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数形结合法在函数零点问题中的应用


数形结合法在函数零点问题中的应用
蔡鹏 (甘肃省张掖市实验中学,甘肃张掖,734000) 摘要:越来越多的高考题目,不只是考查学生的某一种解题能力,而是利用其精妙的构思、灵 活的解法考查学生的综合解题能力。其中数形结合的能力是每年的高考中必不可少的,利用数形结 合法,其目的在于能够使抽象的数学知识形象化,把数学题目中的一些抽象的数量关系转化为适当 的几何图形,在具体的几

何图形中寻找数量之间的联系,由此可以达到化难为简、化繁为易的目的. 关键词:数形结合;函数零点;应用 纵观近几年各地的高考试题,出现了不少考查利用数形结合方法求解的题目,这类试题新颖别 致,构思精妙,解法灵活,给人耳目一新的感觉. 数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形” 两个方面,但在有些“以形助数”的高考试题中,很多学生缺乏找“形”的意识或是不会找“形”, 以致于无法高质有效地解决问题.为此本文就这类试题进行透视剖析,探索解决问题的规律与方法. 1.分离函数法 例 1 函数 f ? x ? ? 2 x log0.5 x ? 1 的零点个数为( A.1 B.2 C. 3 D.4 )

分析:将函数的零点转化为其图象与 x 轴的焦交点问题, 但是直接去画此函数的图象有很大的困难.所以解决的方 法是将函数 f ? x ? ? 2 x log0.5 x ? 1 变为方程 log0.5 x ?
1 ,然后 2x

利用数形结合的方法在坐标系中分别画出函数 f ? x ? ? log0.5 x 图1
1 与 g ? x ? ? x 的图象,观察这两个函数图象的交点个数,就是函数 f ? x ? ? 2 x log0.5 x ? 1 的零点个数. 2

解:由图 1 可知,两个函数的交点个数 2 个,所以函数 f ? x ? ? 2 x log0.5 x ? 1 的零点个数为 2 个. 变式 1 已知函数 f ? x ? ? x ? 3 ? 1, g ? x ? ? ax .若方程 f ? x ? ? g ? x ? 有两个不相等的实根,则实数 a 的取值 范围是 .

分析:学生在求解时用的方法有:①对 f ? x ? 进行分类讨论,再进行解方程;②写出 f ? x ? ? g ? x ? 的表 法是数形结合:因为方程 f ? x ? ? g ? x ? 有两个不相等的实根,则 f ? x ? , g ? x ? 的图象应该有两个不同的交

1

点, 则画出函数的图象后, 通过观察图象, 得出求解的方法. 解:由图 2 可知, g ? x ? ? ax 的位置从 l1 转到 l2 时,方程
f ? x ? ? g ? x ? 有两个不相等的实根,g ? x ? 在 l1 时 a ?
l 2 时 a ? 1 ,故 a 的取值范围是

1 ,g ? x ? 在 3

1 ? a ?1. 3

思维升华

在求解函数零点个数的问题时,我们应该避开

图2

用解方程的方法求解, 而是利用数形结合的方法将问题转化 为两个函数图象交点的横坐标所在的区间问题.在处理时,只需要准确画出相关函数的图象即可. 2.二分法 例 2 若 a?b?c, 则函数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b ? ? ? x ? b ?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? 的两个零点所在的区间分别为 ( ) A. ? a, b ? 和 ? b, c ? 内 C. ? b, c ? 和 ? c, ?? ? 内 B. ? ??, a ? 和 ? a, b ? 内 D. ? ??, a ? 和 ? c, ?? ? 内

分析:此题若采用直接去解,需要将函数的解析式展开,再利用二次函数根的分步问题求解,过程 显得有些冗繁,故采用“二分法”解决. 解: 由于 a ? b ? c , 所以 f ? a ? ? 0 ? ? a ? b ?? a ? c ? ? 0 ? 0 ,f ? b ? ? ?b ? c ?? x ? a ??b ? a ? ? 0 ,f ? c ? ? ? c ? a ?? c ? b ? ? 0 . 因此有 f ? a ? ? f ? b ? ? 0 , f ? b ? ? f ? c ? ? 0 , 有因 f ? x ? 是关于 x 的二次函数, 函数的图象是连续不断的曲线, 因此函数 f ? x ? 的两个零点分别位于区间 ? a, b ? 和 ? b, c ? 内. 变式 2 函数 f ? x ? ? log 2 x ? 的零点所在的区间是( )
1? A. ? ? 0, ? ? 2? ? B. ? ? ,1? 2 1 ? ?
1 x

C. ?1,2 ?

D. ? 2,3?

思维升华

在利用“二分法”求解函数零点所在区间的问题时,我们采用的方法有①利用数形结合

的方法将问题转化为两个函数图象交点的横坐标所在的区间问题;②判断每个区间端点处函数值得 符号,再根据零点存在定理进行求解即可. 3.导数法 例 3 在下列区间中,函数 f ? x ? ? e x ? 4 x ? 3 的零点所在的区间为(
? A. ? ? ? ,0 ? 4 1 ? ? 1? B. ? ? 0, ? ? 4? 1 1? C. ? ? , ? 4 2 ? ?


1 3

? D. ? ? , ? 2 4 ? ?

2

1 ? ?1 4 解:? f ? x ? ? e x ? 4 x ? 3 ,? f ? ? x ? ? e x ? 4 ? 0 ,? f ? x ? 在定义域上是严格单调增函数.? f ? ?? ? ? e ? 4 ? 0 , ? 4?
1 1 ?1? ?1? ?1? f ? 0? ? e0 ? 4 ? 0 ? 3 ? ?2 ? 0 , f ? ? ? e 4 ? 2 ? 0 , f ? ? ? e 2 ? 1 ? 0 , f ? ? ? ? 4? ? 4? ? 2?

?1? f ? ? ? 0 .所以函数 f ? x ? ? e x ? 4 x ? 3 ? 2?

? 的零点所在的区间为 ? ? , ?. 4 2 1 1 ? ?

另解:此题可以利用分离函数法后,在借助于数形结 合的方法进行求解.可以令 g ? x ? ? ex , h ? x ? ? ?4 x ? 3 .如 图 3,根据两个函数的图象的交点所在的区间即可. 变式 3 已知函数? f ? x ? ? ln x ? x ? 2 有一个零点所在区 间为 ? k , k ? 1?? k ? N *? ,则 k 的值为 .

思维升华 在利用导数法求解函数零点问题时,处理的 方法是对原函数进行求导数,根据导数的符号确定原函 数的单调性,再根据端点处函数值的符号进行确定. 4.分离参数法 例 4 已知定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,且 f ?1? ? 0 ,则不等式 f ? x ? 2? ? 0 的解集 为 .

分析:这是一道关于抽象函数与不等式结合的问题,所以学生在求解时总想着考虑 f ? x ? 的解析式, 目的在于不等式 f ? x ? 2? ? 0 的具体形式就已知了,这样求解就顺理成章了,然而 f ? x ? 的解析式不唯 一,故答案的正确性就要认真斟酌了.我的解决方法是数形结合,因为这样的方法显得直观,学生更 易接受和理解. 解:用图 4 中的图象模拟函数 f ? x ? 的图象,可知 图 5 的 图 象 为 函 数 f ? x ? 2? , 从 而 由 图 5 知
f ? x ? 2? ? 0 的解集为 ?x x ? 1或x ? 3? .

变式 4 设偶函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为减函数,且 f ?1? ? 0 ,则不等式 ? x ? 1? f ? x ? 1? ? 0 的解集是

.

分析:这是一道关于利用函数的性质求解不等式解集的问题,学生在求解时只是不断的挖掘函数的 性质,而没有将相关的性质转化到函数的图象上来,使得求解变得无从下手,但是利用数形结合的

3

方法不仅大大的降低了题目的难度还会有“柳暗花明又一村”的效果. 思维升华 函数与方程的问题中除了零点所在的区间和根的个数问题以外,函数零点的应用也是常

见的题型,解决起来遇到的困难是直接求解很难凑效,必须经过一定的转化才能求解,通常是利用 数形结合的方法进行转化,这样会使得问题变得能抓得住、摸得着,把一个抽象的问题变成一个具 体的问题.但是这需要学生有正确、规范的画出图形,并能准确地识图的能力. 数形结合的解题方法在解题中的应用,使的解题思路更直观、更容易使学生接受,同时也能起 到事半功倍的效果,所以在平时的学习中要体会数形结合的“以形助数”的效果,并能多加应用, 达到熟练掌握的目的.

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