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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质2


1.4.2
正弦函数、余弦函数的性质
第二课时

知识回顾: 1.正、余弦函数的最小正周期是多少? 2.函数 y ? A sin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? ) (其中 A, ? , ? 为常数,且 A ? 0 ) 的最小正周期是多少?

一、正、余弦函数的定义域、值域
y

=sinx (x?R)
-4? -3? -2? -?

y
1

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

定义域 x?R



域 y?[ - 1, 1 ]

? ? ? 2k?(k ? Z) 当x= 时,ymax=1 ; 2 2 ? 当x= ? ? 2k?(k ? Z) 时,ymin=-1 ; 2

一、正、余弦函数的定义域、值域
y=cosx (x?R)
-4? -3? -2? -?

y
1

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

定义域 x?R
当x= 2k 0?(k ? Z)



域 y?[ - 1, 1 ]

时,ymax=1 ;

?? 2k?(k ? Z)时,ymin=-1 ; 当x= ?

例1.下列函数有最大(小)值?如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么?

( 1 )y ? cos x ? 1, x ? R;

(2)y ? ? sin x, x ? R.

解: (1)当x ? 2k? , k ? Z时,ymax ? 1 ? 1 ? 2,
ymin ? ?1 ? 1 ? 0. 当x ? ? ? 2k? , k ? Z时,

即函数取最大值时 x的集合是?x x ? 2k? , k ? Z ? ,ymax ? 2,

函数取最小值时 x的集合是?x x ? ? ? 2k? , k ? Z ? ,ymin ? 0.

二、 正、余弦函数的奇偶性
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

sin(-x)=- sinx (x?R)

y=sinx (x?R) 是奇函数 定义域关于原点对称

cos(-x)= cosx (x?R)
y
1 -4? -3? -2? -?

y=cosx (x?R) 是偶函数

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

三、 正、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
y
1 -3?
? 5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

? , ?) y=sinx (x? ? R) 2 2? ?

? ? 3? ?

? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 k ? , ? 2 k ? ( k ? Z)其值从-1增至1 增区间为 ?? , ? ? 2 2? 2 ? 2 ?

? ? ? 3? ? 3? 减区间为 ? ,? 2k? ?, ? 2k? ( k ? Z) 其值从 1减至-1 ? ? ?2 2 ? 2

三、 正、余弦函数的单调性
余弦函数的单调性
y
1 -3?
5? ? 2

-2?

3? ? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

y=cosx (x?R) [-π,π])

? ? 减区间为 ?2 其 值从 1减至-1 ?0 ? ? ? 2k?( ,? ?, ? k? k Z)
??? ? ,? 0?2k?, 增区间为 ? 其 值从-1增至1 2k?(k ? Z)

例3.利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小:

(1)sin(? ? )与sin(? ? ); (2)cos(? 23? )与cos(? 17? ). 18 10 5 4
解: ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 10 18 2

且正弦函数 y=sinx 在[? 2 , 2 ]上是增函数,
? sin(? ? ) ? sin(? ? ). 18 10

? ?

例3.利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小:

(1)sin(? ? )与sin(? ? ); (2)cos(? 23? )与cos(? 17? ). 18 10 5 4 解: cos(? 23? ) ? cos 23? ? cos 3? ,
5 5 cos(? 17? ) ? cos 17? ? cos ? . 4 4 4 ? 0 ? ? ? 3? ? ? , 4 5 5

且 y=cosx 在[0, π] 上是减函数,
? cos ? ? cos 3? , 4 5

即 cos( ? 17? ) ? cos( ? 23? ). 4 5

1 ? 例4.求函数 y ? sin( x ? ) ,x∈[-2π ,2π ]的单调递 2 3 增区间.
? ? ? ? 解: (2)函数y ? sin x的单调增区间是 - ? 2k? , ? 2k? ?(k ? Z ). ? 2 ? 2 ? ? 1 ? ? 由 - ? 2k? ? x ? ? ? 2k? 2 2 3 2 5? ? 得? 4k? ? x ? ? 4k?,k ? Z . 3 3 又x ? ?- 2? ,2? ?
? 5? ? ? 所以函数的单调增区间 是?- , ?. ? 3 ,3 ?

练习 求下列函数的单调区间:
(1) y ? 3sin(2x ? ? ); (2) y=2sin(-x) . 4 ? ? ? (1)解:由 - ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? , k ? Z 2 4 2 ? 3? 得 - ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 8 8 所以单调增区间为[k? ? ? , k? ? 3? ], k ? Z; 8 8 ? ? 3? 由 ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? , k ? Z 2 4 2 3? 7? 得 ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 8 8 所以单调减区间为[k? ? 3? , k? ? 7? ], k ? Z.
8 8

练习 求下列函数的单调区间:
(1) y ? 3sin(2 x ? ? ); 4

(2) y=2sin(-x) .

(2)解:y=2sin(-x)=-2sinx
3? ?? ? 函数单调增区间为 ? ? 2k? , ? 2k? ?, k ? Z 2 ?2 ? ? ? ? ? 函数单调减区间为 ?? ? 2k? , ? 2k? ?, k ? Z 2 ? 2 ?

小结:
正、余弦函数的基本性质主要指周期性、 奇偶性、单调性和最值,它们都是结合图象得 出来的,要求熟练掌握.

函数 性质

y y= sinx
?

(k∈z)
? 2

y= cosx
2? x
R [-1,1]
?

y (k∈z)
? -1 2

?
2 -1

0

?

3? 2

?
2

0

?

3? 2

x

定义域
值域 周期性 奇偶性 单调性

R [-1,1] 周期为T=2kπ 奇函数

周期为T=2kπ 偶函数

π π 在x∈[2kπ- 2 , 2kπ+ 2 ] 在x∈[2kπ, 2kπ+ π ] 上都是增函数 上都是减函数 , π 3π 在x∈[2kπ+ 2 ,2kπ+ 2 ] 在x∈[2kπ- π , 2kπ ] 上都是减函数. 上都是增函数 。
x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ - π 时 ymin=-1 2 (kπ,0) x = kπ+

最值

π

x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1

对称中心 对称轴

π

2

π ,0) (kπ + x = kπ 2


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