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第四届湖北省兴奥杯物理联赛决赛试题


第四届湖北省兴奥杯物理联赛决赛试题(高一)
(考试时间 2006 年 5 月 13 日 9:00~12:00 满分 160 分)

一、 (20 分)最大与地面成什么角度抛出石头,才能使石头在运动过程中始终远离地面上 的抛出点?(不计空气阻力)

二、 (20 分) 有一双星系统,二星体的质量均为 M, 两星相距为 l, 绕双星的

质心作圆运动. (1)试求此双星运动的角速度大小; (2)假设一陨石(相对于双星质量很小)以垂直于双星的连线方向运动,并通过双星的 质心,若该陨石要能够脱离双星的引力场,那么陨石在双星质心处的速度至少应为多少?

三、 (20 分)一均匀棒子,长度为 L,质量为 M,静置于两圆柱形支架 A 及 B 上.支架 B 以一恒定速度向 A 移动,而支架 A 则保持静止,如图所示.开始时,支架 A 距左端点为 a, 支架 B 距右端点为 x,且知棒子与支架间的动摩擦及静摩擦因数分别为 μk 和 μs. (1)试求两支架分别作用在棒子上的支持力 NA 和 NB; (2)当支架 B 移动某一位置时,我们发现棒子不再是静止 A B 不动的了,试分析其原因,并求出棒子刚要开始移动时,B 的位置.

四、 (20 分)质量线密度相同(单位长度的质量相同) ,但长度未必相同的三根细棒若能构 成一个三角形,试确定此三角形框架的质心位置.
B θ C M A L O ω

五、 (25 分)长为 L 的杆 AO 用铰链固定在 O 点,以角速度 ω 围绕 O 点转 动,在 O 点的正上方有一个定滑轮 B,一轻绳绕过 B 滑轮的一端固定在杆 的 A 端,另一端悬挂一质量为 M 的重物 C,O、B 之间的距离为 h,求: (1)当 AB 绳与竖直方向成 θ 角时,重物的运动速度; (2)若此时绳与杆正好垂直,试求绳上的张力?

六、 (25 分)在汉水之滨、龟山之颠有一项“刺激性”的游乐项目——蹦极.游乐者乘缆 车到达汉江边的高空中, 将一跟长 30m 的弹性绳的一端捆在身上,绳的另一端固定在缆车 上.人从高空的缆车上跳下,到达最下端(可以保证不会触地)后,被弹性绳拉回,又上 升到最高点;再落下,再拉回.如此反复上下大幅度运动,直到最后停下来.已知人最后 停下来时绳长为 50m,若不考虑空气阻力和人身高的影响,试求人从缆车上开始下落至第
1

一次到达最低点所经历的时间. (取 g=10m/s2)

七、 (30 分)n 块相同的木块,每块的质量都是 m,长度都为 l,放置在倾角为 θ 的斜面上, 相邻两木块间的距离为 l,最下端的木块到斜面底端的距离也是 l,如图所示.已知木块与 斜面间的滑动摩擦力与最大静摩擦力相等. 在开始时刻, 第一木块以初速度 v0 沿斜面下滑, 其余所有木块都静止;在每次发生碰撞后,发生碰撞的木块都粘在一起运动.已知当摩擦 因数为 μ 时,最后第 n 个木块到达斜面底时,刚好停在底端. ⑴ 求在整个过程中由于碰撞而损失的总机械能; ⑵ 求每次碰撞过程中损失的机械能与碰撞前动能之比; ⑶ 若 n = 5,l = 0.10 m,v0 = 4 ms-1,θ =30° ,重力加速度 g=10ms-2,求木块与斜面间的 滑动摩擦因数 μ.

2

第四届湖北省兴奥杯物理联赛决赛试题参考答案及评分标准 (高一)
一、 【解】使用如图所示的坐标系,石头的运动可以由下面的关系表示 ① x ? v 0 t co s ?
y ? v 0 t sin ? ?
v x ? v 0 co s ?

1 2

gt

2

② ③ ④
y v0 s α x x vy vx v y

v y ? v 0 sin ? ? g t

当石头的速度垂直于其位置矢量时,石头距离原始位 置最远.这种情况发生的条件为
x y ? ? vx vy 2 v0 g 2 v0 g
2 2 2 2



由此可以得出时刻 t 的二次方程
t ?
2

3 v 0 sin ? g

t?

? 0



如果这种情况不会发生,则上面方程的判别式为负,即
( 3 v 0 sin ? g ) ? 4(
2

)



由此,要使石头始终远离抛出点,必须有
sin ? ? 8 9 ? 0 .9 4

,即 α<70.5°



二、 【解】 (1)双星之间的相互吸引力提供它们作圆周运动的向心力,
G M l
2 2

? M? ?
2

l 2

① ②



? ?

2G M l
3

(2)若该陨石要能够脱离双星的引力场,它的动能必须大于它在该处的势能,设该 陨石的质量为 m,则
1 2 m v ? 2G
2

Mm l 2

③ ④



v m in ?

8G M l

三、 【解】 (1)棒子的受力情况如图所示,由力的平衡: NA+ NB = Mg ① fs= fk ② 由力矩平衡,选 A 为参考点,有
Mg( L 2 ? a) ? N B (L ? a ? x)
L 2?a L?a? x Mg

NA

NB

③ ④
A fs Mg fk B

可得

NB ?

3

代入①可得 (2)因为 于是

NA ?

L 2? x L?a? x

Mg

⑤ ,又
f s m ax ? ? s N A ,
L 2? x L?a? x

fk ? ?k N B
fk ?



fs ? ?s N A

L 2?a L?a? x

?k M g , fs ?

?sMg

开始时, fk= fs,随着 x↑, ? NB↑, ? fk↑. 若要保持平衡,则 fs 必须增大,当 fs 达到 fsnax 后,此二摩擦力无法平衡. 当 f k ? f s m ax 时,棒子开始移动. ⑥
L 2?a L?a? x

?k Mg ?
( L 2

L 2? x L?a? x

?sMg

⑦ ⑧

此时

x ?

L 2

?

?k ?s

? a)

四、 【解】设细棒的质量线密度为 ? ,三根棒的长度分别为 a、b、c,则三根棒的质心分别 位于各自的中点,且质量分别为 ? a 、? b 、 ? c ,我们可以将原三根细棒看做三个质量和位 置均如前述的质点,则原系统的质心即为此三质点系的质 心.三质点构成的三角形如图中虚线所示. ① aλ b/2 cλ ? a 与 ? b 的质心位于连线某点 P 处,按图示应有 x
(? a ) x ? (? b ) y
P y a/2



x y

?

b a

?

b 2 a 2





这表明 P 必在三质点构成的三角形顶角之平分线上.P 与 ? c 的质心即为系统的质 心.后者必在此对角线上. ③ 同样处理 ? b 与 ? c 的质心, 必在相应的另一条对角线上, 系统质心也必在此对角线上. 综上所述,原三角形框架的质心位于以各边中点构成的小三角形的内心之上. 五、 【解】 (1)如图,A 点的速度为 vA=ωL 由△OAB 可知
sin ? L sin ? ? ? sin ? h h sin ? L


B θ


h β A

因为

β= ? ? ? ? ?
? ? ?
?? ?? ? ? ?

δ
ωL

?
2



?
2

? ?
O

α

L

所以

2 co s ? ? sin ? v M ? v A co s ? ?


? L h sin ?
L



(2)因为此时绳与杆正好垂直,而 OA 杆作匀角速度转动,可知 ? ? 0 ,即 v M ? v cos ? ? ? L ⑤ 显然重物具有最大的上升速度,即此时重物的加速度恰好为 aM ? 0 ⑥ 因此绳上的的张力为
A

4

T ? Mg



六、 【解】由题设已知,弹性绳的自由长度 l0=30m,而人静止悬挂在绳上时的绳长 l=50m, 设人的质量为 m,弹性绳的劲度系数为 k,由静力平衡知 ① k ( l ? l0 ) ? m g 人在下落至绳刚好拉直前的运动为自由落体运动,故所经历的时间为
t1 ? 2 l0 g ? 6s= 2 .4 5 s



不难证明, 绳拉直后向下的运动为简谐运动, 其平衡位置正好在人最终停下来的位置, 即绳长 l=50m 的位置。令这一简谐运动的振幅为 A,由功能关系知
mg ( A ? l) ? 1 2 k ( A ? l ? l0 )
2



A?

l ? l0 ? 4 0 m
2 2



显然,绳刚好拉直时,人振动的初相位 ? 满足
co s ? ? l ? l0 A 1 2 ? ? 1 2



? ? arcco s

?
3



而该系统做简谐振动的周期
T ? 2? m k ? 2? l ? l0 g



可知人由绳刚拉直运动到 低点所需的时间为
t2 ?

? ?? T ?
? 2

?

2? 3

l ? l0 g

?

2 2? 3

s= 2 .9 6 s



可知人从缆车上开始下落至第一次到达最低点所需的时间为
t ? t1 ? t 2 ? 5 .4 1 s



七、 【解】⑴根据题意,第 n 个木块被碰以后,木块运动到斜面底端时正好停下,表明木 块沿斜面做减速运动,减速运动的加速度大小为 a ? ? g cos ? ? g sin ? [1] 这个加速度与质量无关,不难看出,从第 1 个木块下滑开始的整个过程中,每一木块 除了碰撞的瞬间外,下滑的加速度的大小均为 a,方向沿斜面向上. 在整个过程中,第 n 个木块运动的距离为 l,第 n-1 个木块运动的距离为 2l,…第 1 个木块运动的距离为 nl,因此除了碰撞的瞬间外,各木块克服合外力做的功
A ? m a (1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ) l ? n ( n ? 1) 2 m al

[2]

整个过程中,各次碰撞损失的机械能的总和
?E ? 1 2 m v0 ? A
2

[3]

由以上各式得
?E ? 1 2 m v0 ?
2

n 2

( n ? 1) m g l sin ? ?

n 2

( n ? 1) ? m g l co s ?

[4]

5

⑵ 考察质量为 M、 速度为 v 的物块与质量为 m 的静止木块做完全非弹性碰撞, 由动 量守恒定律 [5] M v ? ( M ? m )u 碰撞中损失的机械能
?E ? 1 2 M v ?
2

1 2

( M ? m )u

2

[6]

由[5]、[6]两式得
?E E ? m M ?m
? 1 2 M v
2

[7] ,由此得到每次碰撞中损失的机械能与碰撞前动能 i = 1, 2, …, n-1 [8]

式中 E 为碰撞前的动能 E 之比为
?Ei Ei ?

1 i?1

,

⑶ 设第 i 次碰撞后,相撞物块的动能为 Ei’,则有
E i? ? E i ? ? E i ? i i ?1 Ei

[9] [10] [11]

第 i 次碰撞前的能量 Ei 与第 i - 1 次碰撞后的能量 Ei-1’的关系为
E i ? E i?? 1 ? im a l

由[9]、[10]两式得
E i? ? i i ?1 ( E i?? 1 ? im a l )

若木块数 n = 5,则只能发生 4 次碰撞,即只能取 1、2、3 和 4,由[9]、[10]、[11]式 得到 i = 1,
E 1? ? 1 2 ( E 0? ? m a l ) E0 ? 5 3 14 4 30 5 m al m al 1 2 m v0
2

因为第一次碰撞前未发生碰撞,故式中 E 0 ' ? i = 2, i = 3, i = 4,
E2 ' ? E3 ' ? E4 ' ? 2 3 3 4 4 5 ( E 1 '? 2 m a l ) ? ( E 2 '? 3 m a l ) ? ( E 3 '? 4 m a l ) ? 1 3 1 4 1 5 E0 ? E0 ? E0 ?

m al

[12]

第 4 次碰撞后,5 个木块剩余的能量为 E4’,在向斜面下端移动 l 距离后,这些能量全 部用于克服外力做功,即
E 4? ? 5 m a l

[13]
m v0
2

以[12]式代入并注意到 E 0
? ?

?

1 2

,就得到
? tan ?

v0

2

1 1 0 g l co s ?

[14] [15]

代入数据得

μ= 0.745

6


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