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数值分析-复习及习题选讲


总 复 习
一、绪论
1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限及有效

数字的概念。掌握误差限和有效数字之间的关系。会计算误差限和
有效数字。 一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差 限等于该近似值末位的半个单位。 定义 设数x*是数x的近似值,如果x*的绝对误差限是它的某一数

的半个单位,并且从x*左起第一个非零数字到该数位共有n位,

则称这n个数字为x*的有效数字,也 称用x*近似x时具有n位有效数

字。

2.了解数值计算中应注意的一些问题.

2和3、插值与逼近
1.了解差商、差分的概念和性质. 2.会建立插值多项式并导出插值余项.

Lagrange、Newton、Hermite插值多项式;基函数法及待定系数法。 3.了解分段插值及三次样条插值的概念及构造思想。
4. 了解正交多项式的概念,会求简单的正交多项式。 5. 了解最佳一致逼近的概念,会求最佳平方逼近多项式。 6. 掌握最小二乘法的思想,会求拟合曲线及最佳均方误差.

4、数值积分
1.了解求积公式的一般形式及插值型求积公式的构造.掌握梯 形公式和Simpson公式及其误差。

(b ? a ) 3 b?a [ f (a ) ? f (b)] ? f ??(? ) ?a f ( x)dx ? 2 12
b

(b ? a ) 5 b?a a?b [ f (a) ? 4 f ( ) ? f (b)] ? f ?a f ( x)dx ? 6 2 2880
b

( 4)

(? )

2.掌握求积公式的代数精度的概念,会用待定系数法确定求积 公式。 3. 了解复化求积公式的思想和Romberg公式的构造。 4. 了解Gauss公式的概念,会建立简单的Gauss公式。 5.了解微分公式建立形式,会求简单的微分公式。

5、线性方程组的数值解法
1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围 顺序Gauss消元法:矩阵A的各阶顺序主子式都不为零. 主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零. 2.掌握矩阵的直接三角分解法。

会对矩阵进行Doolittle分解(LU)、Crout分解及Cholesky分解。
熟练掌握用三角分解法求方程组的解。 了解平方根法和追赶法的思想。 3.了解向量和矩阵的范数的定义,会判定范数(三要素非负性、齐 次性、三角不等式);会计算几个常用的向量和矩阵的范数; 了解范数的等价性和向量矩阵极限的概念。 4.了解方程组的性态,会计算简单矩阵的条件数。

解线性方程组的迭代法
敛性。 (1)迭代法收敛?迭代矩阵谱半径小于1. (2)迭代法收敛的充分条件是迭代矩阵的范数小于1. (3)A严格对角占优,则J法,GS法,SOR法(0<??1)收敛. (4)A对称正定,则GS法,SOR法(0<?<2)收敛.

会建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式;会判定迭代方法的收

6、非线性方程的数值解法
1.了解二分法的思想,误差估计式|xk-x*|?2-(k+1)(b-a). 2.会建立简单迭代法迭代格式;会判定迭代方法的收敛性。 定理 若?(x)为I上的压缩映射, 则对任何x0?I,迭代格式xk+1=?(xk)均 推论 若1).a??(x)?b; 2.|??(x)|? L<1, ?x?[a,b].则xk+1=?(xk),?x0?[a,b]

收敛于?(x)在I上的唯一不动点x*.

都收敛于方程的唯一根x*.
推论 若?(x)在x*附近具有一阶连续导数,且|??(x*)|<1, 则对充分接近 x*的初值x0,迭代法xk+1=?(xk)收敛. 3. 了解迭代法收敛阶的概念,会求迭代法收敛的阶.了解Aitken加速 技巧.

xk ?1 ? ? ?C (1) ?xk?p阶收敛于x*是指: lim k ?? x ? ? p k

(2) 若??(x*)?0,则迭代法线性收敛. 4.会建立Newton迭代格式;知道Newton迭代法的优缺点.了解 Newton迭代法的变形.

x k ?1
局部平方收敛.

f ( xk ) ? xk ? f ?( x k )

7、矩阵特征值问题
1. 了解Gerschgorin圆盘定理, 会估计特征值. 2. 了解乘幂法、反幂法的思想及加速技巧.

3. 了解Jacobi方法的思想以及 掌握平面旋转矩阵的构造.
3. 了解QR方法的思想以及掌握Householder矩阵的构造.

第1章
1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们 的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数. x1=5.420, x2=0.5420, x3=0.00542, x4=6000, x5=0.6?105. 解 绝对误差限分别为: ?1=0.5?10-3,?2=0.5?10-4, ?3=0.5?10-5,?4=0.5,?5=0.5?104 . 相对误差限分别为: ?r1=0.5?10-3/5.420=0.00923%, ?r2=0.00923%,?r3=0.0923%,?4=0.0083%,?5=8.3%. 有效数位分别为: 4位,4位,3位,4位,1位.

2.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试问它们有几位有效数字.
a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032 解 有效数位分别为: 3位,1位,0位.

第2,3章
1.当x=1,-1,2时,?(x)分别为0,-3,4,求?(x)的二次插值多项式p2(x).
解法一. 基函数法: p2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2=-3l1(x)+4l2(x)
( x ? x 0 )( x ? x 2 ) 1 l1 ( x) ? ? ( x ? 1)( x ? 2) ( x1 ? x 0 )( x1 ? x 2 ) 6

( x ? x 0 )( x ? x1 ) 1 l 2 ( x) ? ? ( x ? 1)( x ? 1) ( x 2 ? x 0 )( x 2 ? x1 ) 3

1 4 p2(x)=-3l1(x)+4l2(x) ? ? ( x ? 1)( x ? 2) ? ( x ? 1)( x ? 1) 2 3 1 1 ? ( x ? 1)[?3( x ? 2) ? 8( x ? 1)] ? ( x ? 1)( 5 x ? 14) 6 6 解法二. 待定系数法,设p2(x)=(x-1)(ax+b), 则有
2(a-b)=-3, 2a+b=4 ,解得, a=5/6, b=7/3, 所以 p2(x)=1/6(x-1)(5x+14)

2.设l2(x)是以xk=x0+kh,k=0,1,2,3为插值节点的3次插值基函数,求
x0 ? x ? x3

max l 2 ( x) .



( x ? x 0 )( x ? x1 )( x ? x3 ) l 2 ( x) ? ( x 2 ? x 0 )( x 2 ? x1 )( x 2 ? x3 )

1 (令x ? x0 ? th) ? ? t (t ? 1)(t ? 3) 0?t ?3 2 1 max l 2 ( x) ? max t (t ? 1)(t ? 3) x ? x? x 0?t ?3 2 4? 7 7 7 ? 10 (t ? 时) ? 3 27
0 3

3.设l0(x),l1(x),…,ln(x)是以x0,x1,…,xn为节点的n次Lagrange插值基函

数,求证: (1) ? x kj l j ( x) ? x k ,
j ?0

n

k ? 0,1, ?, n.

(2)

( x j ? x) k l j ( x) ? 0 , ?
j ?0

n

k ? 1,?, n.

证明 (1)记?(x)=xk,则yj=?(xj)=xjk, j=0,1,…,n.于是
n (? x ) ? ? x kj l j ( x) x ? f ( x) ? ? y j l j ( x) ? ? n ?1 ( x) j ?0 j ?0 (n ? 1)!
k n

f

( n ?1)

(2)记?(t)=(t-x)k,则yj=?(xj)=(xj-x)k, j=0,1,…,n.于是
n (? t ) k (t ? x) k ? f (t ) ? ? y j l j (t ) ? ? n ?1 (t ) ? ? ( x j ? x) l j (t ) j ?0 j ?0 (n ? 1)! 取t=x,则有 n ( x j ? x) k l j ( x) ? 0 ?
n

f

( n ?1)

j ?0

4.设?(x)?C2[a,b],且?(a)=?(b)=0,证明 1 f ( x) ? (b ? a) 2 M 2 8 其中, M 2 ? max f ??( x) .
a ? x ?b

,a ? x ? b

证明 以a,b为节点作?(x)的线性插值有L1(x)=0,故 f ??(? x ) 1 ( x ? a)( x ? b) ? (b ? a) 2 M 2 |?(x)|=|?(x)-L1(x)| ?
2 8

5.利用y = x 在x=100,121,144点的函数值 ,用插值方法求 115 的近似值,并由误差公式给出误差界,同时与实际误差作比较. 解 由二次Lagrange插值得:
115 ? L2 (115 ) ? (115 ? 121)(115 ? 144 ) (115 ? 100 )(115 ? 144 ) ? 10 ? ? 11 (100 ? 121)(100 ? 144 ) (121 ? 100 )(121 ? 144 ) (115 ? 100 )(115 ? 121) ? ? 12 ? 10.722756 (144 ? 100 )(144 ? 121)

3 ?5 3 y ??? ? x 2 ? ? 10 ?5 ,100 ? x ? 144 8 8 1 3 115 ? L2 (115 ) ? ? ? 10 ?5 (115 ? 100 )(115 ? 121)(115 ? 144 ) 3! 8 ? 1.63125 ? 10 ?3

115 ? L2 (115 ) ? 1.049294 ? 10 ?3 实际误差:

6.设?(x)=x5+x3+1, 取x0=-1,x1=-0.8,x2=0,x3=0.5, x4=1,作出?(x)关于

x0,x1,x2,x3,x4的差商表,给出?(x)关于x0,x1,x2,x3的Newton插值多项式,并
给出插值误差. 解 差商表为
xk x0=-1 x1=-0.8 x2=0 x3=0.5 x4=1 ?(xk) -1 0.16032 1 1.15625 3 一阶差商 5.8016 1.0496 0.3125 3.6875 二阶差商 三阶差商 四阶差商

-4.752 -0.567 3.375

2.79 2.19

-0.3

Newton插值多项式为:

N3(x)=-1+5.8016(x+1)-4.752(x+1)(x+0.8) +2.79(x+1)(x+0.8)x
|R3(x)|=|?[-1,-0.8,0,0.5,x](x+1)(x+0.8)x(x-0.5)| ?5|(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)|

7.设?(x)=x4+2x3+5, 在区间[-3,2]上, 对节点x0= -3, x1=-1,求出?(x)的

三次Hermite插值多项式在区间[x0,x1]上的表达式及误差公式.

解 在[-3,-1]上,由y0=32,y1=4,y0?=-54,y1?=2,h=2,得
H3(x)=32?0(x)+4?1(x)-54?0(x)+2?1(x) 令?0(x)=(x+1)2(ax+b),可得a=1/4,b=1,所以 ?0(x)=(x+1)2(x+4)/4 同理可得:

?1(x)=-(x+3)2x/4

?0(x)=(x+3)(x+1)2/4

?1(x)=(x+3)2(x+1)/4
所以有 H3(x)=8(x+1)2(x+4)-(x+3)2x
-13.5(x+3)(x+1)2+0.5(x+3)2(x+1) =-6x3-22x2-24x-4 误差为 R(x)=(x+3)2(x+1)2

8.确定a,b,c使函数
?x 3 S ( x) ? ? 1 ( x ? 1) 3 ? a( x ? 1) 2 ? b( x ? 1) ? c ?2 0 ? x ?1 1? x ? 3

是一个三次样条函数。

解 因为S(x)是分段三次多项式,故只需S(x)?C2[0,3]
由 1=S(1-0)=S(1+0)=c ,得 c=1 由 3=S?(1-0)=S?(1+0)=b ,得 b=3 由 6=S??(1-0)=S??(1+0)=2a ,得 a=3

所以,当a=b=3,c=1时,S(x)是三次样条函数.

9.给出函数表
xi yi -1 0.22 -0.5 0.8 0 2 0.25 2.5 0.75 3.8 1 4.2

试分别作出线性,二次曲线拟合,并给出最佳均方误差. 解 线性拟合,即形如y=a+bx的拟合曲线.构造向量 ?0=(1,1,1,1,1,1)T, ?1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T, ?=(0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2)T. 则得正则方程组:
? 6a+0.5b=13.52 ? ?0.5a+2.875b=7.055

解得: ?a ? 2.078971 ? ?b ? 2.092353

所以,线性拟合曲线为:y=2.078971+2.092353x 最佳均方误差为:‖?*‖2= ? (a ? bxi ? y i ) 2 =0.38659 二次拟合,即形如y=a+bx+cx2的拟合曲线.构造向量 ?0=(1,1,1,1,1,1)T, ?1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T, ?2=(1,0.25,0,0.0625,0.5625,1)T,?=(0.22,0.8,2,2.5, 3.8,4.2)T.

则得正则方程组:
? 6a+0.5b+2.875c=13.52 ? ? 0.5a+2.875b+0.3125c=7.055 ? ? 2.875a+0.3125b+2.3828125c=6.91375

解得:a=1.94448,b=2.0851,c=0.28191.
二次拟合曲线为:y=1.94448+2.0851x+0.28191x2.

最佳均方误差为:‖?*‖2= ? (a ? bxi ? ci2 ? y i ) 2 =0.06943.

第4章
1.建立右矩形和左矩形求积公式,并导出误差式. 解法. 右矩形公式为: ?a f ( x)dx ? f (b)(b ? a)
b
b

左矩形公式为: ?a f ( x)dx ? f (a)(b ? a) 由于?(x)-?(a)=??(?x)(x-a), ?(x)-?(b)=??(?x)(x-b)

所以有 R( f ) ? ?b f ( x)dx ? f (b)(b ? a) a

(b ? a) 2 b ? ?a f ?(? x )( x ? b)dx ? ? f ?(? ) 2 b R( f ) ? ?a f ( x)dx ? f (a)(b ? a)

? ? ( a, b)

(b ? a) 2 b ? ?a f ?(? x )( x ? a)dx ? f ?(? ) 2

? ? ( a, b)

2.说明中矩形公式的几何意义,并证明

?

b

a

a ? b (b ? a) 3 f ( x)dx ? (b ? a) f ( )? f ??(? ) 2 24

? ? ( a, b)

证明 由Taylor展开式有

所以有

f ??(? x ) a?b a?b a?b a?b 2 f ( x) ? f ( ) ? f ?( )(x ? )? (x ? ) 2 2 2 2 2

?

b

a

a?b f ??(? ) f ( x)dx ? f ( )( b ? a) ? (b ? a) 3 2 24

3.确定下列积分公式中的待定参数,使其代数精度尽可能高, 并说明代数精度是多少?

(1) ?? h f ( x)dx ? A?1 f (?h) ? A0 f (0) ? A1 f (h)
h

解 令公式对?(x)=1,x,x2都精确成立,则有
? A-1+A0+A1=2h ? -hA +hA =0 -1 1 ? ? h2A-1+h2A1=2h3/3 ?

解得:A-1=A1=h/3,A0=4h/3.

求积公式为:

h ??h f ( x)dx ? [ f (?h) ? 4 f (0) ? f (h)] 3
h

?(x)=x3时,左=右=0,公式也精确成立 ?(x)=x4时,左=2h5/5,右=2h5/3,公式不精确成立 所以公式的代数精确为3.

(2) ??1 f ( x)dx ? 1 [ f (?1) ? 2 f ( x1 ) ? 3 f ( x 2 )] 3
1

解 令公式对?(x)=1,x,x2都精确成立,则有
? 2=2 ? 2x +3x -1=0 2 ? 1 ? 2x 2+3x 2+1=2 ? 1 2

解得: ? x1 ? 0.689899

? x1 ? ?0.289899 或? ? ? x 2 ? 0.526599 ? x 2 ? ?0.126599

求积公式为:



?(x)=x3时,公式都不精确成立,故代数精度为2.
h

1 ??1 f ( x)dx ? [ f (?1) ? 2 f (0.689899) ? 3 f (?0.126599)] 3 1 1 ??1 f ( x)dx ? [ f (?1) ? 2 f (?0.289899) ? 3 f (0.526599)] 3
1

h (3) ?0 f ( x)dx ? [ f (0) ? f (h)] ? ?h 2 [ f ?(0) ? f ?(h)] 2 解 当?(x)=1时,左=h,右=h,对所有?都成立。

?(x)=x时有左=右=h2/2,对所有?都成立。
?(x)=x2时,左=h3/3,右=h3/2-2?h3,故取?=1/12,则有

h h2 h ?0 f ( x)dx ? [ f (0) ? f (h)] ? [ f ?(0) ? f ?(h)] 2 12
?(x)=x3时,左=h4/4,右=h4/2-h4/4=h4/4,也精确成立.
?(x)=x4时,左=h5/5,右=h5/2-h5/3=h5/6,不精确成立.

故公式的代数精度为3.
(4)

?

1

?1

x 2 f ( x)dx ? A0 f ( x0 )

解 令公式对?(x)=1,x精确成立,则有
? A0=2/3 ? ? A0x0=0
1 2

解得A0=2/3,x0=0. 所以公式为
,其代数精度为1.

2 ??1 x f ( x)dx ? f (0) 3

4.设 I ? ?1 ln xdx, 若取?=10-3,分别求出n使复化梯形公式Tn,复化 Simpson公式Sn的截断误差满足: |I-Tn|<?,及|I-Sn|<? ,并计算Sn .
2

解 因为|(lnx)??|=1/x2?1, |(lnx)(4)|=6/x4?6
要|I-Tn|<10-3,只要 要|I-Sn|<10-3,只要
1 ? 10 ?3 , 2 12n

即n>9.13,故取n=10. 即n>1.201,故取n=2.

6 ? 10 ?3 , 2880n 4

I?S2=1/12[ln1+2ln1.5+ln2+4ln1.25+4ln1.75]=0.386260 5.对积分 ?0ln
1

1 f ( x)dx,导出两点Gauss型求积公式. x

解 区间[0,1]上权函数为ln(1/x)的正交多项式为: p0(x)=1, p1(x)=x-1/4, p2(x)=x2-(5/7)x+17/252

令 p2(x)=0 ,解出Gauss点为:

15 ? 106 15 ? 106 x2 ? x1 ? , 42 42

再令公式对?(x)=1,x精确成立,可得
1 9 1 9 , A2 ? ? A1+A2=1, A1x1+A2x2=1/4 ,由此解出 A1 ? ? 2 4 106 2 4 106

所以两点Gauss型求积公式为:
?0ln
1

1 1 9 15 ? 106 1 9 15 ? 106 f ( x)dx ? ( ? )f( )?( ? )f( ) x 2 4 109 42 2 4 109 42

6.用两点Gauss型求积公式计算下列积分的近似值.

?

1

?1

1 ? 1 cos2 x dx 2

解 两点Gauss-Legendre求积公式为:

??1 f ( x)dx ? f (?0.577350 ) ? f (0.577350 )
1

所以有

??1 1 ? cos xdx ? 1.611151
1 1 2 2

7.证明下列数值微分公式:
1 h2 f ?( x0 ) ? [?3 f ( x0 ) ? 4 f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? f ???(? ) 2h 3

其中, xj=x0+jh,j=0,1,2。 证明 (1)以x0,x1,x2为节点的二次Lagrange插值为:

?(x)= [(x-x1)(x-x2)?(x0)-2(x-x0)(x-x2)?(x1)+(x-x0)(x-x1)?(x2)]/2h2
+? ???(?x)(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6 ? ?(x)=[(2x-x1-x2)?(x0)-2(2x-x0-x2)?(x1)+(2x-x0-x1)?(x2)]/2h2+R2?(x) ? ?(x0)=[-3?(x0)+4?(x1)-?(x2)]/2h+R22?(x0) ?)/3 )]/2h+h ? ???(

第5章
1.用列主元Gauss消元法解方程组
? ? 3 2 6 ?? x1 ? ? 4 ? ? ?? ? ? ? ? 10 ? 7 0 ?? x 2 ? ? ? 7 ? ? 5 ? 1 5 ?? x ? ? 6 ? ? ?? 3 ? ? ? ?10 ? 7 0 7 ? ? ? ?? 0 ? 0.1 6 6.1 ? ? 0 2.5 5 2.5 ? ? ?



? ? 3 2 6 4 ? r ? r ? 10 ? 7 0 7 ? ? ? ? ? ? 10 ? 7 0 7 ? ? ? ? 3 2 6 4 ? ? 5 ? 1 5 6? ? 5 ? 1 5 6? ? ? ? ?
1 2

消元

r2 ? r3

?10 ? 7 0 7 ? 10 ? 7 0 7 ? ? ? 消元? ? ? ? ? 0 2.5 5 2.5 ? ?? 0 2.5 5 2.5 ? ? 0 ? 0.1 6 6.1 ? ?0 0 6.2 6.2 ? ? ? ? ?

回代得解: x3=1, x2=-1, x1=0

2.对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中
?2 1 1? ? ? A ? ? 1 3 2? ? 1 2 2? ? ? ? 4? ? ? ,b ? ?6? ?5? ? ?
?1 ?? 2 1 1 ? ?1 ?? ? 5 3 ,所以 A ? ? 2 1 ?? 2 2 ? ? 1 3 1 ?? 3? 5? ?2 5 ??


?2 1 1? ? 2 1 1? ? ? ? ?1 A ? ?1 3 2? ? 1 5 3 ? 2 2 2? 2 ?1 2 2? ? 1 3 3? 1 ? ? ?2 5 ?

?2

5

5

?

?1 ?? y1 ? ? 4 ? ? y1 ? ? 4 ? ?1 ?? ? ? ? ? ? ? ? 解? 2 1 ?? y 2 ? ? ? 6 ?,得? y 2 ? ? ? 4 ? ? 1 3 1 ?? y ? ? 5 ? ?y ? ?3? ? 3? ?5? ?2 5 ?? 3 ? ? ?
? 2 1 1 ?? x1 ? ? 4 ? ? x1 ? ?1? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 5 3 再解? ,得? x 2 ? ? ?1? 2 2 ?? x 2 ? ? ? 4 ? ? ? ?3? ? x ? ? 1? 3 ?? ? 3? ? ? 5 ?? x 3 ? ? ?5?

3.对矩阵A进行Crout分解,其中 ?2 1 2 ? ? ? A ? ?4 5 6 ? ? 6 15 15? ? ?


?2 1 2 ? ? ? A ? ?4 5 6 ? ? 6 15 15? ? ?
11 ? 2 21 1 1 ? ? 2 2 ? ?? 2 2 ? ?4 3 ? ? 3 3 ? 6 12 ? ? 1? ? ?

?2 ?? 1 1 1 ? 2 ? ? ?? 2 故得Crout分解:A ? ? 4 3 ?? 1 3 ? ? 6 12 1 ?? 1? ? ?? ?

4.对矩阵A进行LDLT分解和LLT分解,并求解方程组Ax=b,其中
8 ? ?16 4 ? ? A?? 4 5 ? 4? ? 8 ? 4 22 ? ? ?

?1 ? ? ? , b ? ? 2? ?3? ? ?



8 ? ? 4 11 2 ? 2 ?? ?16 4 2 ?4 1 ? ? ? ? ?? ? A?? 4 5 ? 4 ? ? ??1 2 ?? 33 ? ? 1 2 ? ? ? 2 ? 3 ? ?? ? 8 ? 4 22 ? ? ? 2 ? 3 ? 3 ?? ? ? ?

?4 ?? 4 1 2 ? ? ?? ? T 故得LL 分解:A ? ? 1 2 2 ? 3? ?? ? 2 ? 3 3 ?? 3 ? ? ?? ?

?1 ?1 T LDL 分解为:A ? ? 4 1 ?1 ? 3 2 ?2

1 ??16 ?? 1 1 4 2 ? ?? ? ?? 3 4 ?? 1 ? 2 ? ?? 1 ?? 9 ?? 1 ? ?? ?? ?

? y1 ? ? 0.25 ? ?4 ?? y1 ? ?1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 解? 1 2 y 2 ? ? ? 2 ?,得? y 2 ? ? ? 0.875 ? ?? ? y ? ?1.7083? ? 2 ? 3 3 ?? y ? ? 3 ? ? ?? 3 ? ? ? ? ? 3? ?

? x1 ? ? ? 0.5451? ? 4 1 2 ?? x1 ? ? 0.25 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 再解? 2 ? 3 ?? x 2 ? ? ? 0.875 ?,得? x 2 ? ? ? 1.2916 ? ? ? x ? ? 0.5694 ? 3 ?? x3 ? ?1.7083? ? ?? ? ? ? ? ? 3? ?

5.给定方程组 ?10 ? 2 x ? y ? 1 ? ?x ? y ? 2 1).用Cramer法则求其精确解. 2).用Gauss消元法和列主元Gauss消 元法求解,并比较结果.(用两位浮点计算). 解 1).x=-1/-0.99=1.010101,y=-0.98/-0.99=0.989899

2).用Gauss消元法

?10 ? 2 x ? y ? 1 ? ?x ? y ? 2
回代得解: y=1, x=0.

?10 ? 2 x ? y ? 1 ?? ?? 100 y ? ?100

再用列主元Gauss消元法

?10 x ? y ? 1 ? ?x ? y ? 2
?2

?x ? y ? 2 ?? ?y ?1

回代得解: y=1, x=1. 6.用追赶法求解方程组:

? 4 ?1 ?? x1 ? ? 100 ? ? ?? ? ? ? ??1 4 ?1 ?? x 2 ? ? 0 ? ? ?? x ? ? ? 0 ? ?1 4 ?1 ? ?? 3 ? ? ? ? 1 4 ? 1?? x 4 ? ? 0 ? ? ? ? 1 4 ?? x5 ? ? 200 ? ? ?? ? ? ?


4 ?1 ? 4 ? 11 ? ? ?? ? ? ? 4 4 ? ? ? ?? ? ? ? 15 15 4 4 ? ? 1 4 ? 15 ? ? ? ? ? 4 15 ??1 4 ?1 ? 56 15 56 ? ? ? ?? ? 56 ? 1 15 ?? 15 ? ? ? ?1 4 ?1 15 56 ? ? ? ? ? ? ? 56 ? ? 1 ? ? ? ??209 ? ? 1 209 ? 1 4 ? 1? ? ? 56 ? ? ?? 780 ?1 ? ? ? ?1 4 ? ? ? ? ?? ? ? ? 209

? 4 ? ? 1 15 ? 4 56 ? 1 15 解? ? ? 1 209 ? 56 ? ?1 ?

? y1 ? ? 25 ? ?? y1 ? ? 100 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? y 2 ? ? 6.6667 ? ?? y 2 ? ? 0 ? ?? y ? ? ? 0 ?,得? y ? ? ? 1.7857 ? ? 3? ? ?? 3 ? ? ? ? ? y 4 ? ? 0.47847 ? ?? y 4 ? ? 0 ? ? y ? ? 53 .718 ? 780 ?? y 5 ? ? 200 ? ? ? 209 ?? ? ? ? 5? ?

?1 ? 1 4 ? 1 ? 再解? ? ? ? ?

4 ? 15 1 ? 15 56

1

?? x1 ? ? 25 ? ? x1 ? ? 27 .051 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? x 2 ? ? 6.6667 ? ? x 2 ? ? 8.2052 ? ?? x ? ? ? 1.7857 ?, 得? x ? ? ? 5.7693 ? ?? 3 ? ? ? ? 3? ? ? 56 ? 209 ?? x 4 ? ? 0.47847 ? ? x 4 ? ? 14 .872 ? 1 ?? x5 ? ? 53 .718 ? ? x5 ? ? 53 .718 ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
(2)|??x??-??y??|???x-y??;

7.证明下列不等式: (1)??x-y?????x-z??+??z-y??;

证明 (1)??x-y??=??(x-z)+(z-y)?????x-z??+??z-y?? (2) 因为 ??x??=??(x-y)+y?????x-y??+??y??

所以 ??x??-??y?????x-y?? ,同理可证 ??y??-??x?????x-y??
于是有 |??x??-??y??|???x-y?? .

8.设?????为一向量范数,P为非奇异矩阵,定义??x??p= ??Px??, 证明??x??p 也 是一种向量范数. 证明 (1)??x??p=??Px???0, 而且??Px??=0?Px=0?x=0 (2)???x??p=??P(?x)??=???Px??=|?|??Px??=|?|??x??p (3)??x+y??p=??P(x+y)??=??Px+Py?????Px??+??Py??=??x??p+??y??p 所以??x??p是一种向量范数. 9.设A为对称正定矩阵,定义??x??A= x T Ax ,证明?????A是一种向量范数.

证明 由Cholesky分解有A=LLT,所以??x??A ? ( LT x ) T ( LT x )
=??LTx??2,由上题结果知??x??A是一向量范数.

10.对任意矩阵范数?????,求证:
(1) I ? 1 (2) A ?1 ? 1 A (3) A ?1 ? B ?1 ? A ?1 B ?1 A ? B

证明 (1)因为??A??=??AI?????A????I?? ,所以??I???1. (2)1???I??=??AA-1?????A????A-1?? ,故 A ?1 ?
1 . A

(3)??A-1-B-1??=??A-1(B-A)B-1?????A-1????B-1????A-B??

11.证明: (1)如果A为正交矩阵,则Cond2(A)=1; (2)如果A为对称正定矩阵,则Cond2(A)=?1/?n,?1和?n分别为A的最大
和最小特征值. 证明 (1)A正交,则ATA=AAT=I, Cond2(A)=??A??2??A-1??2=1. (2)A对称正定, ATA=A2, ??A??2=?1. ??A-1??2=1/?n.

12.讨论求解方程组Ax=b的J迭代法和G-S迭代法的收敛性.其中
?2 ?1 1 ? ? ? (1) A ? ? 1 1 1 ? ? 1 1 ? 2? ? ? ? 1 2 ? 2? ? ? (2) A ? ? 1 1 1 ? ?2 2 1 ? ? ?
? ? 1 2? 1? 2?
1 2

解 (1) J迭代法和G-S迭代法的迭代矩阵分别为
?0 ? 1 ? 0 1 ? 1? 2 2 2 ? ? ? B ? D ?1 (L ? U) ? ? ? 1 0 ? 1 ?, G ? (D ? L) ?1 U ? ? 0 1 2 ?0 0 ? 1 1 0 ? ? ? 2 2 ? ?(B)= 5 ,?(G)=1/2, 故J迭代法不收敛,G-S迭代法收敛. 2

(2)类似可得?(B)=0,?(G)=2, 故J迭代法收敛,G-S迭代法不收敛.

13.用J迭代法和G-S 迭代法求解方程组

?20 x1 ? 2 x 2 ? 3 x 3 ? 24 ? ? x1 ? 8 x 2 ? x 3 ? 12 ?2 x ? 3 x ? 15 x ? 30 ? 1 2 3

取初始近似x(0)=(0,0,0)T,问各需迭代多少次才能使误差??x(k)-x*????10-6. 解 J迭代法和G-S迭代法的迭代矩阵分别为
3 3 1 1 ? 0 ? 10 ? 20 ? ? 0 ? 10 ? 20 ? ? ? ? ?1 ? ?1 ?1 17 1 ?1 G ? (D ? L) U ? ? 0 80 ? 160 ? B ? D (L ? U) ? ? 8 0 8 ?, ? 0 19 ? 1 ? ? ?2 1 0 ? ? ? 15 ? 1200 800 ? 5 ??B???=1/3=0.33333 , ??G???=1/4=0.25

J迭代法有x(1)=(1.2,1.5,2)T, ??x(1)-x(0)???=2 G-S迭代法有x(1)=(1.2,1.35,2.11)T, ??x(1)-x(0)???=2.11 J迭代法: k ? ?6 ln 10 / ln 0.33333 ? 12.575 ,取k=13. G-S迭代法: k ? ?6 ln 10 / ln 0.25 ? 9.9658 ,取k=10.

14.用J迭代法和G-S迭代法求解方程组Ax=b,其中

? 1 A?? ??? ?

?? ? ? 1 ? ?

问?取何值时这两种迭代法是收敛的? 解 J迭代法和G-S迭代法的迭代矩阵分别为

?0 ?? B?? ? ?? 0 ?

?0 ? ? G ?? ? 2 ?0 ? ?

易得:?(B)=|?|,?(G)=?2.故当|?|<1时两种方法都收敛.

15.给定方程组

? x1 ? 2 x 2 ? 3 (1)? ?3x1 ? 2 x 2 ? 4
收敛哪一种方法收敛得快?

?3x1 ? 2 x 2 ? 4 (2)? ? x1 ? 2 x 2 ? 3

取x(0)=(1.01,1.01)T,分别用J迭代法和G-S迭代法求解,问是否收敛?若 解 (1)J迭代法和G-S迭代法的迭代格式分别为
( ? x1( k ?1) ? 3 ? 2 x 2k ) ? ( k ?1) x 2 ? 2 ? 1.5 x1( k ) ? ( ? x1( k ?1) ? 3 ? 2 x 2k ) ? ( k ?1) x 2 ? 2 ? 1.5 x1( k ?1) ?

计算结果如下:
k 0 1 2 3 4 5 6 J法x1(k) 1.01 0.98 2.03 1.94 5.09 4.82 14.27 J法x2(k) 1.01 0.485 0.53 -1.045 -0.91 -5.635 -5.23 G-S法x1(k) 1.01 0.98 1.94 4.82 13.46 39.38 117.14 G-S法x2(k) 1.01 0.53 -0.91 -5.23 -18.19 -57.07 -173.71

可见,J迭代法和G-S迭代法均不收敛. 实际上, ?(B)=31/2>1 ,?(G)=3>1. (2)J迭代法和G-S迭代法的迭代格式分别为

? ( k ?1) 4 2 ( k ) ? ? x2 ? x1 3 3 ? ? x ( k ?1) ? 1.5 ? 0.5 x ( k ) ? 2 1 计算结果如下:
k
0 1 2 3 4 5 6

? ( k ?1) 4 2 ( k ) ? ? x2 ? x1 3 3 ? ? x ( k ?1) ? 1.5 ? 0.5 x ( k ?1) ? 2 1
J法x2(k)
1.01 0.995 1.17 1.165 1.223333 1.221667 1.241111

J法x1(k)
1.01 0.66 0.67 0.553333 0.556667 0.517778 0.518889

G-S法x1(k)
1.01 0.66 0.553333 0.517778 0.505926 0.501975 0.500658

G-S法x2(k)
1.01 1.17 1.223333 1.241111 1.247037 1.249012 1.249671

可见,J迭代法和G-S迭代法均收敛,且G-S迭代法收敛的快.

16.判定求解下列方程组的SOR方法的收敛性.
0 0 ?? x1 ? ?1 ? ?? 2 1 ? ?? ? ? ? 0 ?? x 2 ? ? 0 ? ? 1 ?2 1 ? 0 ?? x ? ? ? 0 ? 1 ?2 1 ? ?? 3 ? ? ? ? 0 0 1 ? 2 ?? x 4 ? ? 0 ? ? ?? ? ? ?

解 直接可验证系数矩阵A是负定矩阵,所以-A是对称正定矩阵,故

当0<?<2时,SOR方法收敛.
17.给定方程组

?2 x ? y ? 4 z ? 6 ? ?x ? 4 y ? z ? 3 ?3 x ? y ? z ? 2 ?

试建立一个收敛的迭代格式,并说明收敛的理由.
解 可建立如下形式的迭代格式

? ( k ?1) 2 1 ( k ) 1 ( k ) ? ? y ? z ?x 3 3 3 ? ? ( k ?1) 3 1 ( k ) 1 ( k ) ? ? x ? z ?y 4 4 4 ? ? ( k ?1) 3 1 ( k ) 1 ( k ) ? ? x ? y ?z 2 2 4 ?

因为迭代矩阵为
? ? 0 ? ?? 1 M? ? 4 ? 1 ?? ? 2 1 ? 3 0 1 ? 4 1? ? ? 3? 1? ? 4? ? 0 ? ?

M

?

?

3 ?1 4

所以此迭代法收敛.

第6章
1.证明方程1-x-sinx=0在[0,1]内有一个根,使用二分法求误差不大
于0.5?10-4的根需要计算多少步? 解 记?(x)=1-x-sinx,则?(x)在[0,1]连续,?(0)=1>0, ?(1)=-sin1<0,故方 程在[0,1]内有根,又??(x)=-1-cosx<0, x?[0,1],所以方程在[0,1]内仅有一 个根. 由于
xk ? x * ? b?a 1 1 ? k ?1 ? ? 10 ? 4 2 2 k ?1 2

,所以 k?4/log2=13.29

可见,需要计算14步.

2.比较使用下述方法求方程ex+10x-2=0的正根,准确到三位小数 所需要的计算量: (1) 在区间[0,1]内用二分法;

(2) 用迭代法 x k ?1 ? (2 ? e x ) / 10 ,取x0=0.
k

解 (1)由

xk ? x * ?

b?a 1 1 ? k ?1 ? ? 10 ?3 2 2 k ?1 2

,可得

k?3/log2=9.97 ,所以需要计算10步. (2) 迭代法的迭代函数为?(x)=(2-ex)/10, |??(x)|= ex/10?e/10<1,取 L=e/10,且x1=0.1,由

可得

Lk 1 xk ? x * ? x1 ? x0 ? ? 10?3 1? L 2
?1 ? L ? k ? ln ? ? ? ln L ? 4.31 ? 200 ?

所以,只需迭代5步. 若取L=e0.1/10,可得k?2.46,所以只需迭代3次.

3.验证区间[0,2]是方程x3+2x-5=0的有根区间,并建立一个收敛的迭 代格式,使对任何初值x0?[0,2]都收敛,并说明理由. 解 记?(x)=x3+2x-5?C[0,2],且?(0)=-5<0,?(2)=7>0, 所以方程在区间[0,2]内有根,建立迭代格式

xk ?1 ? 3 5 ? 2 xk , k ? 0,1,2,?
这里迭代函数?(x)= 3

5 ? 2x
2 3

0<1??(x)?

3

5 <2 , ?x?[0,2]



2 ? |??(x)|= (5 ? 2 x) ?2/3<1 , ?x?[0,2] 3

所以?(x)是区间[0,2]上的压缩映射,故迭代式收敛.

4.给定函数?(x),设对一切x,??(x)存在且0<m???(x) ?M,证明对任意

??(0,2/M),迭代式 x ? x ? ?f ( x ) k ?1 k k
均收敛于?(x)=0的根x* .

, k ? 0,1,2, ?

证明 这里?(x)=x-??(x),由于对任意??(0,2/M) -1=1-2<??(x)=1-???(x)<1 所以|??(x*)|<1,故迭代法收敛. 5.设?(x)=cosx,证明:任取x0,迭代式xk+1=?(xk),k= 0,1,2,…,均收敛于 方程x=?(x)的根x* .

证明 因为对任意x0,都有x1=cosx0?[-1,1],所以只需证明迭代式在区
间[-1,1]收敛. 因为?(x)=cosx连续可导,|??(x)|=|sinx|?sin1<1,所以?(x)是区间[-1,1]

上的压缩映射,因此结论成立.

6.已知x=?(x)在[a,b]内仅有一个根,而当x?[a,b]时,|??(x)|?k>1,试问

如何将x=?(x)化为适于迭代的形式?将x=tanx化为适于迭代的形式,并
求在x=4.5附近的根. 解 将x=?(x)化为x=?-1(x),建立迭代格式xk+1=?-1(xk) 由于|[?-1(x)]?|=1/|??(x)|?1/k<1,故迭代法收敛. 将x=tanx化为x=arctanx,建立格式xk+1=arctanxk , 取x0=4.5,实际计算时用格式xk+1=?+arctanxk ,k=0,1,2,…计算结果如下
k 0 1 2 xk 4.5 4.493720 4.493424 |xk+1-xk|
0.00628 0.000296

k 3 4 5

xk 4.493410 4.493409 4.493409

|xk+1-xk| 0.000014 0.000001 0.000000

已得到精确到小数点后6位的近似值x*?x5=4.493409.

7.已知1.3是

4

3 的一个近似值,用Newton迭代法求

4

3

的更好近似值, 要求准确到小数点后五位. 解 对方程?(x)=x4-3=0建立Newton迭代格式,则有
x k ?1 x k4 ? 3 3 ? xk ? ? ( x k ? x k?3 ) 3 4 4 xk k ? 0,1,2, ?

取x0=1.3,计算结果如下
k 0 1.3 1 1.3163746 0.0163746 2 1.3160741 0.0003005 3 1.3160740 0.0000001

xk
|xk+1-xk|

所以取x3=1.3160740,已精确到小数点后6位.

8.用Newton迭代法于方程xn-a=0, 和1-a/xn=0,(a> 0),分别导出求 n a 的迭代公式,并求 C ? lim(n a ? xk ?1 ) /(n a ? xk ) 2
k ??



迭代格式分别为
(1) x k ?1 ? n ?1 a x k ? n ?1 n nxk k ? 0,1,2, ?

(2)

x k ?1

xk x kn ? (n ? 1 ? ) n a

k ? 0,1,2, ?

由于

x * ? xk ?1 f ??( x*) lim ?? k ?? ( x * ? x ) 2 2 f ?( x*) k

所以对(1)有 C ? 1 ? n n

2 ?

,对(2)有 C ? 1 ? n .

2n ?

9.证明迭代公式:xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a),k=0, 1,2,…是求

a 的三阶方法. 证明 设 lim x k ? ? ,则有: ?=?(?2+3a)/(3?2+a)
故 ?2=a , 即 lim x k ? a k ?? x k ( x k2 ? 3a) ? a (3x k2 ? a) 又由于 x k ?1 ? a ? 3x k2 ? a
x ? 3axk ? 3 a x ? a ? 2 3xk ? a
3 k 2 k 3

k ??

( xk ? a ) 3 ? 3x k2 ? a

所以有

x k ?1 ? a 1 1 lim ? lim 2 ? 3 k ?? ( x ? k ?? 3 x ? a 4a a) k k

因此是三阶方法.

第7章
1.用Gerschgorin圆盘定理估计下列矩阵的特征值.
0.1 ? 0.1? ? 1 ? ? (1) ? 0 2 0.4 ? (2) ? ? 0.2 0.1 3 ? ? ? ? 4 1 1? ? ? ? 0 2 1? ? ? 2 0 9? ? ?

解 (1)三个圆盘为|?-1|?0.2,|?-2|?0.4,|?-3|?0.3.是相互独立的,因此,

三个特征值分别为; 0.8??1?1.2 , 1.6??2?2.4 , 2.7??3?3.3
(2)三个圆盘为|?-4|?2,|?-2|?1,|?-9|?2.前两个圆盘连通,后一个独立,因 此, ?1,?2,落在前两个圆盘的连通区域内, 7??3?11. 2.求矩阵A按模最大和最小特征值.其中
? 9 10 8 ? ? ? A ? ?10 5 ? 1? ? 8 ?1 3 ? ? ?

解 用幂法求A的按模最大特征值,计算公式为: mk=max(x(k)) ? ? (k) (k) ? y =x /mk ,k=0,1,…. ? x(k+1)=Ay(k) ? 取初值x(0)=(1,1,1)T,计算结果如下:
k y1(k) y2(k) y3(k) mk 0 1 1 1 1 1 0.5185 0.3704 27 2 1 0.7127 0.5011 17.1482 3 1 0.6487 0.4366 20.1358 4 1 0.6748 0.4563 18.9798 5 1 0.6659 0.4482 6 1 0.6693 0.4510 7 1 0.6681 0.4499 19.301

19.3984 19.2446

取?1?m7=19.301

解 用反幂法求A的按模最小特征值,计算公式为:
? mk=max(x(k)) ? ? y(k)=x(k)/mk ,k=1,1,…. ? ? Ax(k+1)=y(k)

取初值x(0)=(1,1,1)T,计算结果如下:
k y1(k) y2(k) y3(k) mk k y1(k) y3(k) mk 0 1 1 1 1 1 -0.1892 0.2162 2 -0.1318 0.1493 1 3 -0.6500 1 -0.3969 4 -0.1902 -0.3323 1 5 -0.3689 1 -0.6917 6 -0.0590 -0.5811 1 7 -0.2550 1 -0.9204 -0.1724 15 0.1259 1 0.2054

0.1131 0.1204 -0.1353 -0.2192 -0.1659 -0.2225 8 9 10 11 12 13 14 -0.0292 0.1975 0.0617 0.1564 0.0916 0.1355 0.1058 1 1 1 0.2345 1 0.1938 1 0.2197 1 0.2016 1 0.2137

y2(k) -0.7168 -0.9940 -0.7713 -0.9089 -0.8119 -0.8765 -0.8319 -0.8618
-0.2330 0.1794

取? ?1/m =4.8686

2、利用Jacobi方法求矩阵A的所有特征值,其中
?4 2 1? ? ? A ? ? 2 4 2? ?1 2 4? ? ? ?4 2 1? ? ? (0) A ? ? 2 4 2? ?1 2 4? ? ?
(0 (0 a11 ) ? a22) d? ? 0, ( 0) 2a12





取p=1,q=2,则有

t ?1

cos?=(1+t2)-1/2=0.7071, sin?=tcos?=0.7071
? cos? ? J 1 ? J pq (? ) ? ? ? sin ? ? 0 ? sin ? cos? 0 0 ? ? 0.7071 0.7071 0 ? ? ? ? 0 ? ? ? ? 0.7071 0.7071 0 ? 1? ? 0 0 1? ? ? ?

A (1)

类似地有
A ( 2)

0 2.12132? ? 6 ? ? T (0) ? J1 A J1 ? ? 0 2 0.70711 ? ? 2.12132 0.70711 4 ? ? ?

? 7.34521 ? ? ? 0.37868 ? 0 ?
? 7.36378 ? ?? 0 ? 0.19264 ?

0.37868 2 0.59716
0 1.62781 ? 0.01098

? ? 7.34521 0.32583 ? ? 0.59716 ? A ( 3) ? ? 0.32583 1.64638 ? 0.19295 2.65479 ? 0 ? ? 0
0.19264 ? ? 7.37228 ? 0.00048 ? (5) ? ? 0.01098 ? A ? ? ? 0.00048 1.62781 ? ? 0 ? 0.01097 ? 3.00841 ?

0.19295 ? ? 0 ? 3.00841 ? ?
? ? ? 0.01097 ? 2.99991 ? ? 0

A ( 4)

所以取 ?1?7.37228 ,?2?2.99991 ,?3?1.62781

2.设矩阵H=I-2xxT,向量x满足xTx=1,证明: (1)H为对称矩阵,即HT=H; (2)H为正交矩阵,即HTH=I; (3)H为对合矩阵,即H2=I. 证明 (1)因为HT=(I-2xxT)T=I-2xxT=H,故H对称. (2)因为HTH=(I-2xxT)T(I-2xxT)=I-4xxT+4xxTxxT=I,故H正交. (3)由(1)和(2)即得,H是对合矩阵.


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