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广东省英德市第一中学2015-2016学年高二数学上学期第一次月考试题 理


英德市一中 2015-2016 学年第一学期高二第一次月考 理科数学试题
一.选择题(本大题共 l0 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.) 1.命题 A. C. 的否定是( B. D. )

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 , 2.已知椭圆 则 P 到另一焦点距离为 ( ) 25 16
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 ) D.lg(b-a)<0

3.若 a>b,ab≠0,则下列不等式恒成立的( 1 1 A. <

a b

B. <1

b a

C.2 >2

a

b

4.已知 a ? 0, b ? 0, 且ab ? 4, 则 4a ? b 的最小值为( ) A 1 B 2 C 4 D 8 )

? ? 1? 2 5.二次不等式 ax +bx+1>0 的解集为?x?-1<x< ?,则 ab 的值为( 3? ? ?

A.-6

B.6

C.-5

D.5

6. a=1”是“直线 x ? y ? 0 和直线 x ? ay ? 0 互相垂直”的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要

2 2 7、已知命题: “若 x ? y ,则 x ? y ”则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,

真命题的个数是( A . 0

) B.1 C.2 D.4

8.双曲线 ? x ? y ? ? 的焦点坐标是( (A) ? 2 3,0

?

?

) (C) ?? 2,0? (D)

?

?

(B)

?0,?2 3 ?

?0,?2?

9.下列命题错误的是( )

-1-

A.命题“若 m ? 0 ,则方程 x ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题为: “若方程 x ? x ? m ? 0 无
2 2

实根,则 m ? 0 ” B.若 p ? q 为假命题,则 p , q 均为假命题 C. “ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件
2

x2 y2 ? D.若椭圆 =1 的两焦点为 F1、F2,且弦 AB 过 F1 点,则△ABF2 的周长为 20. 16 25
10.设椭圆的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若 ?F1 PF2 为 等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( ) A.

2 2
2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 2

D. 2 ? 1 =3 ,

11.已知椭圆 C: 则| |=( )

+y =1 的焦点 F(1,0),直线 l:x=2,点 A∈l,线段 AF 交 C 于点 B,若 A. B.2 C. D.3

12. 对于直角坐标平面内的任意两点 A(x 1 , y 1 )、 B (x 2 , y 2 ), 定义它们之间的一种 “距离” : ‖

AB‖=︱x 1 -x 2 ︱+︱y 1 -y 2 ︱.
给出下列三个命题: ①若点 C 在线段 AB 上,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖; ②在△ABC 中,若∠C=90°,则‖AC‖ +‖CB‖ =‖AB‖ ; ③在△ABC 中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为 A.0 ( ) B.1 C.2 D.3
2 2 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.不等式

x ?1 ? 1 的解集是 x?2
a

.
b

14.若实数 a,b 满足 a+b=2,则 3 +3 的最小值是________. 15.焦点在 y 轴上的椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为___________。 2 k ?8 9

16. 如果椭圆 一般式方程)

+

=1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是_________ (请写出

-2-

三.解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. ) 17.写出满足下列条件的椭圆的标准方程: (本小题满分 10 分) (1)长轴长与短轴长的和为 18,焦距为 6 且焦点在 y 轴上 (2) 已知椭圆的中心在原点,且过点 A( 3,?2), B(?2 3,1)

18. (本小题满分 12 分) (1) 已知 x, y 均为正数,若 x ? y ? 1, 求 (2)已知 x ? ?1 , f ? x ? ? x ?

1 4 ? 的最小值; x y

4 ,求 f ?x ? 的最小值及取得最小值时 x 的值 x ?1

19、 (本小题满分 12 分)

P : ?x ? R , ax

2

? ax ? 1 ? 0 ; Q :关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 有实数

根;若 P ? Q 为真, P ? Q 为假,求实数 a 的取值范围.

-3-

20. (本小题满分 12 分) 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物,集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数 据列在下表中,如何设计甲、乙两种货物应各托运的箱数可以获得最大利润,最大利润是多 少?. 货物 甲 乙 托运限制 体积(m /箱) 5 4 24
3

重量(50 kg/箱) 2 5 13

利润(百元/箱) 20 10

?1?当a ? ?1时,求f ?x ? ? 0的解集 ?2?解不等式:f ?x ? ? 0

21. f ? x ? ? a x ? ?3a ? 1?x ? 3
2

(本题满分 12 分)

22.(本题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3) , (0,3) 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C ,直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点. (1)写出 C 的方程;

-4-

(2)若 OA ? OB ,求 k 的值; (3)若点 A 在第一象限,证明:当 k>0 时,恒有| OA |>| OB |.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

-5-

高二 2015-2016 学年第一学期第一次月考 理科数学参考答案 1—12、BDCDB CAABD CB 6

13-16、 {x | x ? ?2}

?

5 4
(2)

x+2y-8=0

17 (1)

x2 y2 ? ?1 ; 16 25

x2 y2 ? ?1 15 5

18、解:(1)

1 4 1 4 y 4x ? ? ( x ? y )( ? ) ? 5 ? ? x y x y x y ? 5? 2 y 4x ? ? 9, x y

当且仅当 x ? (2) f ? x ? ? x ?

1 2 1 4 , y ? 时取“=” ,所以 ? 的最小值为 9 3 3 x y

4 4 ? x ?1? ?1 x ?1 x ?1

? x ? ?1 ? x ? 1 ? 0
? f ?x ? ? 2 4 ? 1 ? 3 当且仅当x ? 1 ? 4 ,即x ? 1时等号成立 x ?1 所以f ?x ?的最小值为 3,这时x的值为 1

19、

解:由题意知命题 P: 当a ? 0时1 ? 0恒成立 ? ?a ? 0 当a ? 0时需满足? 2 得0 ? a ? 4 ? 4 a ? 0 ? ?a ? 命题P : 0 ? a ? 4 命题Q : a ? 1 4

因为 P ? Q 为真, P ? Q 为假可知 P和Q 一真一假。

?0 ? a ? 4 1 ? (1)若 P 真 Q 假,则 ? 1 得 ?a?4 4 a? ? 4 ?

-6-

?a ? 0或a ? 4 ? (2)若 P 假 Q 真,则 ? 得a ? 0 , 1 a? ? 4 ?
综上,所求实数 a 的取值范围为

1 ? a ? 4 或a ? 0 4

20、解析 设甲、乙两种货物应各托运的箱数为 x,y,则

5x+4y≤24, ? ?2x+5y≤13, ?x≥0,x∈N, ? ?y≥0,y∈N. 目标函数 z=20x+10y,画出可行域如图.
?2x+5y=13, ? 由? ?5x+4y=24, ?

得 A(4,1).

易 知 当 直 线 2x + y = 0 平 移 经 过 点 A(4,1) 时 , z 取 得 最 大 值 . 且

20? 4 ? 10 ? 90?百元?即9000 元
答:当托运甲 4 箱,乙 1 箱时利润最大,最大利润为 9000 元。 21、解: (1) a ? -1 时 f ? x ? ? 0即 ?

x

2

? 4 x ? 3 ? 0 不等式的解集为 ?? 3,?1?

(2) (一)当 a ? 0 时,不等式为 ? x ? 3 ? 0 解集为 ?? 3,??? (二)当 a ? 0 时,原不等式可化为 (ax ? 1)(x ? 3) ? 0 即 a ( x ? ①当 a ? 0 时,原不等式的解集为 ?? 3, ? a

1 )( x ? 3) ? 0 a

? ?

1? ?

②,当 ?

1 1? ? ? a ? 0 时,原不等式的解集为 ? ? ?, ? ? ?? 3,??? 3 a? ? 1 3

③当 a ? ? 时,原不等式的解集为 R

-7-

④当 a ? ? 时,原不等式的解集为 ?? ?,?3? ? ? ,?? ?

1 3

?1 ?a

? ?

综上所述,当 a ? 0 时,解集为 ?? 3,??? 当 a ? 0 时,解集为 ?? 3, ? a

? ?

1? ?

当?

1 1? ? ? a ? 0 时,解集为 ? ? ?, ? ? ?? 3,??? 3 a? ?

当 a ? ? 时,解集为 R 当 a ? ? 时,解集为 ?? ?,?3? ? ? ,?? ? 22、解: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),, (0 3) 为焦点, 长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b ? 故曲线 C 的方程为 x ?
2

1 3

1 3

?1 ?a

? ?

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,

y2 ? 1. ······················· 3 分 4

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足

? 2 y2 ? 1, ?x ? 4 ? ? y ? kx ? 1. ?
消去 y 并整理得 (k ? 4) x ? 2kx ? 3 ? 0 ,
2 2

故 x1 ? x2 ? ?

若 OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 而 y1 y2 ? k x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,
2

??? ?

??? ?

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 . ···················· 5 分 k ?4 k ?4
2

3 3k 2 2k 2 ? ? ?1 ? 0 , 于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ? 2 k ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4
2 化简得 ?4k ? 1 ? 0 ,所以 k ? ?

1 . ····················· 8 分 2

-8-

(Ⅲ) OA ? OB ? x1 ? y1 ? ( x2 ? y2 )
2 2 2 2

???? ?2

???? ?2

2 2 ? ( x12 ? x2 ) ? 4(1 ? x12 ?1? x2 )

? ?3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )
? 6k ( x1 ? x2 ) . k2 ? 4 3 知 x2 ? 0 ,从而 x1 ? x2 ? 0 .又 k ? 0 , k ?4
2

因为 A 在第一象限,故 x1 ? 0 .由 x1 x2 ? ? 故 OA ? OB ? 0 ,

???? ? 2 ???? ?2

即在题设条件下,恒有 OA ? OB . ···················· 12 分

???? ?

???? ?

-9-


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