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[原创]2012年数学一轮复习精品试题第45讲 空间点


第四十五讲

空间点?直线? 空间点?直线?平面之间的位置关系

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一?选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号 选择题:(本大题共 小题, :( 内.) 1.已知 是异面直线, c∥直线 a,则 1.已知 a,b 是异面直线,直线 c∥直线 a,则 c 与 b( A.一定是异面直线 A.一定是异面直线 C.不可能是平行直线 C.不可能是平行直线 )

B.一定是相交直线 B.一定是相交直线 D.不可能是相交直线 D.不可能是相交直线

解析: b∥c,由已知 c∥a,所以 a∥b,与 是异面直线矛盾. 不可能平行. 解析:若 b∥c,由已知 c∥a,所以 a∥b,与 a,b 是异面直线矛盾.故 c 与 b 不可能平行. 答案:C 答案:C l,直线 AB∩l=M,过 2.如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且 2.如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且 C?l,直线 AB∩l=M,过 A、B、C 三点的平面记作 如图,α∩β=l,A γ,则 的交线必通过( γ,则 γ 与 β 的交线必通过( )

A.点 A.点 A C.点 C.点 C 但不过点 M

B.点 B.点 B D.点 D.点 C 和点 M

解析:由题意知,C∈γ,A∈γ,B∈γ,从而 AB?γ,又 M∈AB,所以 M∈γ.故 解析:由题意知,C∈γ,A∈γ,B∈γ,从而 AB?γ,又 M∈AB,所以 M∈γ.故 C?M 都在 γ ,C∈γ,A∈γ,B∈γ, M∈l,l?β,知 M∈β,又 C∈β,故 内.由 M∈l,l?β,知 M∈β,又 C∈β,故 C、M 都在 β 内. 所以 γ 和 β 的交线过点 C 和点 M. 答案:D 答案:D 3.以下四个命题中,正确命题的个数是( 3.以下四个命题中,正确命题的个数是( 以下四个命题中 ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; 不共面的四点中,其中任意三点不共线; 共面, 共面, 共面; ②若点 A?B?C?D 共面,点 A?B?C?E 共面,则 A?B?C?D?E 共面; 共面, 共面, 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 依次首尾相接的四条线段必共面. A.0 B.1 C.2 D.3 )

解析:①正确,此问用反证法.②从条件看出两平面有三个公共点 C,但是若 解析:①正确,此问用反证法.②从条件看出两平面有三个公共点 A、B、C,但是若 A、B、 :①正确 .②

1

共线,则结论不对.③不正确,共面不具有传递性.④不正确, .③不正确 .④不正确 C 共线,则结论不对.③不正确,共面不具有传递性.④不正确,因为此时所得的四边形的四条 边可以不在一个平面上. 边可以不在一个平面上. 答案:B 答案:B 4.已知直线 l,若直线 同时满足以下三个条件: 是异面直线;m 4.已知直线 l,若直线 m 同时满足以下三个条件:m 与 l 是异面直线;m 与 l 的夹角为 π.那么 那么, 的条数为( (定值);m 与 l 的距离为 π.那么,这样的直线 m 的条数为( 定值);m A.0 C.4 B.2 D.无穷 D.无穷 )

π
3

解析: π(定值),在 定值), 解析:作一个与 l 平行的平面 α,l 到平面 α 的距离为 π(定值),在 α 上作一条直线 m 与 l 的夹角为 答案:D 答案:D 5.如图,E? 上互异的两点,G ,G? 上互异的两点,由图可知,①AB 互为异 5.如图,E?F 是 AD 上互异的两点,G?H 是 BC 上互异的两点,由图可知,①AB 与 CD 互为异 如图,E 面直线;②FH DC? 互为异面直线;③EG 互为异面直线;④EG 面直线;②FH 分别与 DC?DB 互为异面直线;③EG 与 FH 互为异面直线;④EG 与 AB 互为异面直 线.其中叙述正确的是( 其中叙述正确的是( )

π
3

平行的直线均同时满足三个条件. ,则 α 上与 m 平行的直线均同时满足三个条件.故选 D.

A.①③

B.②④

C.①④

D.①②

解析: 互为异面直线, 正确; 重合时,B ,B、 解析:根据图形 AB 与 CD 互为异面直线,故①正确;当 F 点与 D 重合时,B、F、C、H 四点 共面,FH DC、 不为异面直线, 错误; 不可能共面( 共面,FH 与 DC、DB 不为异面直线,故②错误;由于 EG 与 FH 不可能共面(否则 A、B、C、D 四 点共面),所以 互为异面直线, 正确; 重合时,AB 为共面直线, 点共面),所以 EG 与 FH 互为异面直线,故③正确;当 G 与 B 重合时,AB 与 EG 为共面直线,故④ ), 错误. 错误.所以应选 A. 答案:A 答案:A 6.如图, ABCD— ,E? 的中点, 6.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E?F 分别是 A1B1?CC1 的中点,则异面直线 AE 与 BF 所 如图 成角的余弦值为( 成角的余弦值为( )

2

A.

1 5

B.

3 5

C.

4 5

D.

2 5

解析: G,连接 AG,则 AE? 所成的角; AB=2,则 解析:取 DD1 的中点 G,连接 AG,则∠GAE 为异面直线 AE?BF 所成的角;设 AB=2,则 AE= 5, AG = 答案:D 答案:D 把正确答案填在题后的横线上.) 二?填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 填空题:(本大题共 小题, :( 7.在空间四边形 1,若 BD=1,则 的取值范围是________ ________. 7.在空间四边形 ABCD 中,各边边长均为 1,若 BD=1,则 AC 的取值范围是________. 解析: O,连接 AO,CO,则 解析:取 BD 的中点 O,连接 AO,CO,则 AO=CO=

5 ,连接 EG,则 EG = 6 ,∴cos∠GAE= EG,则

5+5?6 4 2 = = ,故选 D. 2×5 10 5

3 , 由三角形的三边关系定理知 2

0<AC< 3.

答案:0<AC< 3 答案:0<AC< 8.如图, ABCD— 的中点,O 的中心,P 8.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 是 DD1 的中点,O 是底面正方形 ABCD 的中心,P 为棱 如图 上任意一点, 所成角的大小等于________ ________. A1B1 上任意一点,则直线 OP 与直线 AM 所成角的大小等于________.

3

答案:90° 答案:90° 9.如图所示, ABCD给出下列五个命题: 9.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,给出下列五个命题: 如图所示

①直线 AC1 在平面 CC1B1B 内; ②设正方形 ABCD 与 A1B1C1D1 的中心分别为 O?O1,则平面 AA1C1C 与平面 BB1D1D 的交线为 OO1; 可以确定一个平面; ③由点 A?O?C 可以确定一个平面; ④由 A?C1?B1 确定的平面是 ADC1B1; 内的直线, 内的直线; 相交, ⑤若直线 l 是平面 AC 内的直线,直线 m 是平面 D1C 内的直线;若 l 与 m 相交,则交点一定 在直线 CD 上. 其中真命题的序号是________. 其中真命题的序号是________. ________ B,又 BC? B,∴AB? B,与 AB? 解析:①错误, 解析:①错误,若 AC1?平面 CC1B1B,又 BC?平面 CC1B1B,∴AB?平面 CC1B1B,与 AB?平面 :①错误 矛盾; CC1B1B 矛盾; ②正确.O?O1 是两平面的两个公共点; 正确.O? 是两平面的两个公共点; .O 共线; ③错误.因为 A?O?C 共线; 错误. 不共线,∴ ,∴确定平面 α,又 为平行四边形,AC ④正确.A?C1?B1 不共线,∴确定平面 α,又 AB1C1D 为平行四边形,AC1?B1D 相交于 O2 点,而 正确.A? .A O2∈α,B1∈α, α,而 ∴B1O2?α,而 D∈B1O2,∴D∈α; 相交,则交点是两平面的公共点, 两平面的交线, ⑤正确.若 l 与 m 相交,则交点是两平面的公共点,而直线 CD 为两平面的交线,所以交点 正确. 一定在直线 CD 上. 答案:②④⑤ 答案:②④⑤ ,M? 的中点,有以下四个结论: 10.如图, ABCD— 10.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M?N 分别为棱 C1D1?C1C 的中点,有以下四个结论: 如图

4

①直线 AM 与 CC1 是相交直线; 是相交直线; 是平行直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线; 是异面直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线; 是异面直线. ④直线 AM 与 DD1 是异面直线. 其中正确的结论为________( 其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论的序号都填上). ________ 把你认为正确的结论的序号都填上). 解析: 是异面直线, 也是异面直线, ①②错误 错误. 解析:直线 AM 与 CC1 是异面直线,直线 AM 与 BN 也是异面直线,故①②错误. 答案:③④ 答案:③④ ,11? 写出证明过程或推演步骤.) 三?解答题:(本大题共 3 小题,11?12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 解答题:(本大题共 小题,11 :( 11.如图, ABEF⊥平面 ABCD,四边形 11.如图,平面 ABEF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯 如图 形,∠BAD=∠FAB=90°,BC ∥

1 1 FA,G? FA? 的中点. AD,BE ∥ FA,G?H 分别为 FA?FD 的中点. 2 2

(1)证明: 是平行四边形. (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形. 证明 (2)C? 四点是否共面?为什么? (2)C?D?F?E 四点是否共面?为什么? 解:(1)证明:由题设知,FG=GA,FH=HD, :(1)证明:由题设知,FG=GA,FH=HD, 证明 所以 GH ∥ 又 BC ∥

1 AD, 2

1 AD,故 AD,故 GH ∥ BC. 2

是平行四边形. 所以四边形 BCHG 是平行四边形.
5

(2)C? 四点共面,理由如下: (2)C?D?F?E 四点共面,理由如下: 由 BE ∥

1 的中点知,BE GF,所以 AF,G 是 FA 的中点知,BE ∥ GF,所以 EF∥BG. 2

由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,故 EC?FH 共面.又点 D 在直线 FH 上,所以 C?D?F?E 四点共 (1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,故 EC? 共面. 面. 12.空间四边形 30°,E、 BC、 的中点, 12.空间四边形 ABCD 中,AB=CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30°,E、 分别是 BC、 的中点, F AD 所成角的大小. 求 EF 与 AB 所成角的大小. 分析: 所成的角,可经过某一点作两条直线的平行线, 为中点, 分析:要求 EF 与 AB 所成的角,可经过某一点作两条直线的平行线,考虑到 E、F 为中点, 的平行线即可. 的中点, AB、 CD,使 故可过 E 或 F 作 AB 的平行线即可.取 AC 的中点,平移 AB、 使已知角和所求的角在一个三 CD, 角形中求解. 角形中求解.

G,连接 EG、 解:取 AC 的中点 G,连接 EG、FG, 则 EG∥AB,GF∥CD, 且由 AB=CD 知 EG=FG,

∴∠GEF(或它的补角) 所成的角,∠EGF 所成的角. ∴∠GEF(或它的补角)为 EF 与 AB 所成的角,∠EGF 或它的补角为 AB 与 CD 所成的角. 或它的补角 ∵AB 与 CD 所成的角为 30°, ∴∠EGF=30°或 ∴∠EGF=30°或 150°. 为等腰三角形, 由 EG=FG 知△EFG 为等腰三角形, 当∠EGF=30°时,∠GEF=75°; ∠EGF=30°时 当∠EGF=150°时,∠GEF=15°. ∠EGF=150°时
6

15°或 故 EF 与 AB 所成的角为 15°或 75°. 13.如图所示,S 所在平面外一点,SA=SB=SC,且 ,SA=SB=SC, 13.如图所示,S 是正三角形 ABC 所在平面外一点,SA=SB=SC,且 如图所示 ∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°,M、 的中点, ∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°,M、N 分别是 AB 和 SC 的中点,求异面直线 SM 和 BN 所成角的余弦 值.

4a,则 解:如图所示,设正三角形 ABC 的边长为 4a,则 如图所示, SA=SB=SC=

2 1 1 AB = 2 2a, SM = AB=2a,SN= SC = 2a, 2 2 2

BN = SB 2 + SN 2 = 10a, 取 MC 的中点 O,连接 BO,NO,则 O,连接 BO,NO,则 NO = 1 1 SM = a, OM = CM = 3a , 2 2
2 2

∴OB= OM + MB = 在△ONB 中, cos∠BNO=

7 a,

BN 2 + ON 2 ? BO 2 10 = . 又∵ON∥SM,∴∠BNO 是异面直线 SM 与 BN 所成 2oBNoON 5 10 . 5

的角, 的角,且所成角的余弦值为

7


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