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高一数学竞赛辅导(二)


高一数学竞赛辅导(二)
例 1 已知函数 y=f(x)的定义域是[0,1], 求函数 ? ( x) =f(x+a)+f(x-a)的定义 域. (在 ? ( x) 中, ?1 ( x) =x+a, ?2 ( x) ? x ? a, 则? ( x) 可以看成两个复合函数 令 f( ?1 ( x) ), f( ?2 ( x) )的代数和.

例 2 已知对

一切实数 x,有 f(x2+1)=x4+5x2+3 成立,求 f(x2-1).

1

例 3 已知 f(x)是 x 的 n(n>0)次多项式,且对任意的实数 x,满足

8 f ( x3 ) ? x6 f (2x) ? 2 f ( x2 ) ? 12 ? 0
求 f(x).

例4

2x ?1 , 对 n ∈ N , 定 义 fn+1(x)=f1(fn(x)). 设 x ?1 f35(x)=f5(x), 求 f28(x).

已 知 函 数 f1 ( x) ?

2

例 5 设 a>1,x∈N, 求证

ax+1>(a-1)x(x+a).

例 6 M 是实数集 R 的任一子集合,函数 fM(x)在实数集 R 上定义如下
?x M ) , ( ?1 ? f M ( x) ? ? ?0 (x?M). ?

求证:对任意以实数为元素的集合 A,B,若 A∩B 不是空集,则总有 fA∩B(x)=fA(x)·fB(x).

3

例7

作出函数 y=|x|(x-[x])在[-1,l]上的图象.

? y ? 2[ x] ? 3 例 8 已知 x,y 满足方程组 ? ? y ? 3[ x ? 2] ? 5
求 x+y 的取值范围.

4

例 9 设{x}= x – [x],
1 (1) 找出一个实数 x,满足{x}+{ }=1; x (2) 证明:满足(1)中等式的 x 都不是有理数.

例 10. 设 f(x)=

4x , 求 4x ? 2

1 2 3 1000 f( )? f ( )? f ( ) ? ... ? f ( )的值 1001 1001 1001 1001

5

例 11 函数 f(x)定义在整数集上, 且满足
若n ? 1000 ?n ? 3 f(n)= ? ? f ( f ( n ? 5)) 若n<1000

求 f(100)的值.

例 12 设 P={不小于 3 的自然数},在 P 上定义函数 f 如下: 若 n∈P, f(n)表示不是 n 的约数的最小自然数,例如 f(7)=2, f(12)=5, 等等。现记 f(n)的值域为集合 M. 求证:19∈M,88 ? M.

6

习题:
一、选择题 1. 已知 f(xn)=lnx, 那么 f(z)的值等于( A. ln2 2. 设 f1(x)= ( ) A. f1986(x)=
x 1? x
2

) D. 2nln2

B.
x 1 ? x2

1 ln2 n

C. n ln2

,对 n∈N, 定义 fn+1(x)=f1(fn(x)). 则 f1986(x)的解析式为

B. f1986(x)=

x 1986 ? x 2 1986 x 1 ? 1986 x 2

C. f1986(x)=

x 1 ? 1986 x
2

D. f1986(x)=

3. 已知函数 y=f(x)的反函数是 f y=g(x) 的图象只可能是( )

–1

ba x ? 1 (x)= , g(x)=ba+a, 则 y=f(x)及 ax

4. 满足 f(x2)=[f(x)]2=f(f(x)), 且次数不小于 1 的多项式 f(x)有( A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个

).

D. 无限多个

7

5. 已知 f(x)=

x2 ,则和 1 ? x2

1 2 100 1 2 100 1 f ( ) ? f ( ) ? ... ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ... ? f ( ) ? ... ? f ( ) 1 1 1 2 2 2 100 2 100 ?f( ) ? ... ? f ( ) 100 100 的值等于 ( )

A. 10000 二、填空

B. 5000

C. 1000

D. 100

1. 已 知 函 数 f(x) 的 定 义 域 是 [a,b], 且 b>-a>0, 则 函 数

? ( x ) f ( x?) ?

f ?( x ) 的定义域是_______.

2. 设函数 f0(x)=|x|, f1(x)=|f0(x)-1|, f2(x)=|f1(x) -2|,则函数 y=f2(x)的图象 与 x 轴所围成的图形中的封闭部分的面积是_______. 3. 已知函数 f 定义在正整数集合上,满足

?n ? 15 f ( n) ? ? ? f ( f (n ? 20))

当n>2000时 当n ? 2000时

则 f(1989)的值等于_____________. 4. 已 知 f(x)=ax+b(a ≠ b),g(x)= g(f(x))=
2 x (c ≠ 0), 且 f(g(x))= , cx ? d x?2

1 , 则 abcd =_____________. 2x ?1

5. 用[y] 表示不超过实数 y 的最大整数。当 n∈N 时,[log2(n+1 n 2 ? 2n )] ? [log 2 (n ? 1 ? n 2 ? 2n )] 的值的集合是___________.

8

三、问答题 1. 已知 f(x)= f(f(1))=
bx ? 1 1 (a, b是常数,ab ? 2), 且f ( x) f ( ) ? K . (1)求 K;(2)若 2x ? a x

K ,求 a,b 的值. 2

2. 解方程 x3 – [x] –6 =0, 其中[x]表示不大于 x 的最大整数.

3. 函数 f(x)在[0,1]上有定义,f(0)=f(1). 如果对任意不同的 x1,x2∈[0,1],都 有|f(x2)-f(x1)|<|x2 – x1|.
9

求证:|f(x2)-f(x1)|<

1 . 2

4. 试证不存在满足下列条件的二次多项式 f(x) (1) 当 –1 ≤x≤1 时,|f(x)|≤1; (2) |f(2)|>8.

5. 已知 f(x)是一次函数,且

10

f ( f ( f ... f ( x)...) ? 1024 x ? 1023 ??? ??? ?
10次

求 f(x)的解析式.

6. 已知 A={f(x)|f(x)=ax+b, a, b∈R, a≠0},且
11

(1) 对于 f, g∈A,有 g(f(x))∈A;
x?b ; a (3) 对于每一个 f∈A,存在一个不动点 xi,使 f(xi)=xi. 求证:对于所有的 f∈A,必存在公共的不动点 x0,即有 f(x0)=x0.

(2) 当 f∈A 时,有 f –1 ∈A, 其中 f –1(x)=

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