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[原创]2012年数学一轮复习精品试题第02讲 命题及其关系


第二讲

命题及其关系?充分条件与必要条件 姓名________ 考号________ 日期

班级________

________
内.)

得分________

一?选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号

1.“红豆生南国,春来发几枝.愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》 诗,在这 4 句诗中,哪句可作为命题( A.红豆生南国 C.愿君多采撷 )

B.春来发几枝 D.此物最相思

解析:因为命题是能判断真假的语句,它必须是陈述句,所以首先我们要凭借语文知识判 断这 4 句诗哪句是陈述句,然后再看能否判定其真假. “红豆生南国”是陈述,意思是“红豆生长在中国南方”,这在唐代是事实,故本语句是 命题; “春来发几枝”中的“几”是概数,无法判断其真假,故不是命题; “愿君多采撷”是祈使句,所以不是命题; “此物最相思”是感叹句,故不是命题. 答案:A 2.“|x-1|<2 成立”是“x(x-3)<0 成立”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 解析:由|x-1|<2 得-1<x<3. 由 x(x-3)<0 得 0<x<3. 因为“-1<x<3 成立” ? “0<x<3 成立”, 但“0<x<3 成立”?“-1<x<3 成立”.故选 B. 答案:B 评析:如果 p )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? q,q?p,则 p 是 q 的必要不充分条件.
)

3.“a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的( A.充分而不必要条件
1

B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当 a=1 时,直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直;当直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相 垂直时,有 a=1.故选 C. 答案:C 评析:如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的充要条件. 4.x <4 的必要不充分条件是( A.-2≤x≤2 C.0<x≤2
2 2

)

B.-2<x<0 D.1<x<3
2

解析:x <4 即为-2<x<2,因为-2<x<2?-2≤x≤2,而-2≤x≤2 不能推出-2<x<2,所以 x <4 的必要不充分条件是-2≤x≤2.选 A. 答案:A 5.(2010·天津)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是( A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 解析:否命题是既否定题设又否定结论.因此否命题应为“若函数 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数.” 答案:B 6.设 p:x<-2010 或 x>2010;q:x<-2011 或 x>2010,则?p 是?q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:∵p:x<-2010 或 x>2010; q:x<-2011 或 x>2010, ∴?p:-2010≤x≤2010,?q:-2011≤x≤2010.
2

)

)

∵?x∈[-2010,2010],都有 x∈[-2011,2010], ∴?p??q, 而?x0∈[-2011,2010],且 x0 ? [-2010,2010], 如 x0=-2010.5,∴?p 是?q 的充分不必要条件.故选 A. 答案:A 二?填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.(2011·江苏金陵中学三模)若“x∈[2,5]或 x∈{x|x<1 或 x>4}”是假命题,则 x 的取 值范围是____________________________. 解析:x?[2,5]且 x?{x|x<1 或 x>4}是真命题. 由?

? x ? 2或x ? 5, 得 1≤x<2,故 x∈[1,2). ?1≤x≤4,

答案:[1,2) 8.设 p?r 都是 q 的充分条件,s 是 q 的充要条件,t 是 s 的必要条件,t 是 r 的充分条件, 那么 p 是 t 的________条件,r 是 t 的________条件.(用充分?必要?充要填空)

解析:由题意可画出图形: 由图形可看出 p 是 t 的充分条件,r 是 t 的充要条件. 答案:充分 充要 9.令 P(x):ax +3x+2>0,若对任意 x∈R,P(x)是真命题,则实数 a 的取值范围是 __________. 解析:对任意 x∈R,P(x)是真命题,就是不等式 ax +3x+2>0 对一切 x∈R 恒成立. (1)若 a=0,不等式仅为 3x+2>0 不能恒成立. (2)若 ?
2 2

?a ? 0 9 ,解得 a> . 8 ?? ? 9 ? 8a ? 0
9 8

(3)若 a<0,不等式显然不能恒成立. 综上所述,实数 a> 答案:a> .

9 8

3

10.已知 p:log?(|x|-3)>0,q:x -?x+
2

1 >0,则 p 是 q 的________条件. 6

解析:由 log? (|x|-3)>0 可得 0<|x|-3<1,解得 3<x<4 或-4<x<-3. 所以 p:3<x<4 或-4<x<-3.

1 1 >0 可得 x< 或 x>?, 6 3 1 所以 q:x< 或 x>?. 3
由 x -?x+
2

故 p 是 q 的充分不必要条件. 答案:充分不必要 三?解答题:(本大题共 3 小题,11?12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 11.主人邀请张三?李四?王五三个人吃饭聊天,时间到了,只有张三?李四准时赴约,王五 打电话说:“临时有急事,不能来了.”主人听了随口说了句:“你看看,该来的没有来.”张 三听了,脸色一沉,起来一声不吭地走了,主人愣了片刻,又道了句:“哎哟,不该走的又走 了.”李四听了大怒,拂袖而去. 请你用逻辑学原理解释二人的离去原因. 解:张三走的原因是:“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”,张三觉得自己 是不该来的.李四走的原因:“不该走的又走了”的逆否命题是“该走的没有走”,李四觉得 自己是应该走的. 评析:利用原命题与逆否命题同真同假解题非常方便,要注意用心体会! 12.已知 p: 1 ? 的取值范围. 解:由 1 ?

x ?1 2 2 ≤2,q:x -2x+1-m ≤0(m>0).若?p 是?q 的充分不必要条件,求实数 m 3

x ?1 ≤2,得-2≤x≤10. 3

“?p”:A={x|x>10 或 x<-2}. 由 x -2x+1-m ≤0, 得 1-m≤x≤1+m(m>0). ∴“?q”:B={x|x>1+m 或 x<1-m,m>0}. ∵?p 是?q 的充分而不必要条件,∴A B.
2 2

4

? m ? 0, ? 结合数轴有 ?1 ? m≤10, 解得 0<m≤3. ?1 ? m≥ ? 2, ?
评析:将充要条件问题用集合的关系来进行转化是解此类题目的关键. 13.(2010·潍坊质检)设 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a>0,命题 q:实数 x 满足
2 ? ? x ? x ? 6≤0, ? 2 ? ? x ? 2 x ? 8 ? 0.
2 2

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若?p 是?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 解:先解不等式,把命题 p,q 具体化,第(1)问利用真值表求 x;第(2)问由互为逆否命题等 价确定 p、q 之间的关系,确定关于 a 的不等式,问题可解. (1)由 x -4ax+3a <0 得(x-3a)(x-a)<0,又 a>0,所以 a<x<3a. 当 a=1 时,1<x<3, 即 p 为真时,实数 x 的取值范围是 1<x<3.
2 ? ? x ? x ? 6≤0 由? 2 .得 2<x≤3, ? ?x ? 2x ? 8 ? 0
2 2

当 q 为真时,实数 x 的取值范围是 2<x≤3. 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真, 所以实数 x 的取值范围是 2<x<3. (2)?p 是?q 的充分不必要条件, 即?p??q,且?q

? ?p,

设 A={x|?p},B={x|?q},则 A B, 又 A={x|?p}={x|x≤a 或 x≥3a},B={x|?q}={x|x≤2 或 x>3}, 则 0<a≤2,且 3a>3, 所以实数 a 的取值范围是 1<a≤2. 评析:本题中,?p 是?q 的充分不必要条件,从而推出集合 A 与 B 的关系,确定关于 a 的不 等式组,使问题获得解决.

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