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湖南省株洲市第二中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


株洲市二中 2015 年下学期 高二年级期末考试试卷 理科数学试题
时量:120 分钟 分值:100 分

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数 i ? i 在复平面内表示的点在 A.第一 象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设 x ? R ,则 x ? ? 的一个必要不充分条件是 A. x ? 3 B. x ? 3 C. x ? 4 D. x ? 4 3.准线方程为 x ? 1 的抛物线的标准方程是
2

A. y 2 ? ?4 x B. y 2 ? ?2x C. y 2 ? 2 x D. y 2 ? 4 x 4.若 f ( x) ? 2 sin ? ? cos x ,则 f ?(? ) 等于 A. sin ? B. cos ? C.2sin ? -cos ? D.-3cos ? 4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是 ① Z1 , Z 2 不能比较大小;② Z1 , Z 2 是虚数;③虚数不能比较大小. A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②① 5.若 a ? (1,1, k ) , b ? (2,?1,1) , a 与 b 的夹角为 60°,则 k 的值为 A.0 或-2 B.0 或 2 C.-2 D.2 6.设 F1 , F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? 5) 的两个焦点,且 F1 F2 ? 8 ,弦 AB 过点 F2 ,则 ?ABF 1 的周长为 a 2 25

A.12 B.20 C.2 41 D.4 41 7. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》 中的“更相减损术”. 执行该程序框图, 若输入 a , b 分别为 14,18,则输出的 a ?

b

A.0 B.2 C.4 D.14 8.对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 ( x ? 1) f ?( x) ? 0 ,则必有 A. f (?3) ? f (3) ? 2 f (1) B. f (?3) ? f (7) ? 2 f (1) C. f (?3) ? f (3) ? 2 f (1) D. f (?3) ? f (7) ? 2 f (1)
1

2 9. (2 x ? ) 的展开式中 x 的系数为
8

1 x

A.-1792

B.1792

C.-448
4 2 2

D.448

10.用数学归纳法证明1 ? 2 ? 3 ? …… ? n ?
2 A. (k 2 ? 1) ? (k 2 ? 2) ? ……? (k+1)

n ?n ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加上 2 B. (k ? 1) 2
D. k 2 ? 1

C.

(k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 2

11.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的准线过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点且与椭圆交于 A、B 两点,O 为坐标原点, a 2 b2

3 ,则椭圆的离心率为 2 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3 12 .若存在实常数 k 和 b ,使得函数 F ( x) 和 G ( x) 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足: F ( x) ? kx ? b 和 G ( x) ? kx ? b 恒 成 立 , 则 称 此 直 线 y ? kx ? b 为 F ( x) 和 G ( x) 的 “ 隔 离 直 线 ” , 已 知 函 数 1 f ( x) ? x 2 ( x ? R ), g ( x) ? ( x ? 0), h( x) ? 2e ln x ,有下列命题: x 1 ① F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? (? , 0) 内单调递增; 3 2 ② f ( x) 和 g ( x) 之间存在“隔离直线”,且 b 的最小值为 ?4 ; ③ f ( x) 和 g ( x) 之间存在“隔离直线”,且 k 的取值范围是 [?4,0] ;
?AOB 的面积为
④ f ( x) 和 h( x) 之间存在唯一的“隔离直线” y ? 2 ex ? e . 其中真命题的个数有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题:本大 题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上. 13.用反证法证明命题“若 a, b ? N , ab 能被 2 整除,则 a , b 中至少有一个能被 2 整除”,那么反设的内容是 .

? ]上与 x 轴所围成的平面图形的面积为 . 2 a ? a n ? 2 ? ? ? ? ? a 2 n a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a3n ? 15.已知等差数列 ?an ? 中,有 n ?1 成立.类似地,在等比数列 ?bn ? 中, n 3n
14. 曲线 y ? cos x 在[0, 有 成立. 16.某种游戏中,黑、黄两个“电子狗”从棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的顶点 A 出发沿棱向前爬行, 每爬完一条棱 称为“爬完一段” .黑“电子狗”爬行的路线是 AA1 ? A1 D1 ? ,黄“电子狗”爬行的路线是

AB ? BB1 ? ,它们都遵循如下规则:所爬行的第 i ? 2 段与第 i 段所在直线必须是异面直线(其中 i 是正整
数) .设黑“电子狗”爬完 2016 段、黄“电子狗”爬完 2015 段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、黄“电 子狗”间的距离是 .

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 48 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 6 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? (a ? 1) x 2 ? 27(a ? 2) x ? b 的图象关于原点成中心对称,求 f ( x) 在区间 [?4,5] 上的最值.

18. (本小题满分 6 分) 已知 5 名学生和 2 名教师站在一排照相,求: (1)中间二个位置排教师,有多少种排法? (2)两名教师不相邻的概率为多少?

19. (本小题满分 8 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n 且满足 S n ? an ? 2n . (1)写出 a1 , a2 , a3 ,并推测 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论.

20.(本小题满分 8 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且 AC ? BC ? 2 , PA ? 平面 ABCD , E , F 分 别是

BC, PC 的中点. (1)证明: AE ? PD ;
(2)若 H 为 PD 上一点,且 AH ? PD , EH 与平面 PAD 所成角的正切 值为 值.

15 ,求二面角 E ? AF ? C 的正弦 4

3

21. (本小题满分 10 分)

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 ,以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T : 2 2 a b ( x ? 2) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点,且直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点 R , S , O 为坐标原点, 求证: OR ? OS 为定值.
已知椭圆 C :

2 2.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? e x , x ? R .

f ( x) 与直线 y ? m 公共点的个数; x2 f ( x) f ( 2) 9 2 2 (2)设函数 h( x) 满足 x h ?( x) ? 2 xh ( x ) ? , h ( 2) ? , 试比较 h(e) 与 的大小. (e ? 7.389) x 8 10
(1)设 x ? 0 ,讨论曲线 y ?

4

株洲市二中 2015 年下学期高二年级期末考试试卷 理科数学试题 时量:120 分钟 分值:100 分

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数 i ? i 在复平面内表示的点在 A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设 x ? R ,则 x ? ? 的一个必要不充分条件是 A A. x ? 3 B. x ? 3 C. x ? 4 D. x ? 4 3.准线方程为 x ? 1 的抛物线的标准方程是 A
2

A. y 2 ? ?4 x B. y 2 ? ?2x C. y 2 ? 2 x D. y 2 ? 4 x 4.若 f ( x) ? 2 sin ? ? cos x ,则 f ?(? ) 等于 A A. sin ? B. cos ? C.2sin ? -cos ? D.-3cos ? 4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是 D ① Z1 , Z 2 不能比较大小;② Z1 , Z 2 是虚数;③虚数不能比较大小. A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②① 5.若 a ? (1,1, k ) , b ? (2,?1,1) , a 与 b 的夹角为 60°,则 k 的值为 D A.0 或-2 B.0 或 2 C.-2 D.2 6.设 F1 , F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? 5) 的两个焦点,且 F1 F2 ? 8 ,弦 AB 过点 F2 ,则 ?ABF 1 的周长为 B a 2 25

A.12 B.20 C.2 41 D.4 41 7. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》 中的“更相减损术”. 执行该程序框图, 若输入 a , b 分别为 14,18,则输出的 a ? B

b

A.0 B.2 C.4 D.14 8.对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 ( x ? 1) f ?( x) ? 0 ,则必有 C A. f (?3) ? f (3) ? 2 f (1) B. f (?3) ? f (7) ? 2 f (1) C. f (?3) ? f (3) ? 2 f (1) D. f (?3) ? f (7) ? 2 f (1)
5

2 9. (2 x ? ) 的展开式中 x 的系数为 A
8

1 x

A.-1792

B.1792

C.-448
4 2 2

D.448

10.用数学归纳法证明1 ? 2 ? 3 ? …… ? n ?
2 A. (k 2 ? 1) ? (k 2 ? 2) ? ……? (k+1)

n ?n ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加上 A 2 B. (k ? 1) 2
D. k 2 ? 1

C.

(k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 2

11.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的准线过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点且与椭圆交于 A、B 两点,O 为坐标原点, a 2 b2

3 ,则椭圆的离心率为 C 2 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3 12 .若存在实常数 k 和 b ,使得函数 F ( x) 和 G ( x) 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足: F ( x) ? kx ? b 和 G ( x) ? kx ? b 恒 成 立 , 则 称 此 直 线 y ? kx ? b 为 F ( x) 和 G ( x) 的 “ 隔 离 直 线 ” , 已 知 函 数 1 f ( x) ? x 2 ( x ? R ), g ( x) ? ( x ? 0), h( x) ? 2e ln x ,有下列命题:D x 1 ① F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? (? , 0) 内单调递增; 3 2 ② f ( x) 和 g ( x) 之间存在“隔离直线”,且 b 的最小值为 ?4 ; ③ f ( x) 和 g ( x) 之间存在“隔离直线”,且 k 的取值范围是 [?4,0] ;
?AOB 的面积为
④ f ( x) 和 h( x) 之间存在唯一的“隔离直线” y ? 2 ex ? e . 其中真命题的个数有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上. 13. 用反证法证明命题“若 a, b ? N ,ab 能被 2 整除, 则 a , b 中至少有一个能被 2 整除”, 那么反设的内容是“若

a, b ? N , ab 能被 2 整除,则 a , b 都不能能被 2 整除”. ? 14. 曲线 y ? cos x 在[0, ]上与 x 轴所围成的平面图形的面积为 1. 2 a ? a n ? 2 ? ? ? ? ? a 2 n a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a3n ? 15.已知等差数列 ?an ? 中,有 n ?1 成立.类似地,在等比数列 ?bn ? 中, n 3n

n

a n?1a n? 2 ? ? ? a 2 n ?

3n

a1a2 ? ? ? a3n 成立.

16.某种游戏中,黑、黄两个“电子狗”从棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的顶点 A 出发沿棱向前爬行, 每爬完一条棱称为“爬完一段” .黑“电子狗”爬行的路线是 AA1 ? A1 D1 ? ,黄“电子狗”爬行的路线是

AB ? BB1 ? ,它们都遵循如下规则:所爬行的第 i ? 2 段与第 i 段所在直线必须是异面直线(其中 i 是正整
数) .设黑“电子狗”爬完 2016 段、黄“电子狗”爬完 2015 段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、黄“电 子狗”间的距离是 1 .

6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 48 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 6 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? (a ? 1) x 2 ? 27(a ? 2) x ? b 的图象关于原点成中心对称,求 f ( x) 在区间 [?4,5] 上的最值. f(x)的最大值是 54,f(x)的最小值是-54.

18. (本小题满分 6 分) 已知 5 名学生和 2 名教师站在一排照相,求: (1)中间二个位置排教师,有多少种排法? (2)两名教师不相邻的概率为多少? 解: (1)先排教师有 A 2 2 种方法, 再排学生有 种方 A 5 5 A 5 5 法,故共有 240 种; A 2 6

(2)采用“插空法”,先排 4 名学生, 有种方法;再把 2 个教师插入 5 个学生形成的 6 个空中,方 法有 种.根据分步计数原理,所有满足条件的排法共有 3600 种

19. (本小题满分 8 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n 且满足 S n ? an ? 2n . (1)写出 a1 , a2 , a3 ,并推测 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论. 3 7 15 1 解:(1)a1= ,a2= ,a3= ,?.猜测 an=2- n(5 分) 2 4 8 2 (2)①由(1)已得当 n=1 时,命题成立;(7 分) 1 ②假设 n=k 时,命题成立,即 ak=2- k,(8 分) 2 当 n=k+1 时,a1+a2+??+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1, 且 a1+a2+??+ak=2k+1-ak ∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3, 1 1 ∴2ak+1=2+2- k,ak+1=2- k+1, 2 2 即当 n=k+1 时,命题成立.(11 分) 1 根据①②得 n∈N+时,an=2- n都成立.(12 分) 2

20.(本小题满分 8 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且 AC ? BC ? 2 , PA ? 平面 ABCD , E , F 分别是

BC, PC 的中点. (1)证明: AE ? PD ;
7

(2)若 H 为 PD 上一点,且 AH ? PD , EH 与平面 PAD 所成角的正切 值为 值.

15 ,求二面角 E ? AF ? C 的正弦 4

20.(1)证明:由 AC=AB=BC,可得△ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD,因此 AE⊥AD. 因为 PA⊥平面 ABCD ,AE? 平面 ABCD,所以 PA⊥AE. 而 PA? 平面 PAD,AD? 平面 PAD 且 PA∩AD=A, 所以 AE⊥平面 PAD.又 PD? 平面 PAD, 所以 AE⊥PD.(5 分)

(2)解:因为 AH⊥PD, 由(1)知 AE⊥平面 PAD, 则∠EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角. 在 Rt△EAH 中,AE= 3, AE 3 6 此时 tan∠EHA= = = , AH AH 2

在 Rt△AOE 中,EO=AE?sin 30°=

3 3 ,AO=AE?cos 30°= , 2 2

3 2 又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ASO 中,SO=AO?sin 45°= , 4 又 SE= EO +SO =
2 2

3 9 30 + = , 4 8 4

8

3 2 4 SO 15 在 Rt△ESO 中,cos∠ESO= = = , SE 5 30 4 15 .(12 分) 5 解法二:由(1)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又 E,F 分别为 BC, PC 的中 点,所以 即所求二面角的余弦值为

A(0,0,0),B( 3,-1,0),C( 3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E( 3,0,0), F?

? 3 1 ? , ,1?, ?2 2 ? ? 3 1 ? , ,1?. ?2 2 ?

所以 AE =( 3,0,0),

AF =?

m? BD
所以 cos〈m, BD 〉=

|m|?| BD |



15 = . 5 5? 12 15 .(12 分) 5

2?3

因为二面角 E-AF-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为

21. (本小题满分 10 分)

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 ,以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T : 2 2 a b ( x ? 2) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点,且直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点 R , S , O 为坐标原点, 求证: OR ? OS 为定值.
已知椭圆 C : 3 2 2 ,∴c= 3,b= a -c =1; 2 x2 2 13 2 2 故椭圆 C 的方程为 +y =1. (x+2) +y = (3 分) 4 25 解:(1)依题意,得 a=2,e= =

c a

9

(2)方法一:点 M 与点 N 关于 x 轴对称, 设 M(x1,y1),N(x1,-y1),不妨设 y1>0. 由于点 M 在椭圆 C 上, 所以 y1=1- .(*)(4 分) 4 由已知 T(-2,0),则 TM =(x1+2,y1), TN =(x1+2,-y1),
2

x2 1

? x1? 5 2 2 2 2 ∴ TM ? TN = (x1 + 2 , y1)?(x1 + 2 , - y1) = (x1 + 2) - y 1 = (x1 + 2) - ?1- ? = x 1 + 4x1 + ? 4? 4

2

3 方法二:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,故设 M(2cos θ ,sin θ ),N(2cos θ ,-sin θ ), 不妨设 sin θ >0,由已知 T(-2,0),则

TM ? TN =(2cos θ +2,sin θ )?(2cos θ +2,-sin θ )=(2cos θ +2)2-sin2θ =5cos2θ +8cos θ +3
4?2 1 ? =5?cos θ + ? - .(6 分) 5? 5 ? 4 1 ? 8 3? 故当 cos θ =- 时, TM ? TN 取得最小值为- ,此时 M?- , ?, 5 5 ? 5 5? 13 2 又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r = . 25 13 2 2 故圆 T 的方程为:(x+2) +y = .(8 分) 25 (3)方法一:设 P(x0,y0),则直线 MP 的方程为: y0-y1 y-y0= (x-x0), x0-x1 x1y0-x0y1 x1y0+x0y1 令 y=0,得 xR= ,同理:xS= ,(10 分) y0-y1 y0+y1 2 2 2 x2 1y0-x0y1 故 xR?xS= 2 2 (**)(11 分) y0-y1 2 2 2 2 又点 M 与点 P 在椭圆上,故 x0=4(1-y0),x1=4(1-y1),(12 分) 2 2 2 2 2 2 4(1-y1)y0-4(1-y0)y1 4(y0-y1) 代入(**)式,得:xR?xS= = 2 2 =4. 2 2 y0-y1 y0-y1 所以|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4 为定值.(13 分) 方法二: 设 M(2cos θ , sin θ ), N(2cos θ , -sin θ ), 不妨设 sin θ >0, P(2cos α , sin α ), 其中 sin α ≠±sin sin α -sin θ θ .则直线 MP 的方程为:y-sin α = (x-2cos α ), 2cos α -2cos θ 2(sin α cos θ -cos α sin θ ) 令 y=0,得 xR= , sin α -sin θ 2(sin α cos θ +cos α sin θ ) 同理:xS= ,(12 分) sin α +sin θ 2 2 2 2 2 2 4(sin α cos θ -cos α sin θ ) 4(sin α -sin θ ) 故 xR?xS= = =4. 2 2 2 2 sin α -sin θ sin α -sin θ
10

所以|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4 为定值.(13 分)

22.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? e x , x ? R .

f ( x) 与直线 y ? m 公共点的个数; x2 f ( x) f ( 2) 9 2 (2)设函数 h( x) 满足 x h ?( x) ? 2 xh ( x ) ? , h ( 2) ? ,试比较 h(e) 与 的大小. (e 2 ? 7.389) x 8 10
(1)设 x ? 0 ,讨论曲线 y ? 解:(1)f(x)的反函数 g(x)=ln x.设直线 y=kx+1 与 g(x)=ln x 相切于点 P(x0,y0),? x0=e ,k=e .所以 k =e .(3 分) 2 (2)当 x>0,m>0 时,曲线 y=f(x)与曲线 y=mx (m>0)的公共点个数 2 即方程 f(x)=mx 根的个数. x x e e xex(x-2) 2 由 f(x)=mx ? m= 2,令 v(x)= 2? v′(x)= , 4
2 -2 -2

x

x

x

则 v(x)在(0,2)上单调递减,这时 v(x)∈(v(2),+∞);

v(x)在(2,+∞)上单调递增,这时 v(x)∈(v(2),+∞).v(2)= . v(2)是 y=v(x)的极小值,也是最小值.(5 分) 2 所以对曲线 y=f(x)与曲线 y=mx (m>0)公共点的个数,讨论如下:

e 4

2

? e? 当 m ∈?0, ?时,有 0 个公共点; ? 4? 2 e 当 m= 时,有 1 个公共点; 4 2 ?e ? 当 m∈? ,+∞?时有 2 个公共点;(8 分) ?4 ?
(3)令 F(x)=x h(x),则 F′(x)=x h′(x)+2xh(x)=
2 2

2

e

x

x F(x) F′(x)x2-2xF(x) F′(x)x-2F(x) ex-2F(x) 所以 h(x)= 2 ,故 h′(x)= = = x x4 x3 x3 x x e e (x-2) x x x 令 G(x)=e -2F(x),则 G′(x)=e -2F′(x)=e -2? = x x 显然,当 0<x<2 时,G′(x)<0,G(x)单调递减; 当 x>2 时,G′(x)>0,G(x)单调递增; 所以,在(0,+∞)范围内,G(x)在 x=2 处取得最小值 G(2)=0. x 即 x>0 时,e -2F(x)≥0. 故在(0,+∞)内,h′(x)≥0, 所以 h(x)在(0,+∞)单调递增, f(2) e2 7 又因为 h(2)= = > ,h(2)<h(e)
8 8 8 7 所以 h(e)> .(14 分) 8

11


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