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海淀区高二年级第一学期期末练习答案-理科上交 -


海淀区高二年级第一学期期末练习

数 学(理科)
参考答案及评分标准
2012.1 一. 选择题. 题号 答案 二.填空题. 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 B 7 D 8 C

9.

5 2 1 3

10. 7,

3 3 14

r />11. 3

12. ?1

13. an ? 2n,

14. ①,② (错选,漏选的都不给分)

说明:两空题目都是一个空 2 分 三.解答题. 15.解: ( I ) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

因为

x2 y2 ? ? 1 和 y ? x ? 2 相交, 8 4

把两个方程联立,得

? x2 ? 2 y2 ? 8 ? 0 ? ?y ? x ?2
2 2

…………………….2 分

代入得到 x ? 2( x ? 2) ? 8 ? 0 ,即 3x ? 8 x ? 0 ,解得
2

x1 ? 0, x2 ?

8 3 2 , 3

…………………….4 分 …………………….6 分

所以 y1 ? ?2, y2 ? 所以 | AB |?

8 2 8 (0 ? ) 2 ? ( ?2 ? ) 2 ? 2 3 3 3

…………………….8 分

( II ) 法一:因为点 F1 ( ?2,0) 到直线 y ? x ? 2 的距离为 d ?

| ?2 ? 2 | ? 2 2 …….10 分 1?1

高二数学理科答案

1/5

所以 S?ABF ? 1

1 1 8 2 16 | AB | ?d ? ? ?2 2 ? 2 2 3 3

…………………….12 分

法二:直线 y ? x ? 2 通过椭圆的右焦点 F2 (2,0) ,则 ?ABF2 的面积为

1 | F1F2 | (| y1 | ? | y2 |) 2 1 2 16 ? ? 4 ? (2 ? ) ? 2 3 3 S?ABF1 ?
16.解: ( I )因为 2 Sn ? (n ? 1)an ,当 n ? 2 时, 有 2 Sn ?1 ? nan ?1 , 两个代数式相减得到

…………………….10 分 …………………….12 分

2an ? (n ? 1)an ? nan ?1 ,化简得到 (n ? 1)an ? nan?1 ………………….2 分
又 a1 ? 1 ,所以 an ? 0 所以

an n ? ,所以有 an ?1 n ? 1
a3 3 a2 2 ? , ? , a2 2 a1 1

…………………….4 分

an ?1 n ? 1 ? ,… an ? 2 n ? 2

把这 n ? 1 个代数式相乘,得到

an n ? ,又 a1 ? 1 , a1 1
所以 an ? n(n ? 2) ,又 a1 ? 1 所以有 an ? n(n ? N )
*

…………………….6 分

Sn ?

a1 ? an 1? n n ? n2 n? n? 2 2 2
n

…………………….8 分

n (II) 因为 an ? n ,所以 a 2 n ? 2 ,所以 bn ? 2

…………………….10 分

bn 2n ? n ?1 ? 2 , 又 bn ?1 2
所以 {bn } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 所以其前 n 项和 Tn ?
高二数学理科答案

b1 (1 ? q n ) ? 2n ?1 ? 2 1? q
2/5

…………………….12 分

P

17.解:( I ) 取 BC 中点 M , 因为 ABCD 为等腰梯形,所以 OM ? AD 又 PO ? 平面 ABCD ,所以 PO ? OD, PO ? OM 以 O 为原点, OM , OD, OP 所在直线为 x, y, z 轴 ………….2 分 建立空间直角坐标系
A B O D C

由已知,得 O(0,0,0), A(0, ?2,0), D(0,2,0) , B(2, ?4,0), C (2,4,0) ……………….3 分 所以 AP ? (0,2,4), CD ? (2,2,0),

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ??? ? ??? ? AP ? CD ? 4,| AP |? 20,| CD |? 2 2 ,

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AP ? CD ? ? 所以 cos ? AP, CD ?? ???? ??? ? | AP || CD |
所以直线 PA 和 CD 所成角的余弦值为

4 10 ? 10 20 ? 2 2

10 10

……………….5 分

(II)因为 OM ? PO, OM ? AD ,所以 OM ? 平面 PAD , 所以取平面 PAD 的法向量为 m ? (1,0,0) 设平面 PAB 的法向量为 n ? ( x, y , z ) , 因为 AP ? (0, 2, 4), AB ? (2, ?2,0) , 所以 AP ? n ? 0, AB ? n ? 0, 代入得到

??

……………….6 分

?

??? ?

??? ?

??? ? ?

??? ? ?

? ?2 y ? 4 z ? 0 ? y ? ?2 z ,所以 ? ,取 n ? (2, 2, ?1) ? ?2 x ? 2 y ? 0 ?y ? x ? ?? 2 所以 cos ? n, m ?? 3 2 所以平面 PAB 和平面 PAD 所成角的余弦值为 ? 3
18 解: (I)直线 y ? k ( x ? 1) 经过椭圆 C 的一个焦点, 令 y ? 0 ,得到 x ? 1 ,即 c ? 1 所以其焦点分别为 F1 ( ?1,0), F2 (1,0) , 又点 A(1, ) ,根据椭圆的定义,得到 计算得 | AF1 | ? | AF2 |? 4,
高二数学理科答案

……………….8 分

……………….10 分

………………….1 分

3 2

| AF1 | ? | AF2 |? 2a
…………………….2 分
3/5

所以 a ? 2

又 a 2 ? b2 ? c 2 ,所以 b ? 3

…………………….3 分

椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1; 4 3

…………………….4 分

(II)设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 1) , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

? x2 y2 ?1 ? ? 把其和椭圆联立,得到 ? 4 , 3 ? y ? k ( x ? 1) ?

整理得到

( 3? 4 2 x 2 ? 8 2 x? 4 2 ? 1 2 , 0 k ) k k ?
因为直线 y ? k ( x ? 1) 过焦点,所以 ? ? 0 又 x1 ? x2 ?

8k 2 , 3 ? 4k 2
2

x1 x2 ?

4k 2 ? 12 , 3 ? 4k 2
2

…………………….5 分

所以 | MN |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k 代入得到 | MN |?

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
…………………….6 分

12(k 2 ? 1) 4k 2 ? 3 4k 2 ?3k , 2 ), 2 4k ? 3 4k ? 3

又 MN 的中点为 (

线段MN的垂直平分线与 x 轴相交,所以 k ? 0 所以 MN 的垂直平分线为 y ?

?3k 1 4k 2 ? ? (x ? 2 ), 4k 2 ? 3 k 4k ? 3
…………………….7 分

令 y ? 0 ,得到 x ? 设 Q(t,0) , 所以 | PQ |?| t ?

k2 , 4k 2 ? 3

k2 (4t ? 1)k 2 ? 3t |?| |, 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

(4t ? 1)k 2 ? 3t | | PQ | | (4t ? 1)k 2 ? 3t | 1 (4t ? 1)k 2 ? 3t 4k 2 ? 3 又 ? ? ? | | 12(k 2 ? 1) | MN | 12( k 2 ? 1) 12 ( k 2 ? 1) 4k 2 ? 3 |
?
高二数学理科答案

1 3t ? (4t ? 1) 1 1? t | (4t ? 1) ? |? | (4t ? 1) ? 2 | 2 12 (k ? 1) 12 (k ? 1)
4/5

…………………….9 分 若其为定值,则

1? t 与 k 无关,当且仅当 t ? 1 , ( k 2 ? 1) | PQ | 1 为定值 . | MN | 4
…………………….10 分

所以存在定点 Q(1,0) ,使得

说明:解答题有其它正确解法的请酌情给分.

高二数学理科答案

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