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高中数学必修2第一章试题解析附单元测试


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第一章测试
(时间:120 分钟 总分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.下列说法不正确的是( )

A.圆柱的侧面展开图是一个矩形 B.圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C.平行于圆台底面的平面截圆台截面是圆面 D.直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 答案:D 2.直径为 10 cm 的一个大金属球,熔化后铸成若干个直径为 2 cm 的小球,如果不计损 耗,可铸成这样的小球的个数为( A.5 C.25 ) B.15 D.125

4 4 解析:设可铸 n 个小球,依体积相等,得 π×53=n× π×13,∴n=125. 3 3 答案:D 3.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括( A.一个圆台,两个圆锥 C.两个圆台,一个圆柱 答案:D 4.如图,空间几何体的三视图正确的是( ) B.两个圆台,一个圆锥 D.一个圆柱,两个圆锥 )

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答案:C 5.如图,梯形 A1B1C1D1 是一平面图形 ABCD 的直观图(斜二测),若 A1D1∥O1y1, 2 A1B1∥C1D1,A1B1= C1D1=2,A1D1=1,则梯形 ABCD 的面积是( 3 )

A.10 C.5 2

B.5 D.10 2

解析:由直观图知,梯形 ABCD 是一个直角梯形,且 AB=A1B1=2,CD=C1D1=3,AD 2+3 =2A1D1=2,∴梯形 ABCD 的面积为 ×2=5. 2 答案:B 6.(2010· 山东烟台高三一模)如图,下列四个几何体中,它们的三视图(正视图、侧视图、 俯视图)有且仅有两个相同的是( )

A.(1)(2) C.(2)(3) 答案:C

B.(1)(3) D.(1)(4)

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7.向高为 H 的容器中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系如图所示, 那么容器的形状应该是下图中的( )

解析:由函数曲线知,水的体积随水深 h 的增大,体积增长的越来越快. 答案:D 8.一个直角三角形直角边分别为 3 与 4,以其直角边为旋转轴,旋转而成的圆锥的侧 面积为( A.15π C.12π 答案:D 9.(2008· 山东高考)下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面 积是( ) ) B.20π D.15π 或 20π

A.9π C.11π

B.10π D.12π

解析:该几何体的上部是一个球,其表面积是 4π×12=4π;下部是一个圆柱,其表面 积是 2π×1×3+2π×12=8π,则该几何体的表面积是 4π+8π=12π. 答案:D 10.在棱长为 1 的正方体上,分别用过公共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截

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去 8 个三棱锥后,剩下的几何体的体积是( 2 A. 3 4 C. 5 7 B. 6 5 D. 6 )

1 1 1 1 1 1 1 5 解析:每一个小三棱锥的体积为 × × × × = .因此,所求的体积为 1-8× = . 3 2 2 2 2 48 48 6 答案:D 11.两个球的表面积之差为 48π,它们的大圆周长之和为 12π,这两个球的半径之差为 ( ) A.4 C.2 B.3 D.1

解析:设两个球的半径分别为 R、r,且 R>r,依题意得
2 2 2 ? ? 2 ?4πR -4πr =48π ?R -r =12, ? ?? ∴R-r=2. ?2πR+2πr=12π ?R+r=6, ? ?

答案:C 12.(2009· 山东高考)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.2π+2 3 2 3 C.2π+ 3

B.4π+2 3 2 3 D.4π+ 3

解析: 由几何体的三视图可知, 该几何体是由一个底面直径和高都是 2 的圆柱和一个底 面边长为 2,侧棱长为 2 的正四棱锥叠放而成. 1 2 3 故该几何体的体积为 V=π·12· · 2)2· 3=2π+ 2+ ( ,故选 C. 3 3 答案:C 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分.把答案填在题中横线上) 13.如下图是一个正方体盒子的平面展开图,在其中的两个正方形内标有数字 1、2、3

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和-3, ,要在其余正方形内分别填上-1、-2,使得按虚线折成正方体后,相对面上的两数 互为相反数,则 A 处应填________.

解析:将其平面展开图沿虚线还原成正方体,由下图,可看出 A 与 2 是相对面上的两 数,故 A 处应填-2.

答案:-2 14. 过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面, 它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之 比为________. 解析:从上到下三个圆锥的高之比为 1:2:3,∴侧面积之比为 1:4:9,∴三部分面积之比 为 1:3:5. 答案:1:3:5 15.用相同的单位正方体搭一个几何体(如下图),其正视图(从正面看到的图形)、俯视 图(从上面看到的图形)和左视图(从左面看到的图形)分别如下:

则该几何体的体积为________. 解析:由几何体的三视图知,该几何体由 6 个单位正方体构成. 答案:6 16.已知一个圆台的下底面半径为 r,高为 h,当圆台的上底半径 r′变化时,圆台体积 的变化范围是________. 解析:当 r′→0 时,圆台趋近于圆锥.而 V
圆锥

1 = πr2h,当 r′→r 时,圆台趋近于圆 3

1 2 2 柱,而圆柱 V 圆柱=πr2h.因此,当 r′变化时,圆台的体积的变化范围是?3πr h,πr h?. ? ? 1 2 2 答案:?3πr h,πr h? ? ?

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(10 分)如下图所示,在边长为 4 的正三角形 ABC 中,E、F 依次是 AB、AC 的中点, AD⊥BC,EH⊥BC,FG⊥BC,D、H、G 为垂足,若将△ABC 绕 AD 旋转 180° ,求阴影部 分形成的几何体的表面积.

解:几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的, ∵S 锥表=πR2+πRl=4π+8π=12π, S 柱侧=2πrl=2π·DG· FG=2 3π, ∴所求几何体的表面积为 S=S 锥表+S 柱侧=12π+2 3π=2(6+ 3)π. 18.(12 分)一个正三棱柱的三视图如下图所示,求这个正三棱柱的表面积.

解: 由三视图知正三棱柱的高为 2 mm, 由侧视图知正三棱柱的底面正三角形的高为 2 3 mm.设底面边长为 a,由三角形的面积相等得 ∴a=4. ∴正三棱柱的表面积 S=S 侧+2S 底 1 =3×4×2+2× ×4×2 3=8(3+ 3)(mm)2. 2 19.(12 分)已知圆台的上底面半径为 r,下底面半径为 R,母线长为 l,试证明圆台的侧 面积公式为:S 圆台侧面积=π(r+R)l,表面积公式为 S=π(R2+r2+Rl+rl). 证明:把圆台还原成圆锥,并作出轴截面,如下图: 3 a=2 3, 2

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设 AB=x,BC=l,∵△ABF∽△ACG. r x rl ∴ = ,∴x= . R x+l R-r ∴S 圆台侧=S 扇形 ACD-S 扇形 ABE 1 1 = ·2πR(x+l)- ·2πr· x 2 2 rl =πRl+π(R-r)· R-r =π(R+r)l ∴S 圆台表面积=π(R+r)l+πR2+πr2 =π(Rl+rl+R2+r2). 20.(12 分)侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱.已知底面是菱形的直棱柱,它的体对角线分 别为 9 和 15,高是 5,求这个棱柱的侧面积. 解:设底面两条对角线的长分别为 a,b,则有 a2+52=92,b2+52=152,∴a= 56,b =10 2. ∴菱形的边长 x=

?a?2+?b?2=8. ?2? ?2?

∴S 侧=4x×5=4×8×5=160. 21.(12 分)如图,BD 是正方形 ABCD 的对角线,B D 的圆心是 A,半径为 AB,正方形 ABCD 以 AB 为轴旋转一周,求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比.

解: 把题图中Ⅰ、 Ⅲ部分分别绕直线 AB 旋转所得旋转体体积分别记为 VⅠ、 Ⅱ、 Ⅲ, Ⅱ、 V V 并设正方形的边长为 a.因此,

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1 π 14 π VⅠ= πa2· a3,VⅡ= ·πa3-VⅠ= a3, a= 3 3 23 3 π VⅢ=πa2· a-VⅠ-VⅡ= a3, 3 ∴VⅠ:VⅡ:VⅢ=1:1:1. 22.(12 分)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m).

(1)试画出它的直观图; (2)求它的表面积和体积. 解:(1)直观图如图所示.

(2)由三视图可知该几何体是长方体被截取一个角,且该几何体的体积是以 A1A、A1D1、 3 A1B1 为棱的长方体的体积的 . 4 在直角梯形 AA1B1B 中,作 BE⊥A1B1,则 AA1EB 是正方形, ∴AA1=BE=1. 在 Rt△BEB1 中,BE=1,EB1=1,∴BB1= 2. ∴几何体的表面积 S=S 正方形 AD1+2S 梯形 AA1B1B+S 矩形 BB1C1C+S 矩形 A1B1C1D1 1 =1+2× (1+2)×1+1× 2+1+1×2 2 =7+ 2(m2). 3 3 ∴几何体的体积 V1= ×1×2×1= (m3). 4 2 3 ∴该几何体的表面积为(7+ 2) m2,体积为 m3. 2
正方形 ABCD

+S

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必修 2 第 1 章《空间几何体》单元测试题
一、选择题` 1.已知集合 A={正方体},B={长方体},C={正四棱柱},D={直四棱柱},E={棱柱},F={直 平行六面体},则( ) A. A ? B ? C ? D ? F ? E C. C ? A ? B ? D ? F ? E 2.下面的图形可以构成正方体的是( ) B. A ? C ? B ? F ? D ? E D.它们之间不都存在包含关系

A B 3 如图 1 所示,这个圆锥的俯视图为(

C )

D

A B C 4.若圆锥的轴截面是正三角形,则它的侧面积是底面积的( A. 2 倍 B.3 倍 C.2 倍 D.5 倍

D )

5.一个骰子由 1 ~ 6 六个数字组成,请你根据图中 A, B, C 三种状态所显示的数字,推出 “?”处的数字是( ) A. 6 C. 1 B. 3 D . 2

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6.如图 2 所示的直观图,其平面图形的面积为( A.3 B. 2 C.6

) D. 3 2

7、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,圆台的侧面积为 84? ,则 圆台较小底面的半径为 A、7 B、6
1

( C、5

) D、3

8.长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 三条棱长分别是 A A1 =1, AB =2, A D =4,则从 A 点出发, 沿长方体的表面到 C 1 的最短矩离是( A.5 B.7 ) C. 29 D. 37

9.在棱长为 1 的正方体上, 分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形, 则截去 8 个三 棱锥后 ,剩下的几何体的体积是( )
2 7 4 5

A. 3

B. 6

C. 5
1

D. 6

10.在长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 中,AB=6,AD=4,AA1=3,分别过 BC,A1D1 的两个平行截面将长 方体分成三部分,其体积分别记为 V1 ? V AEA ? DFD , V 2 ? V EBE A ? FCF D
1 1
1 1

D1

F1

1 1

C1

V3 ? V B E
1

1B

? C1 F1C

,若 V1 :V 2 :V 3 ?1:4 :1 ,则截面 A1 E F D1 的面

A1

E1

B1

积为( A. 4 10

) B. 8 3 C. 4 1 3 D. 16
D F C

二、填空题 11. 是零件

的____________ 视图.

A

E

B

12.一个半球的全面积为 Q,一个圆柱与此半球等底等体积,则这个圆柱的全面积是 ____________. 13、若三个球的表面积之比是 1 : 2 : 3 ,则它们的体积之比是____________ 。 14.下面是一多面体的展开图,每个面内都给了字母,请根据要求回答问题: ①如果 A 在多面体的底面,那么哪一面会在上面 ____________;

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②如果面 F 在前面,从左边看是面 B,那么哪一个 面会在上面____________; ;

③如果从左面看是面 C,面 D 在后面,那么哪一 个面会在上面 ____________; . 15.如图,一个底面直径为 20cm 的装有部分水的圆柱形玻璃杯,水中浸没着一个 底面直径为 6cm、高为 20cm 的圆锥,当圆锥从水中取出来,杯中的水位下降_____ cm.

三.解答题: 16.已知圆台的上下底面半径分别是 2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线 长.

17.已知正三棱锥 S-ABC 的高 SO=h,斜高 SM=n,求经过 SO 的中点且平行于底面的截面△A1B1C1 的面积. 18. (有在正方形 ABCD 中,E、F 分别为 AB、BC 的中点,现在沿 DE、DF 及 EF 把△ADE、△ CDF 和△BEF 折起,使 A、B、C 三点重合,依据题意制作个几何体;若正方形边长为 a, 则每个面的三角形面积为多少.

19、如图,在四边形 ABCD 中,









AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

20.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用) ,已建的仓库的 底面直径为 12 M ,高 4 M ,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有 两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 M (高不变) ;二是高度增加 4 M (底

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面直径不变)。 (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;

21.已知四棱台上,下底面对应边分别是 a,b,试求其中截面把此棱台侧面分成的两部分 面积之比.

必修 2 第 1 章《空间几何体》单元测试题
1~5 BCBCA 11.俯 14.①F②C③A; 命题:水果湖高中 胡显义 6~10 CAADC 12.
14 9 Q

13. 1 : 2 2 : 3 3

15. 0.6

16、解:设圆台的母线长为 l ,则 圆台的上底面面积为 S 上 ? ? ? 2 2 ? 4? 圆台的上底面面积为 S 下 ? ? ? 5 2 ? 25? 所以圆台的底面面积为 S ? S 上 ? S 下 ? 29? 又圆台的侧面积 S 侧 ? ? (2 ? 5) l ? 7 ? l 于是 7 ? l ? 25? 即l ?
29 7

为所求.
3 6

17. 设底面正三角形的边长为 a, RT△SOM 中 SO=h, 解: 在 SM=n, 所以 OM= n ? l 又 MO=
2 2

a,

即 a=

6 3

n

2

?l

2

,? s ? ABC ?

3 4

a

2

? 3 3 (n

2

? l ) ,截面面积为
2

3 4

3 (n ? l ) .
2 2

18.这个几何体由四个面构成,即面 DEF、面 DFP、面 DEP、面 EFP.由平几知识可知 DE=DF,

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∠DPE=∠EPF=∠DPF=90°, 所以△DEF 为等腰三角形, DFP、 EFP、 DEP 为直角三角形. △ △ △

DE=DF= 5 a,EF= 2 a,所以,S△DEF=
所以 S△DPE= S△DPF= a ,S△EPF=
2

3 2

a2。DP=2a,EP=FP=a,

1 2

a2.

19. S= ( 60

? 4

2 )?

,

V=148/3 ?

20、 (1)如果按方案一,仓库的底面直径变成 16M,则仓库的体积

V

1

?

1 3

S

256 ? 16 ? 3 ?h ? ?? ?? ? (M ) ? ?4? 3 2 ? 3 ? 1

2

如果按方案二,仓库的高变成 8M,则仓库的体积

V

2

?

1 3

S

288 ? 12 ? 3 ?h ? ?? ?? ? (M ) ? ?8 ? 3 3 ? 2 ? 1

2

(2)如果按方案一,仓库的底面直径变成 16M,半径为 8M. 棱锥的母线长为 l ? 则仓库的表面积
8 ?4 ?4 5
2 2

S

1

? ? ? 8 ? 4 5 ? 32 5? ( M )
2

如果按方案二,仓库的高变成 8M. 棱锥的母线长为 l ? 则仓库的表面积
8 ? 6 ? 10
2 2

S

2

? ? ? 6 ? 10 ? 60? ( M )
2

21. 解:设 A1B1C1D1 是棱台 ABCD-A2B2C2D2 的中截面,延长各侧棱交于 P 点. ∵BC=a,B2C2=b∴B1C1=
a ?b 2

∵BC∥B1C1∴

S ? PBC S ? PB 1 C 1

? (

a 2

2

a ?b

)

2

。 ∴ S ? PB

1C 1

?

(a ? b) 4a ? b a
2 2 2

2

? S ? PBC

同理 S ? PB

2C 2

? S ? PBC



S B1C1C B S B 2 C 2 C1 B1

?

S ? P B1C1 ? S ? P B C S ? P B 2 C 2 ? S ? P B1C1

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(a ? b) ? b a
2 2 2

?1 2 2 2 b ? 2 a b ? 3a ( b ? 3 a )( b ? a ) b ? 3a 4a ? ? ? 2 2 2 ( 3b ? a )( b ? a ) 3b ? 2 a b ? a (a ? b) 3b ? a ? 2 4a
S A B B 1 A1 S A1 B 1 B 2 A1 ? S D C C1 D1 S D1C1C 2 D 2 S 上棱台侧 S 下棱台侧 = ? S A D D 1 A1 S A1 D 1 D 2 A1 3a ? b a ? 3b ? b ? 3a 3b ? a

同理:

由等比定理,得


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