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2.2等差数列第一课时教案


高中数学必修 5 教案

第二章

§2.2 等差数列
授课类型:新授课 (第 1 课时) 一、教学目标 知识与技能:了解公差的概念,能根据定义判断一个数列是等差数列;正确认识使用等差数列的各种表 示法,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项。 过程与方法:了解等差数列的构造过程以及应用等差数列的基本知识解决实际

问题的方法。 情感态度与价值观:通过等差数列概念的学习,培养学生的观察能力及总结归纳的意识。 二、教学重点 等差数列的概念,等差数列的通项公式。 三、教学难点 等差数列的通项公式 四、教学过程 1、课题导入 上两节课我们学习了数列的定义并给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、 图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。 下面我们看这样一些例子 ①0,5,10,15,20,25,? ②48,53,58,63 ③18,15.5,13,10.5,8,5.5 ④10072,10144,10216,10288,10366 观察:请同学们仔细观察一下,看看以上四个数列有什么共同特征? ★共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差) ;我们给具有这种特征的 数列一个名字——等差数列. 2、讲授新课 ①等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫 做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示) 。 注:公差 d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求; 对于数列 ?an ? ,若 an ? an?1 ? d (与 n 无关的数或字母),n ? 2, n ??? , 则此数列是等差数列,d 为公差。 思考:请写出数列①、②、③、④的通项公式。 ②等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d 【或 an ? am ? (n ? m)d 】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。 若一等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,则据其定义可得:

a2 ? a1 ? d 即: a2 ? a1 ? d

a3 ? a2 ? d 即: a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d
a4 ? a3 ? d 即: a4 ? a3 ? d ? a1 ? 3d
??

1

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第二章

由此归纳等差数列的通项公式可得: an ? a1 ? (n ? 1)d ∴已知一数列为等差数列,则只要知其首项 a1 和公差 d,便可求得其通项 an 。 由上述关系还可得: am ? a1 ? (m ? 1)d 即: a1 ? am ? (m ? 1)d 则: an ? a1 ? (n ? 1)d = am ? (m ? 1)d ? (n ? 1)d ? am ? (n ? m)d 即等差数列的第二通项公式 ③例题讲解 例 1 求等差数列 8,5,2?的第 20 项 解:⑴由 a1 ? 8, d ? 5 ? 8 ? 2 ? 5 ? ?3 n=20,得 a20 ? 8 ? (20 ? 1) ? (?3) ? ?49

an ? am ? (n ? m)d

∴ d=

am ? an m?n

例 2 已知数列{ an }的通项公式 an ? pn ? q ,其中 p 、 q 是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是, 首项与公差分别是什么? 分析:由等差数列的定义,要判定 ?an ? 是不是等差数列,只要看 an ? an?1 (n≥2)是不是一个与 n 无关的 常数。 解:当 n≥2 时, an ? an?1 ? ( pn ? q) ? [ p(n ? 1) ? q] ? pn ? q ? ( pn ? p ? q) ? p 为常数 ∴{ an }是等差数列,首项 a1 ? p ? q ,公差为 p。 注:若 p=0,则{ an }是公差为 0 的等差数列,即为常数列 q,q,q,… 3、课堂练习 [补充练习] (1)求等差数列 3,7,11,??的第 4 项与第 10 项. 分析:根据所给数列的前 3 项求得首项和公差,写出该数列的通项公式,从而求出所求项. 解:根据题意可知: a1 =3,d=7-3=4.∴该数列的通项公式为: an =3+(n-1)×4,即 an =4n-1(n≥1,n ∈N*)∴ a4 =4×4-1=15, a10 =4×10-1=39. (2)求等差数列 10,8,6,??的第 20 项. 解:根据题意可知: a1 =10,d=8-10=-2. ∴该数列的通项公式为: an =10+(n-1)×(-2),即: an =-2n+12,∴ a 20 =-2×20+12=-28. (3)-20 是不是等差数列 0,-3

1 ,-7,??的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由. 2
2

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解:由题意可知: a1 =0,d=-3 令-

1 2

∴此数列的通项公式为: an =- 因为-

7 7 n+ , 2 2

7 7 47 n+ =-20,解得 n= 2 2 7

7 7 n+ =-20 没有正整数解,所以-20 不是这个数列的项. 2 2
?

4、课时小结 通过本节学习,首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式: an - a n ?1 =d , (n≥2,n∈N ).其次, 要会推导等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ,并掌握其基本应用 . 最后,还要注意一重要关系式:

an ? am ? (n ? m)d 和 an =pn+q (p、q 是常数)的理解与应用.
5、课后作业 课本 P40 习题 2.2[A 组]的第 1 题

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