
f2 ( x) ? x
2

f1 ( x ) ? x





f3 ( x) ? x

3



f 4 ( x ) ? sin x



f 5 ( x ) ? cos x



f6 ( x) ? 2

. (1)现从盒子中任

取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函数的概率; (2)现从盒 子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取, 否则继续进行,求抽取次数 ? 的分布列和数学期望. 18、 “肇实,正名芡实,因肇庆所产之芡实颗粒大、药力强,故名。 ”某科研所为进一步 改良肇实,为此对肇实的两个品种(分别称为品种 A 和品种 B)进行试验.选取两大片水塘, 每大片水塘分成 n 小片水塘,在总共 2n 小片水塘中,随机选 n 小片水塘种植品种 A,另外 n 小片水塘种植品种 B. (1)假设 n=4,在第一大片水塘中,种植品种 A 的小片水塘的数目记为 ? ,求 ? 的分布列 和数学期望;

(2)试验时每大片水塘分成 8 小片,即 n=8,试验结束后得到品种 A 和品种 B 在每个小 片水塘上的每亩产量(单位:kg/亩)如下表:

1 号码 品 种A 品 种B 5 1 11 7 10

2

3

4 10

5

6 10

7 11 0 6 11 0 3

8 10

97 10 2

92 3 11 8 10 1

91 0 11 0 12 11

分别求品种 A 和品种 B 的每亩产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应 该种植哪一品种?(12 分)

20、甲、乙两同学进行下棋比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分(无平局) ,比赛进
p( p ? 1 ) 2 ,且各

行到有一个人比对方多 2 分或比满 8 局时停止,设甲在每局中获胜的概率为
5

局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 8 . (I)如右图为统计这次比赛的局数 n 和甲、乙的总得分 S,T 的程序框图. 其中如果甲获胜,输人 a=l.b=0;如果乙获胜,则输人 a=0,b=1. 请问在①②两个判断框中应分别填写什么条件?(Ⅱ)求 p 的值; (Ⅲ)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和 E ? . 【解析】 (Ⅰ)程序框图中的①应填 M ? 2 ,②应填 n ? 8 .


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