2011年全国高中数学联赛试题参考答案

2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）
考试时间：2011 年 10 月 16 日 8：00—9：20

一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分.把答案填在横线上． 1 ． 设 集 合 A = {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } ， 若 A 中 所 有 三 元 子 集 的 三 个 元 素 之 和 组 成 的 集 合 为
B = {?1, 3, 5, 8} ，则集合 A =

．

2．函数 f ( x) =

x 2 +1 x ?1

的值域为

．

3．设 a, b 为正实数， + ≤ 2 2 ， (a ? b) 2 = 4(ab) 3 ，则 log a b =

1 a

1 b

．

4．如果 cos 5 θ ? sin 5 θ < 7(sin 3 θ ? cos 3 θ ) ， θ ∈ [0,2π ) ，那么 θ 的取值范围是

．

5．现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个 项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数 为 ． （用数字作答）

6． 在四面体 ABCD 中， 已知 ∠ADB = ∠BDC = ∠CDA = 60° ，AD = BD = 3 ， = 2 ， CD 则四面体 ABCD 的外接球的半径为 ．

7．直线 x ? 2 y ? 1 = 0 与抛物线 y 2 = 4 x 交于 A, B 两点， C 为抛物线上的一点， ∠ACB = 90° ，则 点 C 的坐标为 ．

n 8．已知 a n = C 200 ?(3 6 )

200 ? n

? 1 ? ? (n = 1,2, ? ,95) ，则数列 {a n } 中整数项的个数为 ?? ? ? ? 2?

n

．

二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9 ． 本 小 题 满 分 16 分 ） 设 函 数 f ( x) =| lg( x + 1) | ， 实 数 a, b(a < b) 满 足 f (a) = f (? （
f (10a + 6b + 21) = 4 lg 2 ，求 a, b 的值． b +1 ) b+2

，

10 ．（ 本 小 题 满 分 20 分 ） 已 知 数 列 {a n } 满 足 ： a1 = 2t ? 3 (t ∈ R 且 t ≠ ±1) ，
a n +1 = (2t n +1 ? 3)a n + 2(t ? 1)t n ? 1 a n + 2t n ? 1 (n ∈ N * ) ．

（1）求数列 {a n } 的通项公式； （2）若 t > 0 ，试比较 an +1 与 a n 的大小．

11． （本小题满分 20 分）作斜率为 的直线 l 与椭圆 C ：

1 3

x2 y2 + =1 36 4

y P O x B A

交于 A, B 两点（如图所示） ，且 P(3 2 , 2 ) 在直线 l 的左上方． （1）证明：△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若 ∠APB = 60° ，求△ PAB 的面积．

2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）
考试时间：2011 年 10 月 16 日 9：40—12：10

（本题满分 二、 本题满分 40 分）证明：对任意整数 n ≥ 4 ，存在一个 n 次多项式 （
f ( x) = x n + a n ?1 x n ?1 + ? + a1 x + a 0

具有如下性质： （1） a 0 , a1 , ? , a n ?1 均为正整数； （2）对任意正整数 m ，及任意 k (k ≥ 2) 个互不相同的正整数 r1 , r2 , ? , rk ，均有
f (m) ≠ f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk ) ．

（本题满分 三、 本题满分 50 分）设 a1 , a 2 , ? , a n (n ≥ 4) 是给定的正实数， a1 < a 2 < ? < a n ．对任意正实 （ 数 r ，满足
a j ? ai ak ? a j = r (1 ≤ i < j < k ≤ n) 的三元数组 (i, j , k ) 的个数记为 f n (r ) ．

证明： f n (r ) <

n2 4

．

（本题满分 设 四、 本题满分 50 分） A 是一个 3× 9 的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称 （ A 中的一个 m × n (1 ≤ m ≤ 3, 1 ≤ n ≤ 9) 方格表为“好矩形” ，若它的所有数的和为 10 的倍数．称 A 中的一个 1×1 的小方格为“坏格” ，若它不包含于任何一个“好矩形” ．求 A 中“坏格”个数 的最大值．