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数列的五种求和公式


数列求和的几种常见方法 数列问题中蕴涵着丰富的数学思想方法,是高考用来考查考生对数学思想方法理解程度的良好素材,是 历年高考的一大热点,在高考命题中,多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现,一般数列的求和,主 要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题,因此,我们有必要对数列求和的各种方法进行系统探讨. 1、公式求和法 通过分析判断并证明一个数列是等差数列或等比数列后,可直接利

用等差、等比数列的求和公式求和, 或者利用前 n 个正整数和的计算公式等直接求和.运用公式求解的注意事项: 首先要注意公式的应用范围, 确 定公式适用于这个数列之后,再计算.特别地,注意数列是等比数列时需要讨论 q ? 1 和 q ? 1 的情况. ⑴等差数列求和公式: S n ?
n ( a1 ? a n ) 2 ? na 1 ? n ( n ? 1) 2 d

⑵等比数列求和公式: S n

? na 1 ? n a1 ? a n q ? ? a 1 (1 ? q ) ? ? 1? q 1? q ?

( q ? 1) ( q ? 1)

另 外 ,还 有 必要 熟练 掌握 一 些常 见 的数 列的 前 n 项 和 公式 . 正整 数 和公 式有 : ? k ?
k ?1

n

n ( n ? 1) 2



?
k ?1

n

k

2

?

n ( n ? 1) ( 2 n ? 1) 6



?
k ?1

n

k

3

? [

n ( n ? 1) 2

]

2

2 例 1、已知数列 ? f ? n ?? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? n ? 2 n . 若 a 1 ? f ?1 ?, a n ?1 ? f ? a n ? ?n ? N

?

? ,求数列 ?a ?
n

的前 n 项和 T n .
? 分析:根据数列的项和前 n 项和的关系入手求出 f ? n ?, 再根据 a n ?1 ? f ? a n ? ( n ? N )求出数列 ?a n ? 的通项

公式后,确定数列的特点,根据公式解决. 解:∵当 n ? 2 时, f ? n ? ? S n ? S n ? 1 ? 2 n ? 1 . 当 n ? 1 时, f ?1 ? ? S 1 ? 3 , 适合上式
? f ? n ? ? 2 n ? 1 ?n ? N
?

?,a

1

? f ?1 ? ? 3 , a n ? 1 ? 2 a n ? 1 ?n ? N

?

? ,即 a

n ?1

? 1 ? 2 ( a n ? 1)

∴数列 ? a n ? 1? 是首项为 4、公比为 2 的等比数列.
n ?1 n ?1 n ?1 ? 2 ,? a n ? 2 ? 1 ?n ? N ∴ a n ? 1 ? ?a 1 ? 1? ? 2
?

? ;T

n

? 2

?

2

? 2 ??2
3

n ?1

?? n ? 2

n?2

? n ? 4.

【能力提升】公式法主要适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列的求和,一些综合性的数 列求和的解答题最后往往就归结为一个等差数列或等比数列的求和问题. 变式训练 1: 已知 log
x ? ?1 log
2

3

,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和.
2 3 n

3

* 变式训练 2: 设 s n ? 1 ? 2 ? … ? n ( n ? N ) ,求 f ( n ) ?

Sn ( n ? 32 ) S n ? 1

的最大值.

2、倒序相加法 如果一个数列 { a n } ,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,可采用把正着写与倒着 写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法.我们在学知识时,不但要知其 果,更要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:等差数列前 n 项和公 式的推导,用的就是“倒序相加法”.
S n ? a1 ? a 2 ? … … ? a n ?1 ? a n ? ? 则 2 S n ? ? a1 ? a n ? ? ? a 2 ? a n ?1 ? ? … ? ? a1 ? a n ? … S n ? a n ? a n ?1 ? … … ? a 2 ? a1 ?

例 2、已知函数 F ? x ? ?

3x ? 2 ? 1? ? 1 ? ? 2 ? ? 2008 ? ? x ? ?. 求 F ? ?? F? ??? F? ?. 2x ?1 ? 2? ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ?

分析:由所求的和式的特点,易想到探究:和为 1 的两个自变量函数值的和是否为常数.从而确定可否用倒 序相加法求和. 【解析】∵ F ? x ? ? F ?1 ? x ? ?
3x ? 2 2x ?1 ? 3 ?1 ? x ? ? 2 2 ?1 ? x ? ? 1 ? 3.

∴设 S ? F ?

?

? ? 2 ? ? 2008 ? ? 2008 ? ? 2007 ? ? 1 ? ?? F? ??? F? ?. ① S ? F ? ?? F ? ? ?? F ? ?② ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ? 1

∴ ① + ② 得 2S ? ?F ?
?

?

? ? 2008 ? ? ? 2008 ? ? ? ? 2 ? ? 2007 ? ? ? 1 ?? ?? F? ?? ? ? F ? ?? F? ?? ? ? ? ? F ? ?? F? ?? ? 2009 ? ? 2009 ? ? ? ? 2009 ? ? 2009 ? ? ? 2009 ? ? ? ? 2009 ? ? 1

? 3 ? 2008 ? 6024 ,所以 S ? 3012 .

【能力提升】倒序相加法来源于课本,是等差数列前项和公司推导时所运用的方法,它是一种重要的求和方 法.当求一个数列的有限项和时,若是“与首末两端等距离”的两项和都相等,即可用此法. 例 3、已知 f ( x ) ?
x
2 2

1? x

,则 f (1) ? f ( 2 ) ? f ?
?1? ? ? ? x?
2

?1? ?1? ?1? ? ? f (3) ? f ? ? ? f ( 4 ) ? f ? ? ? ?2? ?3? ?4?

解:∵由 f ( x ) ? f ?

x ?1? ? ?? 2 ? x ? 1? x

2

?1? 1? ? ? ? x?

2

?

x

2 2

1? x

?

1 1? x
2

?1

∴原式 ? f (1) ? ? f ( 2 ) ? f ?
?
2 ?

?

1 ? 1 ?? ? ? 1 ?? ? ? 1 ?? 1 ? ? ? ? f (3) ? f ? ? ? ? ? f ( 4 ) ? f ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 2 ? 2 ?? ? ? 3 ?? ? ? 4 ?? 2
2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

变式训练 1: 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值

变式训练 2:如已知函数 f ( x ) 对任意 x ? R 都有 f ( x ) ? f (1 ? x ) ?

1 2

, S n ? f (0) ? f ( ) ?
n

1

2 3 n?2 n ?1 * f ( ) ? f ( ) +… ? f ( )? f( ) ? f (1) , n ? N ) ( ,求 S n n n n n

变式训练 3:已知 f ( x ) ?

x

2 2

1? x

,那么 f (1) ? f ( 2 ) ? ? f ( 2008 ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? f (
2 3

1

1

1 2008

) ?

3、裂项相消法 裂项相消法是将数列的各项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从而求出数列的前 n 项 和. 一般地,我们把数列的通项分成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.适用 于类似 ?
? c ? ? ?

? a n a n ?1

(其中 ?a n ? 是各项不为 0 的等差数列, c 为常数)的数列,以及部分无理数列和含阶乘的
1 ( 2 n ? 1 )( 2 n ? 1 ) 1 ? 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

数列等.用裂项法求和,需要掌握一些常见的裂项方法:
1 n(n ? k ) ? 1 k 1 n ? 1 n ? k

?



(

)


n ?
n

1 n ?1

?

n ?1 ?

n



例 4、 ? a n ? 是公差为 d 的等差数列,求 ?
k ?1

1 a k a k ?1
?d
? 0?

解:∵
ak ·
n

1 a k ?1

? ak

1

? ak
n

? d

?

?

1 ? 1 1 ? ? ? ? d ? ak a k ?1 ?

∴?
k ?1

1 a k a k ?1

?

?
k ?1

1 ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??…… ? ? ?? ? ??? d ? a1 a n ?1 ? d ? ak a k ?1 ? d ? ? a1 a2 ? ? a2 a3 ? a n ?1 ? ? ? an
2
n

例 5、数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 1, a 2 ?

5 3

, a n?2 ?

5 3

a n ?1 ?

2 3
n

an

?n ? N ? ,求 T
?

?

3 a1a 2

?

?2? ? ? ?3?

2

?

?2? ? ? ?3?

3

?? ?

?2? ? ? ?3?

n

.

a2a3

a3a4

a n a n ?1

分析:根据给出的递推式求出数列 ?a n ? ,再根据 解:∵由已知条件,得 a n ? 2 ? a n ? 1 ? 比数列,故 a n ? 1 ? a n
?2? ? ? ? , ?3?
n

?2? ? ? ?3?

的特点拆项解决.
2 3 2 3

a n a n ?1

2 3

?a n ?1

? a n ? ,? ?a n ?1 ? a n ? 是以 a 2 ? a 1 ?

为首项,

为公比的等

∴ an

? a1 ? ? a 2 ? a1 ? ? ? a 3 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? a n ?1 ? ? 1 ?

?2? ?2? ? ? ? ?? ? ? ? 3 ?3? ?3? 2

2

n ?1

? ?2? ? ? 3 ?1 ? ? ? ? . ?3? ? ? ? ?
n



? 2 ? ? ? ? 3 ?

n

a n a n ?1

? ? 1 ? 1 1 ? ? ? n n ?1 n n ?1 3 ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 ? 1? ? 3 ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?1 ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ?
n
2 3 n

? ? ? ? ? ?
? ? ? ? 1 ? 1 ? ? 3? n ?1 ? 3 ? ? 2 ? 1? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ?. ? ? ?


Tn

? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? 3 ? ? ? ?? ? ? a1 a 2 a2 a3 a3a4 a n a n ?1 3 2

? ? ? 1 ? 2 ? 1? 1? ? 3 ?

1 ? 2 ? ? ? ? 3 ?
2

?? ?

1 ? 2 ? 1? ? ? ? 3 ?
n

?

1 ? 2 ? 1? ? ? ? 3 ?
n ?1

变式训练 1:在数列 { a n } 中, a n ?
1 1? 2

1 n ?1
1

?

2 n ?1

? ??? ?

n n ?1
1

,又 b n ?

2 a n ? a n ?1

,求数列 ? b n ? 的前 n 项的和.

变式训练:2:求和: s ? 1 ? 变式训练 3:求和:
1 2 ?1

?

1? 2 ? 3

?? ?

1? 2 ? 3?? ? n

?

1 3 ? 2

?

1 4 ? 3

?? ?

1 n ?1 ? n

.

4、错位相减法 错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式.即若在(差比数列)
{ a n ? b n } 中, { a n } 成等差数列, { b n } 成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可

以求出前 n 项和. 例 6、 S n ? 1 ? 2 x ? 3 x ? 4 x ? … … ? n x
2 3 n ?1


n ?1

x S n ? x ? 2 x ? 3 x ? 4 x ? … … ? ? n ? 1? x ·
2 3 4

? nx
n

n


n ? n ? 1? 2

①—② ? 1 ? x ? S n ? 1 ? x ? x ? … … ? x
2

n ?1

? nx

当 x ? 1 时, S n ?

?1 ? x ?
n

?1 ? x ?

2

?

nx

n

1? x

,当 x ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? 3 ? … … ? n ?

【能力提升】错位相减法适用于数列 ?a n b n ? ,其中 ?a n ? 是等差数列, ?b n ? 是等比数列.若等比数列 ?b n ? 中公 比 q 未知,则需要对公比 q 分 q ? 1和 q ? 1 两种情况进行分类讨论. 例 7、已知数列 ?a n ? 是首项为 a 1 ?
1 4 , 公比为 q ? 1 4

的等比数列,设 b n ? 2 ? 3 log

1 4

an n ? N

?

?

? ,数列 ?c ?
n

满足 c n ? a n ? b n . 求数列 ?c n ? 的前 n 项和 S n . 分析:根据等比数列的性质可以知道数列 ?b n ? 为等差数列,这样数列 ?c n ? 就是一个等差数列与一个等比数列 对应项的乘积构成的数列,因而可考虑用错位相减法来解决. 解:∵由题意知, a n
n

?1? ? ? ? ?4?

n

?n ? N ? ,又 b
?

n

? 3 log

1 4

a n ? 2 ,故 b n ? 3 n ? 2 n ? N

?

?

?.

?1? ? ∴ cn ? ? 3n ? 2 ? ? ? ? n ? N 4? ?

?

?
3 n ?1

?1? ?1? ?1? ∴ S n ? 1 ? ? 4 ? ? ? ? 7 ? ? ? ? ? ? ? 3n ? 5 ? ? ? ? 4 ?4? ?4? ?4? 1 1
2 3 4

2

?1? ? ?3n ? 2 ? ? ? ? ?4?
n

n



?1? ?1? ?1? ?1? ?1? S n ? 1 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 7 ? ? ? ? ? ? ? 3n ? 5 ? ? ? ? ? ? 3n ? 2 ? ? ? ? 4 ?4? ?4? ?4? ?4? ?4?

n ?1

∵两式相减,得 S n
4

3

n n ?1 n ?1 ?? 1 ? 2 ? 1 ? 3 1 ?1? ? ?1? ?1? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 n ? 2 ? ? ? ? ? ? ?3 n ? 2 ? ? ? ? . 4 2 ?4? ?4? ? ?4? ?4? ?? 4 ? ? ?

1

? Sn ?

2 3

?

3n ? 2 3

?1? ?? ? ?4?

n

?n ? N ? .
?
2 3 n ?1

变式训练 1、求 S n ? 1 ? 2 x ? 3 x ? 4 x ? … … ? n x
n

变式训练 2、若数列 { a n } 的通项 a n ? ( 2 n ? 1 ) ? 3 ,求此数列的前 n 项和 S n . 变式训练 3、 求数列
2 , 4
2

,

6 2
3

, ? ? ?,

2n 2
n

,? ? ? 前 n 项的和.

2 2

5、 (分组)拆项求和法(裂项重组法) 所谓裂项重组法就是针对一些特殊的数列,既不是等差数列,也不是等比数列的数列,我们可以通过拆 分、合并、分组,将所求和转化为等差、等比数列求和 例 8、已知数列 ?a n ? 的通项公式为 a n ? 2 ? 3 n ? 1, 求数列 ?a n ? 的前 n 项和.
n

分析:该数列的通项是由一个等比数列 ?2 列与一个等差数列进行分组求和.

n

? 与一个等差数列 ?3 n ? 1? 组成的,所以可将其转化为一个等比数
2 n

【解析】 S n ? a 1 ? a 2 ? ? a n ? ?2 ? 2 ? ? ?2 ? 5 ? ? ? ?2 ? 3 n ? 1 ?
1

= ?2 ? 2 ? ? ? 2
1 2

n

?? ? ? ? ? ? ? ?2 ? 5 ? ? ?3 n ? 1 ??. = 2 1 ? 2 ? n 2 ? 3 n ? 1
n

1? 2

2

=2

n ?1

?

3 2

n

2

?

1 2

n ? 2.

【能力提升】在求和时,一定要认真观察数列的通项公式,如果它能拆分成几项的和,而这些项分别构成等 差数列或等比数列,那么我们就可以用此方法求和. 例 9 、 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 是 S n

?n ? N ?
?

, 若 数 列 ?a n ? 的 各 项 按 如 下 规 则 排 列 :
?

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 , , , , , , , , , , , ? , 若存在自然数 k ?k ? N 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6

? ,使 S

k

? 10 , S k ? 1 ? 10 ,则 a k ?

.

分析:数列的构成规律是分母为 2 的一项,分母为 3 的两项,分母为 4 的三项,·,故这个数列的和可以并 ·· 项求解. 解: S 1 ?
1 2 ,S3 ? 1 2 6 ? 1? 2 ? 3? 4 ? 5 7 ? 1? 2 3 ? 3 2 ? ,S6 ? 15 2 ? 15 2 ? 15 7 ? 15 2 ,而 3 2 ? 1? 2 ? 3 4 7 ? 5 2 ? 3 , S 10 ? 3 ? 1? 2 ? 3? 4 5 21 2 5 7 ? 10 ,而 ? 5

S 15 ? 5 ? S 20 ? 15 2

1? 2 ? 3? 4 ? 5

1? 2 ? 3? 4 ? 5? 6

? 3 , 这样 S 21 ? 5 7

? 10 , 故 a k ?

,故填 .

【能力提升】当一个数列连续的几项之间具有明显的规律性,特别是一些正负相间或者是周期性的数列等, 可以考虑用并项求和的方法. 变式训练 1:求和: 2 ? 5 ? 3 ? 6 + 4 ? 7 + … … + n ( n + 3 )

1+ 变式训练 2:求数列 1,1+ 2 ,1+ 2 + 2 , … , 2 + 2 + … + 2

2

2

n ?1



的前 n 项和

变式训练 3:求数列 { n ( n ? 1)( 2 n ? 1)} 的前 n 项和.


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