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第一部分 第三章 第2讲 一次函数


第2讲

一次函数

1.结合具体情境体会一次函数的意义,根据已知条件确定 一次函数表达式. 2.会画一次函数的图象,根据一次函数的图象和表达式 y =kx+b(k≠0)探索并理解其性质(k>0 或 k<0 时,图象的变化情 况). 3.理解正比例函数.

4.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.


5.能用一次函数解决实际问题.

1.一次函数的概念

y=kx+b(k≠0) (1)一次函数:形如__________________ 的函数叫做一次函
数.

(2)正比例函数:当 b=0 时,即 y=kx(k≠0)称为正比例函数. 它是一次函数的特殊情况.

2.一次函数的图象及性质 (1)一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象、性质列表如下:
b>0 b<0 b=0

k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限

增大而增大 图象从左到右上升,y 随 x 的________________

k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限

增大而减小 图象从左到右下降,y 随 x 的________________

(2)交点坐标:一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象与 x 轴的交点
? b ? ?- ,0? 是_________ ? k ? ,与

(0,b) . y 轴的交点是________

(0,0) . (3)正比例函数 y=kx(k≠0)的图象恒过点________ (4)若一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象与 x 轴交于点 A,与 y

b2 2|k| 轴交于点 B,则 S△AOB=________.
3.确定一次函数表达式的条件 函数表达式 所需条件个数

y=kx
1个

y=kx+b
2个

4.用待定系数法确定一次函数表达式

y=kx+b(k≠0) . (1)设:设函数表达式为__________________
(2)代:将已知点的坐标代入函数表达式,解____________ 方程或方程组 _________________________ .

k与b (3)解:求出__________ 的值,得到函数表达式.
5.一次函数与二元一次方程组的关系

1 1 1.下列函数:①y=4x+3;②y=-2x;③y=x;④y=x2; ⑤y=1-x,其中是一次函数的有( C )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

2.直线 y=x-1 的图象经过象限是( D ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限

D.第一、三、四象限

3.一个正比例函数的图象经过点(2,-3),它的表达式为 ( A )
3 A.y=-2x 3 C.y=2x 2 B.y=3x -2 D.y= 3 x

4.写出一个具体的 y 随 x 的增大而减小的一次函数解析式

y=-x+1 ________________ .
5.已知一次函数 y=2x+1,则 y 随 x 的增大而________( 增大 填 “增大”或“减小”).

考点 1

一次函数的图象与性质

1.(2011 年广东清远)一次函数 y=x+2 的图象大致是( A )

2.(2012 年湖南娄底)对于一次函数 y=-2x+4,下列结论 错误的是( D )

A.函数值随自变量的增大而减小
B.函数的图象不经过第三象限 C.函数的图象向下平移 4 个单位长度得 y=-2x 的图象

D.函数的图象与 x 轴的交点坐标是(0,4)

3.(2012 年贵州黔东南州)如图 3-2-1,是直线 y=x-3 的图象,点 P(2,m)在该直线的上方,则 m 的取值范围是( B )

图 3-2-1

A.m>-3

B.m>-1

C.m>0

D.m<3

解析:当 x=2 时,m=2-3=-1,要使点 P 在该直线的上
方,m>-1.

规律方法:把握一次函数中 k,b 的含义是关键.

考点 2

确定一次函数的表达式

4.(2012 年陕西)下列四组点中,可以在同一个正比例函数 图象上的一组点是( A ) A.(2.-3),(-4,6) C.(-2,-3),(4,-6) B.(-2,3),(4,6) D.(2,3),(-4,6)

y 解析:由正比例函数的解析式 y=kx(k≠0)得x=k,若几个
点在同一个正比例函数图象上则这些点的纵坐标与横坐标的比 值是相等的,通过验算可知,A 正确.

5.(2012 年广西玉林)一次函数 y=mx+|m-1|的图象过点 (0,2),且 y 随 x 的增大而增大,则 m=( B ) A.-1 C.1 B.3 D.-1 或 3

解析:∵一次函数 y=mx+|m-1|的图象过点(0,2),∴|m-1| =2.∴m-1=2 或 m-1=-2,解得 m=3 或 m=-1.∵y 随 x 的增大而增大,∴m>0.∴m=3.故选 B.

6.(2010 年广东清远)正比例函数 y=kx 和一次函数 y=ax

+b 的图象都经过点 A(1,2) ,且一次函数的图象交 x 轴于点

B(4,0).求正比例函数和一次函数的表达式.
解:由正比例函数 y=kx 的图象过点(1,2),得 k=2.所以正

比例函数的表达式为 y=2x.
由一次函数 y=ax+b 的图象经过点(1,2)和(4,0),得
? ?a+b=2, ? ? ?4a+b=0.

2 8 解得 a=-3,b=3. 2 8 所以一次函数的表达式为 y=-3x+3.

考点 3

一次函数的应用

7.(2012 年广东梅州)一辆警车在高速公路的 A 处加满油,

以每小时 60 千米的速度匀速行驶.已知警车一次加满油后,油
箱内的剩余油量 y(单位:升)与行驶时间 x(单位:小时)的函数关

系的图象是如图 3-2-2 所示的直线 l 上的一部分.
(1)求直线 l 的函数关系式; (2)如果警车要回到 A 处,且要求警车油 箱的剩余油量不能少于 10 升,那么警车可以 行驶到离 A 处的最远距离是多少? 图 3-2-2

解:(1)设直线 l 的解析式是 y=kx+b,由图可知,直线经
? ?k+b=54, 过(1,54),(3,42)两点,得? ? ?3k+b=42, ? ?k=-6, 解得? ? ?b=60.

∴直线 l 的解析式是 y=-6x+60. 25 (2)由题意,得 y=-6x+60≥10,解得 x≤ 3 . 25 1 ∴警车最远的距离为 60× 3 ×2=250(千米).

8.(2012 年广东广州)某城市居民用水实行阶梯收费,如果 每户每月的用水量未超过 20 吨,按每吨 1.9 元收费;如果每户 每月超过 20 吨,未超过的部分按每吨 1.9 元收费,超过的部分

则按每吨 2.8 元收费,设某户每月的用水量为 x 吨,应收水费为

y 元.
(1)分别写出每月的用水量未超过 20 吨和超过 20 吨时,y 与 x 之间的函数关系式;
(2)若该城市某户 5 月份水费为平均每吨 2.2 元,求该户 5 月份用水多少吨?

? ?1.9x?x≤20?, 解:(1)y=? ? ?2.8x-18?x>20?.

(2)由于 5 月份水费平均为每吨 2.2 元,超过 1.9 元,故用水 超过 20 吨,于是有 2.8x-18=2.2×x,解得 x=30 吨. 答:5 月份用水 30 吨. 规律方法:将实际问题转化成数学问题,可利用一次函数 图象的性质解题.


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