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2013海淀期末试卷讲评--理科


高三·期末讲评
黄 凤 圣
Mathematics 2012.9-2013.6

2013海淀区高三数学期末讲评
Mathematics 2012.9-2013.6
黄凤圣 huangfsh@sina.com

【试题特点】 1.注重考察基础知识、基本技能和基本 方法,注重思想方法和能力的考查; 2

.贯穿高中数学的主线及其中蕴含的思 想方法得到充分的考查,占试卷主体 ; 3.注重层次、有效区分 ; 4.注重多视点、多层次、多角度考察学 生分析问题解决问题的能力;

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集合 逻辑 用语 题 号 6 5 函数 与导 数 18, 20 26 15 13 10 5 3 5 12, 14, 8,9, 17 19 24 24 三角 函数 数 列 平面 立体 向量 几何 解析 几何 概率 与统 计 16 13 4 5 13 5 1 5
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算法 语言

不等 式

复 数

计数 原理

选修 4系 列

7,11, 2,5 10 10

分 值

题号

分值

空 间 想 象 能 抽象概括能 推理论证能 运算求解能 数据处理能 力 力 力 力 力 12,14, 17 8, 10, 14, 19, 5,6,10,15, 1,2,3,4, 16 20 17,19,20 7,8,9,11, 12,15,19 24 41 69 72 14

分析和解决 问题的能力
6,7,8,13, 14,16,19, 20 65

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5.如图,PC 与圆 O 相切于点 C , 直线 PO 交圆 O 于 A, B 两点, 弦 CD 垂直 AB 于 E . 则下面结 论中,错误 的结论是 .. A. ?BEC ∽ ?DEA B. ?ACE ? ?ACP C. DE 2 ? OE ? EP D. PC 2 ? PA ? AB

C

B

O

E D

A

P

培养良好的审题习惯!

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6. 数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? r ? an ? r ( n ? N , r ? R
*

且r ? 0) ,则“ r ? 1”是“数列 ?a n ? 成等差数列”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

an ? ?

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法一:① 当 r ? 1 令 an ?1 ? x ? r (an ? x) 即 an ?1 ? ran ? (r ? 1) x
r 令 (r ? 1) x ? r ,则 x ? r ?1
r r ? r (an ? ) ∴ an?1 ? r ?1 r ?1 r 2r ? 1 a1 ? ? r ?1 r ?1 r } 成等比数列 ∴数列 {an ? r ?1

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2r ? 1 n?1 r an ? r ? r ?1 r ?1

要使得数列 ? an ? 成等差数列,则
2r ? 1 1 ? 0 ,即 r ? 需要 r ?1 2
②当 r ? 1 则 an ?1 ? an ? 1

∴数列 ? an ? 成等差数列 ∴选 A

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法二:①当 r ? 1 时,则 an ?1 ? an ? 1 ∴数列 ? an ? 成等差数列 ②当 r ? 1

an ?1 an 1 ? n? n n ?1 r r r
an?1 an 1 即 n?1 ? n ? n r r r

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∴ an

an?1 1 ? n?1 ? n?1 n r r r an?1 an?2 1 ? n?2 ? n?2 n ?1 r r r a2 a1 1 ? ? 2 r r r

??

以上各式相加得

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2r ? 1 n?1 r an ? r ? r ?1 r ?1 以下同法一

an a1 1 1 1 ? ? ( n ?1 ? n ?2 ? ... ? ) n r r r r r

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法三:先猜后证 a1 ? 1
a2 ? 2r
a3 ? 2r 2 ? r

令 2a2 ? a1 ? a3 4r ? 1 ? 2r 2 ? r 2r 2 ? 3r ? 1 ? 0
1 解得 r ? 1 或 r ? 2

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①当 r ? 1 时,则 an ?1 ? an ? 1 ∴数列 ? an ? 成等差数列
1 ②当 r ? 时,同法一、法二或验证即可 2

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【拓展】
1.(2004 江苏)设无穷等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn. 3 (Ⅰ) 若首项 a1 ? , 公差 d ? 1 , 求满足 S k 2 ? ( S k ) 2 2 的正整数 k; (Ⅱ)求所有的无穷等差数列 {an } ,使得对于一切 正整数 k 都有 S k 2 ? ( S k ) 2 成立.

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? ? S1 ? ( S1 ) ? 2 S ? ( S ) ? ? 4 2
2

然后逐个验证!

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2. 【 2012 海 淀 第 一 学 期 期 中 】 设 S n 为数列 ?an ? 的前
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n 项和, Sn ? ? an ? 1 ( ? 为常数, n = 1, 2,3,? ).
(Ⅰ)若 a3 = a2 ,求 ? 的值;
2

(Ⅱ)是否存在实数 ? ,使得数列 ?an ? 是等差数列?若存 在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由; ( Ⅲ ) 当

?= 2 时 , 若 数 列
, 且

?bn ?

满 足 , 令

bn ?1 ? an ? bn , (n ? 1, 2,3,?)

3 b1 ? 2

an cn = . 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . (an + 1)bn

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(Ⅱ)假设存在实数 ? ,使得数列 ?an ? 是等差数列,则

2a2 = a1 + a3 .

2? 1 ?2 = + 由(Ⅰ)可得: . 2 3 (? - 1) ? - 1 (? - 1) 2? 2? - 2? + 1 = 所以 ,即 1 = 0 ,矛盾. 2 3 (? - 1) (? - 1) 所以不存在实数 ? ,使得数列 ?an ? 是等差数列.
2

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注重多视点、多层次、多 角度考察学生分析问题解 决问题的能力

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7. 用数字 0,1,2,3 组成数字可以重复的四位数, 其中有且 只有一个数字出现两次的四位数的个数为 A. 144 B. 120 C. 108 D. 72

【2012 北京】从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两 个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为 ( ) A.24 B.18 C.12 D.6

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【2009 北京】 6. 若 (1 ? 2) ? a ? b 2(a, b 为有理数) ,
5

则 a ?b ? A.45

w.w.w.k.s.5



B.55

) C.70

D.80

理解本质,不要过度模式化

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x2 y2 8. 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 左 右 焦 点 分 别 为 a b F1 , F2 , 若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P , 使得 ?F1F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 1 2 1 A. ( , ) B. ( ,1) 3 3 2 2 1 1 1 C. ( ,1) D. ( , ) ? ( ,1) 3 3 2 2

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2006 年的交通环岛模型中的机动车数量的大小比较; 2008 年考查了以正方体为背景的函数的图象问题; 2009 年考查了以抛物线为背景的具有某种特征的点 的存在性问题; 2010 年考查了以正方体为背景的四面体的体积问题; 2011 年理科考查了平行四边形内部的整点个数问题, 文科考查了以抛物线为背景、三角形的面积为定值的三 角形的顶点个数问题; 2012 年考查了果树产量的平均值问题.

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这些考题的一个共同点是: 提供一个问题的背景 (有 数学方面的,也有实际生活情景的) ,提出一个具有探索 性的问题. 学生在解答这样一类的问题的时候,要能够在理解 问题背景的前提下,在研究对象运动变化的基础上探索 其规律. 这类问题关注的是学生理解问题的能力和分析问题 与解决问题的能力,需要学生具备研究问题的意识;需 要学生的数学思维具有探索性;需要学生能够综合运用 所学的数学知识解决问题.

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【背景】 椭圆是天体中一些行星或 卫星运行的轨道,其中近地点 与远地点是考查的载体.

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选修2-1 P46及练习B

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多考点儿想,少考点儿算

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y
P
a?c
a ?c

A1

O

F

A2

x

a ? c ?| PF |? a ? c

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y
P

A1

F1

O

F2

A2

x

等腰三角形的顶点?

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(1)当点 P 为等腰三角形顶点时
y
P B1

A1

F1

O

F2
B2

A2

x

P 为短轴端点 B1 , B2 时,满足要求

e ? (0,1)

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(2)当点 F2 为等腰三角形顶点时
P

y

A1

F1

O

F2
B2

A2

x

a ? c ?| PF |? a ? c a ? c ? 2c ? a ? c
1 e ? ( ,1) 3

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(2)当点 F2 为等腰三角形顶点时
P

y

A1

F1

O

F2
B2

A2

x

至少存在两个点满足要求. 是不是只有两个点满足要求?

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(2)当点 F2 为等腰三角形顶点时
P

y

A1

F1

O

F2
B2

A2

x

当点P从点A2沿着椭圆向 A1运动时, |PF2|是否逐渐增 大(即单调递增)?

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P

y

A1

F1

O

F2
B2

A2

x

2 2 x0 y0 设点 P( x0 , y0 ) ,则 2 ? 2 ? 1 a b

2 b 2 2 2 | PF2 |2 ? ( x0 ? c)2 ? y0 ? x0 ? 2cx0 ? c 2 ? b2 ? 2 x0 a c2 2 ? 2 x0 ? 2cx0 ? a 2 a

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a2 对称轴 x0 ? ?a c c2 2 函 数 f ( x0 ) ? 2 x0 ? 2cx0 ? a 2 在 区 间 [?a, a] 上 a 单调递减
| PF2 |max ? | PF2 |min ? f (?a) ? a ? c , f (a) ? a ? c

当点P从点A2沿着椭圆向 A1运动时,|PF2|逐渐增大. 所以只有两个点满足要求!

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是否有必要用“坐标法” 来证明|PF2|逐渐增大?

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实验现象:|PF2|逐渐增大.

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讲授新课是要注重知识的 形成过程! 复习过程也要注重知识的 形成过程!

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(3)当点 F1 为等腰三角形顶点时
P

y

A1

F1

O

F2
B2

A2

x

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y
2c 2c
O 2c

A1

F1

F2

A2

x

B2

1 1 1 ? e ? ( , ) ? ( ,1) 3 2 2 注意分类的不重不漏!

1 2a ? 2c ? 2c ? e ? 2

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12. 三棱锥 D ? ABC 及其三视图中的主视图和左视图如 图所示,则棱 BD 的长为_________.
D

4

A

C

2 主视图

2

2 3 左视图

B

重视三视图的教学,是培 养空间想像力的重要载体!

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?x ? 0 ? 13. 点 P( x, y ) 在不等式组 ? x ? y ? 3 表示的平面区域内, ? y ? x ?1 ?
若点 P( x, y ) 到直线 y ? kx ? 1 的最大距离为 2 2 ,则

k ? ___.

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4.5

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4

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3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

0.5

1

1.5

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法一:运动变化的观点 若 (0,3) 到 直 线 y ? kx ? 1 的 距 离 为 2 2 , 则

| k ? 0 ? 3 ? 1| 1? k
2

? 2 2 ,解得 k ? ?1 ;

若 (1, 2) 到 直 线 y ? kx ? 1 的 距 离 为 2 2 , 则

| k ?1 ? 2 ? 1|

1 ? 2 2 ,解得 k ? ?1 或 k ? ; 2 7 1? k 检验, k ? ?1 .

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4.5 4

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法二:数形结合,培养学生的“数感”.
3.5 3

2.5

2

1.5

1

0.5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

0.5

1

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法三:抽象概括

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准确画图的重要性!

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14. 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1 ,动点 P 在 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 表 面 上 运 动 , 且 PA ? r
1 (0 ? r ? 3) ,记点 P 的轨迹的长度为 f (r ) .则 f ( ) ? 2 ______; 关 于 r 的 方 程 f ( r ) ? k 的 解 的 个 数 可 以 为

________.(填上所有可能的值)

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D1

C1

A1

B1

D
A B

C

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原来第二问:在“① 3 ;② 4 ;③ 5 ;④ 6 ”这 4 个 数中, f (r ) 可以取到的值为_________________.(填写 所有可能的序号)

探究 f (r ) 的值域,实质上要探究 f (r ) 的最大值与最小值!

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(1)当 0 ? r ? 1 时 点 P 在平面 ABB1 A1 上的轨 ?PP 迹为圆弧 P
1 2

同理,点 P 在平面 ABCD , ADD1 A1 上的轨迹为均为以 A 为 1 圆心, r 为半径的 圆弧. 4

3 ? 0 ? f (r ) ? f (1) ? ? 2

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(2)当 1 ? r ? 2 时 点 P 在平面 ABB1 A1 上的轨 ? 迹为圆弧 PP
1 2

同理,点 P 在平面 ABCD , ? ADD A 上的轨迹为与圆弧 PP
1 1
1 2

相同的圆弧. 点 P 在平面 BB1C1C 上的轨
1 ?P 迹为以 B 为圆心, r ? 1 为半径的 圆弧 P 2 3 4 同理,点 P 在平面 A1B1C1D1 , CDD1C1 上的轨迹为与圆 ? P 相同的圆弧. 弧P
2
2 3

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A' P1 B'
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C'

P2

x
A

? 2 ? (1 ? x) 2

? A1B

? ? ? PP ? x ? 2 ?P P ?
1 2
1 2

?P ? P ?P P 1 2 2 3

B

P3

C

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A' P1 B' 1-x P2 x A B
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C'

P3

C

3 ? f (r ) ? f ( 2) ? ? 2

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(3)当 2 ? r ? 3 时
D1 P1
A1
B1

C1

P
P2

D
A

r

C

B

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A' B'
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P1

C'

P2

A

B

C

3 ? 0 ? f (r ) ? f ( 2) ? ? 2

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3 综上, f (r ) 的值域为 (0, ? ) 2 所以选择①②

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关于 r 的方程 f ( r ) ? k 的解的个数可以为 ________. (填上所有可能的值)

探究 f (r ) 的单调性

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f (r ) 在 (0,1] 上单调递增

(1, 2] 上先减后增 ( 2, 3) 上单调递减
∴方程 f (r ) ? k 的解的个数可以为 0,2,3,4

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第二,三种情况的单调性, 是否可以严格证明?

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(2)当 1 ? r ? 2 时

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A1

P1

B1

C1

P2
P

x
A

r

B

P3

C

设 ?P2 AB ? x ,则轨迹长为

1 ? f ( x) ? 3(? tan x ? ( ? 2 x) ), x ? (0, ) 2 cos x 4

?

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1 ? sin x ?2 所以 f '( x) ? 3( ? ( ? 2 x) ? ) 2 2 2 cos x 2 cos x cos x ? ? (? ? 4 x)sin x ? 4cos x ? 3( ) 2 2cos x g ( x) ? ? ? ? sin x ? 4 x sin x ? 4cos x, g (0) ? 0, g (? / 4) ? 0 g '( x) ? ? cos x ? 4x cos x ? 4sin x ? 4sin x
? (? ? 4 x)cos x ? 0, x ? (0, ) 4 所以 f '( x ) 只有一个零点,从而 f ( x ) 先单调递减,然后 单调递增

?

?

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(3)当 2 ? r ? 3 时

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A1

B1

P1

C1

P
r 2 ?1
P2

x
A B
P3

C

设 ?P2 BC ? x ,则轨迹长为

1 ? f ( x) ? 3( ? 2 x) , x ? (0, ) 2 cos x 4

?

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sin x ?2 f '( x) ? 3(( ? 2 x) ? ) 2 2 cos x cos x (? ? 4 x)sin x ? 4cos x ?3 2cos2 x g ( x) ? ? sin x ? 4 x sin x ? 4cos x, g (0) ? 0, g (? / 4) ? 0 g '( x) ? ? cos x ? 4x cos x ? 4sin x ? 4sin x ? (? ? 4 x)cos x ? 0, x ? (0, ) 4 所以 f '( x) ? 0 很成立,从而 f ( x ) 单调递减

?

?

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关于函数的思考: 是不是只有通过函数的 解析式才能研究函数的性质?

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【2012 海淀二模】 (13)某同学为研究函数

f ( x) =

1 + x + 1 + (1- x) (0 #x
D

2

2

1) 的性质,构造
C P F

了如图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC , 点 P 是边 BC 上的一个动点, 设 CP = x ,则 AP + PF = f ( x) . 请你参

A 考这些信息, 推知函数 f ( x) 的图象的对称轴是 ; 函数 g ( x ) = 4 f ( x) - 9 的零点的个数是

B

E

.

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【2010 北京】 14.如图放 y C 置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。设 顶 点 P( x, y ) 的轨迹 方 P 程 是 y ? f ( x) , 则 y ? f ( x) 的 最 小 正 周 期为 ; A O y ? f ( x) 在 其 两 个 相 邻零点间的图像与 x 轴所围区域的面积为

B

x



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【文】8. 如图,在棱长为 1 的正方 体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E , F 分 别是棱 BC , CC1 的中点, P 是侧面 BCC1B1 内 一 点 , 若 A1P / / 平 面

D1 A1 B1

C1

F D A E B C

AEF ,则线段 A1P 长度的取值范围
是 A. (1,

5 ] 2

B. [

3 2 5 , ] 4 2

5 C. [ , 2) 2

D. [ 2, 3]

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D1 A1 B1

C1

F D A E B C

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【拓展】---立体中的轨迹问题
【2012 海淀一模理】 (8)在正方体 ABCD - A ' B ' C ' D ' 中 , 若 点 P (异于点 B )是棱上一点,则满足 BP 与 AC ' 所成的角为 45° 的点 P 的个数为 (A)0 (B)3 (C)4 (D)6
A B C A' B' C' D

D'

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A B
A B C D

D C M F D' E C'

N K A' B' L G

A' B' C'

D'

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【2012 海淀一模文】 (8)在棱长为 1 的 正 方 体 ABCD - A ' B ' C ' D ' 中,若点 P 是棱上一点,则满足

A B C A' B' C'

D

PA + PC ' = 2 的点 P 的个数为
(A)4 (C)8 (B)6 (D)12
D'

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如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, 侧面 PAD 为正三角形,底面 ABCD D 为 正 方 形 , 侧 面 PAD ⊥ 底 面 ABCD . M 为底面 ABCD 内的一个 动点,且满足 MP ? MC .则点 M 在 A 正方形 ABCD 内的轨迹为 ( )
D M A C

P

C B

D M

C D
M

C D M B A

C

B

A

B

A

B

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【拓展】---立体中的函数问题
(2012 江西理)如图,已知

正四棱锥 S ? ABCD 所有 棱长都为 1, 点 E 是侧棱 SC 上一动点 , 过点 E 垂 直于 SC 的截面将正四棱 锥分成上、下两部分 . 记 SE ? x(0 ? x ? 1) , 截 面 下面部分的体积为 V ( x) , 则函数 大致为

y ? V ( x) 的 图 像

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2 6 2 24
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y

2 6
2 24
1 2

y

O

1 x

O

1 2

1 x

2 6 2 24

y

2 6 2 24
1 2

y

O

1 x

O

1 2

1 x

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?a ? b, a ? b ? 0, ? 【 文 】 14. 定 义 a ? b ? ? a 设函数 , a ? b ? 0. ? ?b 1 f ( x) ? ln x ? x ,则 f (2) ? f ( ) =______ ;若 {an } 是公 2 比 大 于 0 的 等 比 数 列 , 且 a5 ? 1 , f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a8) =a1 , 则 a1 ? ___. 【答案】0, e .

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15. (本小题满分 13 分) x x 1 2 x 已知 f ( x) ? 3sin cos ? cos ? , ?ABC 三个 2 2 2 2 内角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c . (I)求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 f ( B ? C ) ? 1, a ? 3, b ? 1 ,求角 C 的值.

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1. 加强概念教学; 2. 摒弃机械记忆公式、形式化解题教 学; 3. 注重知识的形成过程教学.

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16.(本小题满分 13 分) 汽车租赁公司为了调查 A,B 两种车型的出租情况,现 随机抽取了这两种车型各 100 辆汽车,分别统计了每辆 车某个星期内的出租天数,统计数据如下表: A 型车 2 3 4 5 6 7 出租天数 1 5 10 30 35 15 3 2 车辆数 B 型车 2 3 4 5 6 7 出租天数 1 14 20 20 16 15 10 5 车辆数

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(I)从出租天数为 3 天的汽车(仅限 A,B 两种车型)中 随机抽取一辆,估计这辆汽车恰好是 A 型车的概率; (Ⅱ)根据这个星期的统计数据,估计该公司一辆 A 型 车, 一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率; (Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同, 该公司需要从 A,B 两种车型中购买一辆,请你根据所 学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明 你的理由.

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【2012 北京】近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处 理, 将生活垃圾分为厨余垃圾、 可回收物和其他垃圾三类, 并分别设置了相应分垃圾箱, 为调查居民生活垃圾分类投 放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生 活垃圾,数据统计如下(单位:吨) :
“厨余垃圾” 箱 “可回收物” 箱 “其他垃圾” 箱

厨余垃圾 可回收物 其他垃圾

400 30 20

100 240 20

100 30 60

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(Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误额概率; (Ⅲ)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的投放量分别为 a, b, c 其 中 a > 0 ,

a ? b ? c =600 。当数据 a, b, c 的方差 s 最大时,写出 2 a, b, c 的值(结论不要求证明) s ,并求此时 的值.

2

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本题以实际生活中的汽车租赁问 题为背景设计试题,既考查概率、统 计的基本概念和基本方法,又能引导 学生认识数学的应用价值.从生活的 角度命题,关注社会、与时俱进,让 学生体验数学的建模思想与应用价值, 拓展学生视野,实现数学的人文教育 功能.

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E ( X ) ? 3.62 , E (Y ) ? 3.48
一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数 的平均值为 3.62,B 类车型一个星期出租天 数的平均值为 3.48,而从出租天数的数据来 看,A 型车出租天数的方差应该小于 B 型车 出租天数的方差,综上, 选择 A 类型的出租车 更加合理。

强调应用意识!

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0.4 0.3

0.2
0.1

系列1

S ?S
2 A

2 B

0
1 2 3 4 5 6 7

0.3 0.2 0.1

如何识图?
系列1

0
1 2 3 4 5 6 7

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【2010 海淀期中】 为了解本市居民的生活成本, 甲、 乙、 丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了 “家 庭每月日常消费额”的调查 .他们将调查所得到的数 据分别绘制成频率分布直方图(如图所示) ,记甲、 乙、丙所调查数据的标准差分别为 s1 , s2 , s3 它们的大小关系为 , 则

. (用“ ? ”连接)

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频率 组距

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频率 组距

频率 组距

0.0008

0.0008 0.0006 0.0004 0.0002
1000 1500 2000 2500 3000 3500

0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 O

0.0006 0.0004 0.0002
O



O

1000 1500 2000 2500 3000 3500 元

1000 1500 2000 2500 3000 3500 元







S1 ? S2 ? S3

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17. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中 , B ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ? 2, E 是 BC 中点. (I) 求证:A1B / / 平面 AEC1 ; ( II )若棱 AA1 上存在一点

A1

C1

1

A E

C

B

M ,满足 B1M ? C1E ,求 AM 的长; (Ⅲ)求平面 AEC1 与平面 ABB1 A1 所成锐二面角的余弦
值.

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重视基础知识教学,落实点、线、 面位置关系的判断以及相关概念、定 理、性质;熟练掌握课本中概念、定 理的种种用途; 重视提高学生的空间想象能力, 培养学生识图、画图和对图形的理解 能力.

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18. (本小题满分 13 分) eax 已知函数 f ( x ) ? . x ?1 (I) 当 a ? 1 时,求曲线 f ( x ) 在 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间.

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定义域 求导
单调区间 的求解

“一次型”

“二次型”

讨论次数最高项的系数 讨论△的正负(是否 能因式分解)
讨论根与根,根与定义域边界 列表,写单调区间

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a ?1 (Ⅲ) 求证: 对 ?x1 ? 1, x2 ? 1 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ae

e f ( x) ? x ?1
如何画函数的图像?

ax

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(Ⅲ)如果函数 y ? f ( x) ? m 恰有两个零点,求 m 的取 值范围 ??

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19. (本小题满分 14 分) 已知 E ? 2,2 ? 是抛物

y

A

E 线 C : y 2 ? 2 px 上一点, M 经过点 (2,0) 的直线 l 与 O B 抛物线 C 交于 A, B 两点 (不同于点 E ) ,直线 EA, EB 分 别 交 直 线 N x ? ?2 于点 M , N . (Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标; (Ⅱ)已知 O 为原点,求证: ?MON 为定值.

x

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强调几何特征的分析


几何问题
① ① ②

几何结论
③ ③

代数问题

代数结论
合理将几何特征转化为代数形式

注意几何特征转化代数形式的等价性

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y

A

(?2, yM )
M O

(2, 2)
E x

y ( , y1 ) 2

2 1

B

(?2, yN )

N

2 y2 ( , y2 ) 2

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y A

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E M O B

x ? my ? 2
x

N

y ? 2x
2

几何特征:直线 AB 与抛物线相交
? x ? my ? 2 代数形式: ? 2 ? y ? 2x

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? x ? my ? 2 2 ,消去 ,得: y ? 2my ? 4 ? 0 x ? 2 ? y ? 2x 则由韦达定理得: y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ? 2m y1 ? 2 直线 AE 的方程为: y ? 2 ? 2 ? x ? 2? , y1 ?2 2 2 y1 ? 4 2 y2 ? 4 ? M (?2, ) 同理可得: N (?2, ) y1 ? 2 y2 ? 2

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A

y ? 2 ? k1 ( x ? 2)
E M O B

y

x

y ? 2 ? k2 ( x ? 2)
N

y ? 2x
2

几何特征:直线 AE , BE 与抛物线相交 ? y ? 2 ? k1 ( x ? 2) 代数形式: ? 2 ? y ? 2x

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2 ? y ? ? 2x 2 , ? k1 y ? 2 y ? 4 ? 4k1 ? 0 ? ? ? y ? k1 ? x ? 2 ? ? 2

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*

4 ? 4k1 则 2, y1 是 方 程 * 的 两 个 根 , 则 2 ? y1 ? k1 2 ? 2k1 2 ? 2k 2 y1 ? 同理 y2 ? k1 k2 y1 y2 ∵ A, B,(2,0) 三点共线∴ 2 ? 2 y1 y2 ?2 ?2 2 2 ? y1 y2 ? 4 ? 0 ? 1 ? (k1 ? k2 ) ? 2k1k2 ? 0

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A

yM ? 2 y?2? ( x ? 2)E ?2 ? M2
O x B

y

yN ? 2 y?2? ( x ? 2) ?2 ? 2
N

y ? 2x
2

几何特征:直线 ME, NE 与抛物线相交 yM ?2 ? ( x ? 2) ?y ? 2 ? 代数形式: ? ?2 ? 2 ? y2 ? 2x ?

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? y2 ? 2x ? ,消去 x 得 ? yM ? 2 ? x ? 2? ? 2 ?y ? ? ? 4 ( yM ? 2) y 2 ? 8 y ? 4 yM ? 8 ? 0 *
则 2, y1 是方程*的两个根,

?4 yM ? 8 2 y1 ? 4 2 ? y1 ? ? yM ? yM ? 2 y1 ? 2 2 y1 ? 4 2 y2 ? 4 ? M (?2, ) N (?2, ) y1 ? 2 y2 ? 2

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∵ A, B,(2,0) 三点共线 ∴

y1
2 1

y y ?2 ?2 2 2 化简得 ( y1 ? y2 )( y1 y2 ? 4) ? 0 ∴ y1 y2 ? 4 ? 0

?

y2
2 2

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y A

几何特征:直线 AB 与抛物线相交
? x ? my ? 2 代数形式: ? 2 ? y ? 2x
? y ? 2 ? k1 ( x ? 2) 代数形式: ? 2 ? y ? 2x
M O

E x B

几何特征:直线 AE , BE 与抛物线相交
N

几何特征:直线 ME, NE 与抛物线相交 yM ?2 ? ( x ? 2) ?y ? 2 ? 代数形式: ? ?2 ? 2 ? y2 ? 2x ?

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(Ⅲ)已知 Q(?4,0) 为原点,求证: ?MQN 为定值.
y A

E

Q

M O B x

N

等价证明 ?MON 为定值.

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(Ⅲ) 在 x 轴上是否存在定点 Q , 使得以 MN 为直径的 圆恒过定点 Q ?若存在,求出点 Q 的坐标,若不存在, A y 说明理由.
E

Q

M O B x

N

???? ? ???? 等价求点 Q ( x0 ,0) 使得 QM ? QN ? 0 恒成立.

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(Ⅲ) 在平面直角坐标系 xOy 上是否存在定点 Q , 使得 以 MN 为直径的圆恒过定点 Q ?若存在,求出点 Q 的坐 A y 标,若不存在,说明理由.
E

Q

M O B x

N

???? ? ???? 等价求点 Q( x0 , y0 ) 使得 QM ? QN ? 0 恒成立.

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20. (本小题满分 13 分)

f ( x) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,若 y ? x 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“一阶比增函数” ; f ( x) 若 y ? 2 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“二阶 x 比增函数”. 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 ?1 ,
所有“二阶比增函数”组成的集合记为 ? 2 .

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(Ⅰ) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 2hx 2 ? hx , 若 f ( x) ? ?1 , 且

f ( x) ??2 ,求实数 h 的取值范围;
(Ⅱ)已知 0 ? a ? b ? c , f ( x ) ??1 且 f ( x ) 的部分函 数值由下表给出,

c b f ( x) t d d 求证: d (2d ? t ? 4) ? 0 ;
Ⅲ ) 定 义

x

a

a?b?c 4
集 合



? ? ? f ( x ) | f ( x ) ??2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x) ? k ?,

请问: 是否存在常数 M , 使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) , 有 f ( x) ? M 成立?若存在,求出 M 的最小值,若不存 在,说明理由.

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(I)因为 f ( x) ? ?1 , 且 f ( x) ??2 ,

f ( x) ? x 2 ? 2hx ? h 在 (0, ??) 是增函数, 即 g ( x) ? x 所以 h ? 0 f ( x) h ? x ? ? 2h 在 (0, ??) 不是增函数, 而 h( x ) ? 2 x x h 而 h '( x) ? 1 ? 2 x 当 h ( x ) 是增函数时,有 h ? 0 ,所以当 h ( x ) 不是增 函数时, h ? 0 综上,得 h ? 0

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0 ? x1 ? x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 2 2 x1 x2

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(Ⅱ) 因为 f ( x ) ??1 ,且 0 ? a ? b ? c ? a ? b ? c

所以 2d ? t ? 4 ? 0

f (a ) f (a ? b ? c) 4 ? = 所以 , a a?b?c a?b?c 4a 所以 f (a ) ? d ? , a?b?c 4b 4c 同理可证 f (b) ? d ? , f (c) ? t ? a?b?c a?b?c 4(a ? b ? c) ? 4, 三式相加得 f (a ) ? f (b) ? f (c) ? 2d ? t ? a?b?c

d d b?a 因为 ? , 所以 d ( ) ? 0, a b ab

而 0 ? a ? b , 所以 d ? 0 所以 d (2d ? t ? 4) ? 0

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(Ⅱ) 因为 f ( x ) ??1 ,且 0 ? a ? b ? c ? a ? b ? c

所以 2d ? t ? 4 ? 0

f (a ) f (a ? b ? c) 4 ? = 所以 , a a?b?c a?b?c 4a 所以 f (a ) ? d ? , a?b?c 4b 4c 同理可证 f (b) ? d ? , f (c) ? t ? a?b?c a?b?c 4(a ? b ? c) ? 4, 三式相加得 f (a ) ? f (b) ? f (c) ? 2d ? t ? a?b?c

d d b?a 因为 ? , 所以 d ( ) ? 0, a b ab

而 0 ? a ? b , 所以 d ? 0 所以 d (2d ? t ? 4) ? 0

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华罗庚: 数形结合百般好 隔离分家万事休

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(Ⅲ) 因为集合 ? ? ? f ( x ) | f ( x ) ? ?2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x) ? k ?, 所以 ?f ( x) ? ? ,存在常数 k ,使得 f ( x ) ? k 对 x ? (0, ??) 成 立 我们先证明 f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立

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f ( x0 ) 假设 ?x0 ? (0, ??), 使得 f ( x0 ) ? 0 ,记 ?m?0 2 x0 f ( x) 因为 f ( x ) 是二阶增函数,即 2 是增函数. x f ( x ) f ( x0 ) ? m ,所以 f ( x ) ? mx 2 所以当 x ? x0 时, 2 ? 2 x x0

所以一定可以找到一个 x1 ? x0 ,使得 f ( x1 ) ? mx12 ? k 这与 f ( x ) ? k 对 x ? (0, ??) 成立矛盾
f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立

所以 ?f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立

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下面我们证明 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上无解 假设存在 x2 ? 0 ,使得 f ( x2 ) ? 0 , f ( x) 则因为 f ( x ) 是二阶增函数,即 2 是增函数 x f ( x3 ) f ( x2 ) ? ? 0 ,这与上面证明的结果 x ? x ? 0 一定存在 3 , 2 2 2 x3 x2 矛盾 所以 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上无解 综上,我们得到 ?f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立

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所以存在常数 M ? 0 ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x) ? M 成立

1 f ( x ) ?1 又令 f ( x) ? ? ( x ? 0) , 则显然有 2 ? 3 在 (0, ??) 上是增函 x x x 数 ,所以 f ( x) ?? ,
所以 M 的最小值 为 0

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本题考查集合,简易逻辑,函数, 函数单调性,不等式等内容. 考查学生对数学定义的阅读理解 能力,考查综合运用所学知识和方法 解决新问题的能力,考查抽象概括能 力,推理论证能力,转化与化归.

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(Ⅲ) 已知 f ( x ) 为任意一个 “二阶比增函数” , 且 f ( x) 为 连续函数,求证:若 ?x0 ? (0, ??), 使得 f ( x0 ) ? 0 ” ,则 一定有 (0, ??) ? ? y y ? f ( x )}.

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(III)依题意, ?x0 ? (0, ??), 使得 f ( x0 ) ? 0 ,
f ( x0 ) 记 ?k ?0 2 x0
f ( x) 是增函数 2 x f ( x ) f ( x0 ) ? k ,所以 f ( x ) ? kx 2 所以当 x ? x0 时, 2 ? 2 x x0 f ( x ) f ( x0 ) ? k ,所以 f ( x ) ? kx 2 当 0 ? x ? x0 时, 2 ? 2 x x0 任取 m ? 0 ,我们来证明存在 xm ? 0 ,使得 f ( xm ) ? m

因为 f ( x ) 是二阶增函数,即

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令 g ( x) ? f ( x) ? m 因为 x ? x0 , f ( x ) ? kx 2 ,所以一定存在 x1 ? x0 , 使得 kx12 ? m , 所以 f ( x1 ) ? kx12 ? m 所以 g ( x1 ) ? f ( x1 ) ? m ? kx12 ? m ? 0 又 当 0 ? x ? x0 时 , f ( x ) ? kx 2 , 所 以 一 定 存 在 x2 ? x0 , 使 得

kx2 2 ? m ,所以 f ( x2 ) ? kx2 2 ? m
所以 g ( x2 ) ? f ( x2 ) ? m ? kx22 ? m ? 0 又因为 f ( x ) 连续,所以 g ( x ) 连续,根据零点存在定理,一定 存在 xm ? ( x1 , x2 ) 使得 g ( xm ) ? 0 ,即 f ( xm ) ? m ? 0 , 所以 f ( xm ) ? m 由 m ? 0 的任意性,所以 (0, ??) ? { y | y ? f ( x)}


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