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江苏省2015年高考一轮专题复习特训-三角函数


江苏省 2015 年高考一轮专题复习特训 三角函数
一、填空题 1. (2014 江苏卷 5)已知函数 y ? cos x 与函数 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,它们的 图像有一个横坐标为

? 的交点,则 ? 的值是 3

.

【答案】 ?
6

>2. (2014 江苏卷 14)若 ?ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2sin C ,则 cos C 的 最小值是 .

【答案】 6 ? 2
4

3(2013 江苏卷 1)函数 y ? 3 sin( 2 x ? 答案:1. ?

?
4

) 的最小正周期为



4 (2013 江苏卷 11) 设 ? 为锐角, 若 cos ? ? ? ? ? , 则 sin(2? ? ) 的值为 6? 5 ? 12

?

??

4

?



? ? 16 7 ?? 4 ? 根据 cos ? ? ? ? ? , cos( 2? ? ) ? 2 cos 2 (? ? ) ? 1 ? 2 ? ? 1 ? , 6? 5 3 6 25 25 ?
因 为 c o 2? s ? (

?
3

)?0 , 所 以

24 ? 7 ? sin(2? ? ) ? 1 ? ? ? ? , 因 为 3 25 ? 25 ?

?

2

sin(2? ?

?
12

) ? sin[(2? ?

?

? ? ? ? ? 17 2 . ) ? ] ? sin(2? ? ) cos ? cos(2? ? ) sin ? 3 4 3 4 3 4 50

1] 5. (2012 年江苏省 5 分) 设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 在区间 [?1,

上,
? 1≤ x ? 0 , ? ax ? 1, ? f ( x ) ? ? bx ? 2 b ? R .若 其中 a , , 0 ≤ x ≤ 1, ? ? x ?1

?1? ?3? f ? ? ? f ? ?, ?2? ?2?

则 a ? 3b 的值为





【答案】 ? 10 。

? ?? 4 ? 6. (2012 年江苏省 5 分)设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为 6? 5 12 ?
▲ . 【答案】
17 2。 50

【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。
? ? ? ? ? 2? 【解析】∵ ? 为锐角,即 0 < ? < ,∴ < ? ? < ? = 。
2

6

6

2

6

3

∵ cos ? ? ? ? ? ,∴ sin ? ? ? ? ? 。∴ 6? 5 6? 5 ? ?
?? ?? ?? 3 4 24 ? ? ? sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? =2 = 。 3? 6? 6? 5 5 25 ? ? ?

?

??

4

?

??

3

∴ cos ? 2? ? ? ? 。 3 ? 25 ? ∴ sin(2a ?
?
12 )=sin(2a ?

?

??

7

?

? ?? ? ?? ? ? ? ? )=sin ? 2a ? ? cos ? cos ? 2a ? ? sin 3 4 3? 4 3? 4 ? ?

=

24 2 7 2 17 ? = 2。 25 2 25 2 50

7.(江苏 2011 年 5 分)已知 tan( x ? 【答案】 。
4 9

?

4

) ? 2, 则

tan x 的值为 tan 2 x



8.(江苏 2011 年 5 分)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ),( A, ?, ? 是常数,
A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示,则 f ( 0 ) ?



【答案】

6 。[来源:Zxxk.Com] 2

9 、( 江 苏 省 扬 州 中 学 2014 届 高 三 上 学 期 12 月 月 考 ) 已 知

s x, x ? 0 ?c o ? 4 ,则 f ( ) 的值为 f ( x) ? ? 3 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0
答案:
3 2



10、 (江苏省南京市第一中学 2014 届高三 12 月月考) 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ( A ? 0, ? ? 0) 的最大值为 3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为

?
6

) ?1

? ? ,则 f ( ) = 3 2

答案:3 11、 (江苏省东海县第二中学 2014 届高三第三次学情调研) 若 ?ABC 的内角 A、 B , sin B ? 2 cos( A ? B) ,则 tan B 的最大值为 满足 ▲ . sin A 答案:
3 3

? 4 12、 (江苏省东海县第二中学 2014 届高三第三次学情调研) 已知 sin(? ? ) ? ? , 6 5 ? ? ? ? ? 0 ,则 cos? ? ▲ . 2
答案:
3 3?4 10

13、 (江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研)函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最小值是 答案: ? 2 14、 (江苏省阜宁中学 2014 届高三第三次调研)函数 y ? sin x ? sin x ? ? 的最小 3 正周期为 ▲ . 答案: 2? 15、 (江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研)已知函数 y ? f ( x) sin x 的一部分图象如右图所示,则函数 f ( x) 可以是________ 答案: ? 2 cos x 。

?

?

16 、 ( 江 苏 省 粱 丰 高 级 中 学 2014 届 高 三 12 月 第 三 次 月 考 ) 函 数 ? f ( x)? c o sx ? ( )c xo s 的最小正周期为 ▲ .
2

答案: ? 17、 (江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三 次 调 研 考 试 ) 已 知 ?, ? 都 是 锐 角 ,
sin ? ? 2 1 , cos(? ? ? ) ? , 则 cos ? ? ____ 2 2

__.

答案:

2? 6 4

18 、 (江苏省睢宁县菁华高级中学 2014 届高三 12 月学情调研)在 ?ABC 中, b ? 2, B ?

?
3

, sin 2 A ? sin( A ? C ) ? sin B ,则 ?ABC 的面积为



.

答案: 19、 (江苏省无锡市洛社高级中学等三校 2014 届高三 12 月联考)设 a、b、c 分 别是△ ABC 中∠ A 、∠ B 、∠ C 所对边的边长,则直线 x ? sin A ? ay ? c ? 0 与
bx ? y ? sin B ? sin C ? 0 的位置关系是



答案:垂直 20、 (江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三 12 月月考)已知 ? ? ( ?
cos ? ? 3 ? 1 ,则 tan(? ? ) ? ? . 5 4 7
1 7

?
2

,0 ) ,

答案: ?

21、 (江苏省张家港市后塍高中 2014 届高三 12 月月考) 已知 f(x)=3sin(2x-

π ), 6

若存在α ∈(0,π ),使 f(α +x)= f(α -x)对一切实数 x 恒成立,则α = ▲ ? 5? 答案: , 3 6 22 、 (江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考)若 ? ? (0, ? ) ,且
3 cos 2 ? ? sin( ? ? ,则 ) sin 2? 的值为 4

?





17 18 23、 (江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试)设定义在区间

答案:1 或 ?
?

0, ( 2 )上的函数 y=6cos

x 的图象与 y=5tan x 的图象交于点 P,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 P1,直线 PP1 与函数 y=sin x 的图象交于点 P2,则线段 P1P2
的长为________. 2 答案: 3 24 、 (江苏省无锡市洛社高级中学等三校 2014 届高三 12 月联考)已知函数

π π 1 f ( x) ? sin(2 x ? ) ,其中 x ? [? , a ] .若 f ( x) 的值域是 [? ,1] ,则 a 的取值范围 6 6 2

是______. 答案: 25 、 (江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考)在 ?ABC 中,若
a ? 2, ?B ? 60?,b ? 7,则 c ? 3.

答案:3
x ? 26、 (常州市武进区 2014 届高三上学期期中考)将函数 f ( x) ? 2 cos( ? ) 的图象 3 6

向左平移 式为

?
4

个单位,再向下平移 1 个单位,得到函数 g ( x) 的图象,则 g ( x) 的解析 .



x ? 答案: g ( x) ? 2 cos( ? ) ? 1 3 4
? 27、 (海安县 2014 届高三上学期期中)函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? ? 的最小正周期是 3 ? ? ?

答案:Π 28、 (海门市 2014 届高三 11 月诊断) 已知角 ? 的终边过点 P(?4,3) , 则 sin ? ? 2cos ? 的值是 ▲ . 答案: ?1 29、 (海门市 2014 届高三 11 月诊断)已知 sin(? ? ▲ . 答案: ?
2 5 1 3

?
12

)?

2 7? ,则 cos(? ? ) 的值等于 5 12

30、 (海门市 2014 届高三 11 月诊断) 已知 sin ? ? ? , 则 cos(? ? 2? ) 的值等于 答案: ?
7 9



.

? 为锐角,且 31 、 ( 淮 安 、 宿 迁 市 2014 届 高 三 11 月 诊 断 ) 已 知 ? ,
2 t 当 10 tan ? ? 3tan ? 取得最小值时, ? ? ? 的值为 ▲ . tan ? ? , tan ? ? , t 15 π 答案: 4 ? 1 32、 (苏州市 2014 届高三上学期期中)已知 sin ? ? , 且 ? ? ( , ? ) ,则 tan ? = 2 3





答案: -

2 4
2

33、 (苏州市 2014 届高三上学期期中)函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? 的最小正周期 是 ▲ 答案:32 .

? ? 34、 (无锡市 2014 届高三上学期期中) 将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象向左平移 个 6 3
单位后得到的图象对应的解析式为 y ? ? sin(2 x ? ? ) , 则符合条件的绝对值最小的

? 角是
答案: ?



?

6 35、 (兴化市 2014 届高三上学期期中)

在 ?ABC 中,已知 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ? 0 ,则 ?A 的大上为___ _. 答案:
2? 3

36、 (徐州市 2014 届高三上学期期中)方程 sin x ? 3 cos x ? a ? 0 在 (0, 2? ) 内有 相异两解 ? , ? ,则 ? ? ? ? 答案:
?
3





7? 3

37、 (徐州市 2014 届高三上学期期中)已知 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的 对边, a ? 2, A ? 45?, B ? 60? ,那么 ?ABC 的面积 S?ABC ? 答案:
3? 3 4



38、 (盐城市 2014 届高三上学期期中) 函数 y ? cos 2 x 的最小正周期为 答案: ?





? a n ? ?2 ? , o s2 ? ? 39、 (扬州市 2014 届高三上学期期中) 已知 ? ? ( , ? ) , 且t 则c 2 ▲ . 3 答案: ? 5 1 ? 40、 (扬州市 2014 届高三上学期期中) f ( x) ? sin(? x ? )(? ? 0) 的图象与直线 2 6 y ? m 相切,相邻切点之间的距离为 ? . 若点 A( x0 , y0 ) 是 y ? f ( x) 图象的一个对

? ?? 称中心,且 x0 ? ?0, ? , 则 x0 ? ? 2? 5? 答案: 12





BC ? 1 , 41、 (常州市武进区 2014 届高三上学期期中考) 已知 ?ABC 中,AB ? 3 , A ? 30? ,则 AC ? ▲ . 答案:1 或 2 42、 (海安县 2014 届高三上学期期中)在△ABC 中,若 TAN A 2 TAN B 3TANC ,则 COS A 的值为 . 答案:36 错误!未指定书签。 43. (江苏省启东市 2014 届高三上学期第一次检测数学试

题)已知 0 ? a ? 1 ,则满足 a sin x cos x >1 的角 x 所在的象限为________. 【答案】二或四(少 1 个不给分) 错误!未指定书签。 44. (江苏省南京市 2014 届高三 9 月学情调研数学试题) 已知四边形 ABCD 是矩形,AB=2,AD=3,E 是线段 BC 上的动点,F 是 CD 的中点. 若 ∠AEF 为钝角,则线段 BE 长度的取值范围是____ 【答案】 (1, 2) 错误!未指定书签。 45. (江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014 届高三第二 次调研数学试题)函数 f(x)=2sin( __________. 【答案】 错误!未指定书签。 46. (江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三第一学期 9 月份月考数学试卷)在△ ABC 中 , 角 A,B,C 所对的边分别为 a , b , c , 若 ),x∈[﹣π ,0]的单调递减区间为

a ? 3,C=120°,△ABC 的面积 S=

15 3 ,则 c ? ___★___. 4

【答案】7. 错误!未指定书签。 47. (江苏省涟水中学 2014 届高三上学期(10 月)第一次 统测数学(理)试卷)计算 sin 390? ? _______. 【答案】 0.5; 错误!未指定书签。 48. (江苏省扬州市扬州中学 2014 届高三 10 月月考数学试 题)已知 sin( x ? 20 0 ) ? cos( x ? 10 0 ) ? cos( x ? 10 0 ), 则 tan x ? ______. 【答案】 3 49 错误!未指定书签。 . (江苏省南京市第五十五中学 2014 届高三上学期第一 次月考数学试题)函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的图象如下,此函数的解析

式为

2? ? ) B. y ? 2sin(2 x ? ) 3 3 x ? ? C. y ? 2sin( ? ) D. y ? 2sin(2 x ? ) 2 3 3 【答案】A 50 错误!未指定书签。 . (江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014 届高三 10 月月

A. y ? 2sin(2 x ?

考数学试题)将函数

y ? sin(2 x ?

?

) 3 的图象向左平移 ? ?? ? 0? 个单位,得到的

图象对应的函数为 f ?x ? ,若 f ?x ? 为奇函数,则 ? 的最小值为___ ___

? 【答案】 6
51 错误!未指定书签。 . (江苏省苏州市 2014 届高三暑假自主学习测试(9 月) ? 数 学 试 卷 ) 已 知 函 数 f ( x) ? 3sin(? x ? )(? ? 0) 和 6 ? g ( x) ? 2cos(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 的 图 象 的 对 称 轴 完 全 相 同 , 则 g ( ) 的 值 是 3 ______. 【答案】 ?2 52 错误!未指定书签。 . (江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三第一学期 9 月 份月考数学试卷)已知点 P?x0 , y0 ? 是函数 y ? tan x 与函数 y ? ? x?x ? 0? 的图
2 象的一个交点,则 x0 ? 1 ?cos2x0 ? 1? ? ___★___.

?

?

【答案】2. 53 错误! 未指定书签。 . (江苏省启东市 2014 届高三上学期第一次检测数学试题) 已知 ? 为钝角,且 sin ? ? 1 ,则与角 ? 终边相同的角 ? 的集合为______.
2
5? ? ? ? 【答案】 ? , k ? Z ? , ?? | ? ? k ? 360 ? 150 , k ? Z ?;( 制度不统一不 ?? | ? ? 2k? ? ? 6 ?

给分) 54 错误!未指定书签。 . (江苏省无锡市洛社高级中学 2014 届高三 10 月月考数 1 学试题)若 f (sin x) ? cos 2 x ? 1 ,则 f ( ) ? ______________. 2

3 2 55 错误!未指定书签。 . (江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014 届高三第二次

【答案】

调研数学试题) 已知函数 y=sin( ? x ? ? )( ? >0,0< ? ? 示,则 ? 的值为___ .

?
2

)的部分图象如图所

【答案】 π

3

56 错误!未指定书签。 . (江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三第一学期 9 月 份月考数学试卷)已知 cos x ? sin x ?
3 2 ,则 5
5 sin 2 x ? ___★___. ?? ? cos? x ? ? 4? ?

7 . 3 57 错误! 未指定书签。 . (江苏省启东市 2014 届高三上学期第一次检测数学试题) 已知扇形的周长是 8cm,圆心角为 2 rad,则扇形的弧长为_______cm. 【答案】4; 58 错误!未指定书签。 . (江苏省泗阳中学 2014 届高三第一次检测数学试题)函

【答案】

? ? 数 y ? sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) 的最小正周期为________. 6 3 【答案】 ? 59 错误!未指定书签。 . (江苏省淮安市车桥中学 2014 届高三 9 月期初测试数学
试题)已知直线 x=a(0<a< π )与函数 f(x)=sinx 和函数 g(x)=cosx 的图象分 2

1 别交于 M,N 两点,若 MN= ,则线段 MN 的中点纵坐标为_______. 5 【答案】 7 10

60 错误!未指定书签。 . (江苏省扬州中学 2014 届高三开学检测数学试题)函数 ? f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? ) 的部分图像如图所示, 则将 y ? f ( x) 2

的图象向右平移

? 个单位后,得到的图像解析式为____▲____. 6

) 6 61 错误!未指定书签。 . (江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014 届高三 10 月月

【答案】 y ? sin( 2 x ?

?

考数学试题)已知点 A?x1 , f ?x1 ?? , B?x2 , f ?x2 ?? 是函数 f ?x ? ? sin??x ? ? ? 图象 上的任意两点 , 其中 ? ? 0, ?

?
2

? ? ? 0 , 且角 ? 的终边经过点 P?1,?1? , 若

| f ?x1 ? ? f ?x2 ? |? 2 时, | x1 ? x2 | 的最小值为
2 2

? ,则 3

?? ? f ? ? 的值是___. ?2?

【答案】 ?

62 错误!未指定书签。 . (江苏省南莫中学 2014 届高三 10 月自主检测数学试题) 在锐角△ABC 中, tan A = t ? 1, tan B = t ? 1,则 t 的取值范围是_______. 【答案】

?

2 ,?? ;
?
4

?

63 错误!未指定书签。 . (江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014 届高三 10 月月 考 数 学 试 题 ) 函 数 f ( x) ? sin 2 x ? a cos 2 x 的 一 条 对 称 轴 方 程 为 x ?
a ? ____________.

,则

【答案】0 64 错误!未指定书签。 . (江苏省扬州市扬州中学 2014 届高三 10 月月考数学试 题) 将函数 y ? f ( x) 的图象上的每一点的纵坐标变为原来的 4 倍,横坐标变为 原来的 2 倍,然后把所得的图象上的所有点沿 x 轴向左平移 个单位,这样得 到 的 曲 线 和 函 数 y ? 2sin x 的 图 象 相 同 , 则 函 数 y ? f ( x) 的 解 析 式 为 _________. 【答案】 y ? sin 或 y ? ? cos 2 x (2 x ? ) 65 错误! 未指定书签。 . (江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校 2014 届高三 10
1 2 π 2 1 2 π 2

?? ? 月月考数学试题)函数 f ?x ? ? 2 sin ? ?x ? ? ( ? ? 0 ) 的最小正周期为 ? , 则 3? ?

? ? __________. 【答案】2 66 错误!未指定书签。 . (江苏省南莫中学 2014 届高三 10 月自主检测数学试题) 已知三角形的一边长为 5, 所对角为 60 , 则另两边长之和的取值范围是 ________.
【答案】 ?5,10? ; 67 错误!未指定书签。 . (江苏省淮安市车桥中学 2014 届高三 9 月期初测试数学 试题)已知 【答案】
tan(

?
4

? ?) ? 2

,则 tan ? ? ________.

1 3 68 错误!未指定书签。 . (江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014 届高三第二次 ? ? 调研数学试题) log2 sin ? log2 cos 的值为_____.
12 12

【答案】 -2 69 错误!未指定书签。 . (江苏省无锡市市北高中 2014 届高三上学期期初考试数 学试题)函数 y ? sin? xcos? x 的最小正周期是_________. 【答案】1 70 错误!未指定书签。 . (江苏省无锡市市北高中 2014 届高三上学期期初考试数 ? 学试题)已知函数 f ( x) ? sin 2x ? m cos 2x 的图象关于直线 x ? ,则 f(x)的 8 单调递增区间 为_____________. 3? ? , k? ? ](k ? Z ) 【答案】 [k? ? 8 8 71 错误!未指定书签。 . (江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三第一学期 9 月 份月考数学试卷)对于函数 f ?x ? ,若存在实数 m ? 0 ,对定义域内的任意实数

x 都 有 f ?x ? ? m , 则 称 该 函 数 为 “ 有 界 函 数 ” , 已 知 函 数

?? ? f ?x ? ? 3 s i 2 nx ? s i ?n 2 x ? ? 为“有界函数”,则 m 的取值集合为___★___. 2? ?
【答案】 ?2,??? . 72 错误!未指定书签。 . (江苏省宿迁市 2014 届高三上学期第一次摸底考试数学
? 为锐角,且 tan ? ? , 试卷) 已知 ? , tan ? ?
2 t t 当 10 tan ? ? 3tan ? 取得最小值 , 15

时, ? ? ? 的值为______.

【答案】

π 4

73 错误!未指定书签。 . (江苏省泗阳中学 2014 届高三第一次检测数学试题)若 1 2 cos x cos y ? sin x sin y ? ,sin 2 x ? sin 2 y ? ,则 sin( x ? y) ? ________ 2 3 2 【答案】 3 74 错误!未指定书签。 . (江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014 届高三 10 月月 考数学试题)已知 cos x ? sin x ?
3 2 ,则 5
5 sin 2 x ? ____. ?? ? cos? x ? ? 4? ?

7 3 75 错误!未指定书签。 . (江苏省南莫中学 2014 届高三 10 月自主检测数学试题)

【答案】

已知 ? 是第二象限角,且 sin ? ? ,则 tan( ? ) 的值为________.
2 4

4 5

?

?

1 ; 3 76 错误!未指定书签。 . (江苏省淮安市车桥中学 2014 届高三 9 月期初测试数学

【答案】

试题) 已知函数 f ( x) ? A cos (? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 图所示,则 f ( x ) 的函数解析式为________.

?
2

) 的部分图象如上

y
?

3 ? 2 —3

3? 2

? 2

O

x
x ? 【答案】 y ? 3cos( ? ) 2 4

77 错误!未指定书签。 . (江苏省扬州中学 2014 届高三开学检测数学试题)已知 1 0 ? y ? x ? ? ,且 tan x tan y ? 2 , sin x sin y ? ,则 x ? y ? ___▲___. 3 ? 【答案】 3 错误!未指定书签。 78. (江苏省梁丰高级中学 2014 届第一学期阶段性检测一) 函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? [0, ? ]) 的值域是_______ 【答案】 [? 3, 2] 79 错误!未指定书签。 . (江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校 2014 届高三

10 月月考数学试题)已知 cosα = ____.

5 ,且α 是第四象限角,则 sin(-2π +α )= 13

12 13 错误!未指定书签。 80. (江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三第一学期 9

【答案】 ?

?? ? 月份月考数学试卷)已知 3 sin 2? ? 4 2 cos? , 且 ? ? ? , ? ? , 则 tan 2? ? ___ ?2 ?

★___. 【答案】
4 2 . 7
cos(? ? ? ) ? 3? ? sin(? ? ) ? cos( ? ? ) 的结果是______. sin(? ? ? ) 2 2

81 错误!未指定书签。 . (江苏省启东市 2014 届高三上学期第一次检测数学试 题)化简

【答案】粘贴有误,原因可能为题目为公式编辑器内容,而没有其它字符 82 错误!未指定书签。 . (江苏省扬州中学 2014 届高三开学检测数学试题)已 ? 3 ? 知 ? ? ( ? ,0) , cos ? ? ,则 tan(? ? ) ? ▲ . 2 5 4 1 【答案】 ? 7 二、解答题

5 ?? ? 1. (2014 江苏卷 14 分)15.已知 ? ? ? ,? ?, . sin ? ? 5 ?2 ?
? ? ) 的值; 4 5? (2)求 cos( ? 2? ) 的值. 6

(1)求 sin(

?

【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式, 考查运算求解能 力. 满分 14 分. (1)∵ ? ? ? , ? , sin ? ? 5 ,
5

?2 ?

∴ cos? ? ? 1 ? sin ? ? ? 2 5
2

sin ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2 (cos ? ? sin ? ) ? ? 10 ; 4 4 4 2 10

?

?

5

(2)∵ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 4 , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 3
2 2

5

5

∴ cos ?? ? 2? ? cos ?? cos 2? ? sin ?? sin 2? ? ? 3 ? 3 ? 1 ? ? 4 ? ? 3 3 ? 4 .
6 6 2 5 2 10

?6

?

? 5?

2、 (2013 江苏卷 18).18.本小题满分 16 分。如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。 一种是从 A 沿直线步行到 C ,另一种是先从 A 沿索道 乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C 。现有甲.乙两位游客从 A 处下山,甲沿
AC 匀速步行, 速度为 50 m / min 。在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处

停留 1 min 后,再从匀速步行到 C 。假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m / min , 山路 AC 长为 1260 m , 经测量,cos A ?
12 3 ,cos C ? 。 [来源:学#科#网 Z#X#X#K] 13 5

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制 在什么范围内?
A B

C

12 3 , cos C ? 13 5 ? 5 4 (0, ) ∴ A、C ? ∴ sinA ? , sinC ? 2 13 5

答案: 解: (1)∵ cos A ?

? ? sin(A ? C) (A ? C) ? sinAcos C ? cos AsinC ? ∴ sinB ? sin?? ?
AB AC AC ? sinC ? 1040 m 得 AB ? sinC sinB sinB ( 2 ) 设 乙 出 发 t 分 钟 后 , 甲 . 乙 距 离 为 12 d 2 ? (130 t ) 2 ? (100 ? 50t ) 2 ? 2 ? 130t ? (100 ? 50t ) ? [来源:学科网] 13

63 65

根据

d , 则

∴ d 2 ? 200(37t 2 ? 70t ? 50)
1040 即0 ? t ? 8 130 35 35 ∴t ? 时,即乙出发 分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短。 37 37

∵0 ? t ?

(3)由正弦定理

AC 1260 5 BC AC sin A ? ? 500 (m) ? 得 BC ? 63 13 sinA sinB sinB 65

乙从 B 出发时,甲已经走了 50(2+8+1)=550(m) ,还需走 710 设乙的步行速度为 V m / min ,则 ∴?3?
500 710 ? ?3 v 50

m

才能到达 C

500 710 1250 625 ? ? 3∴ ?v? v 50 43 14 C ∴为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在

?1250 625? 范围内 , ? ? 43 14 ? ?

法二:解: (1)如图作 BD⊥CA 于点 D, 设 BD=20k,则 DC=25k,AD=48k, AB=52k,由 AC=63k=1260m, 知:AB=52k=1040m. (2)设乙出发 x 分钟后到达点 M, 此时甲到达 N 点,如图所示. 则:AM=13 0x,AN=50(x+2), 由余弦定理得: MN 2=AM2+AN2-2 AM· ANcosA=7400 x2-14000 x+10000, 其中 0≤x≤8,当 x= 35 (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距 37

离最短.[来源:学+科+网] (3)由(1)知:BC=500m,甲到 C 用时 : 1260 126 = (min). 50 5 (min),在 BC 上用时:

126 141 若甲等乙 3 分钟,则乙到 C 用 时: +3= 5 5 86 5 (min) .

此时乙的速度最小,且为:500÷

86 1250 = m/min. 5 43 (min),在 BC 上用时:

126 111 若乙等甲 3 分钟,则乙到 C 用时: -3= 5 5 56 5 (min) .

此时乙的速度最大,且为:500 ÷

56 625 = m/min. 5 14

故乙步行的速度应控制在[
A N D C

1250 625 , ]范围内. 43 14

M B

3.(2012 年江苏省 14 分)在 ?ABC 中 ,已知 AB AC ? 3BA BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?
5 ,求 A 的值. 5

B即 【答案】解: ( 1 ) ∵ AB AC ? 3 B A B, C ∴ A B A Cc o s A= 3 B A B Cc o s, A C c o s A = 3B C c o s B 。

由正弦定理, 得 学,科,网]

AC BC n i B c o s = 3 s n iA c o s A , ∴s = sin B sin A

B

。 [来源:

, coB s > 。∴ 0 又∵ 0 < A ? B <? ,∴ co sA > 0
tan B ? 3tan A 。

sin B sin A 即 =3 cos B cos A

5 , 0 <C < ? , n is C 1 ? (2) ∵ cos C ? ∴ 5

? 5? ?? =? ? 5 ? ? ?

2

25 a t 。 ∴n 5

C 2? 。

∴ tan ? 即a t n ?? ? ? A ? B ?? ? ? 2, 由 (1) ,得

∴ 2? 。 ? A ? B? ?

a t n A a t n ? 1? a t n a t nA

B ? ?2 。 B

4tan A 1 ? ?2 ,解得 tan A=1 , tan A= ? 。 2 1 ? 3tan A 3

∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 。∴ A=

?
4



【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三 角形。 【解析】 (1)先将 AB AC ? 3BA BC 表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角

函数关系式证明。
o s C? (2) 由c 5 ,可求 tan C , 由三 角形三角关系, 得到 tan ? ?? ? ? A ? B ?? ?, 5

从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值。 4.(江苏 2011 年 14 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?
) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3

?

【答案】 解: (1) 由题意知 sin A cos

?

6

? cos A sin

?
6

? 2 cos A , 从而 sin A ? 3 cos A ,

∴ cos A ? 0, tan A ? 3 。 ∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ? (2) 由c o sA
,b ? 1 c 3 ? 3

?
3

。 , 及 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , 得 b2 ? a2 ? c2 ,

∴ ?ABC 是直角三角形,且 B ?

?
2

。∴ sin C ? cos A ?

1 。 3

【考点】同角三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理。 【分析】 (1)利用两角和的正弦函数化简,求出 tanA,然后求出 A 的值即可。 (2) 利用余弦定理以及 b ? 3c , 求出 ?ABC 是直角三角形, 即可得出 sin C 的值。 也可以由正弦定理得:
2 2c c 2 2 1 ? , ?s , 而 sin A ? 1 ? cos 2 A ? i n C? 。 sin A sin C 3 3

5、 (江苏省诚贤中学 2014 届高三 12 月月考) 在△ ABC ,已知 (sin A ? sin B ? sin C )(sin B ? sin C ? sin A) ? 3 sin B sin C . (1) 求角 A 值; (2) 求 3 sin B ? cos C 的最大值. ⑴因为 (sin A ? sin B ? sin C )(sin B ? sin C ? sin A) ? 3sin B sin C , 由
(a ?


b? )










b c

c( ? b ? ) c ?3 2 分 a ,????????????????

所以 b2 ? c 2 ? a 2 ? bc , 所以 cos A ? 4分 因 为

b2 ? c2 ? a 2 1 ? , ???????????? 2bc 2
0

A?( ?



,



)



A?

? .??????????????????????6 分 3 ? 2? 2? ⑵ 由 A ? ,得 B ? C ? ,所以 3sin B ? cos C ? 3sin B ? cos( ? B) 3 3 3 1 3 ? ? 3 sin B ? (? cos B ? sin B) ? sin( B + ) ,?????????????? 2 2 6

10 分 因为 0 ? B ? 12 分 当B+ ?
? 6 ? ? ,即 B ? 时, 3sin B ? cos C 的最大值为 1 . ???????? 3 2 2? ? ? ?? , 所以 ? B + ? , ????????????????? 3 6 6 6

14 分 6、 (江苏省东海县第二中学 2014 届高三第三次学情调研) 已知在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边为 a, b, c 且 b2 ? a2 ? c2 ? ac , b ? 1 ; (1)若 tan A ? tan C ?
3 (1 ? tan A tan C ) ,求 c 的值。 3
1 ? ,因为 0 ? B ? ? ,所以 B ? 3 2

(2)若 a ? 2c ,求 ?ABC 的面积。 解: (1)由 b2 ? a2 ? c2 ? ac 及余弦定理得 cos B ? 因为 tan A ? tan C ? 因为 ?

3 3 , (1 ? tan A tan C ) ,所以 tan( A ? C ) ? 3 3

2? 2? ? 2? ? A?C ? ,所以 A ? C ? ,又 A ? C ? , 3 3 6 3
5? ? c b 6 ,C ? ? 由 得c ? 12 4 sin C sin B 3

所以 A ?

????????7 分

(2)由 b2 ? a2 ? c2 ? ac 知 B ? 故三角形为直角三角形, 则A?

?
3

,又 a ? 2c ,得 b ? 3c 因此得 a 2 ? b2 ? c2 ,
1 1 3 , 所以 S ? bc ? ???????? 2 6 3

?
2

,c ?

14 分 7、 (江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研) 1 已知函数 f ( x) ? cos 2 x, g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 2 ? (1)若点 A (? , y) ( ? ? [0, ] )为函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象的公共点,试求实数 4 ? 的值; ? (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x), x ? [0, ] 的值域. 4

解: (1)∵点 A (? , y) ( 0 ? ? ? ? )为函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象的公共点

1 ∴ cos 2 ? ? 1 ? sin 2? 2

?

1 1 1 ? cos 2? ? 1 ? sin 2? 2 2 2

? cos 2? ? sin 2? ? 1 ----------------------------------------------------------------4 分

? cos2 2? ? sin 2 2? ? 2sin 2? cos 2? ? 1 ? sin 4? ? 0
∴ 4? ? k? , k ? Z ? ? ? ∴? ?0 , 分 (2) ∵ h( x) ? f ( x) ? g ( x)
1 1 1 1 ∴ h( x) ? cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? ? cos 2 x ? 1 ? sin 2 x 2 2 2 2
? 1 1 3 2 2 2 3 cos 2 x ? sin 2 x ? ? ( cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 2 2 2 2 2 2
k? ,k ?Z 4

? ---------------------------------------------------7 4

? ∵ ? ? [0, ] 4

?

2 ? 3 sin(2 x ? ) ? -------------------------------------2 4 2

10 分

? ∵ x ? [0, ] 4




?
4

? 2x ?

?
4

?

3? 4

2 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 4

∴2?

2 ? 3 3? 2 sin(2 x ? ) ? ? . 2 4 2 2

即 函 数 h( x) 的 值 域 为 [2,

3? 2 ] .----------------------------------14 2

分 8、 (江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考) a?c sin B ? 在△ ABC 中,已知角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且 . b ? c sin A ? sin C (I)求 A ; ? (II)求函数 y ? 2 sin 2 B ? cos( ? 2 B) 的值域. 3 a?c sin B a?c b ? ? 解(1)由 ,得 b ? c sin A ? sin C b?c a?c

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,??????????????????3 分 1 由余弦定理得 cos A ? ????????????????4 分 2
? 0 ? A ? ? ,? A ?

?

3

??????????????????6 分

1 3 (2)因为 y ? (1 ? cos 2 B) ? ( cos 2 B ? sin 2 B) 2 2 ? 3 1 ? 1? sin 2 B ? cos 2 B ? 1 ? sin(2 B ? ) ?????????11 分 6 2 2 ? 2? ? ? 7? ? ? 1 ? 而 A ? ,所以 0 ? B ? ,则 ? ? 2 B ? ? ,所以 sin(2B ? ) ? ? ? ,1? 3 3 6 6 6 6 ? 2 ? ?1 ? 故所求函数的值域为 y ? ? , 2 ? ??????????????14 分 ?2 ? 9、 (江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试)

已知函数 f ( x ) ? sin?x sin(?x ? ) ?
?

?

6 11? 9? .(I)求 f ( x ) 在区间 [ , ] 上的值域; 12 8 4

3 (? ? 0) ,且其图象的相邻对称轴间的距离为 4

(II)在锐角 ?ABC 中,若 f ( A ? 解: (I) f ( x ) ? sin?x(

?
8

)?

1 , a ? 1, b ? c ? 2, 求 ?ABC 的面积. 2

3 1 3 sin?x ? cos?x ) ? 2 2 4

?

3 1 3 3 1 3 sin2 ?x ? sin?x cos?x ? ? (1 ? cos2 x ) ? sin2?x ? 2 2 4 4 4 4
1 ? 1 3 2?x ? ) sin2?x ? cos 2?x ? sin ( 2 3 4 4

?

????3 分

由条件知, T ?

?
2

,又 T ?

2? , 2?

? ? ? 2 ? f ( x) ?

1 ? sin ( 4x ? ) . 2 3

? x ?[

11? 9? , ], 12 8

? 4x ?

?
3

?[

10? 25? ? 1 , ] , sin( 4 x ? ) ? [?1, ] , 3 6 3 2

? f ( x ) 的值域是
1 1 [? , ] . 2 4

????7 分
8 2

? 1 (II)由 f ( A ? ) ? ,得

A?

?
3

,

????9 分

由 a ? 1, b ? c ? 2 及余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,得
bc ? 1 , 12 分

????
1 3 . bc sin A ? 2 4

? ? ABC 的面积 S ?

????14

分 10、 (江苏省张家港市后塍高中 2014 届高三 12 月月考) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且 f ( A) ? 2 cos
A A A A sin( ? ? ) ? sin 2 ? cos 2 . 2 2 2 2

⑴ 求函数 f ( A) 的最大值; ⑵ 若 f ( A) ? 0, B ?
?? , a ? 2 6 ,求 c 的值. 12

解: (1) f ( A) ? 2 cos 3分

A A A A ? sin ? sin 2 ? cos 2 ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) .?? 2 2 2 2 4

? ? ?? ? A? ? .??????4 分 4 4 4 ? ? 3? 则所以当 A ? ? , 即A? 时,f ( A) 取得最大值, 且最大值为 2 .??? 4 4 2

因为 0 ? A ? ? ,所以 ?

7分
? ? (2)由题意知 f ( A) ? 2 sin( A ? ) ? 0 ,所以 sin( A ? ) ? 0 . 4 4 ? ? ?? ? ? 又知 ? ? A ? ? ,所以 A ? ? 0 ,则 A ? .??????10 分 4 4 4 4 4 ?? 7? ? 因为 B ? ,所以 A ? C ? ,则 C ? .??????12 分 12 3 12 ? 2 6 ? sin a c a sin C 3 ? 6 .??????14 分 ? 由 得, c ? ? ? sin A sin C sin A sin 4 11、 (江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三 12 月月考)

在锐角△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 且 (b 2 ? c 2 ? a 2 ) tan A ? 3bc. (1)求角 A; (2)若 a=2,求△ABC 面积 S 的最大值.

解: (1)由已知得

b 2 ? c 2 ? a 2 sin A 3 3 ? ? ? sin A 2bc cos A 2 2 又在锐角△ABC 中,所以 A=60°

(2)因为 a=2,A=60°所以 b 2 ? c 2 ? bc ? 4, S ? 而 b 2 ? c 2 ? 2bc ? bc ? 4 ? 2bc ? bc ? 4 1 3 3 又 S ? bc sin A ? bc ? ?4 ? 3 2 4 4 所以△ABC 面积 S 的最大值等于 3 12 、( 常 州 市 武 进 区

1 3 bc sin A ? bc 2 4

届 高 三 上 学 期 期 中 考 ) 函 数 ? f ( x) ? 2 sin(? x ? ? ) (? ? 0, 0 ? ? ? ) 的部分图象如下图所示,该图象与 y 轴 2

2014

交于点 F (0, 2) ,与 x 轴交于点 B, C , M 为最高点,且 ?MBC 的面积为 ? . ⑴ 求函数 f ( x) 的解析式;
? 2 5 ? ? ⑵ 若 f (? ? ) ? , ? ? (0, ) ,求 cos(2? ? ) 的值. 4 4 5 2
y

M

F B

O

C

x

1 解: (1)∵ S ?MBC ? ? 2 ? BC ? BC ? ? , 2 ?? ∴周期 T ? 2? ? , ? ? 1 .??????????????3 分 ? 2 由 f (0) ? 2sin ? ? 2 ,得 sin ? ? , 2

∵0 ?? ?

? ? ,∴ ? ? ,??????????????6 分 2 4

? ∴ f ( x) ? 2sin( x ? ) .??????????????7 分 4

? 2 5 5 (2)由 f (? ? ) ? 2sin ? ? ,得 sin ? ? ,??????????9 分 4 5 5

? 2 5 ∵ ? ? (0, ) , ∴ cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? , .?????????????? 2 5

10 分 ∴
3 4 cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ,sin 2? ? 2sin ? cos ? ? , ? ? ? 5 5 ????????12 分 ∴ ? ? ? cos(2? ? ) ? cos 2? cos ? sin 2? sin 4 4 4 3 2 4 2 2 .?14 分 ? ? ? ? ?? 5 2 5 2 10
? 2
M A

θ N B C

13、 (海安县2014届高三上学期期中)设 0 ? ? ? ? ? ? ? ,且 sin ?? ? ? ? ?
cos

5 , 13

?
2

?

2 5 5

(1)求COSA 的值; (2)证明: sin ? ? (1) sin
25 . 26

?
2

? 1? (

2 5 , 5)2 ? 5 5
2

sin ? ? 2sin

?
2

cos

?

=

4 5

4 3 cos? = 1 ? ( )2 ? 5 5
(2)
3? ? 5 ,又 sin ?? ? ? ? ? ,所以, ? ? ? ? ? ? 13 2 2 2 12 cos(? ? ? ) = ? 13 5 3 12 4 63 126 125 25 ? ? sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] = ? ? ? = = 13 5 13 5 65 130 130 26 ?? ?? ?
2
5

?

14、 (海门市 2014 届高三 11 月诊断)已知 ? , ? ? (0, ? ) ,且 sin(? ? 2? ) ? 7 sin ? . (1)求证: tan(? ? ? ) ? 6 tan ? ; (2)若 tan ? ? 3tan ? ,求 ? 的值. (1)证明: sin(? ? 2? ) ? 7 sin ? ,
5

? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? 7 sin[(? ? ? ) ? ? ] , 5 ? sin(? ? ? )cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ? 7 [sin(? ? ? )cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ] , 5 ??4 分 ? sin(? ? ? )cos ? ? 6cos(? ? ? )sin ? ① ? , ? ? (0, ? ),?? ? ? ? (0, ?) , 2

若 cos(? ? ? ) ? 0 ,则由① sin(? ? ? ) ? 0 与 ? ? ? ? (0, ?) 矛盾,
? cos(? ? ? ) ? 0

, 除 以
cos(? ? ? ) cos ?

???5 分
?



tan(? ? ? ) ? 6 tan? ;

两 边 同 ???7 分





(2)解:由(1)得 tan(? ? ? ) ? 6 tan ? , 分

tan ? ? tan ? ? 6 tan ? , 1 ? tan ? tan ?

???10

4 tan ? 1 ? 2 tan ? tan ? ? 3tan ? ,? tan ? ? tan ? ,? 3 1 2 3 1 ? tan ? 3 ? ? ? ? (0, ) ,? tan ? ? 1 ,从而 ? ? . 2 4

???14

分 15、 (海门市 2014 届高三 11 月诊断) 设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? a sin x cos x ? sin x ? cos x, x ? [0, ] 的最大值为 G(A). (1) 设 t ? sin x ? cos x, x ? [0, ] , 求 t 的取值范围, 并把 f ( x) 表示为 t 的函数 m(t ) ;
2

?

?

2

(2)求 G(A). 解: (1) t ? sin x ? cos x ? 2 sin(? ? ),
x ? [0, ],? x ? ? [ , ] , 2 4 4 4 2 ? 即 t 的取值范围为 [1, 2] , ? ? sin(? ? ) ? 1 , ?1 ? t ? 2 , 2 4

?

?

?

? 3?

4

???

3分 ( 另 解:
?1 ? t ? 2 )

x ? [0, ] , ? t ? sin x ? cos x ? 1 ? sin 2 x ,由 2 x ? [0, ? ] 得 0 ? sin 2 x ? 1 , 2

?

? sin x cos x ? t ? sin x ? cos x ,

t2 ?1 , 2

???

5分
? m(t ) ? a ? t2 ?1 1 1 ? t ? at 2 ? t ? a, t ? [1, 2] , a ? 0 ; 2 2 2

???

7分 (2)由二次函数的图象与性质得: ①当 ? 10 分 ②当 ? 13 分
1 a 1? 2 , 即 0 ? a ? 2( 2 ? 1) 时,g (a) ? m(1) ? ? 2 2 1 a 1? 2 1 ,即 a ? 2( 2 ? 1) 时, g (a) ? m( 2) ? a ? 2 ; ??? 2 2

???

?1 ? a ? 2, a ? 2( 2 ? 1), ? g (a) ? ? 2 ? ? 2,0 ? a ? 2( 2 ? 1). ?

???14 分

16、 (海门市 2014 届高三 11 月诊断) 设函数 f ( x) 和 g ( x) 是定义在集合 D 上的函数,若 ?x ? D, f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) ,则 称函数 f ( x) 和 g ( x) 在集合 D 上具有性质 P( D) .
1 2 x (2)若函数 f ( x) ? 2 ? m 和 g ( x) ? ? x ? 2 在集合 D 上具有性质 P( D) ,求 m 的取

(1)若函数 f ( x) ? 2 x 和 g ( x) ? cos x ? 在集合 D 上具有性质 P( D) ,求集合 D ; 值范围. 解: (1)
f ( x) ? 2 x , g ( x) ? cos x ?
1 , 2

1 1 ? 由 f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 得: 2(cos x ? ) ? cos 2 x ? , 2 2

???2

分 变形得: 4cos 2 x ? 4cos x ? 3 ? 0 ,
1 3 , ? cos x ? ? 或 cos x ? (啥去) 2 2

???

5分
? x ? 2k? ? 2? ,k ?Z , 3 2? ? ? ? D ? ? x x ? 2k ? ? ,k ? Z ? ; 3 ? ?

???

7分 (2) 分 变形得: 2 ? 2m ? 2 x ?
D ? ? ,且 2 x ?

f ( x) ? 2 x ? m , g ( x) ? ? x ? 2 ,
? 由 f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 得: 2? x ? 2 ? m ? ?(2 x ? m) ? 2 ,

???9

4 , 2x

4 ?4, 2x ? 2 ? 2m ? 4 , ? m ? ?1 ,即 m 的取值范围为 (??, ?1] .

???

14 分

17、 (淮安、宿迁市 2014 届高三 11 月诊断) ? >0 , ? ?[0 , ?)) 的图象如图所示. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A>0 , (1)求 f ( x) 的解析式; 3] 上的最大值和最小值. (2)求函数 g ( x) ? f ( x) ? 3 f ( x ? 2) 在 x ?[?1,
y 3

?1
-3

O

3

x

(第 16 题图)

解: (1)由图可得 A ? 3 , 1分
f ( x) 的周期为 8, 则

??????????????? 即? ? ?4,
? ; 4

2?

?

???????????????

3分
f (?1) ? f (3) ? 0 ,则 f (1) ? 3 , ?) , 所以 sin( ? ? ) ? 1 ,即 ? ? ? ? 2k ? , k ? Z ,又 ? ?[0 ,

故? ? , 综上所述,f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 3sin( x ? ) ; 6分 (2) g ( x) ? f ( x) ? 3 f ( x ? 2)
? ? ? 3sin( x ? ) ? 3 4 4 ? ? ? 3sin( x ? ) ? 3 4 4 1 ? ? ? 6[ sin( x ? ) ? 2 4 4 ? 7? ? 6sin( x ? ) 4 12 ? ? 3sin[ ( x ? 2) ? ] 4 4 ? ? 3 cos( x ? ) 4 4 3 ? ? cos( x ? )] 2 4 4 ? 4 ? 4

? 4

? 4

? 4

? 2

???????????

??????????

?10 分
7? ? 4? ?[ , ] , 12 3 3 ? 7? ? 1 ? 7? 故当 x ? ? 即 x ? ? 时, sin( x ? ) 取得最大值为 1, 3 4 12 2 4 12 g ( x) 则 的 最 大 值 为 1 ???????????12 分 g (? ) ? 6 ; 3 3 ? 7? ?? ? 7? 当 x ? ? 即 x ? 3 时, sin( x ? ) 取得最小值为 ? , 2 4 12 3 4 12 3 则 g ( x) 的最小值为 g (3) ? 6 ? (? ) ? ?3 3 . ??????????? 2
3] 时, x ? 当 x ?[?1,

? 4

14 分 18、 (苏州市 2014 届高三上学期期中) 已知函数 f ( x) ? sin 2x ? 2 3sin 2 x ?1 ? 3 . (I)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间;

?? ? ? (II)当 x ? ? , ? 时,若 f ( x) ? log2 t 恒成立,求 t 的取值范围. ?6 2?

解 ? ∴
T=? .


3

(I) f ( x) = 2sin(2x - ? ) + 1.??????????????????????? 3 数
f ( x)

分 最 小 正 周 期 是



???????????????????5 分 当 2k? ? ? ? 2 x ? ? ? 2k? ? ? ,即 k? ? ? ? x ? k? ? 5? , k ? Z ,
2 3 2 12 12





f ( x)













为 分

[k? ? ? , k? ? 5? ](k ? Z ) . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 12 12 ? ? 0, 2? ? (II) x ? ? , ? ? ,? 2 x ? ? ? ? , ? ? 3 ? 3 ? ?6 2? ?

? f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) ? 1 的最小值为 1, 3

??????12 分

由 f ( x) ? log2 t 恒成立,得 log 2 t ? 1 恒成立. 所以 t 的取值范围为(0,2] ????????????14 分

19、 (苏州市 2014 届高三上学期期中)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 A、

B、C,且 cos 2C ? 1 ?
(I)求

8b 2 . a2

1 1 的值; ? tan A tan C

(II)若 tan B ?

8 ,求 tan A 及 tan C 的值. 15
2

解: (I)∵ cos2C ? 1 ? 8b2 , ∴n s i 2分
a

2

. ????????????????? C ? 4b a2

2

∵ C 为三角形内角,∴ sin C ? 0, ∴ sin C ? 2b .
a ? b , ∴ sin A sin B 2sin B ? sin A sin C ???????????4 分



a b ? sin B a sin A





∵ A ? B ? C ? ? ,∴ sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C . ∴ 2sin A cos C ? 2 cos A sin C ? sin A sin C . ∵ sin A sin C ? 0 , ∴ 1 ? 1 7
tan A tan C 2

n a t

A n a t

C

?1 . ?????????????? 2



2 tan C (II)∵ 1 ? 1 ? 1 ,∴ tan A ?

tan C ? 2

?????????9 分

∵ A? B ?C ?? ,

∴ tan B ? ? tan( A ? C) ? ? tan A ? tan C ?
1 ? tan A tan C

∴ 8 ? 分
15

tan C 整理得 TAN2C - 8TANC+ 16= 0 2tan 2 C ? tan C ? 2

2

tan 2 C . 2tan C ? tan C ? 2
2

??? 12

解得,TANC=4,TANA=4.

????????????14 分

20、 (无锡市 2014 届高三上学期期中)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为
a, b, c ,函数 f ( x) ? 2cos x sin( x ? A) ? sin A( x ? R) 在 x ?
5? 处取得最大值。 12

? (1)当 x ? (0, ) 时,求函数 f ( x) 的值域; 2
(2)若 a ? 7 且 sin B ? sin C ?
13 3 ,求 ?ABC 的面积。 14

21、 (兴化市 2014 届高三上学期期中)在△ ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别 为 a, b, c ,已知 M ? 2 cos A, 3 sin A ,N ? ?cos A,?2 cos A? ,M·N ? ?1 . (1)求 ?A 的大小;

?

?

(2)若 a ? 2 3 , c ? 2 ,求△ ABC 的面积. 解: (1)法一:由题意知 M·N ? 2 cos 2 A ? 2 3 sin A cos A ? ?1 . ∴ 1 ? cos 2 A ? 3 sin 2 A ? ?1 . 即 3 sin 2 A ? cos 2 A ? 2

?? ?? ? ? ∴ 2 sin ? 2 A ? ? ? 2 ,即 sin ? 2 A ? ? ? 1 . 6? 6? ? ?
∵ 0 ? A ? ? ,∴ ? ∴ 2A ?

?
6

? 2A ?

?
6

?

?
6

?

?
2

,即 A ?

?
3

11? 6



法二:由题意知 M·N ? 2 cos 2 A ? 2 3 sin A cos A ? ?1 . ∴ 2 cos 2 A ? 2 3 sin A cos A ? sin 2 A ? cos 2 A ? 0 . 即 3 cos 2 A ? 2 3 sin A cos A ? sin 2 A ? 0 .

?

3 cos A ? sin A ? 0 ∴ 3 cos A ? sin A ,即 tan A ? 3

?

2

∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ?

?
3



(2)法一:由余弦定理知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,即 12 ? b 2 ? 4 ? 2b , ∴ b 2 ? 2b ? 8 ? 0 ,解得 b ? 4 , ( b ? ?2 舍去) ∴△ ABC 的面积为 S ?
1 1 3 bc sin A ? ? 4 ? 2 ? ?2 3. 2 2 2
a c 1 ? 2? ? ,所以 sin C ? ,因为 C ? ? 0, ? ? sin A sin C 2 ? 3 ?

法二:由正弦定理可知

所以 C ?

?
6

,B ?

?
2

. ∴△ ABC 的面积为 S ?

1 1 3 bc sin A ? ? 4 ? 2 ? ?2 3 2 2 2

22、 (盐城市 2014 届高三上学期期中) 已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) ,其中角 ? 的终边经过点 P(1, 3) ,且 0 ? ? ? ? . (1)求 ? 的值; (2)求 f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调减区间.

23 错误!未指定书签。 . (江苏省宿迁市 2014 届高三上学期第一次摸底考试数学 ? >0 , ? ?[0 , ?)) 的图象如图所示. 试卷)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A>0 , (1)求 f ( x) 的解析式;
3] 上的最大值和最小值. (2)求函数 g ( x) ? f ( x) ? 3 f ( x ? 2) 在 x ?[?1,
y 3

?1
-3

O

3

x

(第 16 题图)

【答案】解:(1)由图可得 A ? 3 ,
f ( x) 的周期为 8,则

2?

?

? 4 ,即 ? ?

? ; 4

f (?1) ? f (3) ? 0 ,则 f (1) ? 3 , ?) , 所以 sin( ? ? ) ? 1 ,即 ? ? ? ? 2k ? , k ? Z ,又 ? ?[0 ,

? 4

? 4

? 2

故? ? , 综上所述, f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 3sin( x ? ) ; (2) g ( x) ? f ( x) ? 3 f ( x ? 2)
? ? ? ? ? 3sin( x ? ) ? 3 3sin[ ( x ? 2) ? ] 4 4 4 4 ? ? ? ? ? 3sin( x ? ) ? 3 3 cos( x ? ) 4 4 4 4 1 ? ? 3 ? ? ? 6[ sin( x ? ) ? cos( x ? )] 2 4 4 2 4 4 ? 7? ? 6sin( x ? ) 4 12 ? 7? ? 4? 3] 时, x ? 当 x ?[?1, ?[ , ] , 4 12 3 3 ? 7? ? 1 ? 7? 故当 x ? ? 即 x ? ? 时, sin( x ? ) 取得最大值为 1, 3 4 12 2 4 12 ? 4 ? 4

? 4

则 g ( x) 的最大值为 g (? ) ? 6 ;
3 7? ?? ? 7? 即 x ? 3 时, sin( x ? ) 取得最小值为 ? , ? 2 12 3 4 12 3 则 g ( x) 的最小值为 g (3) ? 6 ? (? ) ? ?3 3 2

1 3

当 x?

? 4

24 错误!未指定书签。 . (江苏省南莫中学 2014 届高三 10 月自主检测数学试题)
π π π 7 2 已知 sin( A ? ) ? , A?( , ) . 4 2 4 10

(Ⅰ)求 cos A 的值;
5 (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? sin A sin x 的值域. 2

【 答 案 】 解 :( Ⅰ ) 因 为

π π π 7 2 ? A? , 且 sin( A ? ) ? , 所 以 4 2 4 10

π π 3π π 2 ?A ? ? , cos( A ? ) ? ? . 2 4 4 4 10

π π π π π π 因为 cos A ? cos[( A ? ) ? ] ? cos( A ? ) cos ? sin( A ? ) sin 4 4 4 4 4 4

??

3 2 2 7 2 2 3 ? ? ? ? .所以 cos A ? . 5 10 2 10 2 5

6

4 5 . 所以 f ( x) ? cos 2 x ? sin A sin x 5 2 1 3 ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x ? ?2(sin x ? ) 2 ? , x ? R . 因为 sin x ? [? 1,1] , 所以 , 当 2 2 1 3 sin x ? 时, f ( x) 取最大值 ;当 sin x ? ?1 时, f ( x) 取最小值 ?3 . 2 2 3 所以函数 f ( x) 的值域为 [ ?3, ] 2 25 错误!未指定书签。 . (江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三第一学期 9 月 份月考数学试卷)(本小题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 3π 已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的一个零点是 . 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin A ?

(1) 求实数 a 的值; (2) 设 g ?x? ? ? f ?x?? ,求 g ( x) 的单调递增区间.
2

【答案】(1)解:依题意,得 f ( 即 sin

3π ) ? 0, 4

3π 3π 2 2a ? a cos ? ? ? 0, 4 4 2 2

解得 a ? 1 (2)解:由(1 )得 f ( x) ? sin x ? cos x .

g ?x? ? ? f ?x?? ? ?sin x ? cos x? ? 1 ? sin 2x
2 2

由?
?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
2

? 2k? , k ? Z 得

?
4

? k? ? x ?

?
4

? k? , k ? Z

? ? ? ? 所以 g ( x) 的单调递增区间为 ?? ? k? , ? k? ??k ? Z ? 4 ? 4 ?
26 错误! 未指定书签。 . (江苏省启东市 2014 届高三上学期第一次检测数学试题) (1)设扇形的周长是定值为 c (c ? 0) ,中心角 ? .求证:当 ? ? 2 时该扇形面积最 大; (2)设 y ? 1 ? 2a ? a 2 ? 2a cos x ? 2 sin 2 x (-2≤a≤2,x∈R).求证:y≥-3. 【答案】(1)证明:设弧长为 l,半径为 R,则 2R+l=c, R ? c ? l ( c ? l )
2

?S ?

1 1 c ?l 1 1 c c2 Rl ? ? l ? (cl ? l 2 ) ? ? (l ? )2 ? 2 2 2 4 4 2 16

c c2 ?当l ? 时, Smax ? 2 16

c l ,而 ? ? ? 2 4 R 所以当 ? ? 2 时该扇形面积最大

此时 R ?

(2)证明: y ? 1 ? 2a ? a 2 ? 2a cos x ? 2(1 ? cos2 x)
a a2 ? 2(cosx ? ) 2 ? ? 2a ? 1 2 2

∵-2≤a≤2,∴-1≤ ∴当 cos x ?

a ≤1, 2

2 a 时, ymin ? a ? 2a ? 1 ? 1 [(a ? 2) 2 ? 6] 2 2 2 1 又∵-2≤a≤2,∴ y min ? [( a ? 2) 2 ? 6] ≥-3,当 a = 2 时取等号, 2 即 y≥-3

法二: y ? a 2 ? 2a(1 ? cos x) ? 2 cos2 x ? 1

? [a ? (1 ? cos x)]2 ? cos2 x ? 2 cos x ? 2

∵0≤ 1 ? cos x ≤2,-2≤a≤2, ∴当 a= 1 ? cos x 时,

ymin ? cos2 x ? 2 cos x ? 2 ? (cosx ? 1) 2 ? 3 ,
又∵-1≤ cos x ≤1,∴ ymin ? (cosx ? 1) 2 ? 3 ≥-3 当 cos x =1 时取等号 即 y≥-3 27 错误!未指定书签。 . (江苏省南京市 2014 届高三 9 月学情调研数学试题)在 锐 角 △ ABC 中 ,A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c. 已 知 向 量

(1)求角 A 的大小; (2)若 a=7,b=8,求△ABC 的面积. 【答案】

28 错误!未指定书签。 . (江苏省泗阳中学 2014 届高三第一次检测数学试题)已 知 tan(

?
4

??) ?

1 sin 2a ? cos2 ? ,(1)求 tan ? 的值;(2)求 的值. 2 1 ? cos 2?

【答案】解:(1) tan( ? ? ) ? 4

?

tan

?
4

? tan?

1 ? tan tan? 4

?

?

1 ? tan? 1 ? tan?

由 tan( (2) 一:

?
4

??) ?

1 1 ? tan ? 1 1 ? , 解得 tan ? ? ? ,有 2 1 ? tan ? 2 3 解



sin 2? ? cos2 ? 2 sin ? cos? ? cos2 ? 2 sin ? ? cos ? 1 1 1 5 ? ? tan ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 cos ? 2 3 2 6 1 ? cos2? 1 ? 2 cos ? ? 1

29 错误! 未指定书签。 . (江苏省启东市 2014 届高三上学期第一次检测数学试题)
1 1 ,求 2 的值; 2 sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? 1 (2)已知 cos(75°+ ? )= ,且-180°< ? <-90°,求 cos(15°- ? )的值. 3 2 2 【答案】(1)原式 ? 2 sin ? ? cos ? sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ?

(1)设 tan ? ? ?

?1 tan2 ? ? 1 ? ? 4 2 tan ? ? tan? ? 2 1 1 4 ? 2

1

? ?1

?2

(2)由-180°< ? <-90°,得-105°< ? +75°<-15°, 故 sin(75°+ ? )= ? 1 ? cos2 (75? ? ? ) ? ? 2 2 , 而 cos(15°- ? )=cos[90°-(75°+ ? )]= sin(75°+ ? ) 所以 cos(15°- ? )= ? 2
2 3

3

30 错误!未指定书签。 . (江苏省泰州市姜堰区张甸中学 2014 届高三数学期中模 拟试卷) 已知函数 f(x)=Asin(x+φ )(A>0,0<φ <π ),x∈R 的图象有一个最高 ?π ? 点? ,1?. ?3 ? (1) 求 f(x)的解析式; 1 (2) 若α 为钝角,且 f(α )= ,求 f(-α )的值. 3 π ?π ? 【答案】 解:(1) 由题意,A=1,sin? +φ ?=1,又 0<φ <π ,所以φ = , 3 6 ? ? π? π? 2 2 ? ? 所以 f(x)=sin?x+ ?.(2) 由题意,cos?α + ?=, 6? 6? 3 ? ? π ?? π? π? π π ?π ? ? ? 所以 f(- α )=sin ?-α + ? =sin ? -?α + ?? =sin cos ?α + ? -cos 6 ?? 6? 6? 3 3 ? ? ?3 ? π? ? sin?α + ? 6? ?

=-

3 2 2 1 1 2 6 ?1 × - × =? . 2 3 2 3 6

31 错误!未指定书签。 . (江苏省宿迁市 2014 届高三上学期第一次摸底考试数学 B 两个小岛相距 10 km ,船 O 将保持观望 A 岛和 B 岛所 试卷)如图,海上有 A , 成的视角为 60 ? ,现从船 O 上派下一只小艇沿 BO 方向驶至 C 处进行作业,且 OC ? BO .设 AC ? x km . (1)用 x 分别表示 OA2 ? OB2 和 OA ? OB ,并求出 x 的取值范围; (2)晚上小艇在 C 处发出一道强烈的光线照射 A 岛,B 岛至光线 CA 的距离为 BD ,求 BD 的最大值.
D
A
60 ?

C

O

B

(第 18 题图)

【答案】解:(1)在 ?OAC 中, ?AOC ? 120? , AC ? x , 由余弦定理得, OA2 ? OC 2 ? 2OA ? OC ? cos120? ? x 2 , 又 OC ? BO ,所以 OA2 ? OB 2 ? 2OA ? OB ? cos120? ? x 2 ①, 在 ?OAB 中, AB ? 10 , ?AOB ? 60? 由余弦定理得, OA2 ? OB 2 ? 2OA ? OB ? cos60? ? 100 ②, ①+②得 OA2 ? OB 2 ?
x 2 ? 100 , 2

x 2 ? 100 , 2 x 2 ? 100 x 2 ? 100 ≥ 2? 又 OA2 ? OB2 ≥2OA ? OB ,所以 ,即 x2 ≤300 , 2 2 2 x ? 100 > 0 ,即 x 2 >100 , 又 OA ? OB ? 2

①-②得 4OA ? OB ? cos60? ? x 2 ? 100 ,即 OA ? OB ?

所以 10<x≤10 3 ; (2)易知 S?OAB ? S?OAC , 故 S?ABC ? 2S?OAB ? 2 ? ? OA ? OB sin 60? ? 又 S?ABC ? ? AC ? BD ,设 BD ? f ( x) ,
3( x 2 ? 100) , x ? (10 , 10 3] , 2x 3 100 又 f ?( x) ? (1 ? 2 ), 2 x 1 2 3( x 2 ? 100) , 4

1 2

所以 f ( x) ?

则 f ( x) 在 (10 , 10 3] 上是增函数,

所以 f ( x) 的最大值为 f (10 3) ? 10 ,即 BD 的最大值为 10 (利用单调性定义证明 f ( x) 在 (10 , 10 3] 上是增函数 , 同样给满分 ; 如果直接 说出 f ( x) (10 , 10 3] 上是增函数,但未给出证明,扣 2 分.) 32 错误!未指定书签。 . (江苏省无锡市市北高中 2014 届高三上学期期初考试数 学试题)已知 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) . (1)若 ? ? ? ?

?
6

,求 a ? b 的值;

4 ? (2)若 a ? b ? , ? ? ,求 tan(? ? ? ) 的值. 5 8

【答案】解:(1)∵ a ? (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? ) ∴ a ? b ? cos(? ? ? ) ? cos (2)∵ a ? b ?

?
6

?

3 2

4 4 3 3 ∴ cos(? ? ? ) ? ,sin(? ? ? ) ? ? , tan(? ? ? ) ? ? 5 5 5 4

? ? ? ? 2? ? (? ? ? ) ?
? tan(? ? ? ) ? tan[
1?

?

4

? (? ? ? )

?
4

? (? ? ? )] ?

1 ? tan( ? ? ?) 1 ? tan( ? ? ?)

3 3 1? 4或 4 ? 1或7 ? 3 3 7 1? 1? 4 4 33 错误!未指定书签。 . (江苏省苏州市 2014 届高三暑假自主学习测试(9 月)
数学试卷)已知向量 m ? (cos A, ? sin A) , n ? (cos B,sin B) , m ? n ? cos 2C ,其 中 A, B, C 为 ?ABC 的内角. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 AB ? 6 ,且 CA ? CB ? 18 ,求 AC , BC 的长. 【答案】解:(Ⅰ) m ? n ? cos A cos B ? sin A sin B ? cos( A ? B) ? ? cos C , 所以 ? cos C ? cos 2C ,即 2cos2 C ? cos C ? 1 ? 0 , 故 cos C ?
1 或 cos C ? ?1 (舍), 2

又 0 ? C ? ? ,所以 C ?

?
3

(Ⅱ)因为 CA ? CB ? 18 ,所以 CA ? CB ? 36 . ① 由余弦定理 AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cos60? , 及 AB ? 6 得, AC ? BC ? 12 . ② 由①②解得 AC ? 6, BC ? 6 错误!未指定书签。 . (江苏省涟水中学 2014 届高三上学期(10 月)第一次统测 数学(理)试卷)设函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? a (0 ? x ? 3) 的最大值为 m ,最小值为

n ,其中 a ? 0, a ? R .
(1)求 m 、 n 的值(用 a 表示); (2)已知角 ? 的顶点与平面直角坐标系 xoy 中的原点 o 重合,始边与 x 轴的正 半轴重合,终边经过点 A(m ? 1, n ? 3) .求

sin? ? 3 cos ? 的值. cos ? ? 3 sin ?
2

【答案】解(1) 由题可得 f ? x ? ? ? ? x ? 1? ? 1 ? a 而 0 ? x ? 3 所以, m ? f ?1? ? 1 ? a , n ? f ? 3? ? a ? 3 (2)角 ? 终边经过点 A ? a , a ? ,则 tan ? ? 所以,.
a ?1 a

sin? ? 3 cos ? tan ? ? 3 1 ? 3 = ? ? ?2 ? 3 cos ? ? 3 sin ? 1 ? 3 tan ? 1 ? 3

34 错误!未指定书签。 . (江苏省无锡市市北高中 2014 届高三上学期期初考试数 学 试 题 ) 如 图 , 在 ?ABC 中 , BC 边 上 的 中 线 AD 长 为 3, 且
cos B ?
1 10 , cos ?ADC ? ? . 4 8

(Ⅰ)求 sin ?BAD 的值; (Ⅱ)求 AC 边的长.
A

B

D
第 16 题

C

【答案】解:(Ⅰ)因为 cos B ?

10 3 6 ,所以 sin B ? 8 8

1 15 又 cos ?ADC ? ? ,所以 sin ?ADC ? 4 4

所以 sin ?BAD ? sin(?ADC ? ?B) ? sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B
? 15 10 1 3 6 6 ? ? (? ) ? ? 4 8 4 8 4
AD BD 3 BD ? ? ,即 ,解得 sin B sin ?BAD 3 6 6 8 4

( Ⅱ ) 在 ?ABD 中 , 由 正 弦 定 理 , 得

BD ? 2 故 DC ? 2

, 从 而 在

?ADC

中 , 由 余 弦 定 理 , 得

AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC cos ?ADC
1 = 32 ? 22 ? 2 ? 3 ? 2 ? (? ) ? 16 ,所以 AC ? 4 4 35 错误!未指定书签。 . (江苏省兴化市 2014 届高三第一学期期中调研测试)在

△ ABC 中 , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 已 知

m ? 2 cos A, 3 sin A ,n ? ?cos A,?2 cos A? ,m·n ? ?1 .
(1)求 ? A 的大小; (2)若 a ? 2 3 , c ? 2 ,求△ ABC 的面积. 【答案】解:(1)法一:由题意知 m·n ? 2 cos2 A ? 2 3 sin A cos A ? ?1 . ∴ 1 ? cos2 A ? 3 sin 2 A ? ?1 . 即 3 sin 2 A ? cos2 A ? 2

?

?

?? ?? ? ? ∴ 2 sin? 2 A ? ? ? 2 ,即 sin? 2 A ? ? ? 1 . 6? 6? ? ?
∵ 0 ? A ? ? ,∴ ? ∴ 2A ?

?
6

? 2A ?

?
6

?

?
6

?

?
2

,即 A ?

?
3

11? 6

.

法二:由题意知 m·n ? 2 cos2 A ? 2 3 sin A cos A ? ?1 . ∴ 2 cos2 A ? 2 3 sin A cos A ? sin 2 A ? cos2 A ? 0 . 即 3 cos2 A ? 2 3 sin A cos A ? sin 2 A ? 0 .

?

3 cos A ? sin A ? 0 ∴ 3 cos A ? sin A ,即 tan A ? 3

?

2

∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ?

?
3

.

(2)法一:由余弦定理知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,即 12 ? b 2 ? 4 ? 2b , ∴ b 2 ? 2b ? 8 ? 0 ,解得 b ? 4 ,( b ? ?2 舍去) ∴△ ABC 的面积为 S ?
1 1 3 bc sin A ? ? 4 ? 2 ? ?2 3. 2 2 2

法二:由正弦定理可知

a c 1 ? 2? ? ? ,所以 sin C ? ,因为 C ? ? 0, ? sin A sin C 2 ? 3 ?

所以 C ?

?
6

,B ?

?
2

.∴△ ABC 的面积为 S ?

1 1 3 bc sin A ? ? 4 ? 2 ? ?2 3 2 2 2

36 错误!未指定书签。 . (江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三第一学期 9 月 份月考数学试卷)(本小题满分 15 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 9 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 c sin A ? 3a cos C . (1) 求角 C 的大小; (2) 当 3 sin A ? cos B 取得最大值时,请判断 ?ABC 的形状. 【 答 案 】 解 :(1) 由 c sin A ? 3a cos C 得, 结 合 正 弦 定 理

a c c ? ? sin A 3 cos C sin C

从而 sin C ? 3 cos C , tan C ? 3 , ∵ 0 ? C ? ? ,∴ C ? (2)由(1)知 B ?

?
3

;

2? ?A 3

∴ 3 sin A ? cos B ? 3 sin A ? cos(
? 3 sin A ? cos

2? 2? cos A ? sin sin A 3 3

2? ? A) 3

?

3 1 ? sin A ? cos A ? sin( A ? ) 2 2 6
2? ? ? 5? ,∴ ? A ? ? 3 6 6 6

∵0 ? A ?

当 A?

?
6

?

?
2

时, 3 sin A ? cos B 取得最大值 1,

. 3 3 3 故此时 ?ABC 为等边三角形 37 错误!未指定书签。 . (江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三第一学期 9 月 份月考数学试卷)(本小题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 3 如图所示,角 A 为钝角,且 sin A ? ,点 P . Q 分别在角 A 的两边上. 5 (1) 已知 AP =5, AQ =2,求 PQ 的长; (2) 设 ?APQ ? ? , ?AQP ? ? ,且 cos ? ?
12 ,求 sin ?2? ? ? ? 的值. 13

此时 A ?

?

,B ?

?

,C ?

?

【答案】解:(1)? ?A 是钝角, sin A ? 在 ?APQ 中,由余弦定理得:

3 4 ,? cos A ? ? 5 5

PQ2 ? AP2 ? AQ2 ? 2 AP ? AQ cos A
从而 PQ ? 3 5 (2)由 cos ? ?
12 5 , 得 sin ? ? 13 13

在三角形 APQ 中, ? ? ? ? A ? ?
3 所以 sin(? ? ? ) ? sin(? ? A) ? sin A ? , 5 4 cos(? ? ? ) ? ? cos A ? 5

?sin(2? ? ? ) ? sin[? ? (? ? ? )] ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? sin(? ? ? )
? 5 4 12 3 56 ? ? ? ? 13 5 13 5 65

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