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高中数学竞赛平面几何讲座第五讲 三角形的五心


第五讲

三角形的五心

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心. 一、外心. 三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角 定理. 例 1.过等腰△ABC 底边 BC 上一点 P 引 PM∥CA 交 AB 于 M;引 PN∥BA 交 AC 于 N.作点 P 关于 MN 的对称点 P′.试证:P′点在

△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》) A P' 分析:由已知可得 MP′=MP=MB,NP′=NP N =NC,故点 M 是△P′BP 的外心,点 N 是△P′PC 的外心.有 M 1 1 B C ∠BP′P= ∠BMP= ∠BAC, P 2 2 1 1 ∠PP′C= ∠PNC= ∠BAC. 2 2 ∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC. 从而,P′点与 A,B,C 共圆、即 P′在△ABC 外接圆上. 由于 P′P 平分∠BP′C,显然还有 P′B:P′C=BP:PC. 例 2.在△ABC 的边 AB,BC,CA 上分别取点 P,Q,S.证明以△APS,△BQP, △CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. (B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》) A 分析:设 O1,O2,O3 是△APS,△BQP, O1 △CSQ 的外心,作出六边形 .. .. P K S O1PO2QO3S 后再由外 心性质可知 O2 O3 B C ∠PO1S=2∠A, Q ∠QO2P=2∠B, ∠SO3Q=2∠C. ∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+ ∠O2QO3+∠O3SO1=360° 将△O2QO3 绕着 O3 点旋转到△KSO3,易判断△KSO1≌△O2PO1,同时可 得△O1O2O3≌△O1KO3. 1 ∴∠O2O1O3=∠KO1O3= ∠O2O1K 2 1 = (∠O2O1S+∠SO1K) 2 1 = (∠O2O1S+∠PO1O2) 2 1 = ∠PO1S=∠A; 2 同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.

二、重心 三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式,便于解题. 例 3.AD,BE,CF 是△ABC 的三条中线,P 是任意一点.证明:在△PAD,△ PBE,△PCF 中,其中一个面积等于另外两个面积的和. (第 26 届莫斯科数学奥林匹克) A 分析:设 G 为△ABC 重心,直线 PG 与 AB A' F ' ,BC 相交.从 A,C,D,E,F 分别 E G F 作该直线的垂线,垂足为 A′,C′, E' D' D′,E′,F′. B C C' D P 易证 AA′=2DD′,CC′=2FF′,2EE′=AA′+CC′, ∴EE′=DD′+FF′. 有 S△PGE=S△PGD+S△PGF. 两边各扩大 3 倍,有 S△PBE=S△PAD+S△PCF. 例 4.如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成 的新三角形相似.其逆亦真. 分析:将△ABC 简记为△,由三中线 AD,BE,CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心,连 DE 到 H,使 EH=DE,连 HC,HF,则△′就是△HCF. (1)a2,b2,c2 成等差数列 ? △∽△′. 若△ABC 为正三角形,易证△∽△′. 不妨设 a≥b≥c,有 1 2a 2 ? 2b 2 ? c 2 , CF= 2 1 2c 2 ? 2a 2 ? b 2 , BE= 2 1 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 . AD= 2 2 将 a +c2=2b2,分别代入以上三式,得 CF=
3 3 3 a ,BE= b ,AD= c. 2 2 2 3 3 3 a: b: c 2 2 2

∴CF:BE:AD =

=a:b:c. 故有△∽△′. (2)△∽△′ ? a2,b2,c2 成等差数列. 当△中 a≥b≥c 时, △′中 CF≥BE≥AD. ∵△∽△′, ∴

S?' CF 2 =( ). a S?

据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的

3 ”,有 4

S?' 3 = . S? 4

CF 2 3 = ? 3a2=4CF2=2a2+b2-c2 4 a2

?a2+c2=2b2.
三、垂心 三角形三条高的交战, 称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外 接)圆三角形,给我们解题提供了极大的便利. 例 5.设 A1A2A3A4 为⊙O 内接四边形,H1,H2,H3,H4 依次为 △A2A3A4,△A3A4A1,△A4A1A2,△A1A2A3 的垂心.求证:H1,H2,H3, H4 四点共圆,并确定出该圆的圆心位置. (1992,全国高中联赛) A1 A2 分析:连接 A2H1,A1H2,H1H2,记圆半径 为 R.由△A2A3A4 知 H
H1

A2 H 1 =2R ? A2H1=2Rcos∠A3A2AA 4; 3 sin ?A2 A3 H 1

O

.

2

A4

由△A1A3A4 得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4. 但∠A3A2A4=∠A3A1A4,故 A2H1=A1H2. 易证 A2H1∥A1A2,于是,A2H1 ∥ AH, = 1 2 故得 H1H2 ∥A2A1.设 H1A1 与 H2A2 的交点为 M, 故 H1H2 与 A1A2 关于 M 点 = 成中心对称. 同理, H2H3 与 A2A3, H3H4 与 A3A4, H4H1 与 A4A1 都关于 M 点成中心对称. 故四边形 H1H2H3H4 与四边形 A1A2A3A4 关于 M 点成中心对称,两者是全 等四边形,H1,H2,H3,H4 在同一个圆上.后者的圆心设为 Q,Q 与 O 也 关于 M 成中心对称.由 O,M 两点,Q 点就不难确定了. 例 6.H 为△ABC 的垂心,D,E,F 分别是 BC,CA,AB 的中心.一个以 H 为圆 心的⊙H 交直线 EF,FD,DE 于 A1,A2,B1,B2,C1,C2. 求证:AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989,加拿大数学奥林匹克训练题) B2 C1 A 分析:只须证明 AA1=BB1=CC1 即可.设 H2 M E A2 A1 F BC=a, CA=b,AB=c,△ABC 外 H 接圆半径为 R,⊙H 的半径为 r. B C H1 连 HA1,AH 交 EF 于 M. D A A12 =AM2+A1M2=AM2+r2-MH2 =r2+(AM2-MH2), 1 1 又 AM2-HM2=( AH1)2-(AH- AH1)2 2 2
C2 B1



=AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2 =cosA·bc-AH2,
AH =2R ?AH2=4R2cos2A, sin ?ABH a =2R ? a2=4R2sin2A. sin A ∴AH2+a2=4R2,AH2=4R2-a2. 由①、②、③有







b2 ? c2 ? a2 A A =r + ·bc-(4R2-a2) 2bc
2 1

2

1 2 2 2 (a +b +c )-4R2+r2. 2 1 同理, BB12 = (a2+b2+c2)-4R2+r2, 2 1 CC12 = (a2+b2+c2)-4R2+r2. 2 故有 AA1=BB1=CC1. 四、内心 三角形内切圆的圆心,简称为内心.对于内心,要掌握张角公式,还要记住 下面一个极为有用的等量关系: 设 I 为△ABC 的内心, 射线 AI 交△ABC 外接圆于 A′, 则有 A ′I=A′B=A′ C.换言之,点 A′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用). D 例 7.ABCD 为圆内接凸四边形,取 △DAB,△ABC,△BCD, O4 O 3 C △CDA 的内心 O1, O2,O3, O4.求证:O1O2O3O4 为矩形. O2 O (1986,中国数学奥林匹克集训题) B A 证明见《中等数学》1992;4 例 8.已知⊙O 内接△ABC,⊙Q 切 AB,AC 于 E,F 且与⊙O 内切.试证:EF 中点 P 是△ABC 之内心. (B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》) 分析:在第 20 届 IMO 中,美国提供的一道题实际上是例 8 的一种特例,但它增 加了条件 AB=AC.当 AB≠AC,怎样证明呢? 如图,显然 EF 中点 P、圆心 Q,BC 中点 K 都在∠BAC 平分线上.易知 r AQ= . sin ? A M αα R ∵QK·AQ=MQ·QN,

=

1

MQ ? QN ∴QK= AQ
(2 R ? r ) ? r = sin ? ? (2R ? r ) . r / sin ? 由 Rt△EPQ 知 PQ= sin ? ? r .

E

O B

r

P Q F N C

=

K

∴PK=PQ+QK= sin ? ? r + sin ? ? (2R ? r ) = sin ? ? 2 R . ∴PK=BK. ? 利用内心等量关系之逆定理,即知 P 是△ABC 这内心. 五、旁心 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起, 旁心还与三角形的半周长关系密切. 例 9.在直角三角形中,求证:r+ra+rb+rc=2p. 式中 r,ra,rb,rc 分别表示内切圆半径及与 a,b,c 相切的旁切圆半径, p 表示半周. (杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析:设 Rt△ABC 中,c 为斜边,先来证明一个特性: p(p-c)=(p-a)(p-b). 1 1 ∵p(p-c)= (a+b+c)· (a+b-c) rc K 2 2 A O3 1 O2 = [(a+b)2-c2] 4 rb O r E 1 B = ab; ra C 2 O1 1 1 (p-a)(p-b)= (-a+b+c)· (a-b+c) 2 2 1 1 = [c2-(a-b)2]= ab. 4 2 ∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ① 观察图形,可得 ra=AF-AC=p-b, rb=BG-BC=p-a, rc=CK=p. 1 而 r= (a+b-c) 2 =p-c. ∴r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p. 由①及图形易证. 例 10.M 是△ABC 边 AB 上的任意一点.r1,r2,r 分别是△AMC,△BMC,△ ABC 内切圆的半径,q1,q2,q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆 半径.证明:

r1 r r · 2 = . q1 q2 q

(IMO-12) 分析:对任意△A′B′C′,由正弦定理可知

OD=OA′· sin

A' 2

C' O A ' .. E D
. B '

B' A' 2 =A′B′· · sin 2 sin ?A' O' B' A' B' sin ? sin 2 2 , =A′B′· A'? B' sin 2 A' B' cos cos 2 2 . O′E= A′B′· A'? B' sin 2 OD A' B ' ? tg tg . ∴ O' E 2 2 亦即有 sin
r1 r A ?CMA ?CNB B tg tg · 2 = tg tg 2 2 2 2 q1 q2
= tg
A B r tg = . 2 2 q

O'

六、众心共圆 这有两种情况:(1)同一点却是不同三角形的不同的心;(2)同一图形出现了 同一三角形的几个心. 例 11. 设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中, AB=BC, CD=DE, EF=FA.试证: (1)AD, BE,CF 三条对角线交于一点; (2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991,国家教委数学试验班招生试题) 分析:连接 AC,CE,EA,由已知可证 AD,CF,EB 是△ACE 的三条内角平分 线,I 为△ACE 的内心.从而有 ID=CD=DE, IF=EF=FA, IB=AB=BC. 再由△BDF, 易证 BP, DQ, FS 是它的三条高, I 是它的垂心, 利用 不 .. 等式有: Erdos A BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS). F 不难证明 IE=2IP,IA=2IQ,IC=2IS. B Q ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC. I P E ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA S =2(BI+DI+FI) C ≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI) D =AD+BE+CF. I 就是一点两心. 例 12.△ABC 的外心为 O,AB=AC,D 是 AB 中点,E 是△ACD 的重心.证明

OE 丄 CD. (加拿大数学奥林匹克训练题) A 分析:设 AM 为高亦为中线,取 AC 中点 F,E 必在 DF 上且 DE:EF=2:1.设 E F D CD 交 AM 于 G,G 必为△ABC 重心. G 连 GE,MF,MF 交 DC 于 K.易证: O K 1 1 1 B C DG:GK= DC:( ? )DC=2:1. 3 2 3 ∴DG:GK=DE:EF ?GE∥MF. ∵OD 丄 AB,MF∥AB, ∴OD 丄 MF ?OD 丄 GE.但 OG 丄 DE ? G 又是△ODE 之垂心. 易证 OE 丄 CD. 例 13.△ABC 中∠C=30°,O 是外心,I 是内心,边 AC 上的 D 点与边 BC 上的 E 点使得 AD=BE=AB.求证:OI 丄 DE,OI=DE. (1988,中国数学奥林匹克集训题) 分析:辅助线如图所示,作∠DAO 平分线交 BC 于 K. 易证△AID≌△AIB≌△EIB, ∠AID=∠AIB=∠EIB. D A 30 ° C 利用内心张角公式,有 O K I 1 F E ∠AIB=90°+ ∠C=105°, 2 B ∴∠DIE=360°-105°×3=45°. 1 ∵∠AKB=30°+ ∠DAO 2 1 =30°+ (∠BAC-∠BAO) 2 1 =30°+ (∠BAC-60°) 2 1 = ∠BAC=∠BAI=∠BEI. 2 ∴AK∥IE. 由等腰△AOD 可知 DO 丄 AK, ∴DO 丄 IE,即 DF 是△DIE 的一条高. 同理 EO 是△DIE 之垂心,OI 丄 DE. 由∠DIE=∠IDO,易知 OI=DE. 例 14.锐角△ABC 中,O,G,H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离 和为 d 外,重心到三边距 A 离和为 d 重,垂心到三边距离和为 d 垂. H3 求证:1·d 垂+2·d 外=3·d 重. G3 O2 O3 G2 分析:这里用三角法.设△ABC 外接圆 H2 O G 半径为 1,三个内角记为 A,B, I B C. 易知 d 外=OO1+OO2+OO3 C O1 G 1 H 1 =cosA+cosB+cosC, ∴2d 外=2(cosA+cosB+cosC). ①

∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC, 同样可得 BH2·CH3. ∴3d 重=△ABC 三条高的和 =2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ② BH ∴ =2, sin ?BCH ∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同样可得 HH2,HH3. ∴d 垂=HH1+HH2+HH3 =2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③ 欲证结论,观察①、②、③, 须 证 (cosB · cosC+cosC · cosA+cosA · cosB)+( cosA+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.

cosB+







1.I 为△ABC 之内心,射线 AI,BI,CI 交△ABC 外接圆于 A′, B′,C ′.则 AA′+BB′+CC′>△ABC 周长.(1982,澳大利 亚数学奥林匹克) 2.△T′的三边分别等于△T 的三条中线, 且两个三角形有一组角相等.求证这两 个三角形相似.(1989,捷克数学奥林匹克) 3.I 为△ABC 的内心.取△IBC, △ICA, △IAB 的外心 O1, O2, O3.求证: △O1O2O3 与△ABC 有公共的外心.(1988,美国数学奥林匹克) 4.AD 为△ABC 内角平分线.取△ABC,△ABD,△ADC 的外心 O,O1,O2.则△ OO1O2 是等腰三角形. 5.△ABC 中∠C<90°,从 AB 上 M 点作 CA,CB 的垂线 MP,MQ.H 是△CPQ 的垂心.当 M 是 AB 上动点时,求 H 的轨迹.(IMO-7) 1 6.△ABC 的边 BC= (AB+AC),取 AB,AC 中点 M,N,G 为重心,I 为内心. 2 试证:过 A,M,N 三点的圆与直线 GI 相切.(第 27 届莫斯科数学奥林匹克) 7.锐角△ABC 的垂心关于三边的对称点分别是 H1,H2,H3.已知:H1,H2,H3, 求作△ABC.(第 7 届莫斯科数学奥林匹克) 8.已知△ABC 的三个旁心为 I1,I2,I3.求证:△I1I2I3 是锐角三角形. 9.AB,AC 切⊙O 于 B,C,过 OA 与 BC 的交点 M 任作⊙O 的弦 EF.求证:(1) △AEF 与△ABC 有公共的内心;(2)△AEF 与△ABC 有一个旁心重合.


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