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概率论第三章题库


第三章 多维随机变量及其分布
一、选择题
1、 (易)设任意二维随机变量(X,Y)的两个边缘概率密度函数分别为 fX(x)和 fY(y),则以 下结论正确的是( A. C. ) B.

? ?

??

?? ??

f X ( x)dx ? 1 f X ( x)dx ? 0

/>
?

??

??
??

fY ( y)dx ?

1 2

??

D.

?

??

fY ( y)dx ? 0

2、 (易)设二维随机变量 ( X , Y ) ~ N (?1 , ?2 , ? 21 , ? 22 , ? ) ,则 X~( A. N ( ?1 , ?12 )
2 C. N ( ?1 , ? 2 )



B. N ( ?2 , ? 12 )
2 D. N ( ?2 , ? 2 )

3、 (易)设二维随机变量(X,Y)服从区域 D:x2+y2≤1 上的均匀分布,则(X,Y)的概率密度 为( A. ) B. f ( x, y) ? ?

f(x,y)=1

(x,y) ? D, ?1, 其他 ?0,

1 C. f(x,y)= ?

?1 (x,y) ? D, ? , D. f ( x, y ) ? ? ? ? 其他 ? 0,
).
y x ? s ?t ? dsdt, x ? 0, y ? 0 , ?? ?0 e

4、 (中等)下列函数可以作为二维分布函数的是(

?1, x ? y ? 0.8 , A . F ( x, y) ? ? 其他. ?0,
C . F ( x, y) ? ??? ??? e
y x ? s ?t

B . F ( x, y) ? ? 0

? ?0,

其他.

dsdt

? x? y ? , x ? 0, y ? 0 , ?e F ( x , y ) ? ? D. ? 其他. ?0,

?1 ? , 0 ? x ? 2,0 ? y ? 2; 5、 (易)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f (x,y)= ? 4 ? 其他, ? 0,

则 P{0<X<1,0<Y<1}=( A.
1 4

) C.
3 4

B.

1 2

D. 1

6、 (中等)设随机变量 X,Y 相互独立,其联合分布为

则有(



1 2 A. ? ? , ? ? 9 9 1 2 C. ? ? , ? ? 3 3

2 1 B. ? ? , ? ? 9 9 2 1 D. ? ? , ? ? 3 3

7、 (中等)设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F( x, y ). 其联合概率分布律为

Y X -1 0 2 则 F(0,1)=( A. 0.2 ) B. 0.6

0 0.2 0 0.1

1 0.1 0.3 0

2 0.1 0 0.2

C. 0.7

D. 0.8 )

8、 (难)设随机变量 X 和 Y 相互独立,且 X~N(3,4),Y~N(2,9),则 Z=3X-Y ~( A. N(7,21) B. N(7,27) C.
N(7,45)

D.

N(11,45)

9、 (难)设随机变量 X,Y 相互独立,且 X~N(2,1) ,Y~N(1,1) ,则( A.P{X-Y≤1}=



1 2 1 2

B. P{X-Y≤0}=

1 2 1 2


C. P{X+Y≤1}=

D. P{X+Y≤0}=

10、 (易)设二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数为 F ( x, y ) ,则 F ( x , ? ?) ? ( A.0 B. FX ( x) C. FY ( y ) D.1

二、填空题
11、 (易)设随机变量 X,Y 相互独立,且 P{X≤1}=

1 1 ,P{Y≤1}= ,则 P{X≤1,Y≤1}=___. 2 3

12、 (易)设二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数为 F ( x, y ) ,则 F (?? , ? ?) ? ______.

?(1 ? e? x )(1 ? e? y ), x ? 0, y ? 0, 13、 (中等)设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F ( x, y) ? ? 则 0, 其他, ? ,
当 x>0 时, X 的边缘分布函数 FX(x)=__________. 14、 (易)已知当 0<x <1,0< y <1 时,二维随机变量(X,Y)的分布函数 F(x,y) = x2 y 2 ,记(x,y)

1 1 的概率密度为 f(x,y) ,则 f( , )=__________. 4 8
15、 (中等)设二维随机变量(X,Y)的分布律为 X 0 则 P?X ? 1, Y ? 2? ? ______. 1 0.2 0.3 0.1 0.15 0.15 0.1 Y 1 2 3

?1, 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1, 16、 (易) 设二维随机变量(X, Y)的概率密度 f (x,y)= ? 则 P{X+Y≤1}=____. ?0, 其他,

X
17、 (中等)设随机变量 X 的分布律为

-1

0

1

2

P

1 8

3 8

1 16

7 16

,且 Y=X2,记

随机变量 Y 的分布函数为 FY(y) ,则 FY(3)=__________. 18、 (易)设随机变量 X 和 Y 相互独立,它们的分布律分别为

X P

-1

0

1



Y P

-1

0



1 3

3 12

5 12

1 4

3 4

则 P?X ? Y ? 1? ? ___________. 19、 (易)设二维随机变量(X,Y)的分布律为 Y 0 X 0 2 5

1 4

1 6 1 4

1 3

则 P{XY=0}=__________.

三、计算题
20、 (中等).袋中有五个号码 1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码 为 X,最大的号码为 Y. (1) 求 X 与 Y 的联合概率分布; (2) 求关于 X 和关于 Y 的边缘分布; (3) X 与 Y 是否相互独立? 【解】 (1) X 与 Y 的联合分布律如下表
Y

3

4

5

X

P{X ? xi }
6 10 3 10 1 10

1

1 1 ? 3 C5 10
0

2 2 ? 3 C5 10
1 1 ? 3 C5 10
0

3 3 ? 3 C5 10
2 2 ? 3 C5 10 1 1 ? 2 C5 10
6 10

2

3

0

P{Y ? yi }

1 10

3 10

(2) 因 P{ X ? 1}?P{Y ? 3} ? 故 X 与 Y 不独立?

6 1 6 1 ? ? ? ? P{ X ? 1, Y ? 3}, 10 10 100 10

21、 (中等)某高校学生会有 8 名委员,其中来自理科的 2 名,来自工科和文科的各 3 名, 现从 8 名委员中随机指定 3 名担任学生会主席, 设 X, Y 分别为主席来自理科、 工科的人数, 求: (1) (X,Y)的联合分布律; (2)X,Y 的边缘分布. P(X=0,Y=0)=C(3,3)/C(8,3)=1/56

P(X=0,Y=1)=C(3,1)*C(3,2)/C(8,3)=9/56 P(X=0,Y=2)=C(3,1)*C(3,2)/C(8,3)=9/56 P(X=0,Y=3)=C(3,3)/C(8,3)=1/56 P(X=1,Y=0)=C(2,1)*C(3,2)/C(8,3)=6/56 P(X=1,Y=1)=C(2,1)*C(3,1)*C(3,1)/C(8,3)=18/56 P(X=1,Y=2)=C(2,1)*C(3,1)/C(8,3)=6/56 P(X=2,Y=0)=C(2,2)*C(3,1)/C(8,3)=3/56 P(X=2,Y=1)=C(2,1)*C(3,1)/C(8,3)=3/56 X 边缘分布 Y Y Y Y P(X=i) 0 1 2 3 X 0 X 1 X 2 1/56 3/28 3/56 9/56 9/28 9/56 1/56 5/14

3/28 0 0 5/28

15/28

3/56 0

3/28 15/28 15/56 1/56 1

Y 边缘分布 P(Y=j)

22、 (中等)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?cxy, 0 ? x ? 2,0 ? y ? 2; f ( x, y ) ? ? 其他. ? 0,

求: (1)常数 c; ∫f(x,y)dxdy=∫cxydxdy=c∫xdx∫ydy =c(1/2*x^2|从 0 到 2)(1/2*y^2|从 0 到 1) =c(1/2*2^2-0)(1/2*1^2-0) =c*2*1/2=c 并且∫f(x,y)dxdy=1 所以 c=1

(2)求(X,Y)分别关于 X,Y 的边缘密度 f X ( x), f Y ( y ); (3)判定 X 与 Y 的独立性,并说明理由; (4)求 P ?X ? 1, Y ? 1?.

23、 (较难)设随机变量 ( X , Y ) 的分布函数为 F ( x, y ) ? A( B ? arctan )(C ? arctan 求: (1)常数 A、B、C (2)试问 X 与 Y 是否独立? (3)求 X 与 Y 的联合概率密度函数 F(x,y)=A(B+arctanx/2)(C+arctany/3) F(-∞,-∞)=A(B-π /2)(C-π /2)=0 F(-∞,+∞)=A(B-π /2)(C+π /2)=0 F(+∞,-∞)=A(B+π /2)(C-π /2)=0 F(+∞,+∞)=A(B+π /2)(C+π /2)=1 解得:A=1/π ^2,B=π /2,C=π /2 F(+∞,y)=1/2+1/π *arctan(y/3) F(x,+∞)=1/2+1/π *arctan(x/2) F(x,y)=F(+∞,y)×F(x,+∞) X 和 Y 相互独立. (X,Y)的联合概率密度: 6/(11π )(π /2+arctan x/2)(π /2+arctan Y/3)

x 2

y ) 3 ,试

24、 (中等)设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为

? k ?6 ? x ? y ? f ? x, y ? ? ? ?0
求: (1)常数 k;

0 ? x ? 2, 2 ? y ? 4
其他

(2) ( X , Y ) 关于 X,Y 的边缘概率密度 f X ( x), fY ( y) ; (3) P ? X ? Y ? 4? . 【解】 (1) 由性质有

? ?
??

??

??

??

f ( x, y)dxdy ? ?
R? 1 8?

2

0

?

4

2

k (6 ? x ? y)dydx ?8k ? 1,



P{ X ? Y ? 4} ?
(3)

X ?Y ? 4

??

f ( x, y )dxdy如图b?? f ( x, y )dxdy
D2

? ? dx ?
0

2

4? x

2

1 2 (6 ? x ? y )dy ? . 8 3

题5图

25、(中等)设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为

?6e ?? 2 x ?3 y ? ? f ? x, y ? ? ? ? ?0

x ? 0, y ? 0
其他

求: (1) ( X , Y ) 关于 X,Y 的边缘概率密度 f X ( x), fY ( y) ; (2)判断随机变量 X 与 Y 是否独立?

26、 (中等)设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,X 在[0,4]上服从均匀分布,Y 的概率密 度为 fY(y)= ? 2

1 ? ? e? y / 2 , ? ?0,

y ? 0, 其他.

求 X 和 Y 的联合概率密度 f ( x, y ) .
y ?1 ?2 ? e , y ? 1, fY ( y ) ?? ? 2 ?0, 其他. ?

?1, 0 ? x ? 1, f X ( x) ?? ? ?0, 其他; 【解】 (1) 因

?1 ?y/2 ? e f ( x, y ) X , Y 独立 f X ( x)?fY ( y) ? ? 2 ? ?0, 故

0 ? x ? 1, y ? 0, 其他.

题 14 图


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