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2016年北京市高三数学模拟考试——海淀理


海淀区高三年级第二学期期中练习

数学(理科)
作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

2016.4

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1. 函数 f ( x) ? 2 x ?1 的定义域为 A. [0, ?? ) B. [1, ??) C. ( ??,0] D. ( ??,1]
开 始
输入

2. 某程序的框图如图所示,若输入的 z ? i (其中 i 为虚数单位) ,则输出 的 S 值为 A. ?1 B. 1 C. ?i

n=1


n >9

D. i


? x ? y +2 ? 0, 1 ? 3. 若 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0, 则 z ? x ? y 的最大值为 2 ? y ? 0, ?
A.

输出 S 结束

n=n+1

5 2

B. 3

C.

7 2

D. 4
1 主视图 1 2 1

1 3 左视图

4. 某三棱椎的三视图如图所示,则其体积为 A.

3 3

B.

3 2

C.

2 3 3

D.

2 6 3
俯视图

5. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则“ {an } 为常数列”是“ ?n ? N , Sn ? nan ”的
*

A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 在极坐标系中,圆 C1 : ? ? 2cos? 与圆 C2 : ? ? 2sin ? 相交于 A, B 两点, 则 AB ? A. 1 B. 2 C. 3 D.2

?sin( x ? a ), x ? 0, 7. 已知函数 f ( x ) ? ? 是偶函数,则下列结论可能 成立的是 .. ?cos( x ? b), x ? 0
A. a ?

π π ,b ? ? 4 4 π π C. a ? , b ? 3 6

B. a ?

2π π ,b ? 3 6 5π 2π ,b ? D. a ? 6 3

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8. 某生产基地有五台机器设备,现有五项工作待完成,每台 机器完成每项工作获得的效益值如右表所示. 若每台机器 只完成一项工作,且完成五项工作后获得的效益值总和最 .. 大,则下列描述正确的是 A. 甲只能承担第四项工作 丁 B. 乙不能承担第二项工作 C. 丙可以不承担第三项工作 D. 丁可以承担第三项工作 戊
机器

工作 效益
一 二 三 四 五

甲 乙 丙

15 22 9 7 13

17 23 13 9 15

14 21 14 11 14

17 20 12 9 15

15 20 10 11 11

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 已知向量 a ? (1, t ), b ? (t,9), 若 a ? b ,则 t ? __ . 10. 在等比数列 ?an ? 中, a2 ? 2 ,且

1 1 5 ? ? ,则 a1 ? a3 的值为___. a1 a3 4

1 ? 1 11. 在三个数 , 2 2 , log 3 2 中,最小的数是__. 2

12. 已知双曲线 C :

π x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线 l 的倾斜角为 ,则 C 的离心率为__; 2 3 a b

若 C 的一个焦点到 l 的距离为 2 ,则 C 的方程为__. 13. 如图,在 在三角形三条边上的 6 个不同的圆内填上数字 1, 2, 3 其中的一个. (i) 当每条边上的三个数字之和为 4 时,不同的填法有___种; (ii) 当同一条边上的三个数字都不同时,不同的填法有__种. 14. 已知函数 f ( x) ,对于给定的实数 t ,若存在 a ? 0, b ? 0 ,满足: ?x ?[t ? a, t ? b] ,使得

| f (x ) ? f (t ? ) | ,则记 2 a ? b 的最大值为 H (t ) .
(i) 当 f ( x) ? 2 x 时, H (0) ? ___; (ii)当 f ( x) ? x2 且 t ? [1,2] 时,函数 H (t ) 的值域为___.

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三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.(本小题满分 13 分) 如图,在 ?ABC 中,点 D 在边 AB 上,且

AD 1 ? . 记 ?ACD ? ? , ?BCD ? ? . DB 3
C

(Ⅰ)求证:

AC sin ? ; 7分 ? BC 3sin ?
A D

π π (Ⅱ)若 ? ? , ? ? , AB ? 19 ,求 BC 的长. 6 分 6 2

B

16.(本小题满分 13 分) 2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等权威机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广. 2015 年

12 月 10 日,我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖. 目前,国内青蒿人工种植发展迅速. 某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响,在山上和山下的试验田中分别种植了 100 株青蒿进行对比试验. 现在从山上和山下的试验田中各随机选取了 4 株青蒿作为样本, 每株提取的青蒿 素产量(单位:克)如下表所示:
位置
编号

① 5.0 3.6

② 3.8 4.4

③ 3.6 4.4

④ 3.6 3.6

山 上 山 下

(Ⅰ)根据样本数据,试估计山下试验田青蒿素的总产量;3 分 (Ⅱ) 记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为 s12 ,s2 2 , 根据样本数据, 试估计 s12 与 s2 2 的大小(只需写出结论) ;3 分 (Ⅲ)从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取 1 株,记这 2 株的产量总和为 ? , 求随机变量 ? 的分 布列和数学期望. 7 分

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17.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为正方形,点 M , N 分别为线段

PB , PC 上的点, MN ? PB .
(Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAB ; 4分
M

P

(Ⅱ)求证:当点 M 不与点 P,B 重合时, M , N , D, A 四个点在同一个平 面内;5 分 (Ⅲ)当 PA ? AB ? 2 ,二面角 C ? AN ? D 大小为为 5分

N D A

π 时,求 PN 的长. 3

B

C

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 x ?1 . ? 1 , g ( x) ? x ln x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)求函数 g ( x ) 的单调区间; (Ⅲ) 求证:直线 y ? x 不是曲线 y ? g ( x ) 的切线.

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 3 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆 C 与 y 轴交于 A, B 两点, | AB |? 2 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 P 是椭圆 C 上的一个动点,且点 P 在 y 轴的右侧. 直线 PA , PB 与直线 x ? 4 分别相交于
M ,N 两点. 若以 MN 为直径的圆与 x 轴交于两点 E, F , 求点 P 横坐标的取值范围及 | EF | 的最

大值.

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20.(本小题满分 13 分) 给定正整数 n ? n ? 3? ,集合 Un ? ?1,2,?, n?. 若存在集合 A, B, C ,同时满足下列三个条件: ① Un ? A ? B ? C , A ? B ? B ? C ? A ? C ? ? ; ②集合 A 中的元素都为奇数,集合 B 中的元素都为偶数,所有能被 3 整除的数都在集合 C 中 (集合 C 中还可以包含其它数) ; ③集合 A, B, C 中各元素之和分别为 S A , S B , SC ,有 S A ? SB ? SC ; 则称集合 U n 为可分集合. (I) 已知 U8 为可分集合,写出相应的一组满足条件的集合 A, B, C ; (II)证明:若 n 是 3 的倍数,则 U n 不是 可分集合; .. (III)若 U n 为可分集合且 n 为奇数,求 n 的最小值.

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海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数学(理科) 2016.4 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 A 5 C 6 B 7 C 8 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分) 三、解答题 9. ?3 10. 5 11.

1 2

( 本大题共 6 小 题 , 共 80

12. x 2 ?

y ?1 3

2

13. 4, 6

14. 2, [ 6 ? 2,2) ? [2 3,4]

分)
C

15.解: (Ⅰ) 在 ?ACD 中, 由正弦定理,有 分 在 ?BCD 中,由正弦定理,有

AC AD ? sin ?ADC sin ?

…………………2

A

B D

BC BD ? sin ?BDC sin ?

…………………4 分 …………………6 分 …………………7 分

因为 ?ADC ? ?BDC ? π ,所以 sin ?ADC ? sin ?BDC 因为

AD 1 AC sin ? ? , 所以 ? DB 3 BC 3sin ?
π π ,? ? , 6 2

(Ⅱ)因为 ? ?

π AC sin 2 3 ? ? 由(Ⅰ)得 BC 3sin π 2 6
设 AC ? 2k , BC ? 3k , k ? 0 ,由余弦定理,
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…………………9 分

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AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cos ?ACB
代入,得到 19 ? 4k ? 9k ? 2 ? 2k ? 3k ? cos
2 2

…………………11 分

2π , 3
…………………13 分

解得 k ? 1 ,所以 BC ? 3 .

16 解: (I)由山下试验田 4 株青蒿样本青蒿素产量数据,得样本平均数

x?

3.6 ? 4.4 ? 4.4 ? 3.6 ?4 4

…………………2 分

则山下试验田 100 株青蒿的青蒿素产量 S 估算为

S ? 100 x ? 400 g
2 2

…………………3 分
2 2

(Ⅱ)比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差 s1 和 s2 ,结果为 s1 ? s2 . …………………6 分

7.4,, 8 8.2, 8.6, 9.4 , (Ⅲ)依题意,随机变量 ? 可以取 7.2,

…………………7 分

P (? ? 7.2) ?

1 1 , P (? ? 7.4) ? 4 8 P(? ? 8.2) ? 1 8
…………………9 分

P(? ? 8) ?

1 , 4

P(? ? 8.6) ?

1 1 , P (? ? 9.4) ? 8 8

随机变量 ? 的分布列为

?
p

7.2 7.4 8

8.2 8.6 9.4

1 4

1 8

1 4

1 8

1 8

1 8
…………………11 分

随机变量 ? 的期望 E (? ) ? 7.2 ?

1 1 1 1 1 1 ? 7.4 ? +8 ? +8.2 ? +8.6 ? +9.4 ? =8 . 4 8 4 8 8 8
…………………13 分

17 解: (Ⅰ)证明:在正方形 ABCD 中, AB ? BC , 因为 PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BC . 因为 AB ? PA ? A ,且 AB , PA ? 平面 PAB ,
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…………………1 分 …………………2 分

所以 BC ? 平面 PAB (Ⅱ)证明:因为 BC ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB , 所以 BC ? PB 在 ?PBC 中, BC ? PB , MN ? PB , 所以 MN ? BC . 在正方形 ABCD 中, AD ? BC , 所以 MN ? AD ,

…………………4 分

…………………5 分

…………………6 分 …………………7 分

? AD 可以确定一个平面,记为 ? 所以 MN ,
所以 M , N , D, A 四个点在同一个平面 ? 内 (Ⅲ)因为 PA ? 平面 ABCD , AB, AD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? AB , PA ? AD . 又 AB ? AD , 如 图 , 以 A 为 原 点 , AB, AD, AP 所 在 直 线 为 x, y, z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 …………………8 分

A ? xyz ,
所以 C (2,2,0), D(0,2,0), B(2,0,0), P(0,0,2) . 设平面 DAN 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

…………………9 分
z P

?

M

N D y

?? 平面 CAN 的一个法向量为 m ? (a, b, c) ,
???? ??? ? 设 PN ? ? PC , ? ? [0,1] ,
因为 PC ? (2,2, ?2) ,所以 AN ? (2?,2?,2 ? 2? ) ,

A B x C

??? ?

????

???? ? ? AN ? n ? 0 ???? ?2? x ? 2? y ? (2 ? 2? ) z ? 0 ? 又 AD ? (0,2,0) ,所以 ? ???? ? ,即 ? ,…………………10 分 ? ?2 y ? 0 ? AD ? n ? 0
取 z ?1, 得到 n ? (

?

? ?1 ,0,1) , ?
????

…………………11 分

因为 AP ? (0,0,2) , AC ? (2,2,0)

??? ?

??? ? ?? ? ?2c ? 0 ? AP ? m ? 0 所以 ? ???? ?? ,即 ? , ? ?2a ? 2b ? 0 ? AC ? m ? 0
取 a ? 1 得, 到 m ? (1, ?1,0) , 因为二面 C ? AN ? D 大小为

??

…………………12 分

?? ? ? π 1 , 所以 | cos ? m, n ?|? cos ? , 3 3 2

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?? ? ?? ? m?n ? ? 所以 | cos ? m, n ?|? ?? ?? | m || n |
1 , 所以 PN ? 3 2

? ?1 1 ? ? 2 ? ?1 2 2 ( ) ?1 ?
…………………14 分 …………………1 分 …………………2 分

解得 ? ?

18 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,

f '( x ) ?

1 1 x ?1 ? 2 ? 2 x x x

当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x

(0,1)

1

(1, ??)

f '( x) f ( x)

?
?

0
极小值

?
?
…………………4 分

函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上的极小值为 f ( a ) ? ln1 ? 所以 f ( x ) 的最小值为 0

1 ?1 ? 0 , 1
…………………5 分 …………………6 分

(Ⅱ)解:函数 g ( x) 的定义域为 (0,1) ? (1, ??) ,

1 1 ln x ? ? 1 f ( x) x ? x g '( x) ? ? 2 2 2 ln x ln x ln x 由(Ⅰ)得, f ( x ) ? 0 ,所以 g '( x) ? 0 ln x ? ( x ? 1)
所以 g ( x) 的单调增区间是 (0,1), (1, ??) ,无单调减区间. (Ⅲ)证明:假设直线 y ? x 是曲线 g ( x) 的切线.

…………………7 分 …………………8 分 …………………9 分 ………………10 分

ln x0 ?
设切点为 ( x0 , y0 ) ,则 g '( x0 ) ? 1 ,即

1 ?1 x0 ?1 ln 2 x0

…………………11 分

又 y0 ?

x0 ? 1 x ?1 , y0 ? x0 ,则 0 ? x0 . ln x0 ln x0 x0 ? 1 1 ? 1 ? , 得 g '( x0 ) ? 0 ,与 g '( x0 ) ? 1 矛盾 x0 x0

…………………12 分

所以 ln x0 ?

所以假设不成立,直线 y ? x 不是曲线 g ( x) 的切线

…………………13 分

19 解: (Ⅰ)由题意可得, b ? 1 ,
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…………………1 分

e?

c 3 , ? a 2

…………………2 分



a2 ?1 3 ? , a2 4
2

…………………3 分

解a ? 4, 椭圆 C 的标准方程为

…………………4 分

x2 ? y 2 ? 1. 4

…………………5 分

(Ⅱ)设 P( x0 , y0 )(0 ? x0 ? 2) , A(0,1) , B(0, ?1) , 所以 k PA ?

y0 ? 1 y ?1 ,直线 PA 的方程为 y ? 0 x ? 1, x0 x0 y0 ? 1 x ? 1, x0 4( y0 ? 1) ? 1) , x0 4( y0 ? 1) ? 1) , x0

…………………6 分

同理:直线 PB 的方程为 y ?

直线 PA 与直线 x ? 4 的交点为 M (4,

…………………7 分

直线 PB 与直线 x ? 4 的交点为 N (4,

线段 MN 的中点 (4,

4 y0 ), x0
2

…………………8 分

所以圆的方程为 ( x ? 4) ? ( y ?

4 y0 2 4 ) ? (1 ? )2 , x0 x0

…………………9 分

令 y ? 0 ,则 ( x ? 4)2 ?

2 16 y0 x ? (1 ? 0 )2 , 2 x0 4

…………………10 分

2 2 x0 y0 ?1 1 2 ? y0 ? 1,所以 因为 ?? , 2 4 x0 4

…………………11 分

所以 ( x ? 4) ?
2

8 ?5 ? 0, x0

因为这个圆与 x 轴相交,该方程有两个不同的实数解, 所以 5 ?

8 8 ? 0 ,解得 x0 ? ( , 2] . 5 x0

…………………12 分

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设交点坐标 ( x1 ,0),( x2 ,0) ,则 | x1 ? x2 |? 2 5 ? 所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2.

8 8 ( ? x0 ? 2 ) x0 5
…………………14 分

方法二: (Ⅱ)设 P( x0 , y0 )(0 ? x0 ? 2) , A(0,1) , B(0, ?1) , 所以 k PA ?

y0 ? 1 y ?1 ,直线 PA 的方程为 y ? 0 x ? 1, x0 x0 y0 ? 1 x ? 1, x0 4( y0 ? 1) ? 1) , x0 4( y0 ? 1) ? 1) , x0

…………………6 分

同理:直线 PB 的方程为 y ?

直线 PA 与直线 x ? 4 的交点为 M (4,

…………………7 分

直线 PB 与直线 x ? 4 的交点为 N (4, 若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交, 则[

4( y0 ? 1) 4( y ? 1) ? 1] ? [ 0 ? 1] ? 0 , x0 x0

…………………9 分

2 16( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ? ? ? 1 ? 0, 2 x x x 0 0 0 即 2 16( y0 ? 1) 8 ? ? 1 ? 0. 2 x0 x0
2 x0 y2 ?1 1 2 ? y0 ? 1,所以 0 2 ? ? , 4 x0 4



…………………10 分

因为

…………………11 分

代入得到 5 ?

8 8 ? 0 ,解得 x0 ? ( , 2] . 5 x0

…………………12 分

该圆的直径为 |

4( y0 ? 1) 4( y ? 1) 8 +1 ? ( 0 ? 1)|=|2 ? | , x0 x0 x0 4( y ? 1) 4y 1 4( y0 ? 1) +1+( 0 ? 1)|=| 0 | , 2 x0 x0 x0

圆心到 x 轴的距离为 |

该圆在 x 轴上截得的弦长为 2 (1 ?

4 2 4 y0 2 8 8 ) ?( ) ? 2 5 ? , ( ? x ? 2) ; x0 x0 x0 5
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所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2.

…………………14 分

方法三: (Ⅱ)设 P( x0 , y0 )(0 ? x0 ? 2) , A(0,1) , B(0, ?1) , 所以 k PA ?

y0 ? 1 y ?1 ,直线 PA 的方程为 y ? 0 x ? 1, x0 x0 y0 ? 1 x ? 1, x0 4( y0 ? 1) ? 1) , x0 4( y0 ? 1) ? 1) , x0

…………………6 分

同理:直线 PB 的方程为 y ?

直线 PA 与直线 x ? 4 的交点为 M (4,

…………………7 分

直线 PB 与直线 x ? 4 的交点为 N (4,

所以 |MN |=|

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) 8 +1 ? ( ? 1)|=|2 ? | , x0 x0 x0 4( y ? 1) 4y 1 4( y0 ? 1) +1+( 0 ? 1)|=| 0 | , 2 x0 x0 x0 4y 4 |? | 0 | , x0 x0

…………………8 分

圆心到 x 轴的距离为 |

…………………9 分

若该圆与 x 轴相交,则 |1 ?

…………………10 分

即 (1 ?

4 2 4 y0 2 ) ?( ) ? 0, x0 x0
2 x0 y2 ?1 1 2 ? y0 ? 1,所以 0 2 ? ? , 4 x0 4

因为

…………………11 分

所以 5 ?

8 8 ? 0 ,解得 x0 ? ( , 2] 5 x0

…………………12 分

该圆在 x 轴上截得的弦长为 2 (1 ?

4 2 4 y0 2 8 8 ) ?( ) ? 2 5? ? 2 5 ? =2 ; x0 x0 x0 2
…………………14 分

所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2.

0) , H (4, 0) ,设 P( x0 , y0 ) 方法四: 记 D (2,
由已知可得 A(0,1) B(0, ?1) ,
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M (4, m) N (4, n)

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所以 AP 的直线方程为 y ?

y0 ? 1 x ? 1, x0 y0 ? 1 x ? 1, x0

……………………….6 分

BP 的直线方程为 y ?

令 x ? 4 ,分别可得 m ?

4( y0 ? 1) ?1 , x0 4( y0 ? 1) ?1 , x0
……………………….8 分

n?

所以 M (4,

4( y0 ? 1) 4( y ? 1) ? 1), N (4, 0 ? 1) x0 x0
……………………….9 分

若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交于 E , F , 因为 EH ? MN , 所以 EH 2 ? HN ? HM ,

EH 2 ? HN ? HM ? ?(

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ? 1) ? ( ? 1) x0 x0
……………………….10 分

? ?(

16 y0 2 ? 16 ? 8 x0 ? x02 ) x02

2 2 y0 ?1 1 x0 2 因为 ? y0 ? 1,所以 2 ? ? , x0 4 4

……………………….11 分

代入得到 EH ? ?
2

8 x0 ? 5 x02 ?0 x02
……………………….12 分

所以 x0 ? ( , 2] , 所以 EF ? 2EH ? 2 5 ?

8 5

8 8 ? 2 5? ? 2 x0 2
…………………14 分

所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2. 方法五: 设直线 OP 与 x ? 4 交于点 T 因为 MN //y 轴,所以有 所以

AP AO OP BP BO OP ? ? , ? ? , PN TN PT PM TM PT
……………………….6 分

AO BO ? ,所以 TN ? TM ,所以 T 是 MN 的中点. TN TM

又设 P( x0 , y0 )(0 ? x0 ? 2) , 所以直线 OP 方程为 y ?
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y0 x, x0
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……………………….7 分

令 x ? 4 ,得 y ?

4 y0 4 y0 , 所以 T (4, ) x0 x0

……………………….8 分

而 r ? TN ?

4 ?1 x0

……………………….9 分

若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交于 E , F 则 d ?|

4 y0 4 |? r ? ? 1 x0 x0

……………………….10 分

2 2 所以 16y0 ? ( x0 ? 4)

因为

2 y2 ?1 1 x0 2 ? y0 ? 1,所以 0 2 ? ? ,代入得到 x0 4 4

……………………….11 分

2 所以 5x0 ? 8 x0 ? 0 ,所以 x0 ?

8 或 x0 ? 0 5
……………………….12 分

因为点 0 ? x0 ? 2 ,所以 ? x0 ? 2 而 EF ? 2 r ? d ? 2 (
2 2

8 5

4 4y ? 1)2 ? ( 0 )2 x0 x0

? 2 5?

8 8 ? 2 5? ? 2 x0 2
…………………14 分

所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2. 20 解: (I)依照题意,可以取 A ? ?5,7? , B ? ?4,8? , C ? ?1,2,3,6? (II)假设存在 n 是 3 的倍数且 U n 是可分集合. 设 n ? 3k ,则依照题意 {3,6, ???,3k} ? C ,

…………………3 分

3k 2 ? 3k 故 SC ? 3 ? 6 ? ??? ? 3k ? , 2
n (1 ? n ) 1 n(1 ? n) 3k 2 ? k 3k 2 ? 3k ? ? 而这 n 个数的和为 ,故 SC ? ? , 矛盾, 2 3 2 2 2
所以 n 是 3 的倍数时, U n 一定不是可分集合 (Ⅲ) n ? 35. 因为所有元素和为 …………………7 分 …………………8 分

n (1 ? n ) n (1 ? n ) ? 3S B = 6 m ( m 为正整数) ,又 SB 中元素是偶数,所以 2 2

所以 n(1 ? n ) ? 12m ,因为 n, n ? 1 为连续整数,故这两个数一个为奇数,另一个为偶数 由(Ⅱ)知道, n 不是 3 的倍数,所以一定有 n ? 1 是 3 的倍数.
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当 n 为奇数时, n ? 1 为偶数,而 n(1 ? n ) ? 12m , 所以一定有 n ? 1 既是 3 的倍数,又是 4 的倍数,所以 n ? 1 ? 12k , 所以 n ? 12k ? 1, k ? N .
*

…………………10 分

定义集合 D ? {1,5,7,11,...} ,即集合 D 由集合 U n 中所有不是 3 的倍数的奇数组成, 定义集合 E ? {2,4,8,10,...} ,即集合 E 由集合 U n 中所有不是 3 的倍数的偶数组成, 根据集合 A, B, C 的性质知道,集合 A ? D, B ? E ,
2 此时集合 D, E 中的元素之和都是 24k ,而 S A ? S B ? SC ?

1 n(1 ? n ) ? 24k 2 ? 2k , 3 2

此时 U n 中所有 3 的倍数的和为

(3 ? 12k ? 3)(4k ? 1) ? 24k 2 ? 6k , 2

24k 2 ? (24k 2 ? 2k ) ? 2k , (24k 2 ? 2k ) ? (24k 2 ? 6k ) ? 4k
显然必须从集合 D, E 中各取出一些元素,这些元素的和都是 2 k , 所以从集合 D ? {1,5,7,11,...} 中必须取偶数个元素放到集合 C 中,所以 2k ? 6 , 所以 k ? 3 ,此时 n ? 35 而令集合 A ? {7,11,13,17,19,23,25,29,31,35} , 集合 B ? {8,10,14,16,20,22,26,28,32,34} , 集合 C ? {3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,1,5,2,4} , 检验可知,此时 U 35 是可分集合, 所以 n 的最小值为 35 . …………………13 分

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