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高三数学第十章圆锥曲线复习学案(学生版)


第十章圆锥曲线

第十章 圆锥曲线 第1节
【高考考情解读】 高考对本节知识的考查主要有以下两种形式: 1.以选择、填空的形式考查,主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率),以及圆 锥曲线之间的关系,突出考查基础知识、基本技能,属于基础题. 2.以解答题的形式考查,主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解,直线与圆锥曲 线的位置关系,常常

在知识的交汇点处命题,有时以探究的形式出现,有时以证明题的形式 出现.该部分题目多数为综合性问题,考查学生分析问题、解决问题的能力,综合运用知识 的能力等,属于中、高档题,一般难度较大. 【知识梳理】 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 定义 标准方程 椭圆 |PF1|+|PF2|= 2a(2a>|F1F2|) x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 双曲线 ||PF1|-|PF2||= 2a(2a<|F1F2|) x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 抛物线 |PF|=|PM|点 F 不在 直线 l 上, PM⊥l 于 M y2=2px(p>0)

椭圆、双曲线、抛物线

图形 范围 顶点 对称性 焦点 轴 几何性质 离心率 |x|≤a, |y|≤b (± a,0),(0,± b) |x|≥a (± a,0) x≥0 (0,0) 关于 x 轴对称 p ( ,0) 2

关于 x 轴,y 轴和原点对称 (± c,0) 长轴长 2a, 短轴长 2b c e= = a b2 1- 2 a 实轴长 2a, 虚轴长 2b c e= = a (e>1) b2 1+ 2 a

e=1 p x=- 2

(0<e<1) 准线 渐近线

b y=± x a

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第十章圆锥曲线

【典型题型解析】 考点一 圆锥曲线的定义与标准方程 例1 x2 y2 y2 (1)设椭圆 + =1 和双曲线 -x2=1 的公共焦点分别为 F1、F2,P 为这两条曲线的 2 m 3 一个交点,则|PF1|· |PF2|的值等于________. (2)已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点.若 |FA|=2|FB|,则 k=________.

x2 y2 3 (1)(2012· 山东)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 .双曲线 x2-y2 a b 2 =1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭 圆 C 的方程为 x2 y2 A. + =1 8 2 x2 y2 C. + =1 16 4 x2 y2 B. + =1 12 6 x2 y2 D. + =1 20 5 ( )

(2)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A,B, 交其准线 l 于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为 ( A.y2=9x C.y2=3x B.y2=6x D.y2= 3x )

考点二 圆锥曲线的几何性质 例2 x2 y2 (1)(2013· 辽宁)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交 a b 4 于 A, B 两点, 连接 AF, BF.若|AB|=10, |BF|=8, cos∠ABF= , 则 C 的离心率为( 5 3 A. 5 5 B. 7 4 C. 5 6 D. 7 )

x2 y2 (2)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线的右支 a b 上,且|PF1|=4|PF2|,则双曲线的离心率 e 的最大值为________.

(1)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线 交 C 于点 D,且 B F =2 F D ,则 C 的离心率为________.
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第十章圆锥曲线

x2 y2 a2 (2)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F 作圆 x2+y2= 的切线,切点为 E,延长 a b 4 FE 交双曲线右支于点 P,若 E 为 PF 的中点,则双曲线的离心率为________.

考点三 直线与圆锥曲线的位置关系 x2 y2 2 例 3 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,点 F 为椭 a b 2 圆的右焦点,点 A、B 分别为椭圆的左、右顶点,点 M 为椭 → → 圆的上顶点,且满足MF· FB= 2-1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在直线 l,当直线 l 交椭圆于 P、Q 两点时,使点 F 恰为△PQM 的垂心?若存 在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

x2 (2013· 北京)已知 A, B, C 是椭圆 W: +y2=1 上的三个点, O 是坐标原点. 4 (1)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

1. 对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题,恰当选用定义解题,会效果明显,定义 中的定值是标准方程的基础. 2. 椭圆、双曲线的方程形式上可统一为 Ax2+By2=1,其中 A、B 是不等的常数,A>B>0 时,表示焦点在 y 轴上的椭圆;B>A>0 时,表示焦点在 x 轴上的椭圆;AB<0 时表示双 曲线. c 3. 求双曲线、椭圆的离心率的方法:方法一:直接求出 a,c,计算 e= ;方法二:根据 a c 已知条件确定 a,b,c 的等量关系,然后把 b 用 a,c 代换,求 . a 4. 通径:过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径,双曲线、椭圆的通 2b2 径长为 ,过椭圆焦点的弦中通径最短;抛物线通径长是 2p,过抛物线焦点的弦中通 a 径最短. 椭圆上点到焦点的最长距离为 a+c,最短距离为 a-c. 5. 抛物线焦点弦性质: 已知 AB 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦,F 为抛物线的焦点,A(x1,y1)、B(x2,y2).
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第十章圆锥曲线

p2 (1)y1y2=-p2,x1x2= ; 4 2p (2)|AB|=x1+x2+p= 2 (α 为弦 AB 的倾斜角); sin α (3)S△AOB= p2 ; 2sin α

1 1 2 (4) + 为定值 ; |FA| |FB| p (5)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.

【当堂达标】 x2 y2 1. 已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过点 F a b 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离 心率 e 的取值范围是 A.(1,+∞) C.(1,1+ 2)
2 2

( B.(1,2) D.(2,1+ 2)

)

x y 1 2. 设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax2+bx-c=0 的两个 a b 2 实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2) A.必在圆 x2+y2=2 内 C.必在圆 x2+y2=2 外 B.必在圆 x2+y2=2 上 D.以上三种情形都有可能 ( )

【点击高考】 一、选择题 1. (2013· 课标全国Ⅱ)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为 A.y2=4x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x B.y2=2x 或 y2=8x D.y2=2x 或 y2=16x ( ) ( )

x2 y2 2. 与椭圆 + =1 共焦点,离心率互为倒数的双曲线方程是 12 16 x2 A.y2- =1 3 3x2 3y2 C. - =1 4 8 y2 B. -x2=1 3 3y2 3x2 D. - =1 4 8

3. (2013· 江西)已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于 点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|∶|MN|等于 A.2∶ 5
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(

)

B.1∶2 C.1∶ 5 D.1∶3

第十章圆锥曲线

x2 y2 4. 过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点 F,作圆 x2+y2=a2 的切线 FM 交 y 轴于点 P, a b → → → 切圆于点 M,2OM=OF+OP,则双曲线的离心率是 A. 2 B. 3 C.2 D. 5 ( )

1 x2 5. (2013· 山东)抛物线 C1:y= x2(p>0)的焦点与双曲线 C2: -y2=1 的右焦点的连线交 2p 3 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p 等于( A. 3 16 B. 3 8 2 3 C. 3 4 3 D. 3 )

x2 y2 → → 6. 椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1、 F2, P 为椭圆 M 上任一点, 且PF1· PF a b
2, 2 2 的最大值的取值范围是[c 3c ],其中

c= a2-b2,则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是 ( )

1 1 A.[ , ] 4 2 C.( 2 ,1) 2

1 2 B.[ , ] 2 2 1 D.[ ,1) 2

二、填空题 x2 y2 7. (2012· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 - 2 =1 的离心率为 5,则 m 的 m m +4 值为________. x2 y2 8. (2013· 福建)椭圆 Г: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y a b = 3(x+c)与椭圆 Г 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 ________. x2 y2 9. (2013· 辽宁)已知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等 9 16 于虚轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________. x2 y2 10.已知 P 为椭圆 + =1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3)2+y2=1 和圆(x-3)2+y2=4 25 16 上的点,则|PM|+|PN|的最小值为________. 三、解答题 x2 y2 11.(2013· 课标全国Ⅱ)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)右焦点的直线 a b 1 x+y- 3=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2 (1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的 最大值.
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第十章圆锥曲线

3? x2 y2 1 12.(2013· 江西)如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 P? ?1,2?,离心率 e=2,直线 l 的方 a b 程为 x=4.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA、 PB、PM 的斜率分别为 k1、k2、k3.问:是否存在常数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,求 λ 的值;若不存在,说明理由.

1 13. 已知中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 , 其一个顶点的抛物线 x2=-4 3 2 y 的焦点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切于点 M,求直线 l 的方程和点 M 的 坐标; → → (3)是否存在过点 P(2,1)的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B,且满足PA· PB= → PM2?若存在,求出直线 l1 的方程;若不存在,请说明理由.

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第十章圆锥曲线

第2节

圆锥曲线中的热点问题

【高考考情解读】 1.本部分主要以解答题形式考查,往往是试卷的压轴题之一,一般以椭圆或抛物线为背景, 考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题,试题难度较大. 2.求轨迹方程也是高考的热点与重点, 若在客观题中出现通常用定义法, 若在解答题中出现 一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法,往往出现在解答题的第(1)问中. 【知识梳理】 1. 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法: 将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.若 Δ>0,则直 线与椭圆相交;若 Δ=0,则直线与椭圆相切;若 Δ<0,则直线与椭圆相离. (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法: 将直线方程与双曲线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx+c=0(或 ay2 +by+c=0). ①若 a≠0,当 Δ>0 时,直线与双曲线相交;当 Δ=0 时,直线与双曲线相切;当 Δ<0 时,直线与双曲线相离. ②若 a=0 时,直线与渐近线平行,与双曲线有一个交点. (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法: 将直线方程与抛物线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx+c=0(或 ay2 +by+c=0). ①当 a≠0 时,用 Δ 判定,方法同上. ②当 a=0 时,直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点. 2. 有关弦长问题 有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦点弦长 问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算. (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2), 则所得弦长|P1P2|= 1+k2 |x2-x1|或|P1P2|= 即作如下变形: |x2-x1|= ?x1+x2?2-4x1x2, |y2-y1|= ?y1+y2?2-4y1y2. (2)当斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式). 3. 弦的中点问题 有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算. 1 1+ 2|y2-y1|,其中求|x2-x1|与|y2-y1|时通常使用根与系数的关系, k

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第十章圆锥曲线

【典型题型解析】 考点一 圆锥曲线的弦长及中点问题 x2 y2 6 例 1 已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点(2 2,0),斜率为 1 的直线 l a b 3 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积.

椭圆 ____________.

1 1? x2 + y2 = 1 的 弦 被 点 ? ?2,2? 平 分 , 则 这 条 弦 所 在 的 直 线 方 程 是 2

考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题 x2 y2 1 例 2 已知椭圆 C: 2+ 2=1 经过点(0, 3),离心率为 ,直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F a b 2 交椭圆于 A、B 两点,点 A、F、B 在直线 x=4 上的射影依次为 D、K、E. (1)求椭圆 C 的方程; → → → → (2)若直线 l 交 y 轴于点 M,且MA=λAF,MB=μBF,当直线 l 的倾斜角变化时,探求 λ +μ 的值是否为定值?若是,求出 λ+μ 的值;否则,说明理由; (3)连接 AE、BD,试探索当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点? 若是,请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由.

(2013· 陕西)已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P,Q,若 x 轴 是∠PBQ 的角平分线,证明:直线 l 过定点.

考点三 圆锥曲线中的最值范围问题

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第十章圆锥曲线

例3

x2 y2 (2013· 浙江)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0) a b 的一个顶点,C1 的长轴是圆 C2:x2+y2=4 的直径.l1,l2 是过

点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭 圆 C1 于另一点 D. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.

已知椭圆 C1 与抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上且 C1 的中心和 C2 的顶点均为 坐标原点 O,从每条曲线上的各取两个点,其坐标如下表所示: x y (1)求 C1,C2 的标准方程; π (2)过点 A(m,0)作倾斜角为 的直线 l 交椭圆 C1 于 C,D 两点,且椭圆 C1 的左焦点 F 在 6 以线段 CD 为直径的圆的外部,求 m 的取值范围. 1 -3 - 6 0 4 -6 3 1

1. 求轨迹与轨迹方程的注意事项 (1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点 P 的运动规律,即 P 点满 足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变. (2)求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解(即以该方程的某 些解为坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程 表示).检验方法:研究运动中的特殊情形或极端情形. 2. 定点、定值问题的处理方法 定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题, 处理时可以直接推理求出定值, 也可以先 通过特定位置猜测结论后进行一般性证明.对于客观题,通过特殊值法探求定点、定值 能达到事半功倍的效果.

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第十章圆锥曲线

3. 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 (1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来 解决; (2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函 数, 再求这个函数的最值, 在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑: ①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; ②利用已知参数的范围, 求新参数的范围, 解这类问题的核心是在两个参数之间建立等 量关系; ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; ④利用基本不等式求出参数的取值范围; ⑤利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围. 【当堂达标】 设直线 l:y=k(x+1)与椭圆 x2+3y2=a2(a>0)相交于 A、B 两个不同的点,与 x 轴相交于 点 C,记 O 为坐标原点. 3k2 (1)证明:a2> ; 1+3k2 → → (2)若AC=2CB,求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程.

【点击高考】 一、选择题 x2 y2 1. 已知方程 + =1(k∈R)表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是 ( k+1 3-k A.k<1 或 k>3 C.k>1 B.1<k<3 D.k<3 )

2. △ABC 的顶点 A(-5,0)、B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨 迹方程是 (
2

) x2 y2 B. - =1 16 9 x2 y2 D. - =1(x>4) 16 9

x y2 A. - =1 9 16 x2 y2 C. - =1(x>3) 9 16

3. 设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心,|FM|为
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第十章圆锥曲线

半径的圆和抛物线的准线相交,则 y0 的取值范围是 ( A.(0,2) C.(2,+∞)
2

) B.[0,2] D.[2,+∞)

x y2 → → 4.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点, 点 P 为椭圆上的任意一点, 则OP· FP 4 3 的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8 5. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为 F1、F2,且两条曲线 在第一象限的交点为 P,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,若|PF1|=10,椭圆与 双曲线的离心率分别为 e1,e2,则 e1· e2 的取值范围是 ( ) 1 B.( ,+∞) 3 1 D.( ,+∞) 9 ( )

A.(0,+∞) 1 C.( ,+∞) 5 二、填空题

x2 y2 6. 直线 y=kx+1 与椭圆 + =1 恒有公共点,则 m 的取值范围是________. 5 m x2 7. 设 F1、F2 为椭圆 +y2=1 的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P,Q 两 4 → → 点,当四边形 PF1QF2 面积最大时,PF1· PF2 的值等于________. 8. 已知抛物线方程为 y2=4x,直线 l 的方程为 x-y+4=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,P 到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为________. 9. (2013· 安徽)已知直线 y=a 交抛物线 y=x2 于 A,B 两点.若该抛物线上存在点 C,使得 ∠ACB 为直角,则 a 的取值范围为________. 三、解答题 x2 y2 10.已知直线 x-2y+2=0 经过椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A 和上顶点 D,椭圆 C a b 10 的右顶点为 B,点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AS,BS 与直线 l:x= 分 3 别交于 M,N 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求线段 MN 的长度的最小值.

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第十章圆锥曲线

11.在平面直角坐标系中,点 P(x,y)为动点,已知点 A( 2,0),B(- 2,0),直线 PA 与 1 PB 的斜率之积为- . 2 (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)过点 F(1,0)的直线 l 交曲线 E 于 M,N 两点,设点 N 关于 x 轴的对称点为 Q(M、Q 不 重合),求证:直线 MQ 过 x 轴上一定点.

12.(2013· 课标全国Ⅰ)已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外 切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A、B 两点,当圆 P 的半径最 长时,求|AB|.

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