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上海市复旦大学附属中学2014年高一上学期期中考试数学试卷(含解析)


复旦大学附属中学 2014 学年第一学期 高一年级数学期中考试试卷
(时间 90 分钟,满分 120 分) 一、填空题(每小题 4 分,共 44 分)
? 6 ? 1、用列举法表示集合 A ? ?a ? N* , a ? Z? ? _______. 5 ? a ? ?

【答案】 ??1,2,3,4? ;
6 6 ? N* ,则必

有 ??1,2,3,6? ,所以 a ? ?1,3, 2, 4 . 5?a 5?a 2、命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题是_______. 【答案】若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ; 【解析】命题的否定是同时对条件与结论进行否定.

【解析】由

3、函数 y ?

2? x x ?1

的定义域为_______.

【答案】 ? ?2,1?

?1, 2? ;
1,2 ? ,本题需注意定义域只能写成区间 ?

?2 ? x ? 0 ??2 ? x ? 2 ?? 【解析】由 ? ,即 x ? ? ?2,1 ? ? x ?1 ? x ?1 ? 0

或是集合的形式,避免写不等式的形式. 4、已知集合 A ? ?1, 2,3, 4? , B ? ?1, 2? 则满足 A C ? B 【答案】4; 【解析】由条件 A C ? B
C 可知, B ? ? B C ? ? ? A C ? ? C ? ? B C ? ? ? A C ? ? A , C 的集合 C 有_______个.

所以符合条件的集合 C 的个数即为集合 ?3, 4? 的子集的个数,共 4 个. 5、已知 x, y ? R ? ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 xy 的最大值为_______. 【答案】
1 ; 16
2

1 1 ? x ? 4y ? 1 【解析】由基本不等式可以直接算出结果 . xy ? ? x ? 4 y ? ? ? ,当且仅当 ? ? 4 4 ? 2 ? 16

x ? 4y ?

1 时取等号. 2

6、已知集合 P ? x x 3 ? x ? x ? 1 , Q ? x ? x ? 1?? 2 x ? 3?? x ? 4 ? ? 0 ,则 P Q ? _______.

?

?

?

?

? 3? 【答案】 ?1, ? ; ? 2?

?x ?1 ? 0 ? ? 【解析】 3 ? x ? x ? 1 ? ?3 ? x ? 0 ,解之 1 ? x ? 2 ,即 P ? ?1,2? ? x ? 1?? 2 x ? 3?? x ? 4? ? 0 ? 2 ? ?? 3 ? x ? ? x ? 1
3? ? 结合数轴标根法,可以得到其解为 ? ?1, ? 2? ? ? 3? ?1, 2 ? . ? ? , ? 4, ?? ? ,即 Q ? ? ? ?1 ? 3? ? 2?

?4,

?? ? ,所以 P

Q?

7、不等式 ? a ? 2? x2 ? 2 ? a ? 2? x ? 4 ? 0 对 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围为_______. 【答案】 ? ?2,2? ; 【解析】对二次项系数进行讨论 ①当 a ? 2 ? 0 即 a ? 2 时,不等式显然成立;
?a ? 2 ? 0 ②当 a ? 2 ? 0 , 欲使不等式 ? a ? 2? x2 ? 2 ? a ? 2? x ? 4 ? 0 对 x ? R 恒成立, 则需满足 ? , ? ??0

解之 ?2 ? a ? 2 ;综合①②,则实数 a 的取值范围为 ? ?2,2? .
? 1 ? 8、若关于 x 不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ? ??, ?2 ? ? ? , ?? ? ,则关于 x 不等式 ? 2 ? 2 cx ? bx ? a ? 0 的解集为_______. ?1 ? 【答案】 ? , 2 ? ; ?2 ? ? 1 ? 【解析】由不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ? ??, ?2 ? ? ? , ?? ? ,可得 2 ? ? 1? 5 ? ax 2 ? bx ? c ? a ? x ? ? ? x ? 2 ? ? 0 ? a ? 0 ? ,所以 b ? a , c ? a ,所以 cx 2 ? bx ? a ? 0 可转化 2? 2 ? 1? 5 ? 为 ax2 ? x ? a ? 0 ,结合 a ? 0 ,所以有 ? x ? ? ? x ? 2 ? ? 0 ,即不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集 2? 2 ? ?1 ? 为 ? ,2? . ?2 ?

9、在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ,记为 ? k ? ,即

?k ? ? ?5n ? k n ? Z? , k ? 0,1, 2,3, 4 .给出下列四个结论:
① 2015 ??0? ;② ?3 ? ?3? ;③ Z ? ?0? ”的 ?1? ?2? ?3? ?4 ? ;④“整数 a, b 属于同一‘类’

充要条件是“ a ? b ? ? 0? ”.其中,正确结论的个数 是_______. .. 【答案】3 个; 【解析】①正确,由于 2015 能够被 5 整除;②错误, ?3 ? ?1 ? 5 ? 2 ,故 ?3 ? ? 2? ;③正确,

将整数按照被 5 除分类,刚好分为 5 类;④正确. 10、某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库,已知每月土地占用费 p (万元)与仓库 到停车库的距离 x (公里)成反比,而每月库存货物的运费 k (万元)与仓库到停车库的距 离 x (公里)成正比.如果在距离停车库 18 公里处建仓库,这两项费用 p 和 k 分别为 4 万元 和 144 万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库到停车库的距离 x ? _______公里. 【答案】 2 ;
k 【解析】 设 Px ? m , ? n( m, n 为常数) , 由 x ? 18 时,p ? 4 ,k ? 144 , 可知 m ? 72, n ? 36 , x 72 2? 72 ? ? 36 ? x ? ? ? 72 2 ,当且仅当 x ? 2 时取等号. 所以 p ? , k ? 36 x , p ? k ? 36 x ? x x? x ?
2 11、设 a ? R ,若 x ? 0 时,均有 ? 为 ?? a ? 1? x ? 1? ? ? x ? ax ? 1? ? 0 成立,则实数 a 的取值集合 ..

_________.
?3? 【答案】 ? ? ?2?

3? 3 ? 【解析】可以取特殊值 x ? 2 代入,得 ? ? a ? ? ? 0 ,所以 a ? ,存在且唯一. 2? 2 ?

2

也可以结合数轴标根法,但此时注意需有重根出现才能符合题意,最后讨论也可求出结果.

二、选择题(每题 4 分,共 16 分) 12、三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示, 我们教材中利用该图作为“ ( ) ”的几何解释. A.如果 a ? b , b ? c ,那么 a ? c B. 如果 a ? b ? 0 ,那么 a 2 ? b 2 C.对任意实数 a 和 b ,有 a 2 ? b 2 ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时等号成立 D. 如果 a ? b , c ? 0 那么 ac ? bc 【答案】C; 【解析】可将直角三角形的两直角边长度取作 a , b ,斜边为 c ( c 2 ? a 2 ? b 2 ) ,则外围的正方 2 2 2 c a ? b 形的面积为 ,也就是 ,四个阴影面积之和刚好为 2 ab ,对任意正实数 a 和 b ,有 a 2 ? b 2 ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时等号成立. 13、设 x 取实数,则 f ? x ? 与 g ? x ? 表示同一个函数的是( A. f ? x ? ? x , g ? x ? ? x2 C. f ? x ? ? 1 , g ? x ? ? ? x ? 1? 【答案】B; 【解析】A 选项对应关系不同, f ? x ? ? x , g ? x ? ? x2 ? x ;C、D 选项定义域不相同.
?x ? 3 ?x ? y ? 6 14、 ? 是? 成立的( ?y ? 3 ? x ? y ? 9
0


x

B.

? x? f ? x? ?
x

2

, g ? x? ?

? x?

2

D. f ? x ? ?

x2 ? 9 , g ? x? ? x ? 3 x?3

) C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5 ,显然必要性不成立. 2

A.充分不必要条件 【答案】A.

B.必要不充分条件

【解析】充分性显然成立,必要性可以举反例: x ? 10 , y ?

15、在关于 x 的方程 x 2 ? ax ? 4 ? 0 , x2 ? ? a ? 1? x ? 16 ? 0 , x 2 ? 2ax ? 3a ? 10 ? 0 中,已知至 少有一个方程有实数根,则实数 a 的取值范围为( ) A. ?4 ? a ? 4 B. a ? 9 或 a ? ?7 C. a ? ?2 或 a ? 4 D. ?2 ? a ? 4 【答案】C; 【解析】可以采用补集思想.三个判别式均小于 0 的条件下取交集后再取补集即可. 三、解答题(共 6 大题,满分 60 分) 16、 (本题满分 8 分)
1 解关于 x 的方程: x2 ? 2 x ? 3 ? 2 . 4

【答案】 x ? 2 或 x ? 4 ? 2 3 ;

x?0 x?0 ? ? 1 ? ? 【解析】 x2 ? 2 x ? 3 ? 2 ? ? 1 2 或 ?1 2 ,解之 x ? 2 或 x ? 4 ? 2 3 . 4 x ? 2x ? 3 ? 2 ? x ? 2x ? 3 ? 2 ? ?4 ?4

17、 (本题满分 8 分,每小题 4 分) 设关于 x 的不等式: (1)解此不等式;
? x ?1 2x ? 4 ? (2)若 2 ? ? x ?1? ? ,求实数 k 的取值范围. k k2 ? ?

x ?1 2x ? 4 . ?1? k k2

【答案】 (1)①当 k ? 2 时,不等式的解为 R ;②当 k ? 2 时,不等式的解为 x ? ③当 k ? 2 且 k ? 0 时,不等式的解为 x ? 【解析】 (1)

k2 ? k ? 4 ; k ?2

k2 ? k ? 4 ; (2) ? 0,3? ; k ?2

x ?1 2x ? 4 ?1? ? k ? x ? 1? ? k 2 ? 2 x ? 4 ,即有 ? k ? 2? x ? k 2 ? k ? 4 ,所以 k k2

①当 k ? 2 时,不等式的解为 R ;

k2 ? k ? 4 ; k ?2 k2 ? k ? 4 ③当 k ? 2 且 k ? 0 时,不等式的解为 x ? ; k ?2
②当 k ? 2 时,不等式的解为 x ?
? x ?1 2x ? 4 ? ?1? (2)由于 2 ? ? x ? ,所以 k ? 2 符合;结合(1)可以得到: k k2 ? ?

k ?2 k?2 ? ? ? ? 2 ? k ? k ? 4 ,解之 2 ? k ? 3 ;或 ? k 2 ? k ? 4 ,解之 0 ? k ? 2 .综上 k ? ? 0,3? . 2 ? 2 ? ? ? k ?2 k ?2 ? ?

18、 (本题满分 10 分)
? ? x ?1 Q ? x x 2 ? 2 x ? ?1 ? m 2 ? ? 0 , 已知 P ? ? x 1 ? 其中 m ? 0 , 全集 U ? R .若 “ x ? ?U P ” ? 2? , 3 ? ?

?

?

是“ x ? ?U Q ”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 【答案】 ? ??, ?9?

?9, ??? ;

【解析】由“ x ? ?U P ”是“ x ? ?U Q ”的必要不充分条件,可得 x ? 痧 U Q ? x ? U P ,所以

? 痧Q ? ? ??
U

U

? x ?1 ? P ? ,而 ? ?U P ? ? ? x 1 ? ? 2 ? ? ? ?? ,? 2 3 ? ?

? 10, ?

?? ? ,? ?U Q ? ? x x 2 ? 2 x ? ?1 ? m2 ? ? 0 ,令

?

?

x2 ? 2x ? ?1 ? m2 ? ? 0 的 根 为 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? , 则 必 有 x1 ? ?2 ? 10 ? x2 , 解 之

m ? ? ??, ?9?

?9, ??? .

19、 (本题满分 10 分) 现有 A, B, C , D 四个长方体容器, A, B 的底面积均为 x 2 ,高分别为 x, y ; C , D 的底面积均为
y 2 ,高分别为 x, y (其中 x ? y ).现规定一种两人的游戏规则:每人从四种容器中取两个盛

水,盛水多者为胜.问先取者在未能确定 x 与 y 大小的情况下有没有必胜的方案?若有的话, 有几种? 【答案】只有 1 种,就是取 A, D . 【解析】 当 x ? y 时,则 x3 ? x2 y ? xy 2 ? y3 ,即 A ? B ? C ? D ; 当 x ? y 时,则 y3 ? y 2 x ? yx2 ? x3 ,即 D ? C ? B ? A ; 又 x3 ? y3 ? ? xy2 ? x2 y ? ? ? x3 ? x2 y ? ? ? y3 ? xy2 ? ? ? x ? y ? ? x ? y ? ? 0
2

所以在不知道 x, y 的大小的情况下,取 A, D 能够稳操胜券,其他的都没有必胜的把握.

20、 (本题满分 12 分,第一小题 3 分,第二小题 4 分,第三小题 5 分)
? a, a ? b 定义实数 a , b 间的计算法则如下: a?b ? ? 2 . ?b , a ? b

(1)计算 2? ? 3?1? ;
y 的任意实数 x, y, z , (2) 对 x ?z ? 判断等式 x? ? y?z ? ? ? x?y ? ?z 是否恒成立, 并说明理由;

(3)写出函数 y ? ?1?x ? ?x ? ? 2?x ? 的解析式,其中 ?2 ? x ? 2 ,并求函数的值域. 【答案】 (1)9; (2)不能; (3) ? ?1,2? . 【解析】 (1)因为 ? 3?1? ? 3 ,所以 2? ? 3?1? ? 2?3 ? 9 ; (2)由于 y ? z ,所以 ? y?z ? ? y , x? ? y?z ? ? x?y ? y 2 ;

y ? 由于 x ? y , 所以 ? x?y ? ? y 2 , 即有 ? x?y ? ?z ? y 2 ?z , 此时若 y 2 ? z , 则 ? x? ?z ?y

2

; 若 y2 ? z ,

则 ? x?y ? ?z ? z 2 .所以等式 x? ? y?z ? ? ? x?y ? ?z 并不能保证对任意实数 x, y, z 都成立.

?1, ?2 ? x ? 1 ? ?1, ?2 ? x ? 1 (3)由于 1?x ? ? 2 , 2 ?x ? 2 ,所以 y ? ?1?x ? ? ? 2?x ? ? ? 2 ,函数的值 ? x ,1 ? x ? 2 ? x ? 2,1 ? x ? 2

域为 ? ?1,2? .

21、 (本题满分共 12 分,每小题 4 分) 已知实数 a , b, c 满足 a ? b ? c . (1)求证:
1 1 1 ? ? ? 0; a ?b b?c c ?a

1 1 1 p 的分子改为一个大于 1 的正整数 p ,使得 ? ? ?0 c?a a ?b b?c c ?a 对任意 a ? b ? c 都成立,试写出一个 p 并证明之;

(2)现推广如下:把

(3)现换个角度推广如下:正整数 m, n, p 满足什么条件时,
a ? b ? c 都成立,请写出条件并证明之.

m n p ? ? ? 0 对任意 a ?b b?c c ?a

【答案】见解析. 【解析】 (1)由于 a ? b ? c ,所以 a ? b ? 0, b ? c ? 0, a ? c ? 0 ,要证
1 1 1 ? ? ?0, a ?b b?c c ?a

1 1 ? ? 1 ? ? 只需证明 ? a ? c ? ? ? ? 0. ?a?b b?c c?a? 1 1 ? b?c a?b ? 1 左边 ? ? ?? a ? b ? ? ? b ? c ? ? ? ? a ? b ? b ? c ? c ? a ? ? 1 ? a ? b ? b ? c ? 3 ? 0 ,证毕. ? ?

(2)欲使

1 p ? 1 1 p ? 1 ? ? ? ? ? 0 ,只需 ? a ? c ? ? ? ? 0, a ? b b ? c c ? a? a ?b b?c c ?a ?

1 p ? b?c a ?b ? 1 左 边 ?? ?? a ? b ? ? ? b ? c ? ? ?? a ? b ? b ? c ? c ? a ? ? 2 ? p ? a ? b ? b ? c ? 4 ? p , 所 以 只 需 ? ? 4 ? p ? 0 即可,即 p ? 4 ,所以可以取 p ? 2,3 代入上面过程即可.

(3)欲使

n p ? m n p ? m ? ? ? ? ? 0 ,只需 ? a ? c ? ? ? ? 0, a ?b b ?c c ?a ?a?b b?c c?a?

m ? b ? c? n ? a? b ? n p ? ? m ? n ? p ? ? ? m ? ? n2 左边 ? ? ?? ?? m ?? a ? b? ? ? b? c ? ? a ? b ? b? c? c ? a a ? b ? b c ? ?

mn ? , p

只需 m ? n ? 2 mn ? p ? 0 ,即 m ? n ? p ( m, n, p ? Z? ).


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