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必修三1.1.1算法的概念


1.1.1算法的概念

教学目标
1.了解算法的含义,体会算法的思想; ? 2.能够用自然语言叙述算法; ? 3.掌握正确的算法应满足的要求; ? 4.会写出典型问题的算法。 ? 教学重点 :1.通过实例体会算法思想,初步 理解算法的含义;2.解二元一次方程组、判 断一个数为质数和用“二分法”求方程近似 解的算法设计。 ? 教学难点 :用自然语言描

述算法。
?

什么是算法?
1、

2 、两个大人和两名儿 6 ? 5 ? (4 ? 2) 船,一次只能渡过一个大人或两个小孩,他们四人都会 1、如何计算:

2 、 两个大人和两个小孩一起渡河,渡口只有一条小 划船,但都不会游泳。请你帮他们设计一个渡河方案。 童一起渡河,渡口只有

6 ? 5 ? (4 ? 2)
先去括号

先去括号 再乘除

一条小船,一次只能渡 解: 第一步:两个小孩同船渡过河去;
过一个大人或两名儿童, 第二步:一个小孩划船回来; 第三步:一个大人独自划船渡过河去; 他们四人都会划船,但 第四步:对岸的小孩划船回来; 都不会游泳。请你帮他 第五步:两个小孩再同船渡过河去; 第六步:一个小孩划船回来; 们设计一个渡河方案。 第七步:余下的一个大人独自划船渡过河去; 第八步:对岸的小孩划船回来; 第九步:两个小孩再同船渡过河去。

再乘除 后加减 后加减

什么是算法?
算法(algorithm): 算法一词出现于12世纪,指的是用 (数学中)按照一定规则解决某一类问题的明 阿拉伯数字进行算术运算的过程.在数 确的和有限的步骤 学中,算法通常是指按照一定规则解决 (计算科学) 可以用计算机来解决的一类问题的 某一类问题的明确的和有限的步骤 .现 程序和步骤 在,算法可以编成计算机程序,让计算 ? 算法的特点 机执行并解决问题 . (教材) 明确性、有效性、有限性
(其他)输入、输出、一般性、不唯一性。 (广义)完成某项工作的方法和步骤

算法的特征
明确性:算法的确定性,是指算法中的每一 个步骤都必须是有明确定义的,不允许有 模棱两可的解释,也不允许有多义性。 有效性:一是算法中的每一个步骤必须是 能实现的。例如,在算法中,不允许出现 分母为零的情况。二是算法执行的结果要 能达到预期的目的。 有限性:算法应由有限步组成,至少对某 些输入,算法应在有限多步内结束,并给 出计算结果. 输入、输出信息可以表示。

有人对歌德巴赫猜想“任何大于4的偶数都能 写成两个奇质数之和”设计了如下操作步骤:

第一步:检验6=3+3 第二步:检验8=3+5 第三步:检验10=5+5
。 。 。

利用计算机无穷地进行下去!
请问,利用这种程序能够证明猜想的正确性吗? 这是一种算法吗?

做一做
写出 解方程组

?

3 x ? 2 y ?3 ① 2 x? y ?4 ②

的步骤

(消元) 第一步:

①+②×2,得 7 x ? 11 ③
(解一元一次方程) 第二步: 11 解③得 x ? 7 (带入求解) 第三步: 6 11 将 x ? 代入①,得 y ? 7 7 第四步:写结果。。。。。。

?

变一变
3 x ? 2 y ?3 2 x? y ?4

?

a1 x ? b1 y ? c1 ① a2 x ? b2 y ? c2 ② (a1b2 ? a2b1 ? 0)

写出解第二个方程组的算法:
第一步: ①× a 2 - ②× a1 得

(a2b1 ? a1b2 ) y ? a2c1 ? a1c2 ③

a c ? a c 2 1 1 2 第二步: 解③,得 y ? a2b1 ? a1b2



b1c2 ? b2 c1 第三步: 将④带入①得 x ? a2b1 ? a1b2
第四步:写结果。。。。。。

问题1

这 两个解方程组算法的适 用范围有何不同?
① ②

?

3 x ? 2 y ?3 2 x? y ?4

?

a1 x ? b1 y ? c1 ① a2 x ? b2 y ? c2 ② (a1b2 ? a2b1 ? 0)

-------------------------------------------------

第一步: ①+②×2,得 7 x ? 11 ③ 第二步:

第一步:

a2 - ②× a1 得 (a2b1 ? a1b2 ) y ? a2c1 ? a1c2 ③
①×

第三步:

11 x ? 解③得 7

第二步: 解③,得

a2 c1 ? a1c2 y? ④ a2b1 ? a1b2
b1c2 ? b2 c1 x? a2b1 ? a1b2

6 11 y ? 将x ? 代入①,得 7 7

第三步: 将④带入①得

一般性的结论,更适用于计算机解决问题

问题2: 一位商人有9枚金币,其中有一枚略
轻的假币,你能用天平(无砝码)将假币找出来 吗?写出解决这一问题的算法。
第一步:把9枚金币平均分成三组,每组三枚。 先将其中的两组放在天平的两边,如 第二步: 果天平不平衡,那么假金币就在轻的 那一组;如果天平左右平衡,则假金 币就在未称量的那一组里。

取出含假币的那一组,从中任取两枚 第三步: 金币放在天平两边进行称量,如果天 平不平衡,则假金币在轻的那一边; 若平衡,则未称的那一枚就是假币。

任意给定一个正整数 n ,试设计 问题3 一个算法对 n是否为质数做出判断。 第一步:输入正整数n. 第二步: 判断 n 是否等于1。若是,则 n 既 n 不是质数,也不是合数。否则,执 行第三步。 第三步: 判断是 n 否等于2。若n =2,则n是 质数;若 n >2,则执行第四步。
n n n n 第四步:依次检验 2 , 3 , 4 ,? , n ? 1的结果是否

为整数。若有,则 n不是质数;若 没有,则 n 是质数。

第四步:令i=2.

第五步:用i除n,得到余数r.
第六步:判断“r=0”是否成立。若是,则n不是质 数, 结束算法;否则,将i增加1,仍用i表示. 第七步:判断“i>(n-1)”是否成立。若是,则n为质 数, 结束算法;否则,返回第五步.

问题4

体会现实生活中的算法

想一想1:要把宫廷土豆装冰箱,分几步? 答:分三步: 第一步:打开冰箱门儿

第二步:把宫廷土豆装冰箱
第三步:关上冰箱门儿

思 考
用二分法设计一个求方程x2-2=0(x>0) 的近似根的算法(精确度为d)
第一步:

令f(x)=x2–2,给定精确度d. 第二步: 确定区间[a,b],满足f(a)f(b)<0.
第三步:

取区间中点m=(a+b)/2. 第四步: 若f(a)*f(b)<0,则含零点的区间为 [a,m];否则,含零点的区间为[m,b].将 新得到的含零点区间仍记为[a,b]. 若是,则m为所求;若否,则返回第三步。

第五步: 判断[a,b]的长度是否小于d或f(m)是否为0,

思 考
现有有限个实数,怎样从中找出最大值?
第一步: 先假定这些实数中的第一个数为“最大 值”。 第二步: 将这些实数中的下一个数与“最大值”比 较,如果它大于此“最大值”,这时就假 定“最大值”是这个实数。 第三步: 如果还有其他实数,重复第二步。

第四步: 一直到没有可比的数为止,这时假定的“最 大值”就是这有限个实数的最大值。

思 考
?

写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。
解:算法1: S1:计算1+2得到3; S2:将第一步中的运算结果3与3相加得到6; S3:将第二步中的运算结果6与4相加得到10; S4:将第三步中的运算结果10与5相加得到15; S5:将第四步中的运算结果15与6相加得到21。

?
? ? ?

算法2:
S1:取n=6;

? ?

算法3: S1:将原式变形为 (1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7

n( n ? 1) S2:计算 2

S3:输出运算结果。 ? S2:计算3×7
?

S3:输出运算结果

算法的基本思想:
探求解决问题的一般性方法,并将
解决问题的步骤用具体化、程序化的 语言加以表述。

思 考
1、写出你在家里烧开水过程的一个算法。
2、有一名船夫,要带着一匹狼、一只羊和一棵 白菜过河。当船夫不在的时候,狼会吃掉羊,羊 会吃掉白菜。而每次过河该船只能容下船夫和一 样东西,请问,船夫应该怎样过河? 3、任意给定一个大于1的正整数n,设计一个算 法求出n的所有因数。


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