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历年全国1卷文科数学立体几何


18. (2015 本小题满分 12 分)如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点, BE ? 平面ABCD , (I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120? , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为

6 ,求该三棱锥的侧面积. 3

18、解: (I)因为四边形 A

BCD 为菱形,所以 AC⊥BD. 因为 BE⊥平面 ABCD,所以 AC⊥BE,故 AC⊥平面 BED. 又 AC ? 平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 BED. (II)设 AB= x ,在菱形 ABCD 中,又∠ABC= 120
o

……5 分 ,可得

AG=GC=

x 3 x ,GB=GD= . 2 2

因为 AE⊥EC,所以在 Rt△AEC 中,可的 EG=

3 x. 2 2 x. 2

由 BE⊥平面 ABCD,知△EBG 为直角三角形,可得 BE=

由已知得,三棱锥 E-ACD 的体积 VE ? ACD = 故 x =2 从而可得 AE=EC=ED= 6 .

1 1 6 3 6 x ? × AC·GD·BE= . 3 2 24 3
……9 分

所以△EAC 的面积为 3,△EAD 的面积与 △ECD 的面积均为 5 . 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 5 . ……12 分

19(2014本题满分12分)

如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, B1C 的中点为 O ,且 AO ? 平面 BB1C1C . (1)证明: B1C ? AB; (2)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60? , BC ? 1, 求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高.

(17)解: (I) 连接 BC1 ,则 O 为 B1C 与 BC1 的交点.因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以 B1C ? BC1. 又 AO ? 平面 BB1C1C ,所以 B1C ? AO ,故 B1C ? 平面 ABO. 由于 AB ? 平面 ABO,故 B1C ? AB. (II) ……6 分

作 OD ? BC ,垂足为 D,连接 AD.作 OH ? AD ,垂足 BC ? OD , 为 H. 由于 BC ? AO , 故 BC ? 平面 AOD, 所以 OH ? BC .又 OH ? AD ,所以 OH ? 平面 ABC. 因为 ?CBB1 ? 60? ,所以 ?CBB1 为等边三角形,又 BC=1, 可得 OD ?

1 1 3 .由于 AC ? AB1 ,所以 OA ? B1C ? . 2 2 4

由 OH ? AD ? OD ? OA ,且 AD ? OD2 ? OA2 ?

21 7 . ,得 OH ? 14 4
21 故 三 棱 柱 ABC ? A 1B 1C1 的 距 离 为 7

又 O 为 B1C 的中点,所以点 B1 到平面

ABC 的 距 离 为

21 . 7

19. (2013 课标全国Ⅰ, 文 19)(本小题满分 12 分)如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, CA=CB, AB=AA1, ∠BAA1=60°. (1)证明:AB⊥A1C; (2)若 AB=CB=2,A1C= 6 ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积. 19. (1)证明:取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB, 所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60°, 故△AA1B 为等边三角形, 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C? 平面 OA1C,故 AB⊥A1C. (2)解:由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形, 所以 OC=OA1= 3 . 又 A1C= 6 ,则 A1C =OC + OA12 ,
2 2

故 OA1⊥OC. 因为 OC∩AB=O,所以 OA1⊥平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC-A1B1C1 的高. 又△ABC 的面积 S△ABC= 3 ,故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=S△ABC×OA1=3. (19) (2012 本小题满分 12 分) 1 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90° ,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点 2 (I)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比。

18. (2011 本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形,?DAB ? 60? ,AB ? 2 AD ,PD ? 底面 ABCD. (I)证明: PA ? BD ; (II)设 PD=AD=1,求棱锥 D-PBC 的高.

(18)解: (Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD2+AD2= AB2,故 BD ? AD 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ) 如图, 作 DE ? PB, 垂足为 E。 已知 PD ? 底面 ABCD, 则 PD ? BC。 由 (Ⅰ) 知 BD ? AD, 又 BC//AD, 所以 BC ? BD。 故 BC ? 平面 PBD,BC ? DE。 则 DE ? 平面 PBC。 由题设知,PD=1,则 BD= 3 ,PB=2,

根据 BE· PB=PD· BD,得 DE=

3 , 2

即棱锥 D—PBC 的高为

3 . 2

(18)(2010 全国新课标卷文)如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为等腰梯形, AB ∥ CD , AC ? BD ,垂足 为 H , PH 是四棱锥的高。 (Ⅰ)证明:平面 PAC ? 平面 PBD ; (Ⅱ)若 AB ? 6 , ?APB ? ?ADB ? 60°, 求四棱锥 P ? ABCD 的体积。 解: (1)因为 PH 是四棱锥 P-ABCD 的高。 所以 AC ? PH,又 AC ? BD,PH,BD 都在平 PHD 内,且 PH ? BD=H. 所以 AC ? 平面 PBD. 故平面 PAC 平面 PBD. ……..6 分 (2)因为 ABCD 为等腰梯形,AB ? CD,AC ? BD,AB= 所以 HA=HB= 3 . 0 因为 ? APB= ? ADR=60 所以 PA=PB= 可得 PH=

6.

6 ,HD=HC=1. 3.

1 AC x BD = 2+ 3 . ……..9 分 2 1 3? 2 3 所以四棱锥的体积为 V= x(2+ 3 )x 3 = ……..12 分 3 3
等腰梯形 ABCD 的面积为 S=


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