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《异面直线及所成的角》


异面直线及所成的角

一、基础知识 1、异面直线的定义:
不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线

2、空间两条直线的位置关系:
平行直线 相交直线 共面直线
空间两条直线

异面直线

3、异面直线的画法:平面衬托法

A

B

4、异面直线的判断
(1)、异面直线的判定定理 连结平面内一点

(2)、反证法

与平面外一点的直线,和这个平面内不经 过此点的直线是异面直线

5、异面直线成的角
(1)、定义: 分别平行于两条异面直线

的两条相交直线所成的锐角(或直角)叫 做这两条异面直线所成的角
(2)、取值范围(00,900]
(3)、作法:平移法或补形法 (4) 两条直线互相垂直 ①相交直线的垂直 ②异面直线的垂直

例题1
设图中的正方体的棱长为a, ①图中哪些棱所在的直线与 BA1成异面直线 ②求异面直线A1B与C1C的夹 角的度数
A1

D1 B1 D

C1

C

A

B

③图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直

例题2、
1.下面两条直线是异面直线的是(C)

A.不同在一个平面内的两条直线;
B.分别在某两个平面内的两条直线;

C.既不平行又不相交的两条直线;
D.平面内的一条直线和平面外的一条直线

例题3.若a,b是异面直线,b,c是异面 直线,则a,c的位置关系是 ( ) A.相交、平行或异面 √

C.异面

B.相交或平行 D.平行或异面
D C B A

D1 A1
B1

C1

例4、如图:a,b,c为不共面的三条直线, 且相交于一点O,点M,N,P分别在直线a, b,c上,点Q是b上异于N的点,判断MN与 PQ的位置关系,并予以证明。
Q
P

a

b

c

例5(法一)、在棱长是a的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分 别是BB1,CC1的 中点,求直线AE与BF所成的角.
解:
A1 D1 C1 B1

·F ·
B E

1 arccos 5

D
A

C

例5(法二)、在棱长是a的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分 别是BB1,CC1的 中点,求直线AE与BF所成的角.
解:
A1 D D1 B1 C1

·F ·
B E C

1 arccos 5

A

例5(法三)、在棱长是a的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分 别是BB1,CC1的 中点,求直线AE与BF所成的角.
解:
A1 D1 C1

·K
D

B1

·F ·
B E

1 arccos 5

C

A

变式一、M,N为A1B1,BB1的中点,求AM
与CN所成的角

D1 A1

C1

M

B1


C

2 arccos 5

D
A

·
B

N

P Q

变式二、求AE与BD1所成的角
15 arccos 15
B3 B1

D1 A1

C1

D
A

·
B

E

C

E1 · B2

例6 直三棱柱ABC-A1B1C1 中 角ACB=900, D1,F 1分 别是A1B1与A1C1的中点。 若BC=CA=CC1,求BD1 与 AF1这两条异面直线所成 的角。

B1

D1 F1 C1 A

A1

B

C

分析:恰当的平移是将异面直线所成的角 转化为平面中的角的关键。

思路一:取BC中点G, 连结F1G,则角AF1G (或其补角)为异面 直线所成的角;解三 角形AF1G可得。

B1

D1 F1 C1

A1

B

G

A C

思路二、延展平面

B1

D1 A1 F1

E

BAA1B1,使A1E=D1A1,
则将BD1平移到AE, 角EAF1(或其补角 )
B C

A

即为BD1与AF1所成的角。

例7.A为正三角形BCD所在平面外一点,且 AB=AC=AD=BC=a,E、F分别是棱AD、BC的中 点,连结AF、CE,如图所示,求异面直线AF、 A CE所成角的余弦值。
解:连结DF,取DF的中点G,连结EG, CG,又E是AD的中点,故EG//AF, 所以∠GEC(或其补角)是异面直线 B AF、CE所成的角。 E F
G

D

1 3 FG ? 1 DF ? 1 ? 3 AB ? 3 a. EG ? AF ? a. 2 2 2 4 2 4 3 1 7 2 2 2 2 CG ? FG ? FC ? ( AB) ? ( AB) ? a. 4 2 4 2 在?EGC中用余弦定理得 cos ?GEC ? . 3 2

C

∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是

例7.A为正三角形BCD所在平面外一点,且 AB=AC=AD=BC=a,E、F分别是棱AD、BC的中 点,连结AF、CE,如图所示,求异面直线AF、 CE所成角的余弦值。 A
另解:延长DC至P,使DC=CP,E为AD中点, 故∠PAF(或其补角)为异面直 ∴AP//EC。 线AF、CE所成的角。 B
7 PF ? FC ? PC ? 2 FC ? PC ? cos120? ? a. 2 3 AP ? 2EC ? 3a. AF ? a, 2 2 ?PAF中应用余弦定理, 得 cos ?PAF ? . 3 2 ∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是 3
2 2

E
D F C

P

注意
1、平移:
①直接平移, ②中位线平移,③补形平移

2、若用余弦定理求出cosα<0,则异 面直线所成的角为π-α 如:若求出 cos ? ? ? 1 5 1 则异面直线所成的角的余弦值为 cos ? ?
∴异面直线所成的角

1 arccos 5

5

求异面直线所成角的步骤
1 、平移(作平行线) 2、 找出角θ,证明θ即为所求角

3、 解三角形,求出θ

三、小结
1.空间两条直线的位置关系 2.异面直线及所成的角,重点是角 求解方法


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