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6.3空间中的平面与直线


§4. 空间中的平面与直线
?空间中的平面及其方程。 ?空间直线及其方程。

一、空间中的平面及其方程
1、平面的点法式方程
几何上,任给空间中某一点,及某一方向,都可且 只可做一条过该定点且垂直于给定方向的平面。下面用 解析式描述此几何关系.

设:平面?过定点M0(x0, y0, z0)且垂直于方向n=(

A, B,C).
y n
M0
?

M
?

任取平面?上一点M(x, y, z). 由已知,n?M0M,

?
0 z

x

故 n?M0M=0.

? (A, B, C)?(x?x0, y?y0, z?z0) = A(x ?x0)+B(y ?y0)+C(z ?z0) = 0.
(1)

即平面?上任意点M(x, y, z)都满足方程(1). 反之若(x, y, z)满足(1),则由(1). n与 M0M 垂直. 即M在平面 ? 上.

我们称垂直于平面 ? 的任何非零向量为?的法方

向或法向,因此,n即为? 之一个法向.
方程(1)依赖于法向n及定点M(x0, y0, z0). 故(1)称 为平面? 的法点式方程.

A(x ?x0)+B(y ?y0)+C(z ?z0)=0

法点式方程

例 1 求过三点 A( 2,?1,4) 、 B( ?1,3,?2) 和C (0,2,3) 的 平面方程.
? ?



AB ? ( ?3,4,?6), AC ? ( ?2,3,?1).

? 取 n ? AB ? AC ? (14, 9,?1),

所求平面的点法式方程为

14( x ? 2) ? 9( y ? 1) ? ( z ? 4) ? 0,
化简得 14 x ? 9 y ? z ? 15 ? 0.

例 2 求过点(1,1,1) ,且垂直于平面 x ? y ? z ? 7 和 3 x ? 2 y ? 12 z ? 5 ? 0 的平面方程. ? 解 x ? y ? z ? 7 的法向量为n1 ? (1,?1, 1), ? 3 x ? 2 y ? 12z ? 5 ? 0 的法向量为n2 ? (3, 2,?12) ? ? ? 取法向量 n ? n1 ? n2 ? (10, 15, 5),
所求平面方程为 10( x ? 1) ? 15( y ? 1) ? 5( z ? 1) ? 0, 化简得

2 x ? 3 y ? z ? 6 ? 0.

一般地,设平面? 过M1, M2, M3三点, M1, M2, M3不共线. 即 M1 M 2 ? M1 M3 ? 0. 则得平面方程为:

M1M ? (M1M 2 ? M1M 3 ) ? 0,


i x 2 ? x1 x 2 ? x1 j y2 ? y1 y3 ? y1 k z 2 ? z1 ? ( x ? x1 , y ? y1 , z ? z1 ) ? 0, z 3 ? z1

x ? x1 x 2 ? x1 x 2 ? x1

y ? y1 y2 ? y1 y3 ? y1

z ? z1 z 2 ? z1 ? 0. z 3 ? z1

平面的三 点式方程.

2、平面的一般方程

由点法式方程 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? C ( z ? z0 ) ? 0

? Ax ? By ? Cz ? ( Ax0 ? By0 ? Cz0 ) ? 0(一次方程) ; ?D 反之,对一次方程 Ax ? By ? Cz ? D ? 0 (1)
取其一解 ( x0 , y0 , z0 ),则 Ax 0 ? By 0 ? Cz 0 ? D ? 0
?(1)同解于 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? C ( z ? z0 ) ? 0

?(1)的图形是平面。

? 法向量 n ? ( A, B, C ).

Ax ? By ? Cz ? D ? 0 —平面的一般(式)方程。

平面一般方程的几种特殊情况:

Ax ? By ? Cz ? D ? 0
(1) D ? 0, 平面通过坐标原点;

? D ? 0, 平面通过 x 轴; ( 2) A ? 0, ? ? D ? 0, 平面平行于 x 轴;
类似地可讨论 B ? 0, C ? 0 情形.

( 3) A ? B ? 0, 平面平行于xoy 坐标面;
类似地可讨论 A ? C ? 0, B ? C ? 0 情形.

例3

设平面过原点及点 (6,?3, 2) ,且与平面

4 x ? y ? 2 z ? 8 垂直,求此平面方程。 解 设平面 ? : Ax ? By ? Cz ? D ? 0,
由过?原点知 D ? 0,

2 0, ? A ? B ? ? C , ? A、B、C不全为 3 ?可 取 A ? 2、B ? 2、C ? ?3,
所求平面方程为

? ? n ? (4,?1,2), ? 4 A ? B ? 2C ? 0

由?过点(6,?3, 2) 知

6 A ? 3B ? 2C ? 0

2 x ? 2 y ? 3 z ? 0.

3、平面的截距式方程
设平面方程为 Ax ? By ? Cz ? D ? 0, ?aA ? D ? 0, ? 将三点坐标代入方程,得 ?bB ? D ? 0, ?cC ? D ? 0, ? D ? 平面方程为 D D ? A?? , B?? , C ?? . c b a
D D D (? ) x ? (? y ) ? (? x ) ? D ? 0 a b c


x轴上截距

x y z ? ? ? 1 ——平面的截距式方程 a b c
y轴上截距 z轴上截距

4、点到平面的距离
解:如图
M0
?

?

N
?
? M
1

?

设平面? : Ax+By+Cz+D=0. 则 平面上点M1(x1, y1, z1)满足 A1x+B1y+C1z+D1=0. 由于 M0N 为之法向.故 M0N // (A, B, C).



n d ?|| M 0 N || ?|| M 0 M1 || ? | cos? |

d ?|| M 0 N || ?|| M 0 M1 || ? | cos? |
?|| M 0 M 1 || ? | M 0 M1 ? n | || M 0 M 1 || ? || n ||
? | M 0 M1 ? n | || n ||

?

| A( x1 ? x0 ) ? B( y1 ? y0 ) ? C ( z ? z0 ) | A ? B ?C
2 2 2

,

即 d?

| Ax0 ? By0 ? Cz0 ? D | A2 ? B 2 ? C 2

.

点到平面的 距离公式

例5. 设平面 ? 过点M1(1, 0, 0), M2(1, 1, 1)且与 平面?1:x+y+z=0垂直, 求平面? .

解:
n1
M1
?

设?1法向n1=(1, 1, 1). 则 平面 ? // n1 . 而 ? 过点M1, M2. 故 平面 ? // M1M2 .

?

? M2

因此,平面? ?n1?M1M2 .

即? 的法向 n =n1?M1M2 .

n ? (1, 1, 1) ? (1 ? 1, 1 ? 0, 1 ? 0)

i

j k
? ? j ? k ? (0, ? 1, 1).

?1 1 1 0 1 1

故得平面?方程为

0( x ? 1) ? ( y ? 0) ? ( z ? 0) ? 0.


? y ? z ? 0.

二、空间直线及其方程
1.由直线上一点与直线 l 的方向决定的直线方程 如果一个非零向量平行于直线L,就称这个向 z 量为直线 l 的一个方向向量. ? ?M s r 设 M0 ( x0 , y0 , z0 ) ? L, ? M0

? s ? (m, n, p) 为 L 的一个方向向量

? r0

M ( x, y, z )为L上任一点

o

y

x

OM ? r , OM0 ? r0

? ? 点 M 0在 直线 l 上的充要条件是 MM 0与s 共线
即 亦即 ? M 0 M ? ts ? r ? r0 ? ts



? r ? r0 ? ts

( t为参数)

(1)

(1)式叫做直线 l 的向量式参数方程

? ? ? 因为 M 0 M // s ? M 0 M ? ts ,

?




( x ? x0 , y ? y0 , z ? z0 ) ? t (m, n, p),

? x ? x0 ? mt ? L : ? y ? y0 ? nt ——直线的(坐标式)参数方程 ? z ? z ? pt ? 0

将直线的参数方程中的参数 t 消去,则可得到

x ? x0 y ? y0 z ? z0 ——直线L的标准方程或 ? ? m n p 对称式方程。
直线L的一组方向数。 方向向量的方向余弦称为该直线的方向余弦

例 7 一直线过点 A( 2,?3,4) ,且和 y 轴垂直相交, 求其 方程. 解 因为直线和y 轴垂直相交, ? 所以交点为 B(0,?3, 0), 取 s ? BA ? ( 2, 0, 4),

x?2 y?3 z?4 所求直线方程 ? ? . 2 0 4
注:若 M1 ( x1 , y1 , z1 )、M2 ( x2 , y2 , z2 ) ? L,M1 ? M2,则

x ? x1 y ? y1 z ? z1 L: ——两点式方程。 ? ? x2 ? x1 y2 ? y1 z2 ? z1

2.直线的一般方程 若空间直线L为两平面

z
?1

L

?1 : A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0

?2

? 2 : A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0
的交线, 则

o

y

x

? A1 x ? B1 y ? C 1 z ? D1 ? 0 L:? ? A2 x ? B2 y ? C 2 z ? D2 ? 0
(不唯一)

——空间直线的一般方程。

? 1和? 2两平面的法向量分别为 在直角坐标系下,

n1 ? { A1 , B1 , C1 }, n2 ? { A2 , B2 , C2 }
所以直线 l 的方向向量可取为

? ? ? B1 s ? n1 ? n2 ? ? ? ? B2

C1 , C2

C1 C2

A1 , A2

A1 A2

B1 ? ? B2 ?

例 8 将直线L

?3 x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 ? ?2 x ? y ? z ? 2 ? 0

化成对称式方程

解:平面 ? 1 : 3 x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 的法向量

? n1 ? ( A1 , B1 , C1 ) ? (3,?2,1)

平面

? n2 ? ( A2 , B2 , C2 ) ? (2,1,?1)

? 2 : 2 x ? y ? z ? 2 ? 0 的法向量

? L ? n1 , L ? n2

?直线l的方向向量
? i ? j

? ? ? ? ? ? s ? n1 ? n2 ? 3 ? 2 1 ? i ? 5 j ? 7k 2 1 ?1
求直线L上一点M0(x0,y0,z0)

? k

?? 2 y ? z ? ?4 得 Y0=4,z0=4 令x0=1 则 ? ?y? z ? 0 x ?1 y ? 4 z ? 4 ? ? 所求直线L方程为 1 5 7

x ?1 y ?1 z ? ? 例 9 求过 M ( 2,1,3) 且与 L: 垂直相交的直 3 2 ?1
线方程.
L

解 先作过点M且与已知直线 L 垂直的平面 ?

3( x ? 2) ? 2( y ? 1) ? ( z ? 3) ? 0
再求已知直线与该平面的交点N,

M

N

?

? x ? 3t ? 1 代入平面方程,得t ? 3 , 交点 2 13 3 N ( , ,? ) ? 7 7 7 7 由? y ? 2t ? 1, 2 13 3 ?z ? ?t 取方向向量 MN ? ( ? 2, ? 1,? ? 3) ? 7 7 7 6 ? ? ( 2,?1,4), 所求直线方程为 x ? 2 ? y ? 1 ? z ? 3 .

7

2

?1

4


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