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2014届高考数学一轮复习 第6章 第5节《合情推理与演绎推理》名师首选练习题 新人教A版


第六章

第五节

合情推理与演绎推理

一、选择题 1.已知△ABC 中,∠A=30°,∠B=60°,求证:a<b. 证明:∵∠A=30°,∠B=60°,∴∠A<∠B. ∴a<b,其中,画线部分是演绎推理的 ( ) A.大前提 B.小前提 C.结论 D.三段论 2.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)= ( ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 3.已知 f1(x)=sin x+ cos x,fn+1(x)是 fn(x)的导函数,即 f2(x)= f′1(x),f3(x)=f′2(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N*,则 f2 011(x)= ( ) A.-sin x-cos x B.sin x-cos x C.-sin x+cos x D.sin x+cos x 2S 4.设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r= ; a+b+c 类比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S 1、S2、S3、S4,内切球的半径 为 r,四面体 S-ABC 的体积为 V,则 r= ( ) A. C. V S1+S2+S3+S4 B. D. 2V S1+S2+S3+S4 4V S1+S2+S3+S4

3V S1+S2+S3+S4

5.正方形 ABCD 的边长是 a,依次连接正 方形 ABCD 各边中点得到一个新的 正方形,再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形,依此得到 一系列的正方形,如图所示.现有一只小虫从 A 点出发,沿正方形的边逆 时针方向爬行,每遇到新正方形的顶点时,沿这个正方形的边逆时针方向 爬行,如此下去,爬行了 10 条线段.则这 10 条线段的长度的平方和是 ( ) 1 023 A. a2 2 048 511 C. a2 1 024 1 023 B. a2 768 2 047 D. a2 4 096

6.一同学在电脑中打出如下若干个圆: ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…,若依此规律继续下去,得到一系列的圆, 则在前 2 012 个圆中共有●的个数是 ( ) A.61 B.62 C.63 D.64 二、填空题 7.观察下列等式 1=1 2+3+4=9

1

3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …… 照此规律,第 n 个等式为________. 8.两点等分单位圆时,有相应正确关系为 sin α +sin(π +α )=0;三点等分单位圆时, 2π 4π 有相应正确关系为 sin α +sin(α + )+sin(α + )=0.由此可以推知:四点等分单 3 3 位圆时的相应正确关系为________. 9.经过圆 x2+y2=r2 上一点 M(x0,y0)的切线方程为 x0x+y0y=r2.类比上述性质,可以 x2 y2 得到椭圆 + =1 类似的性质为___________________________________________. a2 b2 三、解答题 x2 10.已知函数 f(x)= , 1+x2 1 1 1 ( 1)分别求 f(2)+f( ),f(3)+f( ),f(4)+f( )的值; 2 3 4 (2)归纳猜想一般性结论,并给出证明; 1 1 1 (3)求值:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 013)+f( )+f( )+…+f( ). 2 3 2 013

11.在平面几何中,研究正三角形内任一点与三边的关系时,我们有真命题:边长为 a 的正 3 a.类比上述命题,请你写出关于正四面体内任 2 一点与四个面的关系的一个真命题,并给出简要的证明. 三角形内任一点到各边的距离之和是定值

3 12.观察:①sin210°+cos240°+sin 10°cos 40°= ;②sin26°+cos236°+sin 4 3 6°cos 36°= . 4 由上面两题的结构规律,你能否提出一个猜想?并证明你的猜想.

2

详解答案 一、选择题 1.解析:由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提. 答案:B 2.解析:观察可知,偶函数 f(x)的导函数 g(x)都是奇函数,所以 g(-x)=-g(x). 答案:D 3. 解析: f2(x)=f′1(x)=cos x-sin x; f3(x)=f′2(x)=-sin x-cos x; f4(x)=f′3(x) =-cos x+sin x; f5(x)=f′4(x)=sin x+cos x, 则其周期为 4, fn(x)=fn+4(x). 即 f2 011(x)=f3(x)=-sin x-cos x. 答案:A 4.解析:设三棱锥的内切球球心为 O,那么由 V=VO-ABC+VO-SAB+VO-SAC+VO-SBC, 1 1 1 1 即:V= S1r+ S2r+ S3r+ S4r, 3 3 3 3 可得:r= 答案:C 1 1 5. 解析:由题可知,这只小虫爬行的第一段长度的平方为 a2=( a)2= a2,第二段长度的 1 2 4 平方为 a2=( 2 2 1 1 a)2= a2,…,从而可知,小虫爬行的线段长度的平方可以构成以 a2= a2 1 4 8 4 3V . S1+S2+S3+S4

1 1 a2[1-? ? 10] 4 2 1 1 023 为首项, 为公比的等比数列,所以数列的前 10 项和为 S10= = a2. 2 1 2 048 1- 2 答案:A 6.解析:作如下分类 ○●,○○●,○○○●,○○○○●,……, ∴到 n 个●共有圆的个数为 n? 由题意知 n+3? ≤2012 2 n? n+3? 2

∴n≤61. 答案:A 二、填空题 7.解析:每行最左侧数分别为 1、2、3、…,所以第 n 行最左侧的数为 n;每行数的个数分 别为 1、3、5、…,则第 n 行的个数为 2n -1.所以第 n 行数依次是 n、n+1、n+2、…、3n -2.其和为 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 8.解析:类比推理可知,四点等分单位圆时,α 与 α +π 的终边

3

π 3π 互为反向延长线,α + 与 α + 的终边互为反向延长线,如图. 2 2 π 3π 答案:sin α +sin(α + )+sin(α +π )+sin(α + )=0 2 2 9.解析:经过圆 x2+y2=r2 上一点 M(x0,y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个 x 与 y x2 y2 分别用 M(x0,y0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆 + =1 类似的性质为: a2 b2 x2 y2 x0x y0y 经过椭圆 + =1 上一点 P(x0,y0)的切线方程为 + =1. a2 b2 a2 b2 x2 y2 x0x y0y 答案:经 过椭圆 + =1 上一点 P(x0,y0)的切线方程为 + =1 a2 b2 a2 b2 三、解答题 x2 10.解:(1)∵f(x)= , 1+x2 2 1 22 22 1 ∴f(2)+f( )= + = + =1, 2 1+22 1 1+22 22+1 1+? ? 2 2 1 同理可得 f(3)+f( )=1, 3 1 f(4)+f( )=1. 4 1 (2)由(1)猜想 f(x)+f( )=1, x 1 证明:f(x)+f( ) x 2 x2 x2 1 = + = + =1. 1+x2 1 1+x2 x2+1 1+? ? 2 x 1 1 1 1 (3)f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 013)+f( )+f( )+…+f( )=f(1)+[f(2)+f( )] 2 3 2 013 2 1 1 +[f(3)+f( )]+…+[f(2 013)+f( )] 3 2013 1 2 012个 = +1+1+1+…+1 2 1 4 025 = +2 012= . 2 2 11. 类比所得的真命题是: 解: 棱长为 a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和是定值 6 3 ? 1 ? x ? 1 ? 2

a. 证明:设 M 是正四面体 P-ABC 内任一点,M 到面 ABC,面 PAB,面 PAC,面 PBC 的距离分别 为 d1,d2,d3,d4. 由于正四面体四个面的面积相等,故有:

4

VP-ABC=VM-ABC+VM-PAB+VM-PAC+VM-PB C 1 = ·S△ABC·(d1+d2+d3+d4). 3 而 S△ABC= 3 2 a2,VP-ABC= a3. 4 12 6 a(定值). 3

故 d1+d2+d3+d4=

3 12.解:猜想 sin2α +cos2(α +30°)+sin α cos(α +30°)= . 4 证明:左边=sin2α +cos(α +30°)[cos(α +30°)+sin α ] =sin2α +( 3 1 3 1 cos α - sin α )( cos α + sin α ) 2 2 2 2

3 1 3 =sin2α + cos2α - sin2α = =右边. 4 4 4 所以,猜想是正确的.

5


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