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平面向量的概念与线性运算总复习(经典版)


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第四章 平面向量与复数第 1 课时 平面向量的概念与线性运算

→ → → 1. (必修 4P63 练习第 1 题改编)如图在平行四边形 ABCD 中, E 为 DC 边的中点, 且AB=a, AD=b, 则BE=________.

1 答案:b- a 2 1 1 → → → 1→ 解析:BE=BA+AD+ D

C=-a+b+ a=b- a. 2 2 2 → → → → → 2. (必修 4P65 例 4 改编)在△ABC 中,AB=c,AC=b.若点 D 满足BD=2DC,则AD=________.(用 b、c 表示) 2 1 答案: b+ c 3 3 → → → → → → → → → → 2 1 解析:因为BD=2DC,所以AD-AB=2(AC-AD),即 3AD=AB+2AC=c+2b,故AD= b+ c. 3 3 1→ → → → ,则这个四边形是________. 3. (必修 4P63 练习第 6 题改编)设四边形 ABCD 中,有 DC=AB且|AD|= BC 2

| |

答案:等腰梯形 → 1→ → → → 1→ 解析:AB= DC AB∥DC,且|AB|= |DC|,∴ 2 2 腰梯形. → → → 4. (必修 4P66 练习第 2 题改编)设 a、b 是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b.若 A、B、D 三 点共线,则实数 p=________. 答案:-1 → → → → → 解析:∵ BD=BC+CD=2a-b,又 A、B、D 三点共线,∴ 存在实数 λ,使AB=λBD.
?2=2λ, ? 即? ∴ p=-1. ?p=-λ, ?

→ → ABCD 为梯形.又|AD|=|BC|,∴ 四边形 ABCD 的形状为等

1. 向量的有关概念 → → (1) 向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量AB的大小叫做向量的长度(或模),记作|AB|. (2) 零向量:长度为 0 的向量叫做零向量,其方向是任意的. (3) 单位向量:长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量. (4) 平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.平行向量又称为共线向量,任一组平行向量都可以移 到同一直线上. 规定:0 与任一向量平行. (5) 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
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(6) 相反向量:与向量 a 长度相等且方向相反的向量叫做 a 的相反向量.规定零向量的相反向量仍是零向量. 2. 向量加法与减法运算 (1) 向量的加法 ① 定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. ② 法则:三角形法则;平行四边形法则. ③ 运算律:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c). (2) 向量的减法 ① 定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法. ② 法则:三角形法则. 3. 向量的数乘运算及其几何意义 (1) 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λa,它的长度与方向规定如下: ① |λ a|=|λ||a|; ② 当 λ>0 时,λ a 与 a 的方向相同;当 λ<0 时,λ a 与 a 的方向相反;当 λ=0 时,λ a=0. (2) 运算律:设 λ、μ∈R,则:① λ(μa)=(λμ)a;② (λ +μ)a=λa+μa;③ λ(a+b)=λa+λb. 4. 向量共线定理 向量 b 与 a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数 λ,使得 b=λa.

题型 1 平面向量的基本概念 例 1 给出下列六个命题: ① 两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ② 若|a|=|b|,则 a=b; → → ③ 若AB=DC,则 A、B、C、D 四点构成平行四边形; ④ 在 → → ABCD 中,一定有AB=DC;

⑤ 若 m=n,n=p,则 m=p; ⑥ 若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中错误的命题有________.(填序号) 答案:①②③⑥ 解析:两向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两相等向量,不一定有相同的起点和终点,故①不正确; → → |a|=|b|,由于 a 与 b 方向不确定,所以 a、b 不一定相等,故②不正确;AB=DC,可能有 A、B、C、D 在一条直线 上的情况,所以③不正确;零向量与任一向量平行,故 a∥b,b∥c 时,若 b=0,则 a 与 c 不一定平行,故⑥不正确. 备选变式(教师专享) 设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|· a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|· a0;③若 a 与 a0 平行且
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|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命题个数是________. 答案:3 解析:向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时 a=-|a|a0,故②、③也是假命题,填 3. 题型 2 向量的线性表示 → 1→ → 1→ → → → → 例 2 平行四边形 OADB 的对角线交点为 C,BM= BC,CN= CD,OA=a,OB=b,用 a、b 表示OM、ON、 3 3 → MN.

→ → 1→ 1 1 → → → 1 5 → → → → 1→ 1→ 2→ 解:BA=a-b,BM= BA= a- b,OM=OB+BM= a+ b.OD=a+b,ON=OC+CN= OD+ OD= OD= 6 6 6 6 6 2 6 3 2 2 → 1 → → 1 a+ b.MN=ON-OM= a- b. 3 3 2 6 变式训练 → → → 在△ABC 中,E、F 分别为 AC、AB 的中点,BE 与 CF 相交于 G 点,设AB=a,AC=b,试用 a,b 表示AG.

λ? → λ → → λ → → → → → → λ → → → λ→ 解:AG=AB+BG=AB+λBE=AB+ (BA+BC)=? ?1-2?AB+2(AC-AB)=(1-λ)AB+2AC=(1-λ)a+2b. 2 → → → → → → m → → 又AG=AC+CG=AC+mCF=AC+ (CA+CB) 2 → m→ m =(1-m)AC+ AB= a+(1-m)b, 2 2



?1-λ= 2 , 2 解得 λ=m= , ? 3 λ 1 - m = , ? 2

m

→ 1 1 ∴ AG= a+ b. 3 3 题型 3 共线向量 例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线. → → → (1) 若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证:A、B、D 三点共线; (2) 试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. → → → (1) 证明:∵ AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), → → → → ∴ BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB.
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→ → ∴ AB,BD共线. 又它们有公共点 B,∴ A、B、D 三点共线. (2) 解:∵ ka+b 与 a+kb 共线, ∴ 存在实数λ,使 ka+b=λ(a+kb),

即(k-λ)a=(λk-1)b. 又 a、b 是两不共线的非零向量, ∴ ∴ k-λ=λk-1=0. k2-1=0.∴ k=± 1.

备选变式(教师专享) → → 已知 a、 b 是不共线的向量, AB=λa+b, AC=a+μb(λ、 μ∈R), 当 A、 B、 C 三点共线时 λ、 μ 满足的条件为________. 答案:λμ=1 → → → → 解析:由AB=λa+b,AC=a+μb(λ、μ∈R)及 A、B、C 三点共线得AB=tAC,所以 λa+b=t(a+μb)=ta+tμb,
?λ=t, ? 即可得? 所以 λμ=1. ? ?1=tμ,

题型 4 向量共线的应用 → → → 例 4 如图所示,设 O 是△ABC 内部一点,且OA+OC=-2OB,则△AOB 与△AOC 的面积之比为________.

1 答案: 2

解析:如图所示,设 M 是 AC 的中点,则 → → → OA+OC=2OM. → → → 又OA+OC=-2OB, → → ∴ OM=-OB, 即 O 是 BM 的中点, ∴ 1 S△AOB=S△AOM= S△AOC, 2
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即 S△AOB 1 = . S△AOC 2

备选变式(教师专享) 1 1 如图,△ABC 中,在 AC 上取一点 N,使 AN= AC;在 AB 上取一点 M,使得 AM= AB;在 BN 的延长线上 3 3 1 → → → → 取点 P,使得 NP= BN;在 CM 的延长线上取点 Q,使得MQ=λ CM时,AP=QA,试确定 λ 的值. 2

→ → → 1 → → 解:∵AP=NP-NA= (BN-CN) 2 1 → → 1→ = (BN+CN)= BC, 2 2 → → → 1→ → QA=MA-MQ= BM+λMC, 2 1→ → → → 1→ 又∵AP=QA,∴ BM+λMC= BC, 2 2 1 → 1→ 即 λMC= MC,∴λ= . 2 2

→ → → → → 1. 如图,在四边形 ABCD 中,AC 和 BD 相交于点 O,设AD=a,AB=b,若AB=2DC,则AO=________.(用 向量 a 和 b 表示)

2 1 答案: a+ b 3 3 1 → → → → 1→ 解析:因为AC=AD+DC=AD+ AB=a+ b, 2 2 1 2 1 → → → 2→ 2 a+ b?= a+ b. 又AB=2DC,所以AO= AC= ? 3 3? 2 ? 3 3 → → → 2. (2013· 四川)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB+AD=λAO,则 λ=________.

答案:2 → → → → 解析:AB+AD=AC=2AO,则 λ=2. 1 2 → → → 3. (2013· 江苏)设 D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点,AD= AB,BE= DC,若DE=λ1AB+λ2AC(λ1、λ2 2 3 为实数),则 λ1+λ2=________.
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1 答案: 2 1→ 2→ 1 2 → → → 1→ 2→ 1→ 2 → → → → 解析:DE=DB+BE= AB+ BC= AB+ (AC-AB)=- AB+ AC=λ1AB+λ2AC,故 λ1=- ,λ2= ,则 λ1 2 3 2 3 6 3 6 3 1 +λ2= . 2 → → → → 4. 已知点 P 在△ABC 所在的平面内, 若 2PA+3PB+4PC=3AB, 则△PAB 与△PBC 的面积的比值为__________. 4 答案: 5 → → → → → → → → → → → → → 解析:由 2PA+3PB+4PC=3AB,得 2PA+4PC=3AB+3BP,∴ 2PA+4PC=3AP,即 4PC=5AP. ∴ → → |AP| 4 S△PAB |AP| 4 = , = = . → 5 S△PBC → 5 |PC| |PC|

→ → → 1. 在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB+AD=λAO,则 λ=________. 答案:2 → → → 解析:因为四边形 ABCD 为平行四边形,对角线 AC 与 BD 交于点 O,所以AB+AD=AC,又 O 为 AC 的中点, → → → → → → → → 所以AC=2AO,所以AB+AD=2AO,因为AB+AD=λAO,所以 λ=2. → → → 2. 已知平面内 O,A,B,C 四点,其中 A,B,C 三点共线,且OC=xOA+yOB,则 x+y=________. 答案:1 → → → → → → → → → 解析:∵ A,B,C 三点共线,∴ AC=λAB,即OC-OA=λOB-λOA,∴ OC=(1-λ)OA+λOB,即 x=1-λ, y=λ,∴ x+y=1. 1 2 → → → 3. 设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC,若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ 2 为实数), 2 3 则λ 1+λ 2=________. 1 答案: 2 1→ 2→ 1→ 2 → → 1→ 2→ 1 解析:易知 DE= AB+ BC= AB+ (AC-AB)=- AB+ AC,所以 λ1+λ2= . 2 3 2 3 6 3 2 4. 已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点. → → → (1) 求GA+GB+GO; 1 1 → → → → (2) 若 PQ 过△ABO 的重心 G,且OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,求证: + =3. m n → → → → → → → → → → (1) 解:因为GA+GB=2GM,又 2GM=-GO,所以GA+GB+GO=-GO+GO=0. → 1 → 2→ 1 → (2) 证明:因为OM= (a+b),且 G 是△ABO 的重心,所以OG= OM= (a+b).由 P、G、Q 三点共线,得PG∥ 2 3 3
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1 1 → → → → → → 1 → → → ? 1 GQ GQ, 所以有且只有一个实数 λ, 使PG=λGQ.又PG=OG-OP= (a+b)-ma=? =OQ-OG=nb- (a ?3-m?a+3b, 3 3 1 1 1 1 n- ?b,所以? -m?a+ b= +b)=- a+? 3 3 ? ? ? ? 3 3 1? ? 1 λ?-3a+? ?n-3?b .

?

?

?3-m=-3λ, 又 a、b 不共线,所以? 消去 λ,整理得 3mn= 1 ? 1? n - = λ , ?3 ? 3?
1 1 m+n,故 + =3. m n

1

1

1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题, 其关键在于透彻理解平面向量的概念, 还应注意零向量的 特殊性,以及两个向量相等必须满足:①模相等;②方向相同. 2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则,利用三角 形中位线,相似三角形对应边成比例得平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解. 3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系,既可以证明向量共线,也可以由向量共线求参数.利用两向量共 线证明三点共线要强调有一个公共点.

第四章 平面向量与复数第 2 课时 平面向量的基本定理及坐标表示

1. (必修 4P75 习题 2.3 第 3 题改编)若向量 a=(2,3),b=(x,-9),且 a∥b,则实数 x=________. 答案:-6 解析:a∥b,所以 2×(-9)-3x=0,解得 x=-6. → → → 2. (必修 4P75 习题 2.3 第 2 题改编)若向量BA=(2,3),CA=(4,7),则BC=________. 答案:(-2,-4) → → → → → 解析:BC=BA+AC=BA-CA=(-2,-4). 3. (必修 4P74 例 5 改编)已知向量 a=(1, 2), b=(2, 0), 若向量 λa+b 与向量 c=(1, -2)共线, 则实数 λ=________. 答案:-1 解析:λa+b=(λ+2,2λ),∵ 向量 λa+b 与向量 c=(1,-2)共线,∴ (λ+2)×(-2)=2λ×1,解得 λ=-1.

→ → 4. (必修 4P75 习题 2.3 第 5 题改编)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD, 则顶点 D 的坐标为________. 7? 答案:? ?2,2? → → 解析:设 D(x,y),则由BC=2AD,
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?2x=4, ? 得(4,3)=2(x,y-2),得? ? ?2(y-2)=3,

x=2, ? ? 解得? 7 ? ?y=2. → → → 5. 已知 e1 与 e2 是两个不共线向量,AB=3e1+2e2,CB=2e1-5e2,CD=λe1-e2.若三点 A、B、D 共线,则λ = ________. 答案:8 → → → → → → → 解析:∵ A、B、D 共线,∴ AB与BD共线,∴ 存在实数 μ,使AB=μBD.∵ BD=CD-CB=(λ-2)e1+4e2,∴ 3e1+2e2=μ(λ-2)e1+4μe2,
? ?μ(λ-2)=3, ∴ ? ∴ ?4μ=2, ?

1 ? ?μ=2, ? ?λ=8. ?

1. 平面向量基本定理 如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 λ1、λ2,使 得 a=λ1e1+λ2e2.我们把不共线的向量 e1、e2 叫做表示这个平面内所有向量的一组基底. 如果作为基底的两个基向量互相垂直,则称其为正交基底,把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量 正交分解. 2. 平面向量的直角坐标运算 → → (1) 已知点 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|= (x2-x1)2+(y2-y1)2. (2) 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λ a=(λx1,λ y1).a∥b x1y2-x2y1=0.

题型 1 向量的坐标运算 → → → → → 例 1 已知 A(-2,4)、B(3,-1)、C(-3,-4)且CM=3CA,CN=2CB,求点 M、N 及MN的坐标. 解:∵ A(-2,4)、B(3,-1)、C(-3,-4), → → → → → → → ∴ CA=(1,8),CB=(6,3),∴ CM=3CA=(3,24),CN=2CB=(12,6).设 M(x,y),则有CM=(x+3,y +4),
? ?x+3=3, ∴ ? ∴ ?y+4=24, ? ? ?x=0, → ? ∴ M 点的坐标为(0,20).同理可求得 N 点的坐标为(9,2),因此MN=(9,-18).故 ?y=20, ?

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→ 所求点 M、N 的坐标分别为(0,20)、(9,2),MN的坐标为(9,-18). 备选变式(教师专享) → → → 在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD=________. 答案:(-3,-5) → → → → → → → → → → 解析:由题意,得BD=AD-AB=BC-AB=(AC-AB)-AB=AC-2AB=(1,3)-2(2,4)=(-3,-5). 题型 2 向量共线的条件 例 2 已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,求 m 的值. 解:a+b=(1,m-1),c=(-1,2). ∵ (a+b)∥c,∴ 变式训练 已知向量 a=(6,2),b=(-3,k),若 a∥b,求实数 k 的值. 解:(解法 1)∵ a∥b, ∴ 存在实数 λ,使 b=λa,
?6λ=-3, ? ∴ (-3,k)=(6λ,2λ),∴ ? ∴ k=-1. ?2λ=k, ?

m-1 1 = ,∴ m=-1. 2 -1

(解法 2)∵ a∥b,∴

-3 k = ,∴ k=-1. 6 2

题型 3 平面向量基本定理

例 3 如图,已知△ABC 的面积为 14,D、E 分别为边 AB、BC 上的点,且 AD∶DB=BE∶EC=2∶1,AE 与 → → → → → → CD 交于 P.设存在 λ 和 μ 使AP=λ AE,PD=μCD,AB=a,BC=b. (1) 求 λ 及 μ; → (2) 用 a、b 表示BP; (3) 求△PAC 的面积. 2 → → → → 1 解:(1) 由于AB=a,BC=b,则AE=a+ b,DC= a+b. 3 3 2 ? → → → → ?1 ? AP=λAE=λ? ?a+3b?,DP=μDC=μ?3a+b?, 2 ? 2 1 → → → 2→ → AP=AD+DP= AB+DP,即 a+μ( a+b)=λ? ?a+3b?. 3 3 3

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?λ=3+3μ, ? 2 ?μ=3λ,

2 1

6 4 解得 λ= ,μ= . 7 7

2 6 1 4 → → → a+ b?=- a+ b. (2) BP=BA+AP=-a+ ? 7? 3 ? 7 7 (3) 设△ABC、△PAB、△PBC 的高分别为 h、h1、h2, 4 4 → → h1∶h=|PD|∶|CD|=μ= ,S△PAB= S△ABC=8. 7 7 1 1 → → h2∶h=|PE|∶|AE|=1-λ= ,S△PBC= S△ABC=2, 7 7 ∴ S△PAC=4.

备选变式(教师专享)

→ → → 如图所示, 在△ABC 中, H 为 BC 上异于 B、 C 的任一点, M 为 AH 的中点, 若AM=λAB+μAC, 则 λ+μ=________. 1 答案: 2 → → → → 1→ 1 → 1 解析:由 B、H、C 三点共线,可令AH=xAB+(1-x)AC,又 M 是 AH 的中点,所以AM= AH= xAB+ (1- 2 2 2 → x)AC. 1 1 1 → → → 又AM=λAB+μAC,所以 λ+μ= x+ (1-x)= . 2 2 2

1. 在△ABC 中,已知 a、b、c 分别为内角 A、B、C 所对的边,S 为△ABC 的面积.若向量 p=(4,a2+b2-c2), q=(1,S)满足 p∥q,则 C=________. π 答案: 4 解析:由 p=(4,a2+b2-c2),q=(1,S)且 p∥q,得 4S=a2+b2-c2,即 2abcosC=4S=2absinC,所以 tanC=1. π 又 0<C<π,所以 C= . 4 → → → 2. 在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 所对的边,且 3aBC+4bCA+5cAB=0,则 a∶b∶c=________. 答案:20∶15∶12 → → → → → → → 解析:∵ 3aBC+4bCA+5cAB=0,∴ 3a(BA+AC)+4bCA+5cAB=0,∴ ∵ 在△ABC 中,
? ?3a=5c, ? 解得 ?3a=4b, ?

→ → (3a-5c)BA+(3a-4b)AC=0.

→ → ∴ BA、AC不共线,∴

?c=5a, ? 3 ?b=4a.
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3

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∴ 3 3 a∶b∶c=a∶ a∶ a=20∶15∶12. 4 5

λ 3. (2013· 北京文)向量 a、b、c 在正方形网格中的位置如图所示.若 c=λa+μb(λ、μ∈R),则 =________. μ

答案:4 解析:以向量 a、b 的交点为原点作直角坐标系,则 a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),根据 c=λa+μb= λ(-1,1)+μ(6,2)
?-λ+6μ=-1, ? ? ?λ+2μ=-3, ?

λ=-2, ? ? λ ? 1 则μ=4. ? ?μ=-2,

→ → → → 4. 在△ABC 中, 过中线 AD 中点 E 任作一条直线分别交边 AB、 AC 于 M、 N 两点, 设AM=xAB, AN=yAC(xy≠0), 则 4x+y 的最小值是________.

9 答案: 4 → 1→ 1 → → → 1 → → 1→ → 解析:因为 D 是 BC 的中点,E 是 AD 的中点,所以AE= AD= (AB+AC).又AB= AM,AC= AN,所以AE 2 4 x y = 1 → 1 → AM+ AN. 4x 4y 1 1 因为 M、E、N 三点共线,所以 + =1,所以 4x 4y 1 1 ? 1? 4x y? 4x+y=(4x+y)? ?4x+4y?=4?5+ y +x? 1 ≥ ?5+2 4? 9 = . 4 4x y? · y x?

→ → → 1. 如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若AD=xAB+yAC,则 x=________,y=________.

答案:1+

3 2

3 2

解析:(解法 1)以 AB 所在直线为 x 轴,以 A 为原点建立平面直角坐标系(如图).

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→ → → 令 AB=2,则AB=(2,0),AC=(0,2),过 D 作 DF⊥AB 交 AB 的延长线为 F,由已知得 DF=BF= 3,则AD= → → → (2+ 3, 3).∵AD=xAB+yAC,∴(2+ 3, 3)=(2x,2y).

?x=1+ 23, 即有? 3 ?y= 2 .

(解法 2) 过 D 点作 DF⊥AB 交 AB 的延长线为 F.由已知可求得 BF=DF= 所以 x=1+ 3 3 ,y= . 2 2 3 3→ 3 → → → → AB,AD=AF+FD=?1+ ?AB+ AC, 2 2 2? ?

→ → → 2. 已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP=AB+λ·AC(λ ∈R),试问: (1) λ 为何值时,点 P 在第一、三象限角平分线上; (2) λ 为何值时,点 P 在第三象限. → → → 解:设点 P 的坐标为(x,y),则AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),AB+λAC=(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,
? ?x-2=3+5λ, → → → 3)]=(3+5λ,1+7λ).由AP=AB+λAC,得? ?y-3=1+7λ ? ? ?x=5+5λ, ? ∴ 点 P 坐标为(5+5λ,4+7λ). ?y=4+7λ, ?

1 (1) 若点 P 在第一、三象限角平分线上,则 5+5λ=4+7λ,∴ λ= . 2 (2) 若点 P 在第三象限内,则 5+5λ<0 且 4+7λ<0, ∴ λ<-1. 1 1 3. 如图,△ABC 中,在 AC 上取一点 N,使得 AN= AC,在 AB 上取一点 M,使得 AM= AB,在 BN 的延长 3 3 1 → → → → 线上取点 P,使得 NP= BN,在 CM 的延长线上取点 Q,使得MQ=λCM时,AP=QA,试确定 λ 的值. 2

→ → → 1 → → 解:∵AP=NP-NA= (BN-CN) 2 1 → → 1→ = (BN+NC)= BC, 2 2
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→ → → 1→ → QA=MA-MQ= BM+λMC, 2 1→ → → → 1→ 又∵AP=QA,∴ BM+λMC= BC, 2 2 1 → 1→ 即 λMC= MC,∴λ= . 2 2 4. 如图, △ABC 中, D 为 BC 的中点, G 为 AD 的中点, 过点 G 任作一直线 MN 分别交 AB、 AC 于 M、 N 两点. 若 1 1 → → → → AM=xAB,AN=yAC,求 + 的值. x y

→ → → → 解:设AB=a,AC=b,则AM=xa,AN=yb, 1 → 1→ 1 → → AG= AD= (AB+AC)= (a+b). 2 4 4 1 ? 1 → → → 1 ∴MG=AG-AM= (a+b)-xa=? ?4-x?a+4b, 4 → → → MN=AN-AM=yb-xa=-xa+yb. → → → → ∵MG与MN共线,∴存在实数 λ,使MG=λMN. 1 ? 1 ∴? ?4-x?a+4b=λ(-xa+yb)=-λxa+λyb.

?4-x=-λx, ∵a 与 b 不共线,∴? 1 ?4=λy,
1 1 消去 λ,得 + =4. x y

1

1. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、 减或数乘运算, 共 线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后,任一向量的表示都是唯一的. 2. 利用向量的坐标运算解题,主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解;在将向量 用坐标表示时,要看准向量的起点和终点坐标,也就是要注意向量的方向,不要写错坐标. 3. 向量共线问题中,一般是根据其中的一些关系求解参数值,如果向量是用坐标表示的,就可以使用两个向量共 线的充要条件的坐标表示列出方程,根据方程求解其中的参数值. 第四章 平面向量与复数第 3 课时 平面向量的数量积及平面向量 的应用举例

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1. (必修 4P77 练习第 2(1)题改编)已知向量 a 和向量 b 的夹角为 135°,|a|=2,|b|=3,则向量 a 和向量 b 的数量 积 a·b=________. 答案:-3 2 解析:a· b=|a|· |b|cos135°=2×3×?-

?

2? =-3 2. 2?

2. (必修 4P80 练习第 3 题改编)已知向量 a、b 满足|a|=1,|b|=4,且 a· b=2,则 a 与 b 的夹角为________. π 答案: 3 π a· b 1 解析:∵ cos〈a,b〉= = ,∴ 〈a,b〉= . |a||b| 2 3 3. (必修 4P81 习题 2.4 第 2 题改编)已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则|a-b|=________. 答案: 3 解析:|a-b|= (a-b)2= a2+b2-2a· b= 12+22-2×1×2cos60°= 3. π 4. (必修 4P81 习题 2.4 第 3(1)题改编)已知两个单位向量 e1、e2 的夹角为 ,若向量 b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则 3 b1·b2=________. 答案:-6 解析:b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则 b1·b2=(e1-2e2)· (3e1+4e2)=3e2 e2-8e2 e2 为单位向量, 〈e1, 1-2e1· 2.因为 e1, π 1 e2〉= ,所以 b1·b2=3-2× -8=3-1-8=-6. 3 2 → → → → → 5. (必修 4P84 习题 4 改编)若平面四边形 ABCD 满足AB+CD=0, (AB-AD)· AC=0, 则该四边形一定是________. 答案:菱形 → → → → → → → 解析:四边形 ABCD 满足AB+CD=0 知其为平行四边形,(AB-AD)· AC=0 即DB·AC=0 知该平行四边形的对 角线互相垂直,从而该四边形一定是菱形.

1. 向量数量积的定义 (1) 向量 a 与 b 的夹角 (2) 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ,我们把数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a·b, 并规定零向量与任一向量的数量积为 0. 2. 向量数量积的性质 设 a,b 都是非零向量,e 是单位向量,θ 是 a 与 b 的夹角,则 (1) e· a=a· e. (2) a⊥b a·b=0.

(3) 当 a 与 b 同向时,a·b=|a||b|;
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当 a 与 b 反向时,a· b=-|a||b|; 特殊的,a·a=|a|2 或|a|= a· a. a· b (4) cosθ = . |a||b| (5) |a· b|≤|a|· |b|. 3. 向量数量积的运算律 (1) 交换律:a· b=b· a. (2) 分配律:(a+b)· c=a· c+b· c. (3) 数乘结合律:(λa)· b=λ(a· b)=a·(λb). 4. 平面向量数量积的坐标表示 (1) 若非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2.故 a⊥b (2) 设 a=(x,y),则|a|= x2+y2. x1x2+y1y2 a· b (3) 若向量 a=(x1,y1)与向量 b=(x2,y2)的夹角为 θ,则有 cosθ = = 2 2 2. |a||b| x1+y1· x2 2+y2 x1x2+y1y2=0.

题型 1 向量平行与垂直的充分条件 例 1 已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R. (1) 若 a⊥b,求 x 的值; (2) 若 a∥b,求|a-b|的值. 解:(1) 若 a⊥b, 则 a· b=(1,x)· (2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0, 整理得 x2-2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3. (2) 若 a∥b,则有 1×(-x)-x(2x+3)=0, 即 x(2x+4)=0,解得 x=0 或 x=-2. 当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0), ∴ |a-b|= (-2)2+02=2;

当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4), ∴ |a-b|= 22+(-4)2=2 5.

综上,可知|a-b|=2 或 2 5. 变式训练 1 已知向量 a=(1,2),b=(-2,m),x=a+(t2+1)b,y=-ka+ b,m∈R,k、t 为正实数. t (1) 若 a∥b,求 m 的值; (2) 若 a⊥b,求 m 的值; (3) 当 m=1 时,若 x⊥y,求 k 的最小值.
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解:(1) 因为 a∥b,所以 1· m-2· (-2)=0,解得 m=-4. (2) 因为 a⊥b,所以 a· b=0, 所以 1· (-2)+2m=0,解得 m=1. (3) 当 m=1 时,a·b=0. 因为 x⊥y,所以 x· y=0. 1 1 2 2 ? 则 x· y=-ka2+? ? t -k(t +1)?a·b+(t+ t )b =0. 1 因为 t>0,所以 k=t+ ≥2,当 t=1 时取等号, t 即 k 的最小值为 2. 题型 2 向量的夹角与向量的模 例 2 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61. (1) 求 a 与 b 的夹角 θ; (2) 求|a+b|; → → (3) 若AB=a,BC=b,求△ABC 的面积. 解:(1) ∵ (2a-3b)· (2a+b)=61, ∴ 4|a|2-4a· b-3|b|2=61.

又|a|=4,|b|=3,∴ 64-4a· b-27=61, ∴ ∴ a· b=-6. -6 1 a· b cosθ= = =- . |a||b| 4×3 2

2π 又 0≤θ≤π,∴ θ= . 3 (2) 可先平方转化为向量的数量积. |a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a· b+|b|2 =42+2×(-6)+32=13, ∴ |a+b|= 13.

2π → → (3) ∵ AB与BC的夹角 θ= , 3 ∴ 2π π ∠ABC=π- = . 3 3

→ → 又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3, ∴ 1→ → 1 3 S△ABC= |AB||BC|sin∠ABC= ×4×3× =3 3. 2 2 2

备选变式(教师专享) 已知非零向量 a、 b、 c 满足 a+b+c=0 , 向量 a、 b 的夹角为 120°, 且|b|=2|a|, 则向量 a 与 c 的夹角为________. 答案:90°
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1 1 解析:由题意,得 c=-a-b,a·c=-a2-a· b=-|a|2-|a||b|cos120°=-|a|2+ |a||b|=-|a|2+ |a|·2|a|=-|a|2 2 2 +|a|2=0,所以 a⊥c,即 a 与 c 的夹角为 90°. 题型 3 平面向量与三角函数的交汇 → → → → 例 3 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且(2a+c)· BC·BA+cCA·CB=0. (1) 求角 B 的大小; → → (2) 若 b=2 3,试求AB·CB的最小值. → → → → 解:(1) 因为(2a+c)BC·BA+cCA·CB=0, 所以(2a+c)accosB+abccosC=0, 即(2a+c)cosB+bcosC=0, 所以(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0, 即 2sinAcosB+sin(B+C)=0. 因为 sin(B+C)=sinA≠0, 2π 1 所以 cosB=- ,所以 B= . 2 3 2π (2) 因为 b2=a2+c2-2accos ,所以 12=a2+c2+ac≥3ac,即 ac≤4, 3 2π 1 → → 所以AB·CB=accos =- ac≥-2,当且仅当 a=c=2 时等号成立, 3 2 → → 所以AB·CB的最小值为-2. 备选变式(教师专享) 7 (2013· 山东卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cosB= . 9 (1) 求 a,c 的值; (2) 求 sin(A-B)的值. 7 解:(1) 由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,得 b2=(a+c)2-2ac(1+cosB),又 a+c=6,b=2,cosB= ,所以 ac 9 =9,解得 a=3,c=3. (2) 在△ABC 中,sinB= 1-cos2B= 4 2 asinB 2 2 , 由正弦定理得 sinA= = ,因为 a=c,所以 A 为锐角,所以 9 b 3

1 10 2 cosA= 1-sin2A= ,因此 sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB= . 3 27 例 4 (2013· 泰州市期末)已知向量 a=(cosλ θ ,cos(10-λ)θ),b=(sin(10-λ)θ,sinλ θ ),λ 、θ∈R. (1) 求|a|2+|b|2 的值; (2) 若 a⊥b,求 θ; π (3) 若 θ= ,求证:a∥b. 20 (1) 解:∵ |a|= cos2λθ+cos2(10-λ)θ,
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|b|= sin2(10-λ)θ+sin2λθ, ∴ |a|2+|b|2=2.

(2) 解:∵ a⊥b, ∴ ∴ ∴ cosλθ·sin(10-λ)θ+cos(10-λ)θ·sinλθ=0, sin[(10-λ)θ+λθ]=0,∴ 10θ=kπ,k∈Z,∴ sin10θ=0,

kπ θ= ,k∈Z. 10

π (3) 证明:∵ θ= , 20 cosλθ·sinλθ-cos(10-λ)θ·sin[(10-λ)θ] λπ λπ π λπ π λπ =cos ·sin -cos? - ?·sin? - ? 20 20 ? 2 20 ? ? 2 20 ? λπ λπ λπ λπ =cos ·sin -sin ·cos =0,∴ a∥b. 20 20 20 20 备选变式(教师专享) 1? (2013· 陕西卷)已知向量 a=? b. ?cosx,-2?,b=( 3sinx,cos2x),x∈R, 设函数 f(x)=a· (1) 求 f (x)的最小正周期. π (2) 求 f (x) 在?0, ?上的最大值和最小值. 2? ? 2π π 1 3 1 解:(1) f(x)=a· b=cosx· 3sinx- cos2x= sin2x- cos2x=sin?2x- ?.最小正周期 T= =π. 2 2 2 2 6? ? π? 所以 f(x)=sin? ?2x-6?,最小正周期为π. π π π 5π π 5π (2) 当 x∈?0, ?时,?2x- ?∈?- , ?,由标准函数 y=sinx 在?- , ?上的图象知, 2? 6? ? 6 6 ? 6 ? ? ? ? 6 1 π π π - ,1?. f(x)=sin?2x- ?∈?f?- ?,f? ??=? 6 ? ? ? 6 ? ? 2 ?? ? 2 ? ? π 1 所以,f (x) 在?0, ?上的最大值和最小值分别为 1,- . 2 2? ?

探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时,首先要理解和把握其充要条件. 【示例】 (本题模拟高考评分标准,满分 14 分)

设两个向量 e1、e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2 的夹角为 60°,若向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的夹角为钝角,求 实数 t 的取值范围. 学生错解: 1 解: ∵ e1·e2=|e1|·|e2|·cos60°=2×1× =1, 2 ∴ (2te1+7e2)· (e1+te2)
2 2 =2te1 +7te2 2+(2t +7)e1·e2

=8t+7t+2t2+7=2t2+15t+7.
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因为向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的夹角为钝角,所以(2te1+7e2)· (e1+te2)<0, 1 即 2t2+15t+7<0,解得-7<t<- . 2 审题引导: 当(2te1+7e2)· (e1+te2)<0 时,其夹角一定为钝角吗? 1 规范解答: 解: ∵ e1·e2=|e1|·|e2|·cos60°=2×1× =1,(2 分) 2 ∴ (2te1+7e2)· (e1+te2)
2 2 =2te1 +7te2 2+(2t +7)e1·e2

=8t+7t+2t2+7=2t2+15t+7.(4 分) 因为向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的夹角为钝角,所以(2te1+7e2)· (e1+te2)<0, 1 即 2t2+15t+7<0,解得-7<t<- .(9 分) 2 当向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 反向时, 设 2te1+7e2=λ(e1+te2),λ <0,
? ?2t=λ, 则? ?λ t=7 ?

2t2=7

t=-

14 14 或 t= (舍).(12 分) 2 2

故 t 的取值范围为?-7,-

?

14? ? 14 1? ∪ - ,- .(14 分) 2 ? ? 2 2?

错因分析: 向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的夹角为钝角,可得(2te1+7e2)· (e1+te2)<0,但由(2te1+7e2)· (e1+te2)<0, 并不能推出向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的夹角为钝角.如 t=- 14 时,(2te1+7e2)· (e1+te2)<0,向量 2te1+7e2 与向 2

量 e1+te2 的夹角为π,所以(2te1+7e2)· (e1+te2)<0 仅是向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的夹角为钝角的必要条件,而不 是充分条件.探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时,首先要理解和把握其充要条件.

1. (2013· 南通三模)在平面四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AD,BC 的中点,且 AB=1,EF= 2,CD= 3. → → → → 若AD·BC=15,则AC·BD=________. 答案:13 → → → → → → → → → → → → → → 解析:2EF=AB+DC,平方并整理得AB·DC=2,即AB· (AC-AD)=AB·AC-AB·AD=2,①由AD·BC= → → → → → → → 15,得AD·(AC-AB)=AD·AC-AD·AB=15,② → → → → → ②-①,得AC·BD=AC·(AD-AB)=13. → → → → → → → → → 2. (2013· 山东)已知向量AB与AC的夹角为 120°,且|AB|=3,|AC|=2.若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数λ =________. 答案: 7 12
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解析:∵ → → AP⊥BC,∴ → → → → → → → → → → AP·BC=(λAB+AC)· (AC-AB)=-λAB2+AC2+(λ-1)AC·AB=0,即-λ×9+4

1? 7 +(λ-1)×3×2×? ?-2?=0,解之得 λ=12. → → → → 3. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上.若AB·AF= 2,则AE·BF =________.

答案: 2 → → 解析:(解法 1)由AB·AF= 2, → → 得|AB|·|AF|·cos∠FAB= 2. → 由矩形的性质,得|AF|·cos∠FAB=DF. ∵ AB= 2,∴ ∴ CF= 2-1. → → 记AE和BF之间的夹角为 θ,∠AEB=α,∠FBC=β,则 θ=α+β. 又∵ BC=2,点 E 为 BC 的中点,∴ BE=1. → → → → ∴ AE·BF=|AE|·|BF|·cosθ → → =|AE|·|BF|·cos(α+β) → → =|AE|·|BF|·(cosαcosβ-sinαsinβ) → → → → =|AE|cosα·|BF|·cosβ-|AE|sinα·|BF|sinβ =BE· BC-AB· CF=1×2- 2( 2-1)= 2. (解法 2)以 A 为坐标原点、AB 为 x 轴建立直角坐标系,则 B( 2,0),D(0,2),C( 2,2),E( 2,1),可设 F(x, 2). → → → → 由AB·AF= 2,计算可得 x=1,AE·BF=( 2,1)· (1- 2,2)= 2. → → 4. 设点 O 是△ABC 的三边中垂线的交点,且 AC2-2AC+AB2=0,则BC·AO的范围是__________. 1 ? 答案:? ?-4,2? 1 → → → → → → → → → → → → 1 → → → → 解析:BC·AO=BC·(AD+DO)=BC·AD+BC·DO=BC·AD= (AC-AB)· (AB+AC)= (AC 2 2 ∵ AC2-2AC+AB2=0,即 AB2=2AC-AC2,
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2

2·DF= 2,∴ DF=1.

→ -AB

2

).

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1 2 1 1 → → 1 AC- ? - . ∴ BC·AO= AC2- (2AC-AC2)=AC2-AC=? 2? 4 ? 2 2 ∵ AB2≥0,∴ 2AC-AC2≥0,∴ 0<AC<2, 1 ? → → ∴ BC·AO∈? ?-4,2?.

1. 已知 a=(3,4),b=(4,3),求 x、y 的值使(xa+yb)⊥a,且|xa+yb|=1. 解:由 a=(3,4),b=(4,3),有 xa+yb=(3x+4y,4x+3y). (xa+yb)⊥a 又|xa+yb|=1 (xa+yb)· a=0 |xa+yb|2=1, 3(3x+4y)+4(4x+3y)=0,即 25x+24y=0.①

有(3x+4y)2+(4x+3y)2=1, 整理得 25x2+48xy+25y2=1, 即 x(25x+24y)+24xy+25y2=1,② 由①②有 24xy+25y2=1,③ 5 将①变形代入③可得 y=± , 7

?x=35, ?x=-35, 再代回①得? 和 5 ? 5 ?y=-7 ?y=7.
2. 已知平面上三个向量 a、b、c 的模均为 1,它们相互之间的夹角均为 120° . (1) 求证:(a-b)⊥c; (2) 若|ka+b+c|>1(k∈R),求 k 的取值范围. (1) 证明:(a-b)· c=a· c-b· c =|a||c|cos120° -|b||c|cos120° =0,∴(a-b)⊥c. (2) 解:|ka+b+c|>1 |ka+b+c|2>1 k2a2+b2+c2+2ka· b+2ka· c+2b· c>1.

24

24

∵|a|=|b|=|c|=1,且 a、b、c 夹角均为 120° , 1 ∴a2=b2=c2=1,a·b=b· c=a· c=- . 2 ∴k2-2k>0,即 k>2 或 k<0. 3. 设两向量 e1、e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2 的夹角为 60°,若向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的夹角为钝角,求 实数 t 的取值范围.
2 解:由已知得 e2 1=4,e2=1,e1·e2=2×1×cos60°=1. 2 2 2 2 ∴ (2te1+7e2)· (e1+te2)=2te2 1+(2t +7)e1·e2+7te2=2t +15t+7.欲使夹角为钝角,需 2t +15t+7<0,得-7<t

1 <- . 2 设 2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0),
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?2t=λ, ? ∴ ? ∴ 2t2=7, ? 7 = tλ. ?

∴ t=- 即 t=-

14 ,此时 λ=- 14. 2 14 时,向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为π. 2

∴ 夹角为钝角时,t 的取值范围是?-7,-

?

14? ? 14 1? ∪ - ,- . 2 ? ? 2 2?

π 4. (2013· 辽宁卷)设向量 a=( 3sinx,sinx),b=(cosx,sinx),x∈?0, ?. 2? ? (1) 若|a|=|b|.求 x 的值; (2) 设函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值. 解:(1) 由|a|2=( 3sinx)2+(sinx)2=4sin2x. |b|2=(cosx)2+(sinx)2=1. 由|a|=|b|,得 4sin2x=1, π π 1 又 x∈?0, ?,从而 sinx= ,所以 x= . 2 6 2? ? (2) f(x)=a· b= 3sinx·cosx+sin2x = π 1 3 1 1 sin2x- cos2x+ =sin?2x- ?+ , 2 2 2 6? 2 ?

π π π 3 当 x= ∈?0, ?时,sin?2x- ?取最大值 1,所以 f(x)的最大值为 . 3 ? 2 2? 6 ? ?

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