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微积分初步 习题


微积分初步 习题
§1 数列的极限 习题
利用基本的数列极限,求下列极限 1、

lim ?n ? 1?
n ??

n 2 ? 3n ? 1
2

2、

lim
n ??

n 3n 2 ? 4
2? ? ?1 ? ? n? ?
n

3、

lim
n??

§2 函数的极限 习题
1、利用基本的函数极限 (1) 、

lim
x ??

? 1? ?1 ? ? ? e 及相关的基本运算定理证明如下的极限: x? ?

x

lim ?1 ? x ?
x ?0

1

x

?e

(2) 、

lim
x ?0

ln ?1 ? x ? ?1 x
ex ?1 ?1 x
a x ?1 ? ln a x

(3) 、

lim
x ?0

(4) 、

lim
x ?0

2、利用基本的函数极限、 (1) 、

lim
x ??

sin x ? 1? ? 1 及相关的基本运算定理求下列极限: ?1 ? ? ? e 、 lim x? x ? x ?0

x

m ?2x ? 1? i l
x?1

(2) 、

lim x
x ?3

x?3 2 ?9
x

(3) 、 (4) 、

lim
x??

2? ? ?1 ? ? x? ?

lim ?1 ? 2 x?
x ?0

1

x

(5) 、

lim
x ?0

n 2x s i x

1

(6) 、

lim
x ?0

tg 2 x x

§3 导数

习题

1、 利用导数的定义证明: (1) 、设 y ? e ,则 y ? ? e 。
x x

(2) 、设 y ? a ,则 y ? ? a ln a 。
x x

(3) 、设 y ? ln x ,则 y ? ?

1 。 x 1 。 x ln a

(4) 、设 y ? log a x ,则 y ? ?

2、利用导数的基本公式和基本的运算定理求如下函数的导数 (1) 设 y ? 、 (2) 设 y ? 、
3

x ,求 y ? ;
x 2 ,求 y ? ,及在 x ? 2 处的导数;
5 3 2

(3) 、设 y ? 3x ? 2 x ? 7 x ? 26 x ? 8 ,求 y ? ; (4) 设 y ? sin x ,求 y ? ; 、
2

(5) 、设 y ?

sin x ,求 y ? ; x
2 x

(6) 、设 y ? x e ? x sin x ,求 y ? ; (7) 、设 y ? x ln x , ,求 y ? ; (8) 、设有隐函数 e ? x ? y ,试求 y 对 x 的函数;
y

(9) 、设 y ? 7 x ? 4 x ? 3x ? 9 ,求 y ?? ;
3 2

(10) 、设 y ? sin x ,求 y ?? 。

§5 不定积分 习题
1、 利用基本的导数公式和基本的导数运算定理求下列积分: (1) ( x ? 1) dx 、
2

?

(2) ( x ? 、

?

1 ? x ? sin x)dx x

2、使用换元积分法求下列积分:

e x 3 dx (1) ? 、
2

1 dx (2) ? 、 1 ? 2x

dx (3) ? 2 、 x ? a2 dx (4) ? 2 、 x ? a2
(5) 、

?
x t d ?gx

dx a2 ? x2

(6) 、

(7) 、

c t x d ? gx

(8) 、

s i ?n o s ?c

2

x d x x d x
x d x

2

(9) 、

i (10) ?n 、 s

3

3、使用分部积分法求下列积分:

(1) 、

xe x dx ?

(2) 、

?x

2

e x dx

(3) 、

g c r x t d ? ax

(4) 、

d x ? x ln x
? 4

§6 定积分 习题

(1) 、

o ? cs
0

x d x

3

dx (2) ? 、 1? x 0
(3) 、

1

?

2

?1

x 2 dx

(4) 、

?
?
?

a

0
1

a 2 ? x 2 dx

(5) 、

0

e x dx
xc x o d s x
x2 y2 ? ? 1 决定的椭圆的面积。 a2 b2

?

(6) 、

0

(7) 求由方程 、

4


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