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2014年数列求通项公式专题试题(完整版)


求通项公式专题
一、利用 an 与 Sn 关系求 an 1-1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求通项公式 an
例 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求数列{an}的通项公式.(1)Sn=2n-1;(2)Sn=2n2+n+3.

变式训练 1 已知下面各数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式,求 an. (1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n-2.

1-2 已知 an 与 Sn 的关系式,求 an
例 2 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ?

3 an ? 3 ,求 {an } 的通项公式. 2

. 变式训练 2 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? an ? 1 ,求 {an } 的通项公式.

. 1 变式训练 3 已知数列{an}前 n 项和 Sn 满足 Sn= (an+1)2 且 an>0,(1)求 a1,a2;(2)求{an}通项公式. 4

变式训练 4 已知正项数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 2 S n ? an ? 1 ,求 {an } 的通项公式.

加强训练(练习册 31 页例 2)5:已知 a1 ? 3 且 an ? S n?1 ? 2 n ? 2, n ? N
n

?

?

?,求 a

n

及 Sn 。

第1页

二、已知递推公式求通项公式 1 公式法:型如 an ? an?1 ? d ,

an ? q?n ? 2? an?1

2.累加法:型如 an ?1 ? an ? f (n) 的数列
例 3 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3n ? 2 ,求 {an } 的通项公式.

变式训练 5(1)已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? ln(1 ?

1 ) ,求 {an } 的通项公式. n

(2)已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? an ? 3 ? 22n ?1 ,求 {an } 的通项公式.

3.累乘法:型如 an ?1 ? an ? f (n) 的数列
例 4 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ?1 ?

n?2 a n ,求 {an } 的通项公式. n

变式训练 6 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2n ? an ,求 {an } 的通项公式.

变式训练 7 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? n(an?1 ? an ) ,求 {an } 的通项公式.

4 .对数法: 4-1 型如 an?1 ? an 的数列(其中 i ? R 且 i?i ? 1? ? 0 ,数列 ?an ? 是正项数列)
i
2 例 5 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ,求 {an } 的通项公式.

第2页

2 变式训练 8 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 2an ,求 {an } 的通项公式.

4-2 型如 an?1 ? pan

q

? p, q为常数,p

? 1?

例 6:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ? 2 an?1 ?n ? 2,3,??, 试将 an 用 n 表达。

5.构造法 5-1 型如 an ?1 ? kan ? b ( k、 b 为常数)的数列构造 {an ? ?} 为等比数列▲
例 7 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 {an } 的通项公式.

变式训练 9 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 2 ,求 {an } 的通项公式.

变式训练 10 已知数列 {an } 满足 a1 ? ?

17 3 , an ? an?1 ? 5( n ? 2) ,求 {an } 的通项公式. 2 2

5-2 型如 an?1 ?

m an ? r 的数列 pan ? q
m an (m p ? 0) 的数列 pan ? m
an ,求 {an } 的通项公式. 2 an ? 1

5-2-1 型如 a n?1 ?

例 8 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ?

第3页

变式训练 11 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ?

2an ,求 {an } 的通项公式. an ? 2

5-2-2 型如 an?1 ?

m an (m pq ? 0) 的数列 pan ? q
1 1 ? m? an an?1

解法:将原递推公式化为 pan an?1 ? qan?1 ? man 后两边同时除以 an ?1an 得 p ? q ?

转化为“6-1 型如 an ?1 ? kan ? b ( k、 b 为常数)的数列构造 {an ? ?} 为等比数列”.

例 9:已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ?1 ?

an ,求 {an } 的通项公式. an ? 2

例 10(拓展).设由 a1 ? 1, an ?

an?1 ?n ? 2,3,?? 定义数列 ?an ?,试将 an 用 n 来表示 ?2n ? 1?an?1 ? 1

5-2-3 形如: an?1 ?

m an ? r pan ? q

当特征方程 a n ?1 ?

? a n ? x1 ? m an ? r 有两个不同的根 x1 与 x2 时,则 ? ? 是等比数列;当特征方程 pan ? q ? an ? x2 ?

x?

? 1 ? m x? r 有且仅有一根 x0 时,则 ? ? 是等差数列。 px ? q ? a n ? x0 ?

第4页

例 11 设数列 ?an ? 由下式规定: a1 ? 2, an ?

an?1 ? 2 ?n ? 2,3,?? 。 2an?1 ? 1

(1) 将

an ? 1 用 n 来表示; an ? 1

(2)求数列 ?an ? 的通项。

变式训练 12:已知数列 ?an ? , a1 ? 0, a n?1 ?

1 ? an ?n ? 1,2,3,?? 求数列 ?an ?的通项。 3 ? an

型如: an ?1

2 2 a ? x1 ? a n ? x1 pan ?q ? an ? x ? ?? 转化为: an?1 ? x ? 条件: r ? 2 p 得: n ?1 ? a n ?1 ? x 2 ? ra n ? m ra n ? m ? an ? x2

? ? ? ?

2

变式训练 13 设 a 为正数, 且 a1 ? 的通项。

? a ? 1? 1? 1? 1? 1 ? ??n ? 2,3, ?? ,试求数列 ? n ? a ? ? a ? ?, a n ? ? n ? 1 2? a? 2? a n ?1 ? ? a n ? 1? ? ?

5-3 型如 an?1 ? pan ? m ? q n 的数列
解法:将原递推公式两边同除以 q
n ?1



an?1 p an m a p m ,得 bn ?1 ? ? bn ? , ? ? n ? ,设 bn ? n n n ?1 q q q q q q q

转化为“6-1 型如 an ?1 ? kan ? b ( k、 b 为常数)的数列构造 {an ? ?} 为等比数列”. 例 12 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3n ,求 {an } 的通项公式.

变式训练 14 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , a n ?1 ?

1 a n ? 2 n ,求 {an } 的通项公式. 2

第5页

变式训练 15 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,求 {an } 的通项公式.

5-4 型如 an?1 ? pan ? A0 n ? B0 的数列
解法: 设 an?1 ? A(n ? 1) ? B ? p(an ? An ? B) , 去括号整理对比 an?1 ? pan ? A0 n ? B0 解出 A 、B 的值,构造出 {an ? An ? B} 为等比数列. 理解该数列的构造原理,若出现 an?1 ? pan ? A0 n 2 ? B0 n ? C0 ,方法也相同. 例 13 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3n ? 1,求 {an } 的通项公式.

变式训练 14 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 2n ? 1,求 {an } 的通项公式.

6.形如: 用待定系数法求出 x an?1 ? pan ? qan?1 ?n ? 2,3,?? 设成 an?1 ? xan ? ? p ? x??an ? xan?1 ? , 设数列 ?an ? 成立着关系 an?1 ? pan ? qan?1 ?n ? 2,3,?? ,其中 p, q 为常数。设 ? , ? 为二次方程

x 2 ? px ? q ? 0 的两根,则数列 ?an?1 ? ?an ?是以 ? 为公比的等比数列。
例 14:设数列 ?an ? 定义如下: a0 ? 1, a1 ? 2, an?1 ? 3an ? 2an?1 ? 0?n ? 1,2,?? ,求 an 。

例 15:设有数列由 a1 ? a2 ? 1, an?1 ? an ? an?1 ?n ? 2,3,?? 所定义。求它的通项公式。

第6页

高考试题
1. (2005 年广东)设平面内有 n 条直线(n≥3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线 不过同一点.若用 f ( n) 表示这 n 条直线交点的个数,则 f ( 4) = ;当 n>4 时,

f ( n) =

.(用 n 表示)

2(2009。全国)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 1, S n?1 ? 4an ? 2. ① 设 bn ? an?1 ? 2an , 证明数列 ?bn ? 是等比数列;②求数列 ?an ? 的通项公式。 ① 数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n

3.2011 年全国高考(广东卷)理科数学第 20 题 设 b ? 0 , 数列 ?an ? 满足 a1 ? b, an ?

nban ?1 ? n ? 2? .求数列 ?an ? 的通项公式; an ?1 ? 2n ? 2

4.2008 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)第 21 题. (本小题满分 12 分)
2 设 p, q 为实数, ?,? 是方程 x ? px ? q ? 0 的两个实根,数列 {xn } 满足 x1 ? p , x2 ? p2 ? q ,

4, ?) . xn ? pxn?1 ? qxn?2 ( n ? 3,
(1)证明: ? ? ? ? p , ?? ? q ; (2)求数列 {xn } 的通项公式; (3)若 p ? 1 , q ?

1 ,求 {xn } 的前 n 项和 Sn . 4

第7页


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