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2010正弦定理和余弦定理高考题


正弦定理和余弦定理
1.(2010?天津高考理科?T7)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a ? b ? 3bc ,
2 2

sin C ? 2 3 sin B ,则 A= (
(A) 30
0

) (C) 120
0

(B) 60

r />
0

(D) 150

0

【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。 【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。 【规范解答】选 A,根据正弦定理及 sin C ? 2 3 sin B 得: c ? 2 3b

cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 c 2 ? (a 2 ? c 2 ) c 2 ? 3bc 3 , ? ? ? 2bc 2bc 2bc 2

00 A ? 1800 ,? A ? 300 。
【方法技巧】根据所给边角关系,选择使用正弦定理或余弦定理,将三角形的边转化为角。 2.(2010?北京高考文科?T7)某班设计了一个八边形的班徽(如图) ,它由腰长为 1, 顶角为 ? 的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为( (A) 2sin ? ? 2 cos ? ? 2 ; (B) sin ? ? 3 cos ? ? 3 (C) 3sin ? ? 3 cos ? ? 1 (D) 2sin ? ? cos ? ? 1 【命题立意】本题考查解三角形的相关知识,用到了面积公式、余弦定理等知识。 【思路点拨】在等腰三角形中利用余弦定理求出底边,从而班徽的面积等于四个等腰三角形的面积与正方 形的面积之和。 【规范解答】选 A。等腰三角形的底边长为 12 ?12 ? 2 ?1?1? cos ? ? 2 ? 2cos ? 。所以班徽的面积为 )

1 4 ? ?1?1? sin ? ? ( 2 ? 2 cos ? ) 2 ? 2sin ? ? 2 ? 2 cos ? 。 2

3. (2010? 湖南高考理科? T4) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边长分别为 a,b,c, 若∠C=120°,c ? 则( A、a>b ) B、a<b C、a=b D、a 与 b 的大小关系不能确定

2a ,

【命题立意】以三角形为依托,以余弦定理为明线,以方程的解为暗线考查学生的运用知识和等价转化的

能力。 【思路点拨】由余弦定理得到边的二元等量关系,然后从方程的角度消元求解. 【规范解答】选 A.∵∠C=120°, c ?

b b 2a ,∴2a2=a2+b2-2abcos120°,∴a2=b2+ab,∴( )2+ a -1=0, a



b = a

5 ?1 <1,∴b<a. 2

【方法技巧】三角形是最简单的平面图形,是中学数学所学知识最多的图形,在高考中是重点.常常考查 边角关系,余弦定理和正弦定理,常常结合不等式和方程来解.尤其是均值不等式的考查. 4.(2010?北京高考理科?T10)在△ABC 中,若 b = 1,c = 3 , ?C ? 【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。 【思路点拨】对 ?C 利用余弦定理,通过解方程可解出 a 。
2 2 【规范解答】由余弦定理得, a ? 1 ? 2 ? a ?1? cos

2? ,则 a= 3



2? ? 3 ,即 a 2 ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 1 或 ?2 (舍) 。 3

B
3
2? 3

C
【答案】1

1

A

【方法技巧】已知两边及一角求另一边时,用余弦定理比较好。 5.(2010?广东高考理科?T11)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 , A+C=2B,则 sinC= .

【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用. 【思路点拨】由已知条件求出 B 、 A 的大小,求出 C ,从而求出 sin C. 【规范解答】由 A+C=2B 及 A ? B ? C ? 180 得 B ? 60 ,由正弦定理得

1 1 3 得 sin A ? ,由 ? 2 sin A sin 60

a ? b 知 A ? B ? 60 ,所以 A ? 30 , C ? 180 ? A ? B

? 90 ,所以 sin C ? sin 90 ? 1.
【答案】1 6.(2010?山东高考理科?T15)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c,若 a ?

2 ,b ? 2 ,

sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为



【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理,考查了考生的推理论证能

力和运算求解能力。 【思路点拨】先根据 sin B ? cos B ? 2 求出 B,再利用正弦定理求出 sin A ,最后求出 A.

1 ,因为 0<B<? ,所以 B=45 , 【规范解答】由 sin B ? cos B ? 2 得 1 ? 2sin B cos B ? 2 ,即 sin2B ?
又因为 a ?

2 , b ? 2 ,所以在 ?ABC 中,由正弦定理得:

1 2 2 ,解得 sin A ? ,又 a <b , = 2 sin A sin 45

所以 A<B=45 ,所以 A=30 . 【答案】30°或

? 6
b a ? ? 6cos C , a b

7. (2010? 江苏高考? T13) 在锐角三角形 ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、c,若 则

tan C tan C ? 的值是_________。 tan A tan B b a tan C tan C ? ? 6 cos C 采用角化边,对 ? 采用弦化切并结合正弦定理解决. a b tan A tan B

【命题立意】考查三角形中的正、余弦定理以及三角函数知识的应用,等价转化思想。 【思路点拨】对条件

b a a 2 ? b2 ? c 2 3c 2 2 2 2 2 2 2 ? a ?b ,a ?b ? 【规范解答】 ? ? 6 cos C ? 6ab cos C ? a ? b , 6ab ? a b 2ab 2

tan C tan C sin C cos B sin A ? sin B cos A sin C sin( A ? B) 1 sin 2 C ? ? ? ? ? ? ? 由正弦定理, tan A tan B cos C sin A sin B cos C sin A sin B cos C sin A sin B
得:上式 ?

1 c2 c2 c2 ? ? ? ?4 cos C ab 1 (a 2 ? b 2 ) 1 3c 2 ? 6 6 2

【方法技巧】 上述解法采用了解决三角形问题的通性通法, 即利用正弦定理和余弦定理灵活实现边角互化。 本题若考虑到已知条件和所求结论对于角 A、 B 和边 a、 b 具有轮换性, 可采用以下方法解决: 当 A=B 或 a=b 时满足题意,此时有: cos C ?

1 1 ? cos C 1 C 2 2 C ? ? , tan ? , tan , 3 2 1 ? cos C 2 2 2

tan A ? tan B ?

1 tan C 2

? 2,

tan C tan C ? = 4。 tan A tan B

【答案】4 8.(2010?辽宁高考文科?T17)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sinB +sinC=1,试判断△ABC 的形状.

【命题立意】本题考查了正弦定理,考查了余弦定理和运算求解能力。 【思路点拨】(I)根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边,得到边的关系,再由余弦定理求角 (II)利用(I)的结论,求出角 B (或角 C) ,判断三角形的形状 【规范解答】

解: (I)由已知,根据正弦定理得: 2a 2 ? (2b ? c) ? (2c ? b)c 即a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 1 故 cos A ? ? , 又A ? (0,?) 2 2? ? A= 3 (II)由(I)中a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc及正弦定理可得: 由余弦定理 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin Bsin C 即:( 3 2 ) =sin 2 B ? sin 2 C ? sin Bsin C 2 1 又sinB+sinC=1 得sinB=sinC= 2 0<B<

,? B ? C 3 3 ? △ABC是等腰的钝角三角形。 , 0<C<
【方法技巧】利用正弦定理,实现角的正弦化为边时只能是用 a 替换 sinA,用 b 替换 sinB,用 c 替换 sinC。sinA,sinB,sinC 的次数要相等,各项要同时替换,反之,用角的正弦替换边时也要这样,不能 只替换一部分。 (2)以三角形为背景的题目,要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中 B+C=60° 9.(2010?浙江高考文科?T18)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积, 满足 S ?

?

?

3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) 。 4

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值。 【命题立意】解析本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识,同时考查三角运算求解能 力。 【思路点拨】利用面积公式求角 C,然后利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式化简求最值。 【规范解答】(Ⅰ)由题意可知

1 π 3 absinC= ? 2abcosC. 所以 tanC= 3 .因为 0<C< π ,所以 C= . 2 3 4

(Ⅱ)由已知 sinA+sinB = sinA+sin( π -C-A)=sinA+sin(

2π -A) 3

=sinA+

2 1 π 3 cosA+ sinA= 3 sin(A+ )≤ 3 . (0 ? A ? ? ) 3 2 6 2

? ,即△ABC 为正三角形时取等号,所以 sinA+sinB 的最大值是 3 . 3 2? ? 【方法技巧】求 sin A ? sin B 时利用 A ? B ? 转化为关于角 A 的三角函数 y ? 3 sin( A ? ) 的最值问 3 6
当 A= 题。 10.(2010?辽宁高考理科?T17)在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边, 且 2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C. (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值. 【命题立意】考查了正弦定理,余弦定理,考查了三角函数的恒等变换,三角函数的最值。 【思路点拨】 (I)根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边,得到边的关系,再由余弦定理求角 (II)由(I)知角 C=60°-B 代入 sinB+sinC 中,看作关于角 B 的函数,进而求出最值 【规范解答】 (Ⅰ)由已 知,根据正弦定理得 2a2 ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c 即 a ? b ? c ? bc
2 2 2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2



1 cos A ? ? ,A=120° 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

sin B ? sin C ? sin B ? sin(60? ? B)

3 1 cos B ? sin B 2 2 ? sin(60? ? B) ?
故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。 【方法技巧】 (1)利用正弦定理,实现角的正弦化为边时只能是用 a 替换 sinA,用 b 替换 sinB,用 c 替换 sinC。 sinA,sinB,sinC 的次数要相等,各项要同时替换,反之,用角的正弦替换边时也要这样,不能只替 换一部分。 (2)以三角形为背景的题目,要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中 B+C=60°

11.(2010?浙江高考理科?T18)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C ? ? (I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长.

1 4

【命题立意】本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。 【思路点拨】利用二倍角余弦公式求 sin C 的值。再利用正弦定理求 c ,利用余弦定理求 b 。 【规范解答】 (Ⅰ)因为 cos2C=1-2sin C= ?
2

1 10 ,及 0<C<π 所以 sinC= . 4 4

(Ⅱ)当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理

a c ? ,得 c=4 sin A sin C

由 cos2C=2cos C-1= ?
2

1 6 ,及 0<C<π 得 cosC=± 4 4
2

由余弦定理 c =a +b -2abcosC,b ± 6 b-12=0,解得
2 2 2

b= 6 或 2 6

所以 ?

? ?b ? 2 6 ?b ? 6 ? 或? 。 c ? 4 c ? 4 ? ? ? ?


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