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zcl均值不等式竞赛


1. 已知 x, y, z ? 0 ,且 x ? y ? z ? 1 .

1 求证: x ? y ? z ? 9
3 3 3

分析:不等式具有对称性, 易知取等号的条件为

1 x? y?z? 3

1 1 x ?1? ?1? 证明: x ? ? ? ? ?? ? ? 3 ? x ?

? ? 3 3 3 ?3? 3 ? 3? 3
3
3

3

3

1 1 y ?1? ?1? 同理: y ? ? ? ? ?? ? ? 3 ? y ? ? ? 3 3 3 ?3? ?3? 1 1 z ?1? ?1? z ? ? ? ? ?? ? ? 3 ? z ? ? ? 3 3 3 ?3? ?3?
3 3 3

1 三式相加即得: x ? y ? z ? 9
3 3 3

例 2. 已知 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 1。 求 S ? a (1 ? b) ? b (1 ? c) ? c (1 ? a )
3 2 3 2 3 2

?

的最大值

目标: S ? 2
3

分析:不等式具有轮换性, 易知取等号的条件为 1 a?b?c? 3

3

a ? a ? (1 ? b) a (1 ? b) ? 3 a ? a ? (1 ? b) ? 3
2

(这样可以吗?为什么?)
配系数!
3

4 1 2a ? 2a ? (1 ? b) 1 5a ? c ?3 ? ?3 ? 3 3 4 4

a (1 ? b) ? 3 2a ? 2a ? (1 ? b) ? 3
2

1

练习 1. 已知 a, b, c ? R ,且 abc ? 1 ,
?

求证: (2 ? a)(2 ? b)(2 ? c) ? 27 .
?

练习 2. 已知 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。

abc 1 求证: ? . bc ? ca ? ab 9

题型三 基本不等式的证明
【例3】 0? (201 辽宁)已知a, b,c均为正数, 求证 : a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?1 1 1? ? ? ? ? ≥6 3 , 并确定a, b,c为何值时, 等号成立. ?a b c?
2

[证明]证法一 : 因为a, b,c均为正数,由平均值不等式得 a 2 ? b 2 ? c 2≥3(abc ) , ①
1 ? 1 1 1 ? ? ≥3(abc) 3 , a b c 2 ? 1 1 1? ? 所以 ? ? ? ? ≥9( abc) 3 .② ?a b c? 2 2 ? 1 1 1? ? 故a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ? ? ? 2≥3(abc) 3 ? 9(abc) 3 . ?a b c? 2 2 3

又3( abc) ? 9( abc) ≥2 27 ? 6 3, ③ 所以原不等式成立.

2 3

?

2 3

当且仅当a ? b ? c时, ①式和②式等号成立当且仅当3(abc) . ? 9(abc) 时, ③式等号成立. 即当且仅当a ? b ? c ? 3 时, 原式等号成立.
1 4 ? 2 3

2 3

证法二 : 因为a, b,c均为正数,由基本不等式得 a 2 ? b 2≥2ab, b 2 ? c 2≥2bc,c 2 ? a 2≥2ac, 所以a 2 ? b 2 ? c 2≥ab ? bc ? ac, ① 1 1 1 1 1 1 同理 2 ? 2 ? 2 ≥ ? ? , ② a b c ab bc ac ?1 1 1? 故a ? b ? c ? ? ? ? ? ?a b c? 1 1 1 ≥ab ? bc ? ac ? 3 ? 3 ? 3 ≥6 3.③ ab bc ac 所以原不等式成立.
2 2 2 2

当且仅当a ? b ? c时, ①式和②式等号成立,当且仅当a ? b ? c, ? ab ? ? ? bc ? ? ? ac ? ? 3时, ③式等号成立.
2 2 2 1 4

即当且仅当a ? b ? c ? 3 时, 原式等号成立.

[点评]不等式的证明常用方法有:比较法?分析法与综合法,在 解决问题时注意结合平均值不等式来证明.

变式3 : (2010? 江苏)设a、b是非负实数, 求证 : a 3 ? b3≥ ab (a 2 ? b 2 ).

证明 :由a, b是非负实数, 作差得 a 3 ? b3 ? ab ? a 2 ? b 2 ? ? a 2 a ( a ? b ) ? b2 b ( b ? a ) ? ( a ? b )(( a )5 ? ( b )5 ). 当a≥b时, a≥ b , 从而( a )5≥( b )5 , 得( a ? b )(( a )5 ? ( b )5)≥0; 当a ? b时, a ? b , 从而( a )5 ? ( b )5 , 得( a ? b )(( a )5 ? ( b )5 ) ? 0. 所以a 3 ? b3≥ ab (a 2 ? b 2 ).

解题方法拾遗
1 1 1 【例4】已知a, b,c都是正数, 且a ? 2b ? c ? 1, 则 ? ? 的 a b c 最小值是 ________ .

[解析]? a, b,c都是正数, 且a ? 2b ? c ? 1, 1 1 1 a ? 2b ? c a ? 2b ? c a ? 2b ? c ? ? ? ? ? ? a b c a b c ? 2b a ? ? c 2b ? ? c a ? ? 4?? ? ??? ? ??? ? ? ? a b? ?b c ? ?a c? ≥4 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 ? 6 ? 4 2, 当且仅当a ? c ? 2b时“ ? ”成立. 1 1 1 ? ? ? 的最小值是6 ? 4 2. a b c [答案]6 ? 4 2

题型一

算术几何不等式的应用

【例1】 已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d, 求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? . a ?b b?c c?d a ?d
思维启迪

(1)可联想利用a-d=(a-b)+(b-c)

+(c-d).

1 1 1 ? ? ? ? (2)要证 可转化为证 a ?b b?c c?d a ?d 1 1 1 ( ? ? )( a ? d ) ? 9. a ?b b?c c?d

证明 ∵a>b>c>d,

∴a-b>0,b-c>0,c-d>0,
1 1 1 ( ? ? )( a ? d ) a ?b b?c c?d 1 1 1 ?( ? ? )[( a ? b) ? (b ? c ) ? (c ? d )] a ?b b?c c?d 1 1 1 3 ?3 ? ? ? 33 ( a ? b)(b ? c)( c ? d ) ? 9. a ?b b?c c?d 1 1 1 9 ? ? ? ? . a ?b b?c c?d a ?d

探究提高 利用均值不等式证明问题时,要特别注 意正、定、等的基本条件.同时要注意不等式的结

构特征:a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? an (a1 , a2 ,?, an为正实数).
n

n

知能迁移1

(2008·江苏,21D)设a,b,c为正

实数,求证: 13 ? 13 ? 13 ? abc ? 2 3. a b c 证明 因为a,b,c是正实数,由均值不等式可得
1 1 1 1 1 3 1 ? 3 ? 3 ?3 3 ? 3 ? 3, 3 a b c a b c 1 1 1 3 即 3? 3? 3? . a b c abc 1 1 1 3 所以 3 ? 3 ? 3 ? abc ? ? abc. a b c abc 3 3 而 ? abc ? 2 ? abc ? 2 3, abc abc 1 1 1 所以 3 ? 3 ? 3 ? abc ? 2 3. a b c

知能迁移 4 已知 a、b、c>0,求证: a3 b3 c3 a+b+c≤bc+ac+ab.

a3 b3 证明 ∵ + ≥2 bc ac

a3 b3 2ab · = ; bc ac c

b3 c3 2bc c3 a3 2ac 同理: + ≥ ; + ≥ ; ac ab a ab bc b
? a3 b3 ?ab bc ac? c3 ? ∴2? + + ?≥2? + + ? a b? ? bc ac ab? ?c

ab bc ∵ + ≥2 c a

ab bc · =2b c a

bc ac ac ab 同理: + ≥2c; + ≥2a. a b b c
?ab bc ac ? ∴2? + + ?≥2(a+b+c) a b? ?c

? a3 ? b3 c 3 ? ? + + ∴2?bc ?≥2(a+b+c). ac a b ? ? 即 a+b +c≤ a
3

bc



+ ac ab

b3

c3

11. 已知a+b+c=1,且a、b、c是正数,求证:
2 2 2 ? ? ? 9. a?b b?c c?a

证明 左边 ? [ 2( a ? b ? c )]( 1 ? 1 ? 1 ) a?b b?c c?a
1 1 1 ? [(a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a)]( ? ? ) a?b b?c c?a ? (1 ? 1 ? 1) 2 ? 9 (或 ? [(a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a)]( 1 1 1 ? ? ) a?b b?c c?a

a?b a?b b?c b?c c?a c?a ? 3? ? ? ? ? ? b?c c?a a?b c?a a?b b?c

a?b b?c a?b c?a ? 3? 2 ? ?2 ? b?c a?b c?a a?b b?c c?a ?2 ? ? 9), c?a b?c 2 2 2 ? ? ? ? 9. a?b b?c c?a

综合法证明不等式

[例 5] 已知互不相等的正数 a、b、c 满足 abc=1, 1 1 1 求证: a+ b+ c< + + . a b c

分析:可利用 abc=1 对不等式右边(或左边)进行“1 的代换”后应用基本不等式证明;也可以对不等式直接 1 1 分组轮换对称用基本不等式求解,常见分组方式为 + a b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + = [( + )+( + )+( + )], + + =bc+ac+ab c 2 a b b c c a a b c 1 = [c(a+b)+b(a+c)+a(b+c)]. 2

解析:证法 1:∵互不相等的正数 a、b、c 满足 abc =1, ∴ a+ b+ c= 1 + bc 1 + ca 1 ab

1 1 1 1 1 1 + + + b c c a a b 1 1 1 < + + = + + . 2 2 2 a b c

1 1 证法 2:∵ + ≥2 a b 1 1 + ≥2 b c

1 =2 c; ab 1 =2 b. ac

1 1 1 =2 a; + ≥2 bc c a

1 1 1 ∴以上三式相加得, + + ≥ a+ b+ c. a b c 1 1 1 又∵a、b、c 互不相等,∴ + + > a+ b+ c. a b c

(文)已知 a、b、c∈(0,+∞),且 a+b+c=1,求 证: 1 1 1 + + ≥9. a b c

1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c 证明: + + = + + a b c a b c
?b a? ?c a? ?c b? =3+? + ?+? + ?+ ? + ? ?a b? ?a c ? ?b c ?

≥3+2+2+2=9. 1 当且仅当 a=b=c= 时取等号. 3

点评:1 的代换是常见变形技巧.还可以这样应用: 1 1 1 ?1 1 1 ? + + =? + + ?· 1 a b c ?a b c ?
?1 1 1 ? =? + + ?(a+b+c) ?a b c ? ?b a? ?c a? ?c b? =3+? + ?+? + ?+ ? + ?≥9. ?a b? ?a c ? ?b c ?

1 等号在 a=b=c= 时成立. 3

1 2 2 2 (理)求证:a +b +c ≥ (a +b +c )(a+b+c). 3
3 3 3

证明:∵a2+b2≥2ab, ∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b), ∴a3+b3+a2b+ab2≥2a2b+2ab2, ∴a3+b3≥a2b+ab2. 同理:b3+c3≥b2c+bc2, a3+c3≥a2c+ac2.

将三式相加得: 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2. ∴3(a3 +b3 +c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3 +b2a+b2c)+ (c3+c2a+c2b) =(a+b+c)(a2+b2+c2), 1 2 2 2 ∴a +b +c ≥ (a +b +c )(a+b+c). 3
3 3 3

点评:可用分析法证明.

分析法证明不等式
[例 6] 设 a,b,c>0,且 ab+bc+ca=1. 求证:a+b+c≥ 3. 分析:注意到条件式中,a、b、c 轮换积的和为 1, 可对待证式两边平方,用分析法证明.

证明:要证 a+b+c≥ 3,由于 a,b,c>0, 因此只需证明(a+b+c)2≥3. 即证:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3, 而 ab+bc+ca=1, 故需证明:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ ca).

即证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 即证 2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac, 即证(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0. 上式显然成立,∴原不等式成立.

考点 2

不等式证明

【例 2】 (2010· 辽宁高考)已知 a,b,c 均为正数,证明:a2+b2+ 1 1 1 c2+?a+b+c ?2≥6 3,并确定 a,b,c 为何值时,等号成立.

?

?

解:证法一:因为 a,b,c 均为正数,由平均值不等式得 a +b +c ≥3(abc)3,
1 1 1 1 - + + ≥3(abc) 3, a b c 2 2 2 2



?1+1+1?2≥9(abc)-2. 所以 a b c 3 ? ? ?1+1+1?2≥3(abc)2+9(abc)-2. 故 a +b +c + a b c 3 3 ? ?
2 2 2



又 3(abc)3+9(abc) 3≥2 27=6 3, 所以原不等式成立,

2



2



当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立.当且仅当 3(abc)3= 9(abc) 3时,③式等号成立. 1 即当且仅当 a=b=c=3 时,原式等号成立. 4 证法二:因为 a,b,c 均为正数,由基本不等式得 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac, 所以 a2+b2+c2≥ab+bc+ac, 1 1 1 1 1 1 同理 2+ 2+ 2≥ab+bc+ac, a b c ① ②


2

2

1 1 1 1 1 1 故 a2+b2+c2+?a+b+c ?2≥ab+bc+ac+3ab+3bc+3ac≥6 3.③

?

?

所以原不等式成立 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立,当且仅当 a=b=c, 1 (ab)2=(bc)2=(ac)2=3 时,③式等号成立.即当且仅当 a=b=c=3 4 时,原式等号成立.

变式训练2 证明

证明不等式: c(a ? c) ? c(b ? c) ? ab

(a≥c,b≥c>0),并指出等号成立的条件.
因为ab>0,要证原不等式成立,

c(a ? c) c(b ? c) 即证明 ? ? 1成立. ab ab 因上式左边 ? c c c c (1 ? ) ? (1 ? ) b a a b c c c c ?1? ?1? a?a b ? 1.故原不等式成立. ?b 2 2 1 1 1 上式等号成立的条件是 ? ? . a b c

例3

(2009·苏中三市调研)已知x、y、z均为
x y z 1 1 1 ? ? ? ? . yz zx xy x y z

正数,求证: ?
证明

因为x,y,z全为正数.

x y 1 x y 2 所以 ? ? ( ? ) ? , yz zx z y x z y z 2 z x 2 同理可得 ? ? , ? ? , zx xy x xy yz y 当且令当x ? y ? z时, 以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加, 并除以2, x y z ? 1 1 得 ? ? ? ? ? . yz zx xy x y z

变式训练3 >9a2b2. 证明

(2009·苏、锡、常、镇调研)已知

a,b是不相等的正实数,求证:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)
因为a,b是正实数,

所以a2b+a+b2≥

3 a 2b ? a ? b 2 ? 3ab ? 0(当且仅
3 3

当a2b=a=b2即a=b=1时,等号成立);

同理:ab2+a2+b≥ 3 a 2b ? a 2 ? b ? 3ab ? 0 (当且仅 当ab2=a2=b即a=b=1时,等号成立);
所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)≥9a2b2.

因为a≠b,所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)>9a2b2.

变式训练4

(2009·连云港调研)设a、b、c均

为正数.
a b c 3 求证: ? ? ? . b?c c?a a?b 2

证明

方法一 ? a ? b ? c ? 3
b?c c?a a?b

二、填空题
4.设a>b>0,则 a ? 解析
1 的最小值为 (a ? b)b

3

.

? a ? b ? 0,? a ?

1 1 ? ( a ? b) ? b ? (a ? b)b (a ? b)b

? 3 3 ( a ? b) ? b ? 等号成立.

1 ? 3, 故最小值为3, 当且仅当a ? 2b时, (a ? b)b

10.求所有实数k,使得不等式
a3+b3+c3+d3+1≥k(a+b+c+d)对任意的a,b,c,d∈ [-1,+∞)均成立. 解 当a=b=c=d=-1时,
3 有 ? 3 ? ?4k ,? k ? . 4 1 3 3 当a ? b ? c ? d ? 时, 有 ? 2k, k ? . ? 2 2 4 3 故k ? . 4

3 (a+b+c+d)对任 4 意a,b,c,d∈[-1,+∞)均成立.
下面证明:a3+b3+c3+d3+1≥ 设x∈[-1,+∞),

则有4x3+1-3x=(x+1)(2x-1)2≥0.
∴4x3+1≥3x,
? x3 ? 1 3 ? x, x∈[-1,+∞). 4 4

(*)

∴当a,b,c,d∈[-1,+∞)时,也有(*)式结论

成立,四式相加可得.
∴当a,b,c,d∈[-1,+∞)时, 3 3+b3+c3+d3+1≥ a (a+b+c+d), 4
3 综合以上知 k ? . 4
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b2 c2 a2 2. 已知 a, c∈R+, b, 求证:a + b + c ≥c

b a+a

c b+b

a c.

证明:∵a,b,c∈R+, b2 c2 ∴ a + b ≥2 b2 c2 a · =2c b b a, a c, c b+b a c.

c2 a2 同理, b + c ≥2a

c a2 b2 b, c + a ≥2b b a+a

b2 c2 a2 三式相加可得 a + b + c ≥c

4.(2012· 南通二调)设x,y,z为正数,求证:2(x3+y3+ z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).

证明:因为x2+y2≥2xy≥0,
所以x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)≥xy(x+y), 同理y3+z3≥yz(y+z),z3+x3≥zx(z+x), 三式相加即可得2(x3+y3+z3)≥xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x), 又因为xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=x2(y+z)+y2(x+z) +z2(x+y) 所以2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).

[精析考题] [例3] 设m是|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求

?a b? 证:?x+x2?<2. ? ?

[自主解答] 又|x|>m,

[证明]由已知m≥|a|,m≥|b|,m≥1.

∴|x|>|a|,|x|>|b|,|x|>1.
?a b ? ?a? ? b ? |a| |b| |x| |x| ∴?x+x2?≤?x?+?x2?=|x|+|x|2<|x|+|x|2 ? ? ? ? ? ?

1 |x| =1+|x|<1+|x|=2. a b ∴|x+x2|<2成立.

[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)
5.已知 a>0,b>0,c>0,a+b>c. a b c 求证: + > . 1+a 1+b 1+c

证明:∵a>0,b>0, a a b b ∴ > , > . 1+a 1+a+b 1+b 1+a+b a+b a b ∴ + > . 1+a 1+b 1+a+b x 1 而函数f(x)= =1- 在(0,+∞)上递增, 1+x 1+x

且a+b>c,∴f(a+b)>f(c), a+b c a b c 则 > ,所以 + > , 1+a+b 1+c 1+a 1+b 1+c 则原不等式成立.

3 1 1 1 1 1 6.求证:2- <1+22+32+?+n2<2-n(n≥2,n∈ n+1 N+).
证明:∵k(k+1)>k2>k(k-1),k≥2, 1 1 1 ∴ < 2< , k?k+1? k k?k-1? 1 1 1 1 1 即k- <k2< - k, k+1 k-1 分别令k=2,3,?,n得

1 1 1 1 -3<22<1-2; 2 1 1 1 1 1 3-4<32<2-3; ? 1 1 1 1 1 - <n2< - n; n n+1 n-1 将上述不等式相加得:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2-3+3-4+?+n-n+1<22+32+?+n2<1-2+2-3 +?+ 1 1 -n, n-1

1 1 1 1 1 1 即2- <22+32+?+n2<1-n, n+1 3 1 1 1 1 1 ∴2- <1+22+32+?+n2<2-n. n+1

[冲关锦囊] (1)在 不 等 式 的 证 明 中 , “ 放 ” 和 “ 缩 ” 是 常 用 的 推 证 技 巧.“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 是由题目分析得出的.常见的放缩变换有变换分式的分子 1 1 1 1 1 2 1 和分母,如k2< , 2> , < , k?k-1? k k?k+1? k k+ k-1 k > 2 k+ k+1 .上面不等式中 k∈N+,k>1.


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